§2.5.2离散型随机变量的方差和标准差（一）
教学目标
1．理解随机变量的方差和标准差的含义；
2．会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．
教学重点：理解离散型随机变量的方差、标准差的意义
教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
教学过程
一、自学导航
1．复习：
⑴离散型随机变量的数学期望
X
…
P
…
，
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
⑵特殊的分布的数学期望
若X~0-1分布 则E(X) ＝p；
若X~B(n,p) 则E(X)＝np；
若X~H(n,M,N) 则E(X)＝
2．思考：
甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产件产品所出的不合格品数分别用表示，的概率分布如下．如何比较甲、乙两个工人的技术？
5
0
1
2
3
0.6
0.2
0.1
0.1
0
1
2
3
0.5
0.3
0.2
0
3．学生活动
我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？
二、探究新知
1．一般地，若离散型随机变量的概率分布如表所示：
X
…
P
…
则描述了相对于均值的偏离程度，
故，
（其中）
刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量的方差，记为或．
2．方差的意义:方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度的量.如果V(X) 值大, 表示X 取值分散程度大, EX 的代表性差;而如果 V(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中,以 EX 作为随机变量的代表性好.
3．方差公式也可用公式计算．
4．随机变量的方差也称为的概率分布的方差，的方差的算术平方根称为
5
的标准差，即．
思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？
三、例题精讲
X
0
1
P
1-p
p
例1 若随机变量的分布如表所示：
求方差和标准差．
解：因为，所以
，
例2 求第节例1中超几何分布的方差和标准差．
解：第节例1中超几何分布如表所示：
X
0
1
2
3
4
5
P
数学期望，由公式有
故标准差 ．
例3 求第节例2中的二项分布的方差和标准差．
解： ，则该分布如表所示：
0
1
2
3
4
5
5
6
7
8
9
10
由第节例2知，由得
故标准差．
说明：一般地，由定义可求出超几何分布和二项分布的方差的计算公式：
当时，，
当时，．
当X~0—1分布时，
例4 有甲、乙两名学生，经统计，他们字解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：
甲
分数X甲
80
90
100
乙
分数X乙
80
90
100
概率
0.2
0.6
0.2
概率
0.4
0.2
0.4
试分析两名学生的答题成绩水平．
解：由题设所给分布列数据，求得两人的均值如下：
，
方差如下：
由上面数据可知，
5
这表明，甲、乙两人所得分数的平均分相等，但两人得分的稳定程度不同，甲同学成绩较稳定，乙同学成绩波动大．
四、课堂精练
(1)课本
(2)设X～B( n, p )，如果E（X）= 12，V（X）= 4，求n, p
(3)设X是一个离散型随机变量，其分布列如下：求q值，并求E（X），V（X） .
X
-1
0
1
P
0.5
1-2q
q2
⑷甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量
大致相等，而两个野生动物保护区每个季度发生违反保护条例的事件次数
的分布如表，试评定这两个保护区的管理水平.
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
(甲) (乙)
五、回顾小结
1．离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义；
2．离散型随机变量的方差和标准差的计算方法；
3．超几何分布和二项分布的方差和标准差的计算方法．
六、拓展延伸
书本P71 探究拓展题
七、课后作业 2，3，4
八、教学后记
5
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