正态分布
一、教学目标
一、知识与技能
1、结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解；
2、通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质．
二、过程与方法
讲授法与引导发现法．通过教师先讲，师生再共同探究的方式，让学生深刻理解相关概念，领会数形结合的数学思想方法 ，体会数学知识的形成．
三、情感态度与价值观
通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神．
二、教学重点与难点
重点：正态分布曲线的特点及其所表示的意义；
难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布，并掌握正态分布曲线所表示的意义．
三、教学方法
讲授法与引导发现法
四、教具准备
黑板，多媒体，高尔顿试验板
五、教学过程设计
教学环节
教 学 内 容
师 生 互 动
设 计 意 图
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创设情境
学生上台演示高尔顿板试验．
创设情境，为导入新知做准备．
学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考．
学生经过观察小球在槽中的堆积形状发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的．
让学生演示试验，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣．让学生体验“正态分布曲线“的生成和发现历程．
建构概念
教学环节
1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律．
⑴ 将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，作出频率分布表．
⑵ 以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图。连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图．
教 学 内 容
引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程．
在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距．
教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？
学生经过回忆，易得：长方形面积代表相应区间内数据的频率．
师 生 互 动
通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移．
通过这里的思考回忆，加深对频率分布直方图的理解．
设 计 意 图
（3）随着试验次数增多，折线图就越来越接近于一条光滑的曲线．
分析表达式特点：解析式中前有一个系数，后面是一个以
7
建构概念
教学环节
从描述曲线形状的角度自然引入了正态密度函数的表达式：
为底数的指数形式，幂指数为，解析式中含两个常数和，还含有两个参数和，分别指总体随机变量的平均数和标准差，可用样本平均数和标准差去估计．
与旧教材不同的是，该处在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲线对应的表达式，这样处理能更直观，学生更易理解正态曲线的来源．
2.继续探究：当我们去掉高尔顿板试验最下边的球槽，并沿其底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，用表示落下的小球第一次与高尔顿板底部接触时的坐标．
提出问题：图中阴影部分面积有什么意义？
O
y
x
教 学 内 容
引导学生得到：此时小球与底部接触时的坐标是一个连续型随机变量．
启发学生回忆：频率分布直方图中面积对应频率，不难理解，图中阴影部分的面积，就可以看成多个矩形面积的和，也就是落在区间的频率；再结合定积分的意义,阴影部分面积就是正态密度函数在该区间上的积分值，这样，概率与积分间就建立了一个等量关系．
师 生 互 动
这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡．
通过设疑，引起学生对问题的深入思考，加深对定积分几何意义的理解．
直接问落在区间上的概率，学生不容易反应过来，改为问面积的意义后，便于学生理解该问题．
设 计 意 图
建构概念
在前面分析的基础上，引出正态分布概念： 一般地，如果对于任何实数＜，随机变量满足：
，则称的分布为正态分布，常记作．如果随机变量服从正态分布，则记作．
教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法。
引导学生分析得，所落区间的端点能否取值，均不影响落在该区间内的概率．
以旧引新，虽概念较抽象，但这样处理学生不会觉得太突兀，易于接受新知识．同时培养学生把前后知识联系起来进行思维的习惯．
7
列举实例
请学生结合高尔顿板试验讨论提出的问题，并尝试归纳服从或近似服从正态分布的随机变量所具有的特征：
1．小球落下的位置是随机的吗？
2．若没有上部的小木块，小球会落在哪里？是什么影响了小球落下的位置？
3．前一个小球对下一个小球落下的位置有影响吗？哪个小球对结果的影响大？
4．你能事先确定某个小球下落时会与哪些小木块发生碰撞吗？
学生通过讨论，教师引导学生得出问题的结果：
1．它是随机的．
2．竖直落下．受众多次碰撞的影响．
3．互不相干、不分主次．
4．不能，具有偶然性．
然后归纳出特征：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和，它就服从或近似服从正态分布．
教师列举实例分析，帮助学生更加透彻的理解．
“什么样的随机变量服从（或近似服从）正态分布？”是本节课的难点，采用设置问题串的方式，将复杂的问题分解成几个容易解决的问题，能有效突破难点．同时采用小组讨论的形式，加强学生的合作意识，同时培养他们的辩证观．
通过举例，让学生体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用．
深入探究
引导学生结合三幅图像及高尔顿板试验，根据问题归纳正态曲线的性质：
(1)曲线在轴的上方，与轴不相交；
(2)曲线是单峰的，图像关于直线对称；
(3)曲线在处达峰值；
(4)曲线与轴之间的面积为1；
引导学生联系三幅图像，结合高尔顿板试验思考以下问题：
(1)曲线在坐标平面的什么位置？曲线为什么与x轴不相交？
(2)曲线有没有对称轴？
(3) 曲线有没有最高点？坐标是？
(4)曲线与轴围成的面积是多少？
该环节借助计算机模拟及高尔顿板试验试验结果呈现了教学中难以呈现的课程内容，能很好地锻炼学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想．
教学环节
教 学 内 容
师 生 互 动
设 计 意 图
7
深入探究
教师通过计算机绘出两组图像（动画），让学生观察：
第一组：固定的值，取三个不同的数；
第二组：固定的值，取三个不同的数；
学生通过观察并结合参数与的意义可得：当一定时，曲线随的变化而沿平移；当一定时，影响了曲线的形状．即：越小，则曲线越瘦高，表示总体分布越集中；越大，则曲线越矮胖，表示总体分布越分散．
针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析参数对曲线的影响，这里通过固定一个参数，讨论另一个参数对图象的影响，这样的处理大大降低了难度，并能很好地突出重点．
自
我
尝
试
教学环节
例1、下列函数是正态密度函数的是（ B ）
都是实数
学生通过观察解析式的结构特征可知只有B选项符合正态密度函数解析式的特点．
设计这一题主要为了加强学生对正态密度函数的理解．
例2、把一条正态曲线a沿横轴向右平移2个单位,得到一条新的曲线b．下列说法中不正确的是( D )
A. 曲线b仍然是正态曲线．
B. 曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相同．
C. 以曲线b为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a为概率密度曲线的总体的均值大2．
D. 以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2．
学生易分析知：正态曲线经过平移仍是正态曲线，峰值不变。而曲线的左右平移与即均值有关．故D选项的说法不正确．
通过该例的设置，深化学生对正态曲线的特点及正态分布密度函数表达式中参数与的理解．
教 学 内 容
师 生 互 动
设 计 意 图
7
自
我
尝
试
例3 、某校某次数学考试的成绩服从正态分布，其密度函数曲线如下图：
20 40 60 80 100
y
x
O
① 写出的正态密度函数；
② 若参加考试的共1200人（满分100分），你能估计及格人数吗？
学生通过观察图像，可知对称轴，根据峰值可知，代入正态曲线表达式可得：
第二问根据图像利用对称性知及格人数占总参考人数一半．
通过一个贴近生活的实例，让学生体会到数学在实际问题中的应用，培养学生应用所学知识解决问题的能力，激发学习热情．体现了数形结合的思想．
引
导
运
用
⒈判断正误：
① 正态密度曲线关于直线对称． （×）
② 正态总体的标准差为4． （×）
③ 正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0． （√）
④ 若，
则 ． （×）
① 学生结合正态曲线特点可知．
② 由正态分布记法知标准差为2．
③ 学生结合概率的几何意义可知．
④ 结合正态曲线的对称性可得到结果．
通过一组判断题，进一步加深学生对正态分布的认识．
课堂小结
1. 知识归纳：
正态密度曲线→正态分布的意义
↓ ↓
正态密度曲线特点 正态分布的实例
↓
参数对正态曲线的影响
2. 思想方法： 数形结合思想
教师引导学生从知识内容和思想方法两方面进行课堂小结．
最后教师说明:正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中,我们研究它主要还是希望它能服务于我们的生活,那么它在实际中究竟有着怎样的妙用呢?我们下节课继续学习!
通过小结使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识,同时使学生自己内化知识，查漏补缺,使学生在认识上达到一个新的高度．
（为了更好地突出本节课重点，同时更好地突破难点，考虑到本节课的课堂容量及学生的认知情况，我将原则放在了第二课时．）
六、课后作业
1. （必做题）设随机变量服从正态分布，若,求的值并写出其正态密度函数解析式．
7
2.（必做题）以学习小组（4人）为单位，搜集某项数据资料（如某年级学生的身高、体重等）．仿照课本的方法，研究该数据是否服从（或近似服从）正态分布？如果是，请估计参数的值．
3.（选做题）在高尔顿板试验中，为什么落在中间球槽的小球最多？
七、板书设计
正态分布
一、 正态密度函数
二、 正态分布
若对任何实数，随机变量满足
则称的分布为正态分布．常记作．若随机变量服从正态分布，则记为．
正态曲线的特点：
(1)曲线在轴上方，与轴不相交；
(2)曲线是单峰的，关于直线对称；
(3)曲线在处达到峰值；
(4)曲线与轴之间的面积为1；
(5)当一定时，曲线随着的变化而
沿轴平移；
(6)当一定时，曲线的形状由确定． 越小，曲线越“瘦高”， 表示总体分布越集中；越大，曲线越“矮胖”， 表示总体分布越分散．
八、教学后记
通过对本堂课的钻研和设计，我谈两点体会：
1．数学知识间存在着内在的本质联系，本设计充分注意了新旧知识间的内在联系，这样有助于学生理解记忆前后所学知识，并将其融会贯通，从而更好地加以运用．
2．“数学是思维的体操”，要提高学生的数学思维能力，需要通过学生自身动口、动手、动脑，以及教师的正确引导．因此，在课堂设计中，我把试验交给学生做，让他们感悟函数模型的生成，并时刻注重引导和调动学生的主观能动性，创造条件给足时间让学生“讲、演、练” ，充分而有效的发挥学生的主体作用，让学生在课堂上享有相当的主动权，拥有积极思考和参与教学活动的时间和空间，让学生在相互讨论和启发中活动，在活动中学习，在活动中思维，在活动发展，教师应是活动的引导者，组织者，参与者！
7
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