高中数学 2.5 随机变量的均值和方差（第1课时）教案 苏教版选修2-3.doc

‎2．5.1　离散型随机变量的均值 课时目标1.通过实例，理解取有限值的离散型随机变量的均值(数学期望)的概念和意义.2.能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望)，并能解决一些实际问题．‎ ‎1．离散型随机变量X的均值或数学期望 若离散型随机变量X的概率分布列为P(X＝xi)＝pi，则称________________________为离散型随机变量X的均值(或数学期望)，记为E(X)或μ.‎ ‎2．特殊分布的数学期望 ‎(1)若随机变量X～0－1分布，则E(X)＝________；‎ ‎(2)若随机变量X～H(n，M，N)，则E(X)＝；‎ ‎(3)若随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝________.‎ 一、填空题 ‎1．设随机变量ξ的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，则E(X)的值为________．‎ ‎2．已知随机变量X的概率分布表是：‎ X ‎4‎ a ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.3‎ ‎0.1‎ b ‎0.2‎ ‎，E(X)＝7.5，则a＝________.‎ ‎3．已知随机变量ξ的概率分布表为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 则η＝2ξ＋3，则E(η)＝________.‎ ‎4．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望是________．‎ ‎5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则ξ的数学期望为______．‎ ‎6．随机变量ξ的概率分布由下表给出：‎ ξ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.3‎ ‎0.35‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ 则随机变量ξ的均值是________．‎ ‎7．某射手射击所得环数ξ的概率分布表如下：‎ ξ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P x ‎0.1‎ ‎0.3‎ y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．‎ ‎8．某渔业公司要对下月是否出海做出决策，若出海后遇到好天气，则可得收益60 000元，若出海后天气变坏，则将损失80 000元，若不出海，则无论天气好坏都将损失10 000元，据气象部门的预测，下月好天气的概率为60%，坏天气的概率为40%，该公司应做出决策________(填“出海”或“不出海”)．‎ 5‎ 二、解答题 ‎9．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示，据统计，随机变量X的概率分布如下表：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎2a a ‎(1)求a的值和X的数学期望；‎ ‎(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．‎ ‎10．袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机地取出4只球．设取到1只红球得2分，取到1只黑球得1分，试求得分X的分布列和均值．‎ 能力提升 ‎11．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．‎ ‎12．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.‎ ‎(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；‎ ‎(2)设ξ＝m2，求ξ的概率分布表及其数学期望E(ξ)．‎ ‎1．求均值的关键是求出分布列，只要求出随机变量的分布列，就可以套用均值的公式求解，对于aX＋b型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解．‎ ‎2．三种特殊分布的数学期望可直接结合公式计算．‎ 5‎ ‎2．5　随机变量的均值和方差 ‎2．5.1　离散型随机变量的均值 答案 知识梳理 ‎1．x1p1＋x2p2＋…＋xnpn ‎2．(1)p　(3)np 作业设计 ‎1．2.5‎ 解析　E(X)＝1×＋2×＋3×＋4× ‎＝×10＝2.5.‎ ‎2．7‎ 解析　∵E(X)＝4×0.3＋0.1×a＋9b＋2＝7.5，‎ ‎0．3＋0.1＋b＋0.2＝1，‎ ‎∴a＝7，b＝0.4.‎ ‎3. 解析　E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝，‎ 又∵η＝2ξ＋3，‎ ‎∴E(η)＝2E(ξ)＋3＝2×＋3＝.‎ ‎4. 解析　由题意知ξ～B(2，)，∴E(ξ)＝2×＝.‎ ‎5．1‎ 解析　方法一　ξ可能取的值为0,1,2，P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2，所以ξ的概率分布为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.‎ 方法二　ξ～H(3,2,6)，E(ξ)＝＝1.‎ ‎6．8.2‎ 解析　E(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.‎ ‎7．0.4‎ 解析　∵E(ξ)＝7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝7×(0.6－y)＋10y＋3.5＝7.7＋3y，∴7.7＋3y＝8.9，∴y＝0.4.‎ ‎8．出海 解析　设ξ为公司出海的获利，则ξ的分布列为 ξ ‎60 000‎ ‎－80 000‎ 5‎ P ‎0.6‎ ‎0.4‎ 所以获利期望E(ξ)＝36 000－32 000＝4 000>－10 000，所以应出海．‎ ‎9．解　(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋‎2a＋a＝1，解得a＝0.2.‎ ‎∴X的概率分布表为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎∴E(X)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.‎ ‎(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”．‎ 则由事件的独立性得 P(A1)＝CP(X＝2)P(X＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，‎ P(A2)＝[P(X＝1)]2＝0.32＝0.09.‎ ‎∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.‎ 故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.‎ ‎10．解　直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的4只球颜色分布情况：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分．‎ 故P(X＝5)＝＝；‎ P(X＝6)＝＝；‎ P(X＝7)＝＝；‎ P(X＝8)＝＝.‎ 所以均值E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝.‎ ‎11．200‎ 解析　种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1 000，0.1)，∴E(ξ)＝1 000×0.1＝100，故需补种的期望为 E(X)＝2·E(ξ)＝200.‎ ‎12．解　(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，‎ 即S＝{x|－2≤x≤3}．‎ 由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，‎ ‎(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．‎ ‎(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，‎ 所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，‎ 且有P(ξ＝0)＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝4)＝＝，‎ P(ξ＝9)＝.‎ 故ξ的概率分布表为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ P 5‎ 所以E(ξ)＝0×＋1×＋4×＋9×＝.‎ 5‎