专题十四 机械振动、机械波、光学、电磁波、相对论
考纲展示 命题探究
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基础点
知识点1 简谐运动 单摆、单摆的周期公式
1．简谐运动
(1)定义：物体在跟位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
(3)回复力
①定义：使物体返回到平衡位置的力。
②方向：总是指向平衡位置。
③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
(4)简谐运动的特征
①动力学特征：F回＝－kx。
②运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)。
③能量特征：系统的机械能守恒，振幅A不变。
2．描述简谐运动的物理量
物理量
定义
意义
位移
由平衡位置指向质点所在位置的有向线段
描述质点振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移
振幅
振动物体离开平衡位置的最大距离
描述振动的强弱和能量
周期
振动物体完成一次全振动所需时间
描述振动的快慢，两者互为倒数：T＝
频率
振动物体单位时间内完成全振动的次数
相位
ωt＋φ
描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态
3.简谐运动的两种模型
模型
弹簧振子
单摆
示意图
简谐运
(1)弹簧质量可忽略
(1)摆线为不可伸缩的轻细线
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动条件
(2)无摩擦等阻力
(3)在弹簧弹性限度内
(2)无空气阻力
(3)最大摆角很小
续表
模型
弹簧振子
单摆
回复力
弹簧的弹力提供
摆球重力沿圆弧切线方向的分力
平衡位置
弹簧处于原长处
最低点
周期
与振幅无关
T＝2π
能量转化
弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒
重力势能与动能的相互转化，机械能守恒
知识点2 简谐运动的公式和图象
1．简谐运动的表达式
(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，(ωt＋φ)代表简谐运动的相位，φ叫做初相。
2．简谐运动的图象
(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asinωt，图象如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acosωt，图象如图乙所示。
知识点3 受迫振动和共振
1．三种振动形式的比较
振动类型
比较项目
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
周期性驱动力作用
周期性驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
2．受迫振动中系统能量的变化：受迫振动系统机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
重难点
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一、对简谐运动的理解
1．特点：简谐运动是质点在回复力作用下的运动。
(1)动力学特点：F＝－kx，负号表示回复力方向跟位移方向相反，k表示回复力与位移的比例常数。
(2)运动学特点：简谐运动是变加速运动，运动物体的位移、速度、加速度的变化具有周期性和对称性。
2．位移：从平衡位置指向振动物体所在位置的有向线段。位移的表示方法是以平衡位置为坐标原点，以振动物体所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某一时刻振动物体(偏离平衡位置)的位移用该时刻振动物体所在的位置坐标来表示。振动物体通过平衡位置时，位移改变方向。
3．速度：描述振动物体在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴上，速度的正负号表示振动物体的运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。应明确速度和位移是彼此独立的物理量，如振动物体通过同一位置时，它的位移方向是一定的，但速度方向有两种可能，即指向或背离平衡位置。振动物体在最大位移处时速度为零，在平衡位置时速度最大，振动物体在最大位移处时速度将改变方向。
4．加速度：根据牛顿第二定律，做简谐运动的物体的加速度a＝－x。由此可知，振动物体加速度的大小跟位移成正比且方向相反。振动物体在最大位移处时加速度最大，通过平衡位置时加速度为零，此时，加速度将改变方向。
5．动能和势能：质量一定的物体，其动能的大小取决于速度的大小，因此，振动物体的动能大小与位移大小的变化情况相反，与速度大小的变化情况相同。振动物体的势能随位移的增大而增大，随位移的减小而减小。
特别提醒
在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性的转化。从平衡位置向最大位移处运动，动能逐渐减小，势能逐渐增大；从最大位移向平衡位置运动的过程中，正好相反，动能逐渐增大，势能逐渐减小。
二、简谐运动的特征
1．受力特征：简谐运动的回复力满足F＝－kx，位移x与回复力的方向相反。由牛顿第二定律知，加速度a与位移的大小成正比，方向相反。
2．运动特征：当v、a同向(即v、F同向，也就是v、x反向)时，v一定增大；当v、a反向(即v、F反向，也就是v、x同向)时，v一定减小。当物体靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；当物体远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小。
3．能量特征：对单摆和弹簧振子来说，振幅越大，能量越大，在振动过程中，动能和势能相互转化，机械能守恒。
4．周期性特征：物体做简谐运动时，其位移、回复力、加速度、速度、动量等矢量都随时间做周期性的变化，它们的周期就是简谐运动的周期T。物体的动能和势能也随时间做周期性的变化，其周期为。
5．对称性特征
(1)速率的对称性：物体在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率。
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(2)时间的对称性：物体通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等。在振动过程中，物体通过任意两点A、B间的位移的时间与逆向通过这两点间的位移的时间相等。
(3)加速度的对称性：物体在关于平衡位置对称的两位置具有等大、反向的加速度。
特别提醒
(1)做简谐运动的物体经过平衡位置时，回复力一定为零，但所受合外力不一定为零。
(2)由于简谐运动具有周期性和对称性，因此涉及简谐运动时往往出现多解，分析时应特别注意。位移相同时回复力、加速度、动能和势能等可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不能确定。
三、对简谐运动图象的考查
1．可以确定振动物体在任一时刻的位移。从而知道位移x随时间t的变化情况。如图中，对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝＋7 cm，x2＝－5 cm。
2．确定振动的振幅。图象中离开平衡位置的最大距离的值就是振幅，如图表示振动的振幅是10 cm。
3．确定振动的周期和频率。振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期。由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期，T＝0.2 s，频率f＝＝5 Hz。
4．确定质点的振动方向。例如图中的t1时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动。
5．确定质点的速度方向，比较速度大小。用做曲线上某点切线的方法可确定各时刻质点的速度大小和方向。切线斜率为正则速度为正、斜率为负则速度为负。斜率的绝对值越大速度越大。也可以根据位移情况来判断速度的大小，因为质点离平衡位置越近，质点速度越大，而最大位移处，质点速度为零。根据位移变化趋势判定速度方向，若正位移增大，速度为正方向，若正位移减小，速度为负方向；反之，若负位移增大，速度为负方向，若负位移减小，速度为正方向。如图中t2时刻质点速度为负方向。
6．比较各时刻质点加速度的大小和方向。由于a＝－，故可以根据图象上各个时刻的位移变化情况确定质点加速度的变化情况。例如在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1|>|x2|，所以|a1|>|a2|。
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特别提醒
图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹。
四、简谐运动的判定方法
1．物体做简谐运动的特点
(1)振动图象是正弦(或余弦)曲线。
(2)回复力满足F＝－kx。
(3)在运动过程中的任意位置，系统的机械能守恒。
2．简谐运动的判断方法
根据简谐运动的特点，判断物体的运动是否是简谐运动。首先要确定运动物体的平衡位置，然后在物体离平衡位置为x处分析出回复力，最后根据简谐运动中回复力的特点进行判定。
3．利用F＝－kx判断振动是否是简谐运动的步骤
(1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系。
(2)在振动过程中任选一位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析。
(3)将力沿振动方向分解，求出振动方向上的合力。
(4)判定振动方向上的合力与位移是否符合F＝－kx关系即可。
五、探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度
1．实验原理：由单摆的周期公式T＝2π，可得出g＝l，测出单摆的摆长l和振动周期T，就可求出当地的重力加速度g。
2．实验器材：单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。
3．实验步骤
(1)做单摆：取约1 m长的细丝线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂，如图所示。
(2)测摆长：用毫米刻度尺量出摆线长L(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D
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，则单摆的摆长l＝L＋。
(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30～50次的总时间，算出平均每摆动一次的时间，即为单摆的振动周期。
(4)改变摆长，重做几次实验。
(5)数据处理的两种方法
方法一：计算法。
根据公式T＝2π，g＝。将测得的几次周期T和摆长l代入公式g＝中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为当地的重力加速度的值。
方法二：图象法。
由单摆的周期公式T＝2π可得l＝T2，因此以摆长l为纵轴，以T2为横轴作出的lT2图象是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可求出g值。g＝4π2k，k＝＝。
4．注意事项
(1)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。
(2)单摆必须在同一平面内振动，且偏角小于5°。
(3)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。
(4)小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长L，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝L＋r。
(5)选用一米左右的细线。
1．思维辨析
(1)简谐运动是匀变速运动。( )
(2)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。( )
(3)振幅等于振子运动轨迹的长度。( )
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(4)简谐运动的回复力可以是恒力。( )
(5)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。( )
(6)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。( )
(7)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。( )
(8)简谐运动的图象描述的是振动质点的轨迹。( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)× (7)√ (8)×
2．(多选)如图所示是一个单摆做受迫振动时的共振曲线，表示振幅A与驱动力的频率f的关系。下列说法正确的是( )
A．摆长约为10 cm
B．摆长约为1 m
C．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向右移动
D．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向左移动
答案 BD
解析 根据图象可看出单摆的固有频率为0.5 Hz，即周期为2 s。根据周期公式很容易算出摆长约为1 m，故A错误，B正确；若增大摆长，单摆周期将变长，固有频率变小，所以共振曲线的“峰”将向左移动，C错误，D正确。
3．一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin2.5πt，位移y的单位为m，时间t的单位为s。则( )
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零
D．在任意0.2 s时间内，振子的位移均为0.1 m
答案 C
解析 根据弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin2.5πt，弹簧振子的振幅为0.1 m，选项A错误；由2.5π＝可得弹簧振子的周期为T＝0.8 s，选项B错误；在t＝0.2 s时，振子的位移最大，运动速度为零，选项C正确；在任意0.2
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s时间，位移可能大于0.1 m，小于0.1 m，也可能等于0.1 m。
[考法综述] 本考点是机械振动的基础，单独命题考查简谐运动的表达式和图象、单摆及其公式的应用，难度较低，交汇命题考查波动图象和振动图象，难度中等，因此复习本考点时仍以夯实基础为主，通过复习应掌握：
7个概念——简谐运动、回复力、平衡位置、振幅、周期、受迫振动、共振等
2个模型——弹簧振子和单摆
1个图象——简谐运动的图象
1个公式——单摆的周期公式T＝2π
1个条件——产生共振的条件：固有频率与驱动力的频率相等
命题法1 对简谐振动的理解
典例1 (多选)一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点。t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s时刻x＝0.1 m；t＝4 s时刻x＝0.1 m。该振子的振幅和周期可能为( )
A．0.1 m， s B．0.1 m,8 s
C．0.2 m， s D．0.2 m,8 s
[答案] ACD
[解析] 由于ω＝，若T＝ s，A＝0.1 m，t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m，则振动方程为x＝－0.1cost。t＝ s时刻x＝0.1 m，t＝4 s时刻x＝0.1 m，满足题设条件，A正确；若T＝8 s，A＝0.1 m，t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m，则振动方程为x＝－0.1cost，t＝ s时刻x＝－0.05 m，t＝4 s时刻x＝－0.1 m，与题设条件不符，B错误；若T＝ s，A＝0.2 m，t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m，则振动方程为x＝0.2sin或x＝0.2sin－，t＝ s时刻x＝0.1 m，t＝4 s时刻x＝0.1 m，满足题设条件，C正确；若T＝8 s，A＝0.2 m，t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m，则振动方程为x＝0.2sin或x＝0.2sin，t＝ s时刻x＝0.1 m，t＝4 s时刻x＝0.1 m，满足题设条件，D正确。
【解题法】 分析简谐运动的技巧
(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。
(2)注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。
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(3)求解简谐运动问题的有效方法就是紧紧抓住一个模型——水平方向振动的弹簧振子，熟练掌握振子的振动过程以及振子振动过程中各物理量的变化规律，看到振动图象，头脑中立即呈现出一幅弹簧振子振动的图景，再把问题一一对应、分析求解。
命题法2 对简谐振动图象的理解与运用
典例2 一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点。从某时刻开始计时，经过四分之一的周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度。能正确反映振子位移x与时间t关系的图象是( )
[答案] A
[解析] 由振子在t＝时刻的加速度特点可推知该时刻的位移特点。思维流程如下：
故t＝时刻振子的位置如图中A点，图中O点为振动的平衡位置，A正确。
【解题法】 简谐运动图象的应用技巧
(1)由简谐运动图象判断振动方向的方法
振动方向可根据下一时刻位移的变化来判定：下一时刻位移若增大，则质点的振动方向远离平衡位置；下一时刻位移若减小，则质点的振动方向指向平衡位置。
(2)振动速度的判断方法
任一时刻图线上某点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小，正、负表示速度的方向，为正时沿x轴正方向，为负时沿x轴负方向。
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命题法3 单摆运动
典例3 一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k。设地球的半径为R。假定地球的密度均匀。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d。
[答案] (1－k2)R
[解析] 根据万有引力定律，地面处质量为m的物体的重力mg＝G
式中g是地面处的重力加速度，M是地球的质量，设ρ是地球的密度，则有M＝πρR3
摆长为l的单摆在地面处的摆动周期T＝2π
若该物体位于矿井底部，则其重力mg′＝G
式中g′是矿井底部的重力加速度，且
M′＝πρ(R－d)3
在矿井底部此单摆的周期T′＝2π
由题意得T＝kT′
联立以上各式得d＝(1－k2)R
【解题法】 对周期公式：T＝2π的三点认识
(1)只要测出单摆的摆长l和周期T，就可以根据g＝，求出当地的重力加速度g。
(2)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离，要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在圆弧的圆心。
(3)g为当地的重力加速度。
命题法4 受迫振动、共振
典例4 如图所示的装置，弹簧振子的固有频率是4 Hz。现匀速转动把手，给弹簧振子以周期性的驱动力，测得弹簧振子振动达到稳定时的频率为1 Hz，则把手转动的频率为( )
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A．1 Hz
B．3 Hz
C．4 Hz
D．5 Hz
[答案] A
[解析] 因把手每转动一周，驱动力完成一次周期性变化，即把手转动频率等于驱动力的频率。弹簧振子做受迫振动，受迫振动物体的频率等于驱动力的频率，与振动系统的固有频率无关，所以A正确。
【解题法】 对共振曲线的理解
如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大，此时达到共振。
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