专题七 静电场
考纲展示 命题探究
基础点
知识点1 电荷与电荷守恒定律
1．元电荷：最小的电荷量叫做元电荷，用e表示，e＝1.6×10－19_C，最早由美国物理学家密立根测得。所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍。
2．点电荷
当带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以至于带电体的形状、大小及电荷分布对它们之间相互作用力的影响可以忽略不计时，这样的带电体就可以看做是带电的点，叫做点电荷。类似于力学中的质点，也是一种理想化的模型。
3．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不能创生，也不能消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体或从物体的一部分转移到另一部分，在转移的过程中，电荷的总量保持不变。
(2)三种起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电。
(3)带电实质：物体得失电子。
(4)电荷的分配原则：两个形状、大小相同且带同种电荷的导体，接触后再分开，二者带相同电荷；若两导体原来带异种电荷，则电荷先中和，余下的电荷再平分。
(5)感应起电：感应起电的原因是电荷间的相互作用，或者说是电场对电荷的作用。
①同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
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②当有外加电场时，电荷向导体两端移动，出现感应电荷，当无外加电场时，导体两端的电荷发生中和。
知识点2 库仑定律
1．内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
2．表达式：F＝，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做静电力常量。
3．适用条件：真空中的点电荷。
(1)在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式；
(2)当两个带电体的间距远大于本身的大小时，可以把带电体看成点电荷。
4．库仑力的方向：由相互作用的两个带电体决定，且同种电荷相互排斥，为斥力；异种电荷相互吸引，为引力。
知识点3 电场强度、点电荷的场强
1．定义：放入电场中某点的电荷受到的电场力F与它的电荷量q的比值。
2．定义式：E＝。单位：N/C或V/m
3．点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度：E＝。
4．方向：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点的电场强度方向。
5．电场强度的叠加：电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，遵从平行四边形定则。
知识点4 电场线
1．定义：为了形象地描述电场中各点电场强度的大小及方向，在电场中画出一些曲线，曲线上每一点的切线方向都跟该点的电场强度方向一致，曲线的疏密表示电场的强弱。
2．电场线的特点
(1)电场线从正电荷或无限远处出发，终止于负电荷或无限远处。
(2)电场线在电场中不相交。
(3)电场线不是电荷在电场中的运动轨迹。
3．电场线的应用
(1)在同一电场里，电场线越密的地方场强越大。
(2)电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向。
(3)沿电场线方向电势逐渐降低。
(4)电场线和等势面在相交处互相垂直。
重难点
一、库仑力及其作用下的平衡
1．库仑定律适用条件的三点理解
(1)对于两个均匀带电绝缘球体，可以将其视为电荷集中于球心的点电荷，r为两球心之间的距离。
(2)对于两个带电金属球，要考虑金属球表面电荷的重新分布。
(3)库仑力在r＝10－15～10－9 m
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的范围内均有效，但不能根据公式错误地推论：当r→0时，F→∞。其实，在这样的条件下，两个带电体已经不能再看成点电荷了。
2．应用库仑定律的四条提醒
(1)在用库仑定律公式进行计算时，无论是正电荷还是负电荷，均代入电量的绝对值计算库仑力的大小。
(2)作用力的方向判断根据：同性相斥，异性相吸，作用力的方向沿两电荷连线方向。
(3)两个点电荷间相互作用的库仑力满足牛顿第三定律，大小相等、方向相反。
(4)库仑力存在极大值，由公式F＝k可以看出，在两带电体的间距及电量之和一定的条件下，当q1＝q2时，F最大。
3．求解带电体平衡的方法
分析带电体平衡问题的方法与力学中分析平衡的方法相同。
(1)当力在同一直线上时，根据二力平衡的条件求解；
(2)三力作用下物体处于平衡状态，一般运用勾股定理，三角函数关系以及矢量三角形等知识求解；
(3)三个以上的力作用下物体的平衡问题，一般用正交分解法求解。
4．三个自由电荷的平衡问题
(1)模型构建
①三个点电荷共线。
②三个点电荷彼此间仅靠电场力作用达到平衡，不受其他外力。
③任意一个点电荷受到其他两个点电荷的电场力大小相等，方向相反，为一对平衡力。
(2)三电荷平衡模型的规律
①“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上。
②“两同夹异”——正负电荷相互间隔。
③“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小。
④“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
特别提醒
库仑力作用下的平衡问题，高考中多以选择题的形式出现，关键是做好受力分析与平衡条件的应用，把库仑力当成一个普通力，通过合成法或正交分解法解决此类问题。
二、电场、电场强度
1．电场强度三个表达式的比较
表达式
比较
E＝
E＝k
E＝
公式意义
电场强度定义式
真空中点电荷电场强度的决定式
匀强电场中E与U的关系式
适用条件
一切电场
①真空
②点电荷
匀强电场
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决定因素
由电场本身决定，与q无关
由场源电荷Q和场源电荷到该点的距离r共同决定
由电场本身决定，d为沿电场方向的距离
相同点
矢量，遵守平行四边形定则
单位：1 N/C＝1 V/m
2.电场强度的叠加
(1)叠加原理：多个电荷在空间某处产生的电场为各电荷在该处所产生的电场强度的矢量和。
(2)运算法则：平行四边形定则。
3．特殊带电体场强的处理方法
对于一些特殊的带电体，由于不满足公式E＝的适用条件，我们不能利用此公式直接进行计算，处理此类问题一般要采用诸如：等效法、对称法、补偿法、微元法等方法来求解。
(1)等效法：在保证效果相同的前提条件下，将复杂的物理情景变换为简单的或熟悉的情景。如图甲所示，一个点电荷＋q与一个很大的薄金属板形成电场，可以等效为如图乙所示的两个异种等量点电荷形成的电场。
(2)对称法：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，将复杂的电场叠加计算简化。如图丙所示，电荷量为＋q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。均匀带电薄板在a、b两对称点处产生的场强大小相等、方向相反，若图中a点处的电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小为Eb＝，方向垂直于薄板向左。
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(3)补偿法：将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，从而化难为易。如图丁所示，将金属丝AB弯成半径为r的圆弧，但在A、B之间留有宽度为d的间隙，且d远远小于r，将电荷量为Q的正电荷均匀分布于金属丝上。设原缺口环所带电荷的线密度为ρ，ρ＝，则补上的那一小段金属丝带电荷量Q′＝ρd，则整个完整的金属丝AB在O处的场强为零。Q′在O处的场强E1＝＝，因O处的合场强为零，则金属丝AB在O点场强E2＝－，负号表示E2与E1反向，背向圆心向左。
(4)微元法：将研究对象分割成若干微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量转化为常量、容易确定的量。如图戊所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面的对称轴上的一点，OP＝L。设想将圆环看成由n个小段组成，每一小段都可以看做点电荷，其所带电荷量Q′＝，由点电荷场强公式可求得每一小段带电体在P处产生的场强为E＝＝，由对称性知，各小段带电体在P处的场强E沿垂直于轴的分量Ey相互抵消，而其轴向分量Ex之和即为带电环在P处的场强Ep，Ep＝nEx＝nkcosθ＝k。
特别提醒
(1)电场中某点的电场强度E的大小和方向是唯一的，其大小只由电场本身的特性决定，与F、q的大小及是否存在试探电荷无关，即不能认为E∝F或E∝。
(2)对于比较大的带电体的电场，可把带电体分为若干小块，每小块看成一个点电荷，用点电荷电场强度叠加的方法计算整个带电体的电场。
(3)均匀带电球体(或球壳)外某点的电场强度E＝k，式中r是球心到该点的距离，Q为整个球体(或球壳)所带的电荷量。
三、电场线
1．几种典型电场的电场线
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2．重要电场线的比较
比较
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线分布图
连线中点O点的电场强度
最小，指向负电荷一方
为零
连线上的电场强度大小
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外电场强度大小
O点最大，向外逐渐减小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′、B与B′的电场强度
等大同向
等大反向
3.电场线的用途
(1)判断电场力的方向——正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相反。
(2)判断电场强度的大小(定性)——电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小，进而可判断电荷受力大小和加速度的大小。
(3)判断电势的高低与电势降低的快慢——沿电场线的方向电势逐渐降低，电场强度的方向是电势降低最快的方向。
(4)判断等势面的疏密——电场越强的地方，等差等势面越密集；电场越弱的地方，等差等势面越稀疏。
4．电场线与带电粒子在电场中运动轨迹的比较
电场线
运动轨迹
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(1)电场中并不存在，是为研究电场方便而人为引入的
(2)曲线上各点的切线方向即为该点的场强方向，同时也是正电荷在该点的受力方向，即正电荷在该点的加速度的方向
(1)粒子在电场中的运动轨迹是客观存在的
(2)轨迹上每一点的切线方向即为粒子在该点的速度方向，但加速度的方向与速度的方向不一定相同
5.带电粒子运动轨迹类问题的解题技巧
(1)判断速度方向：带电粒子的轨迹的切线方向为该点处的速度方向。
(2)判断电场力(或场强)的方向：带电粒子所受电场力方向(仅受电场力作用)指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断场强的方向。
(3)判断粒子的速率变化情况：若电场力与速度方向成锐角，则速率越来越大；若电场力与速度方向成钝角，则速率越来越小。
特别提醒
(1)熟悉几种典型的电场线分布有利于我们对电场强度和电势做出迅速判断，且可以进一步了解电荷在电场中的受力和运动情况、电场力做功及伴随的能量转化情况。
(2)带电粒子在电场中的运动轨迹由带电粒子所受合外力与初速度共同决定。
(3)运动轨迹上各点的切线方向是粒子的速度方向。
(4)电场线上各点的切线方向是场强方向，决定着粒子所受电场力的方向。
1．思维辨析
(1)任何带电体所带的电荷量都是元电荷的整数倍。( )
(2)相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相同，它们之间的库仑力大小一定相等。( )
(3)根据F＝k，当r→0时，F→∞。( )
(4)电场强度反映了电场力的性质，所以电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的电场力成正比。( )
(5)电场中某点的电场强度方向即为正电荷在该点所受的电场力的方向。( )
(6)在真空中，电场强度的表达式E＝中的Q就是产生电场的点电荷。( )
(7)在点电荷产生的电场中，以点电荷为球心的同一球面上各点的电场强度都相同。( )
(8)电场线的方向即为带电粒子的运动方向。( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√ (7)× (8)×
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2．某静电场中的电场线方向不确定，分布如图所示，带电粒子在电场中仅受静电力作用，其运动轨迹如图中虚线所示，由M运动到N，以下说法正确的是( )
A．粒子必定带正电荷
B．该静电场一定是孤立正电荷产生的
C．粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度
D．粒子在M点的速度大于它在N点的速度
答案 C
解析 由电荷的运动轨迹可知，电荷所受的电场力斜向上，由于电场线的方向未知，所以不能确定电荷的电性，A错误。孤立正电荷的电场线是从正电荷出发到无穷远处终止的直线，故该静电场不一定是孤立正电荷产生的，B错误。电场线密的地方电场的场强大，电场线疏的地方电场的场强小，由题图可知，N点的场强大于M点的场强，粒子在N点的受力大于在M点的受力，所以粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度，C正确。电场力做正功，电荷的电势能减小，动能增加，所以粒子在M点的速度小于它在N点的速度，D错误。
3．(多选)如图所示，竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，两个带有同种电荷的小球A、B分别处于竖直墙面和水平地面，且处于同一竖直平面内，若用图示方向的水平推力F作用于小球B，则两球静止于图示位置，如果将小球B向左推动少许，并待两球重新达到平衡时，则两个小球的受力情况与原来相比( )
A．推力F将增大
B．竖直墙面对小球A的弹力减小
C．地面对小球B的弹力一定不变
D．两个小球之间的距离增大
答案 BCD
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解析 将A、B视为整体进行受力分析，在竖直方向只受重力和地面对整体的支持力FN(也是对B的支持力FN)，将B向左推动少许后，竖直方向受力不变，所以FN＝(mA＋mB)g为一定值，C正确；对B进行受力分析如图，由平衡条件可知FN＝mBg＋F斥cosθ，向左推B，θ减小，所以F斥减小，由库仑定律F斥＝k得：A、B间距离r增大，D正确；而F＝F斥sinθ，θ减小，F斥减小，所以推力F减小，故A错误；将A、B视为整体时，F＝FNA，所以墙面对小球A的弹力FNA减小，B正确。
[考法综述] 本考点知识在高考中地位较高，单一命题考查库仑定律、电场的叠加原理，交汇命题以物体的平衡、牛顿第二定律和功能关系为载体考查电场力的性质，难度中等，因此复习本考点时应以夯实基础知识为主，通过复习应掌握：
2个概念——电场、电场强度
2个定律——电荷守恒定律、库仑定律
1个规律——电荷分配规律
1个原理——电场的叠加原理
3个表达式——E＝、E＝、E＝的区别
4种典型电场的电场线——正电荷、负电荷、等量同种电荷、等量异种电荷
命题法1 库仑力作用下的平衡问题
典例1 (多选)如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为θ。一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行。小球A的质量为m、电荷量为q。小球A的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B，两球心的高度相同、间距为d。静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球可视为点电荷。小球A静止在斜面上，则( )
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A．小球A与B之间库仑力的大小为
B．当＝ 时，细线上的拉力为0
C．当＝ 时，细线上的拉力为0
D．当＝ 时，斜面对小球A的支持力为0
[答案] AC
[解析] 由库仑定律知A与B之间库仑力大小为F＝，选项A正确；如果细线上的拉力为0，则小球所受重力mg、支持力FN、库仑力F三个力的合力为零而处于静止状态，三力可构成一封闭三角形，如图，由图中几何关系有F＝＝mgtanθ，解得＝ ，选项B错误、C正确；斜面对小球A的支持力不可能为零，选项D错误。
【解题法】 分析点电荷平衡问题的方法步骤
点电荷的平衡问题的分析方法与纯力学平衡问题的分析方法是相同的，只是在原来受力的基础上多了一个电场力。具体步骤如下：
―→“整体法”或“隔离法”
↓
―→多了个电场力(F＝或F＝qE)
↓
―→F合＝0或Fx＝0、Fy＝0
命题法2 电场强度
典例2 如图，真空中xOy平面直角坐标系上的A、B、C三点构成等边三角形，边长
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L＝2.0 m。若将电荷量均为q＝＋2.0×10－6 C的两点电荷分别固定在A、B点，已知静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2。求：
(1)两点电荷间的库仑力大小；
(2)C点的电场强度的大小和方向。
[答案] (1)9.0×10－3 N (2)7.8×103 N/C 方向沿y轴正方向
[解析] (1)根据库仑定律，A、B两点电荷间的库仑力的大小为F＝k，代入数据得F＝9.0×10－3 N。
(2)A、B两点电荷在C点产生的场强大小相等，均为E1＝k。
A、B两点电荷形成的电场在C点的合场强大小为E合＝2E1cos30°。
代入数据得E合＝7.8×103 N/C，
方向沿y轴正方向。
【解题法】 电场强度叠加问题的求解思路
场的叠加是一种解决问题的方法，相当于等效替代。该点的实际场强等于几个电荷单独存在时产生的电场强度的矢量和。同一直线上的场强的叠加，可简化为代数运算；不在同一直线上的两个场强的叠加，用平行四边形定则求合场强。分析电场叠加问题的一般步骤是：
(1)确定分析计算的空间位置；
(2)分析该处有几个分电场，先计算出各个分电场在该点的电场强度的大小和方向；
(3)依次利用平行四边形定则求出矢量和。
命题法3 电场线的理解与应用
典例3 静电除尘器是目前普遍采用的一种高效除尘器，某除尘器模型的收尘板是很长的条形金属板，图中直线ab为该收尘板的横截面。工作时收尘板带正电，其左侧的电场线分布如图所示；粉尘带负电，在电场力作用下向收尘板运动，最后落在收尘板上。若用粗黑曲线表示原来静止于P点的带电粉尘颗粒的运动轨迹，下列四幅图中可能正确的是(忽略重力和空气阻力)( )
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[答案] A
[解析] 粉尘受力方向应该是电场线的切线方向，从静止开始运动时，带电粉尘颗粒一定做曲线运动，且运动曲线总是向电场力一侧弯曲，由于惯性只能是A图那样，不可能偏向同一电场线内侧或沿电场线运动或振动，故不可能出现B、C、D图的情况。
【解题法】 电场线与带电粒子运动轨迹的关系
一般情况下带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足以下三个条件时，两者才会重合：
(1)电场线为直线；
(2)电荷初速度为零或速度方向与电场线平行；
(3)电荷仅受电场力或所受其他力合力的方向始终与电场力方向相同或相反。
命题法4 带电体力电综合问题
典例4 如图所示，有一水平向左的匀强电场，电场强度E＝1.25×104 N/C，一根长L＝1.5 m、与水平方向的夹角θ＝37°的光滑绝缘细直杆MN固定在电场中，杆的下端M固定一个带电小球A，电荷量Q＝＋4.5×10－6 C；另一带电小球B穿在杆上可自由滑动，电荷量q＝＋1.0×10－6 C，质量m＝1.0×10－2 kg。现将小球B从杆的上端N由静止释放，小球B开始运动(静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)。求：
(1)小球B开始运动时的加速度a为多大？
(2)小球B的速度最大时，与M端的距离r为多大？
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[答案] (1)3.2 m/s2 (2)0.9 m
[解析] (1)如图所示，开始运动时小球B受重力mg、库仑力F、杆的弹力FN和匀强电场的电场力qE作用，沿杆方向运动，由牛顿第二定律得
mgsinθ－－qEcosθ＝ma
解得a＝gsinθ－－
代入数据解得a＝3.2 m/s2
(2)当小球B所受合力为零时其速度最大，设此时A、B球的距离为r，则有mgsinθ－－qEcosθ＝0
解得r＝
代入数据解得r＝0.9 m
【解题法】 解决力电综合问题的一般思路
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