2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差(二)
课时目标1.进一步理解方差的概念，解决一些应用题.2.掌握几种特殊随机变量的方差．
1．特殊随机变量的方差
(1)若随机变量X～0－1分布，则V(X)＝________.
(2)若随机变量X～H(n，M，N)，则V(X)＝.
(3)当X～B(n，p)时，V(X)＝________.
2．若X是任意一个随机变量，且Y＝aX＋b，其中a、b为常数， 则Y也是随机变量，且E(Y)＝________，V(Y)＝________.
一、填空题
1．若X～B(n，p)，E(X)＝2.4，V(X)＝1.44，则P(X＝1)＝________.(用式子表示)
2．某射手每次射击命中目标的概率为，若现在连续射击3次，则击中次数X的方差为________．
3．某射手击中目标的概率为p，则他射击一次击中目标的次数X的期望是________，标准差是________．
4．已知随机变量ξ的方差V(ξ)＝4，且随机变量η＝2ξ＋5，则V(η)＝________.
5．甲、乙两人同时解一道数学题，每人解出此题的概率均为0.3.设X表示解出此题的人数，则E(X)＝________，V(X)＝________.
6．假定300名同学中有20名女同学，从中抽取了3人进行体检，抽到女同学的个数为X，则V(X)大约为________．
7．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为________．
8．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．
二、解答题
9．同寝室的四位同学分别写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X，求：
(1)随机变量X的概率分布表；
(2)X的数学期望和方差．
4
10．有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时的误差分别为X，Y(单位：s)，其概率分布表如下表，试比较两种品牌手表的质量．
X
－1
0
1
P
0.1
0.8
0.1
Y
－2
－1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
能力提升
11．已知离散型随机变量X的概率分布如下表：
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
若E(X)＝0，V(X)＝1，则a＝______，b＝________.
12．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位
月工资X1/元
1 200
1 400
1 600
1 800
获得相应职
位的概率P1
0.4
0.3
0.2
0.1
乙单位不同职位
月工资X2/元
1 000
1 400
1 800
2 200
获得相应职
位的概率P2
0.4
0.3
0.2
0.1
根据工资待遇差异情况，你愿意选择哪家单位？
1．对特殊随机变量的方差，可直接利用公式计算．
4
2．可以利用期望和方差对一些实际问题作出判断．
2．5.2 离散型随机变量的方差与标准差(二)
答案
知识梳理
1．(1)p(1－p) (3)np(1－p)
2．aE(X)＋b a2Y(X)
作业设计
1．C×0.4×0.65
解析 由已知得
∴n＝6，p＝0.4.
∴P(X＝1)＝C×0.4×0.65.
2.
解析 X～(3，)，∴V(X)＝3××＝.
3．p
4．16
5．0.6 0.42
6．0.123
解析 X～H(3,20,300)，则
V(X)＝≈0.123.
7．10,0.8
解析 因为ξ～B(n，p)，
所以解得
8. 5
解析 V(X)＝100p(1－p)＝100[]2
≤100×2＝25，故标准差≤5，
当且仅当p＝1－p，即p＝时，等号成立．
9．解 (1)随机变量X的可能取值为0,1,2,4，则P(X＝4)＝＝；P(X＝2)＝；
P(X＝1)＝；P(X＝0)＝.
因此X的概率分布表为
X
0
1
2
4
P
(2)E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1，
V(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝1.
10．解 E(X)＝－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1＝0(s)；
E(Y)＝－2×0.1－1×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0(s)，
所以E(X)＝E(Y)，所以由期望值难以判断质量的好坏．
又因为V(X)＝(－1－0)2×0.1＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.1＝0.2(s2)
4
V(Y)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2(s2)，
所以V(X)
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