2.5 离散型随机变量的均值与方差
教学目标
（1）进一步理解均值与方差都是随机变量的数字特征，通过它们可以刻划总体水平；
（2）会求均值与方差，并能解决有关应用题．
教学重点，难点：会求均值与方差，并能解决有关应用题．
教学过程
一．问题情境
复习回顾：
1．离散型随机变量的均值、方差、标准差的概念和意义，以及计算公式．
2．练习
设随机变量，且，则 ， ；
答案：
二．数学运用
1．例题：
例1．有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为．（1）求随机变量的概率分布；（2）求的数学期望和方差．
解：（1）
，因此的分布列为
0
1
2
3
4
（2），
例2．有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时误差分别为（单位：），其分布列如下：
比较两种品牌手表的质量．
分析：期望与方差结合能解决实际应用中质量好坏、产品质量高低等问题．特别是期望相等时，可在看方差．本题只要分别求出两种品牌手表日走时误差的期望和方差，然后通过数值的大小进行比较．
3
解：，
所以 ，所以由期望值难以判断质量的好坏．
又因为
所以，可见乙的波动性大，甲的稳定性强，故甲的质量高于乙．
例3．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
（Ⅰ）求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）记“函数在区间上单调递增”为事件，求事件的概率.
分析：（2）这是二次函数在闭区间上的单调性问题，需考查对称轴相对闭区间的关系，就本题而言，只需即可．
解：（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点” 为事件． 由已知相互独立，.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3．
1
3
所以的分布列为
（Ⅱ）解法一：因为所以函数
3
上单调递增，要使上单调递增，当且仅当从而
解法二：的可能取值为1，3.
当时，函数上单调递增，
当时，函数上不单调递增.
所以
例4．有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理．
解：设庄家获利的数额为随机变量，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规则可得随机变量的概率分布为：
所以
因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就是说庄家一定是赢家．
五．回顾小结：
1． 已知随机变量的分布列，求它的期望、方差和标准差，可直接按定义（公式）求解；
2． 如能分析所给随机变量，是服从常见的分布（如两点分布、二项分布、超几何分布等），可直接用它们的期望、方差公式计算；
3． 对于应用题，必须对实际问题进行具体分析，先求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的期望、方差和标准差．
六．课外作业：
3
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