2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差(一)
课时目标1.理解随机变量的方差和标准差的概念.2.会求随机变量的方差和标准差,并能解决一些实际问题.
1.离散型随机变量的方差
一般地,若离散型随机变量X的概率分布列为P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n),则________________________(其中pi≥0,i=1,2,…,n,p1+p2+…+pn=1)称为离散型随机变量X的方差,记为____________.
2.标准差
随机变量X的方差V(X)的____________称为X的标准差,即σ=.
3.随机变量的方差和标准差都反映了________________________________________.
一、填空题
1.若抛掷一枚受损硬币,正面向上的概率为,反面向上的概率为,随机变量X=0,X=1分别表示反面向上,正面向上,则V(X)=________.
2.若随机变量X的概率分布如下表所示,则X的标准差为________.
X
1
2
3
P
3.甲、乙两名射手在同一条件下进行射击,概率分布如下表,则________(填“甲”或“乙”)的射击水平比较稳定.
环数
10
9
8
甲的概率
0.2
0.6
0.2
乙的概率
0.4
0.2
0.4
4.某运动员投篮命中率p=0.6,则投篮一次命中次数X的均值为________,方差为________.
5.设在15个同类型的零件中有2个是次品,每次任取1个,共取3次,并且每次取出不再放回.若以ξ表示取出次品的个数,ξ的期望值E(ξ)和方差V(ξ)分别为______,________.
6.A,B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出次品的概率如下表所示:
A机床
次品数ξ
0
1
2
3
概率P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数ξ
0
1
2
3
概率P
0.8
0.06
0.04
0.1
5
质量好的机床为________机床.
7.假设100个产品中有10个次品,设任取5个产品中次品的个数为X,则X的方差为________.
8.一袋中装有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个,取出后记下颜色,若为红色则停止,若为白色则继续抽取.设停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X,则P(X≤)=________,E(X)=________,V(X)=________.
二、解答题
9.有甲、乙两名学生,经统计,他们解答同一份数学试卷时,各自的成绩在80分,90分,100分的概率分布大致如下表所示,试分析两名学生的答题成绩水平.
甲
分数X甲
80
90
100
概率
0.2
0.6
0.2
乙
分数X乙
80
90
100
概率
0.4
0.2
0.4
10.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出2个,求其中含红球个数的标准差.
5
能力提升
11.已知袋中有编号1,2,3,4,5的5个小球,从中任取3个小球,以X表示取出的3个小球中的最小编号,则V(X)=________.
12.甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或乙解出的概率为0.92,
(1)求该题被乙独立解出的概率;
(2)求解出该题的人数ξ的数学期望和方差.
1.求方差和标准差的关键在于求分布列.只要有了分布列,就可以依据定义求数学期望,进而求出方差、标准差,同时还要注意随机变量aX+b的方差可用V(aX+b)=a2V(X)求解.
2.利用方差和标准差可以判断一些数据的稳定性.
2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差(一)
答案
知识梳理
1.(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn V(X)或σ2
2.算术平方根
3.随机变量的取值偏离于均值的平均程度
作业设计
1.
解析 E(X)=1×+0×=,
∴V(X)=(0-)2×+(1-)2×=+==.
2.
3.甲
解析 E(X甲)=10×0.2+9×0.6+8×0.2=9,
∴V(X甲)=(10-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(8-9)2×0.2=0.4.
又E(X乙)=10×0.4+9×0.2+8×0.4=9,
∴V(X乙)=(10-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(8-9)2×0.4=0.8.
5
故甲的射击水平比较稳定.
4.0.6 0.24
解析 投篮一次时命中次数X服从两点分布:
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)=0×0.4+1×0.6=0.6,
∴V(X)=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24.
5.
解 P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,
故ξ的概率分布是
ξ
0
1
2
P
所以E(ξ)=0×+1×+2×=,
V(ξ)=2×+2×+2×=.
6.A
解析 E(ξA)=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,
E(ξB)=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.1
=0.44.
它们的期望相同,再比较它们的方差.
V(ξA)=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,
V(ξB)=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2×0.04+(3-0.44)2×0.1=0.9264.
因为V(ξA)