1.3组合
1.3组合
组合数公式组合数性质进行运算
第三课时
教学目标
知识与技能:掌握组合数公式,组合数性质,运用组合数公式组合数性质进行运算。
过程与方法:能运用组合概念分析简单的实际实际问题,提高分析问题的能力。
情感、态度与价值观:许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施,尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时,可考虑换位思考将其等价转化,使问题变得简单、明朗。
教学重点
教学难点
运用组合概念分析简单的实际实际问题
换位思考将其等价转化,使问题变得简单、明朗。
教具准备:与教材内容相关的资料。
教学设想:运用组合概念分析简单的实际实际问题,提高分析问题的能力。
教学过程:
学生探究过程:回顾如下知识点
组合的定义
组合数公式
组合数性质
1:
2:
3:
4:
例2 平面内有12个点,任何3点不在同一直线上,以每3点为顶点画一个三角形,一共可画多少个三角形?
3
变式
1. 从9名学生中选出3人做值日,有多少种不同的选法?
2. 有5 本不同的书,某人要从中借2本,有多少种不同的借法?
例3 有13个队参加篮球赛,比赛时先分成两组,第一组7个队,第二组6个队.各组都进行单循环赛(即每队都要与本组其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共4个队进行单循环赛决出冠军、亚军,共需要比赛多少场?
例4 在产品检验时,常从产品中抽出一部分进行检查.现在从100件产品中任意抽出3件:
(1)一共有多少种不同的抽法?
(2)如果100件产品中有2件次品,抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
(3)如果100件产品中有2件次品,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
说明:“至少”“至多”的问题,通常用分类法或间接法求解。
变式:按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法?
(1)甲、乙、丙三人必须当选; (2)甲、乙、丙三人不能当选;
(3)甲必须当选,乙、丙不能当选; (4)甲、乙、丙三人只有一人当选;
(5)甲、乙、丙三人至多2人当选; (6)甲、乙、丙三人至少1人当选;
例5:6本不同的书全部送给5人,每人至少一本,有几种不同的送书方法?
分析:这是一个常见的排列组合混合题,对于这样的题目,解题思想:先组后排,“每人至少一本”的含义是“必然有1人得2本
所以,要分两步
变式1: 6本不同的书全部送给5人,有几种不同的送书方法?
变式2: 5本不同的书全部送给6人,每人最多1本,有几种不同的送书方法?
变式3: 5本相同的书全部送给6人,每人最多1本,有几种不同的送书方法?
巩固练习:书本第24页1,2,3, 4
课外作业:第25页 习题1.3 7,8,9
教学反思:
教科书在研究组合数的两个性质①,②时,给出了组合数定义的解释证明,即构造一个组合问题的模型,把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法,由组合个数相等证出要证明的组合等式。这种构造法证明构思精巧,把枯燥的公式还原为有趣的实例,能极大地激发学习兴趣。本文试给几例以说明。
证明:。
证明:原式左端可看成一个班有个同学,从中选出个同学组成兴趣小组,在选出的个同学中,个同学参加数学兴趣小组,余下的个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在个同学中选出个同学参加数学兴趣小组,在余下的个同学中选出
3
个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然,两种选法是一致的,故左边=右边,等式成立。
证明:…(其中)。
证明:设某班有个男同学、个女同学,从中选出个同学组成兴趣小组,可分为类:男同学0个,1个,…,个,则女同学分别为个,个,…,0个,共有选法数为…。又由组合定义知选法数为,故等式成立。
证明:…。
证明:左边=…=…,
其中可表示先在个元素里选个,再从个元素里选一个的组合数。设某班有个同学,选出若干人(至少1人)组成兴趣小组,并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数分类(…),则选法总数即为原式左边。现换一种选法,先选组长,有种选法,再决定剩下的人是否参加,每人都有两种可能,所以组员的选法有种,所以选法总数为种。显然,两种选法是一致的,故左边=右边,等式成立。
证明:…。
证明:由于可表示先在个元素里选个,再从个元素里选两个(可重复)的组合数,所以原式左端可看成在例3指定一人为组长基础上,再指定一人为副组长(可兼职)的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人,则有种选法;若组长和副组长不是同一个人,则有种选法。∴共有+种选法。显然,两种选法是一致的,故左边=右边,等式成立。
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