计数应用题
教学目标
（1）掌握排列组合一些常见的题型及解题方法，能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题；
（2）提高合理选用知识解决问题的能力．
教学重点，难点
排列、组合综合问题．
教学过程
一．数学运用
1．例题：
例1．2名女生，4名男生排成一排．
（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？
（2）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？
（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？
解：（1）“捆绑法”：将2名女生看成一个元素，与4名男生共5个元素排成一排，共有种排法，又因为2名相邻女生有种排法，因此不同的排法种数是．
（2）方法一：（插空法）
分两步完成：
第一步，将4名男生排成一排，有种排法；
第二步，排2名女生．由于2名女生不相邻，故可在4名男生之间及两端的5个位置中选出2个排2名女生，有种排法．
根据分步计数原理，不同的排法种数是种．
方法二：（间接法）
因为2名女生的排法只有相邻与不相邻两种情况，所以由（1）的结果可知，2名女生不相邻的不同排法共有种．
（3）方法一：（特殊元素优先考虑）
分2步完成：
第一步，排2名女生．由于女生顺序已定，故可从6个位置中选出2个位置，即；
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第二步，排4名男生．将4名男生排在剩下的4个位置上，有种方法．
根据分步计数原理，不同的排法种数是．
方法二：（除法）
如果将6名学生全排列，共有种排法．其中，在男生位置确定之后，女生的排法数有种，因为女生的顺序已定，所以在这中排法中，只有一种符合要求，
故符合要求的排法数为种．
例2．高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中 3名男生，2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？
解：完成这件事分三步进行：
第一步，从30名男生中选3名男生，有种方法；
第二步，从20名男生中选2名男生，有种方法；
第一步，将选出的5名学生进行分工，即全排列，有种方法．
根据分步计数原理，共有种选法．
答：共有92568000种不同的选法．
思考：如果上述问题解答分两步：先从30名男生中选3名担任3种不同职务，再从20名女生中选2名女生担任不同职务，则结果为，这样做对吗？为什么？（从30名男生中选3名担任3种不同职务的方法数应为）
说明：排列、组合综合问题通常遵循“先组合后排列”的原则．
例3．某考生打算从所重点大学中选所填在第一档次的个志愿栏内，其中校定为第一志愿；再从所一般大学中选所填在第二档次的三个志愿栏内，其中、两校必选，且在前．问：此考生共有多少种不同的填表方法？
解：先填第一档次的三个志愿栏：因
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校定为第一档次的第一志愿，故第一档次的二、三志愿有种填法；再填第二档次的三个志愿栏：、两校有种填法，剩余的一个志愿栏有种填法．由分步计数原理知，此考生不同的填表方法共有（种）．
例4．有只不同的试验产品，其中有只次品，只正品，现每次取一只测试，直到只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？
解：本题的实质是，前五次测试中有只正品，只次品，且第五次测试的是次品．
思路一：设想有五个位置，先从只正品中任选只，放在前四个位置的任一个上，有种方法；再把只次品在剩下的四个位置上任意排列，有种排法．故不同的情形共有种．
五．回顾小结：
（1）解决有关计数的应用题时，要仔细分析事件的发生、发展过程，弄清问题究竟是排列问题还是组合问题，还是应直接利用分类计数原理或分步计数原理解决．一个较复杂的问题往往是分类与分步交织在一起，要准确分清，容易产生的错误是遗漏和重复计数；
（2）解决计数问题的常用策略有：（1）特殊元素优先安排；（2）排列组合混合题要先选（组合）后排；（3）相邻问题捆绑处理（先整体后局部）；（4）不相邻问题插空处理；（5）顺序一定问题除法处理；（6）正难则反，合理转化．
六．课外作业：
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