2017高考物理一轮连接体问题教案
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资料简介
基础点 知识点1  连接体 ‎1.定义:多个相互关联的物体连接(叠放、并排或由绳子、细杆联系)在一起构成的物体系统称为连接体。连接体一般具有相同的运动情况(速度、加速度)。如下图所示:‎ ‎2.处理连接体问题的方法:整体法与隔离法,要么先整体后隔离,要么先隔离后整体。‎ ‎(1)整体法是指系统内(即连接体内)物体间无相对运动时(具有相同加速度),可以把连接体内所有物体组成的系统作为整体考虑,分析其受力情况,对整体列方程求解的方法。‎ 整体法可以求系统的加速度或外界对系统的作用力。‎ ‎(2)隔离法是指当我们所研究的问题涉及多个物体组成的系统时,需要求连接体内各部分间的相互作用力,从研究方便出发,把某个物体从系统中隔离出来,作为研究对象,分析其受力情况,再列方程求解的方法。‎ 隔离法适合求系统内各物体间的相互作用力或各个物体的加速度。‎ ‎3.整体法、隔离法的选取原则 ‎(1)整体法的选取原则 若连接体内各物体具有相同的加速度,且不需要求物体之间的作用力,可以把它们看成一个整体,分析整体受到的合外力,应用牛顿第二定律求出加速度(或其他未知量)。‎ ‎(2)隔离法的选取原则 若连接体内各物体的加速度不相同,或者要求出系统内各物体之间的作用力时,就需要把物体从系统中隔离出来,应用牛顿第二定律列方程求解。‎ ‎(3)整体法、隔离法的交替运用 若连接体内各物体具有相同的加速度,且要求出物体之间的作用力时,可以先用整体法求出加速度,然后再用隔离法选取合适的研究对象,应用牛顿第二定律求作用力。即“先整体求加速度,后隔离求内力”。‎ 知识点2  临界与极值 ‎1.临界问题 物体由某种物理状态转变为另一种物理状态时,所要经历的一种特殊的转折状态,称为临界状态。这种从一种状态变成另一种状态的分界点就是临界点,此时的条件就是临界条件。‎ 在应用牛顿运动定律解决动力学的问题中,当物体的加速度不同时,物体有可能处于不同的状态,特别是题目中出现“最大”“最小”“刚好”“恰好出现”或“恰好不出现”等词语时,常常会涉及临界问题。‎ ‎2.产生临界(极值)问题的条件 14‎ ‎(1)接触与脱离的临界(极值)条件:两物体相接触或脱离,临界(极值)条件是:弹力FN=0。‎ ‎(2)相对滑动的临界(极值)条件;两物体相接触且处于相对静止时,常存在着静摩擦力,则相对滑动的临界(极值)条件是:静摩擦力达到最大值。‎ ‎(3)绳子断裂与松弛的临界(极值)条件:绳子所能承受的张力是有限的,绳子断与不断的临界(极值)条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力,绳子松弛的临界(极值)条件是FT=0。‎ ‎(4)加速度最大与速度最大的临界(极值)条件:当物体在受到变化的外力作用下运动时,其加速度和速度都会不断变化,当所受合外力最大时,具有最大加速度;合外力最小时,具有最小加速度。当出现速度有最大值或最小值的临界(极值)条件时,物体处于临界(极值)状态,所对应的速度便会出现最大值或最小值。‎ 重难点 一、连接体问题 ‎1.常见类型 ‎(1)涉及滑轮类的问题 这类问题中一般都忽略绳、滑轮的重力和摩擦力,且滑轮的大小忽略不计。若要求绳的拉力,一般都必须采用隔离法。绳跨过定滑轮,连接的两物体虽然加速度大小相同但方向不同,可以先整体求a的大小,再隔离求FT。如图所示,可由整体法列方程为(m1-m2)g=(m1+m2)a⇒a=,再隔离m1(或m2)求FT,有m‎1g-FT=m‎1a⇒FT= ‎(2)水平面上的连接体问题 ‎①这类问题一般多是连接体(系统)中各物体保持相对静止,即具有相同的加速度。解题时,一般采用先整体、后隔离的方法。‎ ‎②建立坐标系时也要考虑矢量正交分解越少越好的原则,或者正交分解力,或者正交分解加速度。‎ ‎(3)斜面体与上面的物体类连接体问题 14‎ 斜面体(或称为劈形物体、楔形物体)与在斜面体上物体组成的连接体(系统)的问题,一般为物体与斜面体的加速度不同,其中最多的是物体具有加速度,而斜面体静止的情况。解题时,可采用隔离法,但是相当麻烦,因涉及的力过多。如果问题不涉及物体与斜面体的相互作用,则采用整体法用牛顿第二定律求解。‎ ‎2.解题思路 ‎(1)分析所研究的问题适合应用整体法还是隔离法。‎ 处理各物体加速度都相同的连接体问题时,整体法与隔离法往往交叉使用,一般思路是:‎ ‎①求内力时,先用整体法求加速度,再用隔离法求物体间的作用力。‎ ‎②求外力时,先用隔离法求加速度,再用整体法求整体受到外加的作用力。‎ ‎(2)对整体或隔离体进行受力分析,应用牛顿第二定律确定整体或隔离体的加速度。‎ ‎(3)结合运动学方程解答所求解的未知物理量。‎ ‎3.必避误区 ‎(1)对连接体进行受力分析时误认为力可以通过物体传递,如用水平力F推M及m一起前进(如图甲所示),隔离m受力分析时误认为力F通过M作用到m上。‎ ‎(2)不理解轻绳、轻弹簧与有质量的绳、弹簧的区别,如用水平力F通过质量为m的弹簧秤拉物体M在光滑水平面上加速运动时(如图乙所示),往往误认为弹簧秤拉物体的力等于F,实际上此时弹簧秤拉物体M的力为T=F-ma,也就是说只有在弹簧秤质量不计时两者才相等。‎ ‎(3)不能正确建立坐标系,对加速度或力进行分解。‎ 特别提醒 如图甲、乙所示的情景中,无论地面或斜面是否光滑,只要力F拉着物体m1、m2一起加速,由整体及隔离法可证明:总有F内=F,即动力的效果按与质量成正比的规律分配。这个常见的结论叫动力分配原理。‎ 二、临界(极值)类问题 ‎1.问题说明 14‎ ‎(1)在物体的运动状态发生变化的过程中,往往达到某一个特定状态时,有关的物理量将发生突变,此状态即为临界状态,相应的物理量的值为临界值。临界状态一般比较隐蔽,它在一定条件下才会出现。‎ ‎(2)解决此类问题时,一般先以某个状态(非临界状态)为研究对象,进行受力和运动情况的分析,利用极限法对某一物理量推导极大或极小值,找到临界状态,再根据牛顿运动定律分析求解。‎ ‎2.常见类型及举例说明 ‎(1)相互接触的两物体脱离的临界条件是相互作用的弹力为零,即N=0。‎ 例如,图甲中,当斜面以多大加速度向右加速运动时,小球与斜面间的作用力为零?‎ 分析:当小球随斜面加速运动,支持力减小,以获得水平合外力,当加速度足够大时,小球与斜面间作用力为零时,如图乙所示,可得F合=,所以a==。‎ ‎(2)绳子松弛的临界条件是绳中张力为零,即T=0。‎ 例如,图丙中,当斜面以多大加速度向左运动时,绳对小球的拉力为零?‎ 分析:当小球随斜面向左加速运动,则绳的拉力将减小,支持力增大,以获得水平向左加速度,加速度足够大时,小球可能沿斜面上移,绳的拉力为零,如图丁所示,可得F合=mgtanθ,所以a==gtanθ。‎ ‎(3)存在静摩擦力的连接系统,相对静止与相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值,即f静=fm。‎ 14‎ 例如,图中水平面光滑,A、B质量相等为m,A、B间最大静摩擦力为f,则F为多少时,A、B发生相对运动。‎ 分析:力F很小时,加速度小,A对B的摩擦力小,A、B一起运动。随着力F增大,加速度a增大,A对B的摩擦力增大,最大静摩擦力是极限,此时aB=,A、B恰不发生相对运动,a=aB,则F=2ma=‎2f。‎ ‎(4)加速度最大与速度最大的临界条件:当物体在受到变化的外力作用下运动时,其加速度和速度都会不断变化,当所受合外力最大(小)时,具有最大(小)加速度;当加速度与速度方向一致时,物体加速,当a=0时,速度达最大;当加速度与速度方向相反时,物体减速,当a=0时,速度达最小。‎ 例如:自由下落的小球下落一段时间后与弹簧接触,从它开始接触弹簧到弹簧压缩到最短的过程中,加速度和速度的变化情况讨论如下:‎ ‎①小球接触弹簧上端后受两个力作用:向下的重力和向上的弹力。在接触后的前一阶段,重力大于弹力,合力向下,因为弹力F=kx不断增大,所以合力不断变小,故加速度也不断减小,由于加速度与速度同向,因此速度不断变大。‎ ‎②当弹力逐渐增大到与重力大小相等时,合外力为零,加速度为零,速度达到最大。(注意:此位置是两个阶段的转折点)‎ ‎③后一阶段,即小球达到上述平衡位置之后,由于惯性仍继续向下运动,弹力大于重力,合力向上,且逐渐变大,因而加速度逐渐变大,方向向上,小球做减速运动,因此速度逐渐减小到零,到达最低点时,弹簧的压缩量最大。‎ 特别提醒 ‎(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程存在着临界点。‎ 14‎ ‎(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程存在着“起止点”,而这些起止点往往就对应临界状态。‎ ‎(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程存在着极值,这个极值点往往是临界点。‎ ‎(4)若题目要求“最终加速度”“稳定加速度”等,即是求收尾加速度或收尾速度。‎ ‎3.解决临界(极值)问题的基本思路 ‎(1)认真审题,详尽分析问题中变化的过程(包括分析整体过程中有几个阶段);‎ ‎(2)寻找过程中变化的物理量;‎ ‎(3)探索物理量的变化规律;‎ ‎(4)确定临界(极值)状态,分析临界(极值)条件,找出临界(极值)关系。‎ 特别提醒 解决此类问题重在形成清晰的物理图景,分析清楚物理过程,从而找出临界条件或达到极值的条件,挖掘隐含的条件是解题的关键,要特别注意可能出现的多种情况。‎ 三、滑块——木板类问题 ‎1.类型特征 上、下叠放两个物体,并且两物体在摩擦力的相互作用下发生相对滑动。‎ ‎2.“滑块——木板类”问题的分析思路 ‎3.滑块与滑板类问题的解法说明 ‎(1)判断滑块与滑板间是否存在相对滑动是思考问题的着眼点,方法有整体法、隔离法、假设法等。即先假设滑块与滑板相对静止,然后根据牛顿第二定律求出滑块与滑板之间的摩擦力,再分析滑块与滑板之间的摩擦力是不是大于最大静摩擦力。‎ ‎ (2)滑块与滑板存在相对滑动的临界条件 ‎①运动学条件:若两物体速度或加速度不等,则会相对滑动。‎ 14‎ ‎②力学条件:一般情况下,假设两物体间无相对滑动,先用整体法算出一起运动的加速度,再用隔离法算出滑块“所需要”的摩擦力Ff,比较Ff与最大静摩擦力Ffm的关系,若Ff>Ffm,则发生相对滑动。‎ ‎③滑块滑离滑板的临界条件 当滑板的长度一定时,滑块可能从滑板滑下,恰好滑到滑板的边缘达到共同速度是滑块滑离滑板的临界条件。‎ 特别提醒 此类问题涉及两个物体、多个运动过程,并且物体间还存在相对运动,所以应准确求出各物体在各个运动过程中的加速度(注意两过程的连接处加速度可能突变),找出物体之间的位移(路程)关系或速度关系是解题的突破口。求解中应注意联系两个过程的纽带,每一个过程的末速度是下一个过程的初速度。‎ ‎1.思维辨析 ‎(1)整体法和隔离法是指选取研究对象的方法。(  )‎ ‎(2)只有相对静止的物体才可以看成一个整体系统。(  )‎ ‎(3)“恰好出现”与“恰好不出现”指物体的所处状态相同。(  )‎ ‎(4)整体法与隔离法可以相互代替,只是繁简不同。(  )‎ ‎(5)子弹打木块的相关问题可以归结为滑块滑板类问题。(  )‎ ‎(6)连接体问题包含滑块—滑板类问题。(  )‎ ‎(7)临界问题往往出现在连接体问题中。(  )‎ ‎(8)连接体问题、临界问题、滑块—滑板类问题都独立于牛顿运动定律问题。(  )‎ 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)√ (7)√ (8)×‎ ‎2.如图所示,a、b两物体的质量分别为m1和m2,由轻质弹簧相连。当用恒力F竖直向上拉着a,使a、b一起向上做匀加速直线运动时,弹簧伸长量为x1,加速度大小为a1;当用大小仍为F的恒力沿水平方向拉着a,使a、b一起沿光滑水平桌面做匀加速直线运动时,弹簧伸长量为x2,加速度大小为a2。则有(  )‎ A.a1=a2,x1=x2     B.a1<a2,x1=x2‎ 14‎ C.a1=a2,x1>x2 D.a1<a2,x1>x2‎ 答案 B 解析 对a、b物体及弹簧整体分析,有:‎ a1==-g,a2=,‎ 可知a1<a2,‎ 再隔离b分析,有:‎ F1-m‎2g=m‎2a1,解得:F1=,‎ F2=m‎2a2=,‎ 可知F1=F2,再由胡克定律知,x1=x2。‎ 所以B选项正确。‎ ‎3.(多选)如图所示,光滑的水平地面上有三块木块a、b、c,质量均为m,a、c之间用轻质细绳连接。现用一水平恒力F作用在b上,三者开始一起做匀加速运动,运动过程中把一块橡皮泥粘在某一木块上面。系统仍加速运动,且始终没有相对滑动。则在粘上橡皮泥并达到稳定后,下列说法正确的是 (    )‎ A.无论粘在哪块木块上面,系统的加速度一定减小 B.若粘在a木块上面,绳的张力减小,a、b间摩擦力不变 C.若粘在b木块上面,绳的张力和a、b间摩擦力一定都减小 D.若粘在c木块上面,绳的张力和a、b间摩擦力一定都增大 答案 ACD 解析 无论粘在哪块木块上面,系统质量增大,水平恒力F不变,对整体由牛顿第二定律得系统的加速度一定减小,选项A正确;若粘在a木块上面,对c有FTc=ma,a减小,故绳的张力减小,对b有F-Ff=ma,故a、b间摩擦力增大,选项B错误;若粘在b木块上面,对c有FTc=ma,对a、c整体有Ff=2ma,故绳的张力和a、b间摩擦力一定都减小,选项C正确;若粘在c木块上面,对b有F-Ff=ma,则Ff=F-ma,a减小,Ff增大,对a有Ff-FTc=ma,则FTc=Ff-ma,Ff增大,a减小,FTc增大,选项D正确。‎ ‎ [考法综述] 本考点内容在高考中有非常重要的地位,既可能单独命题又可能和功和能、电和磁等其它知识交汇命题,既可能以选择题的形式,又可能以计算题的形式考查,难度系数均不小,应在中等及以上水平,因此复习本考点知识时要重在理解和掌握运用上。应掌握:‎ ‎3类问题——连接体问题、临界(极值)类问题、滑块滑板类问题 14‎ ‎5种方法——整体法、隔离法、极限法、假设法、数学法 ‎1种思想——转换研究对象的思想 命题法1 加速度相同的连接体问题 典例1  如图所示,一夹子夹住木块,在力F作用下向上提升。夹子和木块的质量分别为m、M,夹子与木块两侧间的最大静摩擦力均为f。若木块不滑动,力F的最大值是(  )‎ A. B. C.-(m+M)g D.+(m+M)g ‎[答案] A ‎[解析] 当夹子连同木块一起向上做匀加速运动,且恰好不相对滑动时,力F最大,此时夹子与木块间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。‎ 解法一:对木块M,利用牛顿第二定律得 ‎2f‎-Mg=Ma ①‎ 同理,对夹子和木块整体,有 F-(M+m)g=(M+m)a ②‎ 联立①②解得F=,A正确。‎ 解法二:利用动力分配原理 14‎ 如图所示,当F拉着物体m1、m2向上加速时,内部绳的拉力F内=F,对本题模型有 ‎2f‎=F,即F=,A正确。‎ ‎【解题法】 加速度相同的连接体处理思路 物体系的动力学问题涉及多个物体的运动,各物体既相互独立,又通过内力相互联系。处理各物体加速度都相同的连接体问题时,整体法与隔离法往往交叉使用,一般思路是:‎ ‎(1)求内力时,先用整体法求加速度,再用隔离法求物体间的作用力。‎ ‎(2)求外力时,先用隔离法求加速度,再用整体法求整体受到的外加作用力。‎ 命题法2 加速度不同的连接体问题 典例2  如图所示,质量为M的木板可沿倾角为θ的光滑斜面下滑,木板上站着一质量为m的人,求:‎ ‎(1)为了保持木板与斜面相对静止,人运动的加速度是多少?‎ ‎(2)为了保持人与斜面相对静止,木板运动的加速度是多少?‎ ‎[答案] (1)gsinθ,方向沿斜面向下 ‎(2)gsinθ,方向沿斜面向下 ‎[解析] (1)为了使木板与斜面保持相对静止,必须满足木板在斜面上的合力为零,所以人施于木板的摩擦力f应沿斜面向上,故人应加速向下跑。现分别对木板和人应用牛顿第二定律。‎ 对木板进行受力分析,如图甲所示 14‎ 沿斜面方向有:Mgsinθ-f1=0‎ 对人进行受力分析,如图乙所示 mgsinθ+f1′=ma人(a人为人相对斜面的加速度)f1=f1′‎ 解得a人=gsinθ,方向沿斜面向下。‎ ‎(2)为了使人与斜面保持相对静止,必须满足人在木板上所受合力为零,所以木板施于人的摩擦力应沿斜面向上,故人相对木板向上跑,木板相对斜面向下滑,但人相对斜面静止不动。设木板相对斜面的加速度为a木,现分别对木板和人进行受力分析如图丙、丁,则:‎ 对木板:Mgsinθ+f2′=Ma木 对人:mgsinθ=f2‎ f2=f2′‎ 解得a木=gsinθ,方向沿斜面向下,即人相对木板向上加速跑动,而木板沿斜面向下滑动,此时人相对斜面静止不动。‎ ‎【解题法】 加速度不同的连接体问题处理方法 ‎(1)若系统内各个物体的加速度不同,一般应采用隔离法。以各个物体分别作为研究对象,对每个研究对象进行受力和运动情况分析,分别应用牛顿第二定律建立方程,并注意应用各个物体的相互作用关系,联立求解。‎ ‎(2)对某些加速度不同的连接体问题,也可以运用“类整体法”列方程求解 设系统内有几个物体,这几个物体的质量分别为m1、m2、m3、…,加速度分别为a1、a2、a3、…,这个系统的合外力为F合,则这个系统的牛顿第二定律的表达式为F合=m‎1a1+m‎2a2+m‎3a3+…,其正交分解表达式为 14‎ Fx合=m‎1a1x+m‎2a2x+m‎3a3x+…‎ Fy合=m‎1a1y+m‎2a2y+m‎3a3y+…‎ 命题法3 临界(极值)类问题 典例3  如图所示,一质量m=‎0.4 kg的小物块,以v0=‎2 m/s的初速度,在与斜面成某一夹角的拉力F作用下,沿斜面向上做匀加速运动,经t=2 s的时间物块由A点运动到B点,A、B之间的距离L=‎10 m。已知斜面倾角θ=30°,物块与斜面之间的动摩擦因数μ=。重力加速度g取‎10 m/s2。‎ ‎(1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。‎ ‎(2)拉力F与斜面夹角多大时,拉力F最小?拉力F的最小值是多少?‎ ‎[答案] (1)‎3 m/s2 ‎8 m/s (2)30°  N ‎[解析] (1)设物块加速度的大小为a,到达B点时速度的大小为v,由运动学公式得 L=v0t+at2①‎ v=v0+at②‎ 联立①②式,代入数据得 a=‎3 m/s2③‎ v=‎8 m/s④‎ ‎(2)设物块所受支持力为FN,所受摩擦力为Ff,拉力与斜面间的夹角为α,受力分析如图所示,由牛顿第二定律得 Fcosα-mgsinθ-Ff=ma⑤‎ Fsinα+FN-mgcosθ=0⑥‎ 14‎ 又Ff=μFN⑦‎ 联立⑤⑥⑦式得 F=⑧‎ 由数学知识得 cosα+sinα=sin(60°+α)⑨‎ 由⑧⑨式可知对应F最小时与斜面间的夹角 α=30°⑩‎ 联立③⑧⑩式,代入数据得F的最小值为 Fmin= N ‎【解题法】 求解临界极值问题的三种常用方法 ‎(1)极限法:当题中出现“最大”“最小”“刚好”等词语时,意味有临界现象。此时,可用极限法(把物理过程或问题推向极端,从而使临界状态暴露)判定,以达到正确解决问题的目的。‎ ‎(2)假设法:临界问题存在多种可能,特别是非此即彼两种可能时,或变化过程中可能出现临界条件,也可能不出现临界条件时,往往用假设法解决问题。‎ ‎(3)数学方法:将物理过程转化为数学公式,根据数学表达式解出临界条件。‎ 命题法4 滑块—滑板类问题 典例4  如图所示,质量为M=‎4.0 kg的长木板B静止在光滑的水平地面上,在其右端放一质量为m=‎1.0 kg的小滑块A(可视为质点)。初始时刻,A、B分别以大小为v0=‎2.0 m/s的速度向左、向右运动,最后A恰好没有滑离B板。已知A、B之间的动摩擦因数μ=0.40,取g=‎10 m/s2。求:‎ ‎(1)发生相对运动时A、B的加速度aA、aB的大小和方向;‎ ‎(2)A相对于地面的速度为零时,B相对于地面的位移x;‎ ‎(3)木板B的长度l。‎ ‎[答案] (1)aA=‎4.0 m/s2,方向水平向右 aB=‎1.0 m/s2,方向水平向左 (2)‎0.875 m (3)‎‎1.6 m ‎[解析] (1)滑块A受到水平向右的摩擦力作用,木板B受到水平向左的摩擦力作用,且摩擦力的大小均为μmg,则根据牛顿第二定律,对滑块A有μmg=maA 解得aA=μg=‎4.0 m/s2,方向水平向右。‎ 对木板B有μmg=MaB 解得aB=μmg/M=‎1.0 m/s2,方向水平向左。‎ ‎(2)开始阶段A相对于地面向左做匀减速运动,设速度减小到零所用的时间为t1,则有v0=aAt1‎ 14‎ 解得t1=v0/aA=0.50 s 此时B相对于地面向右做匀减速运动的位移为 x=v0t1-aBt=‎‎0.875 m ‎(3)A向左匀减速到速度为零后,开始向右做匀加速运动,加速度大小仍为aA=‎4.0 m/s2‎ B仍向右做匀减速运动,加速度大小仍为 aB=‎1.0 m/s2;‎ 当A、B的速度相等时,A滑到B的最左端,恰好不滑出木板。‎ 故木板B的长度等于全过程中A、B间的相对位移。‎ 在A相对于地面的速度为零时,B的速度为 vB=v0-aBt1=‎1.5 m/s 设由A的速度为零至A、B的速度相等所用的时间为t2,则有 aAt2=vB-aBt2‎ 解得t2=vB/(aA+aB)=0.3 s A、B的共同速度v=aAt2=‎1.2 m/s A向左运动的位移大小为 xA=(v0-v)(t1+t2)/2=(2-1.2)(0.5+0.3)/‎2 m=‎‎0.32 m B向右运动的位移大小为 xB=(v0+v)(t1+t2)/2=(2+1.2)(0.5+0.3)/‎2 m=‎‎1.28 m 故木板B的长度为l=xA+xB=‎1.6 m。‎ ‎【解题法】 “滑块—木板模型”的分析技巧 ‎(1)分析滑块和木板的受力情况,根据牛顿第二定律分别求出滑块和木板的加速度。‎ ‎(2)对滑块和木板进行运动情况分析,找出滑块和木板之间的位移关系或速度关系,建立方程。特别注意滑块和木板的位移都是相对地面的位移。‎ ‎(3)滑块由滑板的一端运动到另一端的过程中,若滑块和滑板同向运动,位移之差等于板长;反向运动时,位移之和等于板长。‎ 14‎

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