计数应用题
教学目标
（1）对排列组合的知识有一个系统的了解，从而进一步掌握；
（2）能运用排列组合概念及两个原理解决排列组合的综合题；
（3）提高合理选用知识分析问题、解决问题的能力．
教学重点，难点
排列、组合综合问题．
教学过程
一．数学运用
1．例题：
例1．从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的有多少个？
解：方法一：（直接法）
满足条件的五位数有两类：
第一类：万位数大于1，这样的五位数共有个；
第二类：万位数为1，千位数不小于3，这样的五位数共有个．
根据分类计数原理，大于13000的五位数共有个．
方法二：（间接法）
由0，1，2，…，9这10个数字中不同的5个数字组成的五位数共有个，其中不大于13000的五位数的万位数都是1，且千位数小于3，这样的数共有个，
所以，满足条件的五位数共有个．
例2．九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？
解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有种方法；
②若不取6，则有种方法，
根据分类计数原理，一共有+＝602种方法．
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例3．如图是由12个小正方形组成的矩形网格，一质点沿网格线从点到点的不同路径之中，最短路径有 条．
解： 总揽全局：把质点沿网格线从点A到点的最
短路径分为七步，
其中四步向右，三步向上，不同走法的区别在于哪三步向上，
因此，本题的结论是：．
例4．圆周上有个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是多少？
解：要使交点个数最多，则只需所有的交点都不重合。显然，并不是每两条弦都在圆内有交点，但如果两条弦相交，则交点就是以这两条弦的四个端点为顶点的四边形的对角线的交点，也就是说，弦在圆内的交点与以圆上四点为顶点的四边形是一一对应的。
因此只需求以圆上四点为顶点的四边形的个数，即个。
例5．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
（2）分为三份，每份2本；
（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；
（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本．
解：（1）根据分步计数原理得到：种；
（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法．根据分步计数原理可得：，所以．
因此，分为三份，每份两本一共有15种方法．
说明：本题是分组中的“均匀分组”问题．
一般地，将个元素均匀分成组（每组个元素），共有 种方法．
（3）这是“不均匀分组”问题，一共有种方法．
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（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有种方法．
（5）可以分为三类情况：①“2、2、2型”即（1）中的情况，有种方法；
②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有种方法；③“1、1、4型”，有种方法，
所以，一共有90+360+90＝540种方法．
五．回顾小结：
（1）按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法；
（2）需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组合问题，如：将个人分成 组，每组一个人，显然只有种分法，而不是种 ．一般地，将个不同元素均匀分成组，有种分法．
六．课外作业：
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