专题四 曲线运动
考纲展示 命题探究
基础点
知识点1 曲线运动
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线上该点的切线方向。
2．运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度。
3．物体做曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。
(2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。
4．合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在速度方向与合外力方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧。
知识点2 运动的合成与分解
1．基本概念
(1)分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即分运动，物体的实际运动即合运动。
(2)运动的合成：已知分运动求合运动，包括位移、速度和加速度的合成。
(3)运动的分解：已知合动运求分运动，包括位移、速度和加速度的分解。
2．分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法。
3．遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形法则。
4．合运动与分运动的四个特性
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。
(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动。
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重难点
一、对曲线运动的理解
1．条件：物体受到的合外力与初速度不共线。
2．合力方向与轨迹的关系
无力不拐弯，拐弯必有力。曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧。
3．曲线运动的特点
(1)做曲线运动的物体速度方向始终沿轨迹的切线方向，速度时刻在变化，加速度一定不为零，故曲线运动一定是变速运动。当加速度与初速度不在一条直线上，
①若加速度恒定，物体做匀变速曲线运动；
②若加速度变化，物体做非匀变速曲线运动。
(2)做曲线运动的物体，所受合外力一定指向曲线的凹侧，曲线运动的轨迹不会出现急折，只能平滑变化，轨迹总在力与速度的夹角中，
①若已知物体的运动轨迹，可判断出合外力的大致方向；
②若已知合外力方向和速度方向，可知道物体运动轨迹的大致情况。
(3)做曲线运动的物体，所受合力沿切线方向的分力改变速度的大小，沿径向的分力改变速度的方向，如下图所示。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体运动的速率将增大；F2使其加速，F1使其改变方向。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体运动的速率将减小；F2使其减速，F1使其改变方向。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体运动的速率不变。F只改变其方向。
特别提醒
决定物体运动情况的因素是初速度和合外力，应首先分析物体的受力情况，明确物体所受合外力的方向与初速度方向是否在一条直线上，若在一条直线上，则做直线运动，否则做曲线运动。
二、运动的合成与分解的理解
1．研究曲线运动的思维过程
(欲知)曲线运动规律(只需研究)两分运动规律(得知)曲线运动规律。
2．运动的合成与分解的运算法则
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运动的合成与分解是指描述物体运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解。由于它们都是矢量，所以它们都遵循矢量的合成与分解法则。
(1)两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减。
(2)两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成或分解。
3．合运动性质的判断方法
(1)合运动类型
(2)两个直线运动的合运动性质的判断
根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动，具体分以下几种情况：
(不共线)分运动
合运动
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
续表
(不共线)分运动
合运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如v0合与a合共线，则合运动为匀变速直线运动
如v0合与a合不共线，则合运动为匀变速曲线运动
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特别提醒
(1)判断合运动是否是匀变速运动，应看合加速度是否恒定；判断合运动的轨迹是直线还是曲线，应看合初速度与合加速度是否共线。
(2)分清合运动与分运动。物体实际发生的运动是合运动，一般就是物体相对地面发生的运动。
(3)在运动的合成中，要充分利用运动的独立性和等时性。根据题意作出符合情境的运动合成矢量图。
三、小船渡河模型
1．模型构建
在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化。我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的运动系统可看作“小船渡河模型”。
2．模型条件
(1)物体同时参与两个匀速直线运动。
(2)一个分运动速度大小和方向保持不变，另一个分运动速度大小不变，方向可在一定范围内变化。
3．模型特点
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
(2)三种速度：船在静水中的速度v1、水的流速v2、船的实际速度v。
(3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸，渡河时间最短，t短＝(d为河宽)。
②过河路径最短(v2v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直河岸渡河。确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。由图可知sinθ＝，最短航程x短＝＝
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eq \f(v2,v1)d。
特别提醒
(1)正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。
(2)按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流方向和船头指向分解。
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。
(4)求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小关系选择不同的处理方法。
(5)当船速v船等于水流速度v水时，渡河的最短距离无限接近河宽，只不过距离越短，渡河时间越长。
四、“关联”速度问题
绳、杆等有长度的物体在运动过程中，其两端点速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，常称之为“关联”速度，对这一模型分析如下：
1．模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
2．思路与方法
合速度→物体的实际运动速度v
分速度→
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则。
3．解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
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特别提醒
(1)解决“关联”速度问题要特别注意
①分解谁？分解物体实际运动的速度即合速度；
②如何分解？沿杆或绳方向和垂直杆或绳方向；
③有何关系？沿杆或绳方向的速率相等。
(2)与绳(杆)相关联物体的运动分解很容易与力的分解相混淆，如图甲中极易作出如图所示的速度分解图，从而得出错误结果。要注意物体的运动引起了两个效果：一是绳子的收缩，二是绳绕滑轮的转动，应根据实际效果进行运动的分解。
1．思维辨析
(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。( )
(2)做曲线运动的物体加速度一定是变化的。( )
(3)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。( )
(4)曲线运动可能是匀变速运动。( )
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(5)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。( )
(6)合运动的速度一定比分运动的速度大。( )
(7)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。( )
(8)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)× (7)× (8)√
2．(多选)一只小船在静水中的速度为3 m/s，它要渡过一条宽为30 m的河，河水流速为4 m/s，则这只船( )
A．过河时间不可能小于10 s
B．不能沿垂直于河岸方向过河
C．渡过这条河所需的时间可以为6 s
D．不可能渡过这条河
答案 AB
解析 船在过河过程同时参与两个运动，一个是受水流影响沿河岸向下的运动，一个是船自身的运动。垂直河岸方向位移即河的宽度d＝30 m，而垂直河岸方向的最大分速度即船自身的速度3 m/s，所以渡河最短时间t＝＝10 s，A对C错。只要有垂直河岸的分速度，就可以渡过这条河，D错。船实际发生的运动就是合运动，如果船垂直河岸方向过河，即合速度垂直河岸方向。一个分速度沿河岸向下，与合速度垂直，那么在速度合成的三角形中船的速度即斜边，要求船的速度大于水的速度，而本题目中船的速度小于河水的速度，故不可能垂直河岸方向过河，B对。
3．如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，两物体质量分别为m1和m2，且m1＜m2。若将m2从位置A由静止释放，当落到位置B时，m2的速度为v2，且绳子与竖直方向的夹角为θ，则这时m1的速度大小v1等于( )
A．v2sinθ B.
C．v2cosθ D.
答案 C
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解析
物体m2的实际运动情况是沿杆竖直下滑，这个实际运动是合运动，m1的速度与绳上各点沿绳方向的速度大小相等，所以绳的速度等于m1的速度v1，而m2的实际运动应是合运动(沿杆向下)，合速度v2可由沿绳子方向的分速度和垂直于绳子的分速度来合成(即两个实际运动效果)。因此v1跟v2的关系如图所示，由图可看出m1的速度大小v1＝v2cosθ，C正确。
[考法综述] 本考点是曲线运动部分的基础，但是在考试大纲中却是Ⅱ级要求，因此在高考中单独命题的频率不低，试题难度大多中等及偏小，偶有中等以上，复习中要以夯实基础为主，同时要兼顾知识的理解和灵活运用，要掌握以下内容：
2个概念——合运动和分运动
1个条件——物体做曲线运动的条件
2个定则——平行四边形定则、三角形定则
2个模型——小船渡河模型、“关联”速度模型
命题法1 曲线运动的性质、条件、轨迹
典例1 某研究性学习小组进行了如下实验：如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速为零的匀加速直线运动。同学们测出某时刻R的坐标为(4,6)，此时R的速度大小为________cm/s。R在上升过程中运动轨迹的示意图是________。(R视为质点)
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[答案] 5 D
[解析] 小圆柱体R沿水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，位移x＝t，竖直方向做匀速直线运动，位移y＝v0t，解得vx＝4 cm/s，此时R的合速度v＝＝5 cm/s，小圆柱体R所受合力的方向沿x轴方向，根据曲线运动的特点，轨迹应向受力的一侧弯曲，故选项D正确。
【解题法】 物体做曲线运动的轨迹特征
(1)判断物体是做曲线运动还是做直线运动，关键要看a和v的方向，两者方向在同一直线上则做直线运动，有夹角则做曲线运动。
(2)分析曲线轨迹时应注意三点：凹向、弯曲程度与轨迹位置。
(3)曲线上某点处合外力的方向在曲线上该点的切线的哪一侧，曲线就向哪一侧弯曲；曲线上某点的加速度越大、速度越小，则曲线轨迹弯曲越厉害；曲线轨迹必定夹在a、v方向之间。
命题法2 运动的合成与分解
典例2 某质点在xOy平面内运动，其在x轴方向和y轴方向上的vt图象分别如图甲和图乙所示，则下列判断正确的是( )
A．该质点做匀变速曲线运动
B．该质点有恒定的加速度，大小为2.5 m/s2
C．该质点的初速度为7 m/s
D．前2 s内该质点的位移为21 m
[答案] B
[解析] 由题图可知，质点在x轴和y轴方向上的初速度大小分别为3 m/s和4 m/s，因此合初速度大小为v0＝ ＝m/s＝5 m/s，方向与x轴正方向的夹角为θ
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＝arctan＝arctan＝53°；质点在x轴和y轴方向上的加速度大小分别为ax＝m/s2 ＝1.5 m/s2，ay＝ m/s2＝2 m/s2，合加速度大小为a＝ ＝ m/s2＝2.5 m/s2，方向与x轴正方向的夹角为α＝arctan＝arctan＝53°，可见加速度a与初速度v0方向相同，质点做匀加速直线运动，选项A、C错误，B正确；前2 s内质点的位移大小为s＝v0t＋at2＝15 m，选项D错误。
【解题法】 处理运动合成与分解问题的技巧
(1)分析运动的合成与分解问题时，要注意运动的分解方向，一般情况按运动效果进行分解，切记不可按分解力的思路来分解运动。
(2)要注意分析物体在两个方向上的受力及运动规律，分别在两个方向上列式求解。
(3)两个分方向上的运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。
命题法3 小船渡河类问题
典例3 如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为( )
A．t甲＜t乙 B．t甲＝t乙
C．t甲＞t乙 D．无法确定
[答案] C
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[解析] 设水速为v0，人在静水中的速度为v，OA＝ OB＝x。对甲，O→A阶段人对地的速度为(v＋v0)，所用时间t1＝；A→O阶段人对地的速度为(v－v0)，所用时间t2＝，所以甲所用时间t甲＝t1＋t2＝＋＝。对乙，O→B阶段和B→O阶段的实际速度v′为v和v0的合成，如图所示。由几何关系得，实际速度v′＝，故乙所用时间t乙＝＝。＝＞1，即t甲＞t乙，故C正确。
【解题法】 “三模型、两方案”解决小船渡河问题
命题法4 “关联”速度类问题
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典例4 (多选)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B．小环到达B处时，重物上升的高度h为(－1)d
C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
[答案] ABD
[解析]
释放时小环向下加速运动，则重物将加速上升，对重物由牛顿第二定律可以知道绳中张力一定大于重力2mg，所以A正确；小环到达B处时，绳与直杆间的夹角为45°，重物上升的高度h＝(－1)d，选项B正确；将小环速度v进行正交分解如图所示，其分速度v1与重物上升的速度大小相等，v1＝vcos45°＝v，所以，小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于，选项C错误，选项D正确。
【解题法】 “关联”速度类问题的思维过程
(1)首先认清所研究的对象以及研究对象之间靠什么联系在一起；
(2)其次分析物体的运动性质，哪个运动是实际的运动，哪个运动是分运动，找出位移、加速度或速度的大小、方向；
(3)最后利用正交分解法进行合成与分解。
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