3.2回归分析（1）
教学目标
（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；
（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法；
（3）能求出简单实际问题的线性回归方程．
教学重点，难点
线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．
教学过程
一．问题情境
1． 情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了次，得到如下表所示的数据，试估计当x=９时的位置y的值．
时刻/s
位置观测值/cm
根据《数学（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是：
先作散点图，如下图所示：
从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间与位置观测值y之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式，
可以得到线性回归方为，所以当时，由线性回归方程可以估计其位置值为
2．问题：在时刻时，质点的运动位置一定是吗？
二．学生活动
思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映与之间的关系，的值不能由完全确定，它们之间是统计相关关系，的实际值与估计值之间存在着误差．
三．建构数学
1．线性回归模型的定义：
我们将用于估计值的线性函数作为确定性函数；
5
的实际值与估计值之间的误差记为，称之为随机误差；
将称为线性回归模型．
说明：（1）产生随机误差的主要原因有：
①所用的确定性函数不恰当引起的误差；
②忽略了某些因素的影响；
③存在观测误差．
（2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题：
①模型是否合理（这个问题在下一节课解决）；
②在模型合理的情况下，如何估计，？
2．探求线性回归系数的最佳估计值：
对于问题②，设有对观测数据，根据线性回归模型，对于每一个，对应的随机误差项，我们希望总误差越小越好，即要使越小越好．所以，只要求出使取得最小值时的，值作为，的估计值，记为，．
注：这里的就是拟合直线上的点到点的距离．
用什么方法求，？
回忆《数学3（必修）》“2．4线性回归方程”P71“热茶问题”中求，的方法：最小二乘法．
利用最小二乘法可以得到，的计算公式为
，
其中，
由此得到的直线就称为这对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中，分别为，的估计值，称为回归截距，称为回归系数，称为回归值．
在前面质点运动的线性回归方程中，，
5
．
3． 线性回归方程中，的意义是：以为基数，每增加1个单位，相应地平均增加个单位；
4． 化归思想（转化思想）
在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数．下面列举出一些常见的曲线方程，并给出相应的化为线性回归方程的换元公式．
（1），令，，则有．
（2），令，，，则有．
（3），令，，，则有．
（4），令，，，则有．
（5），令，，则有．
四．数学运用
1．例题：
例1．下表给出了我国从年至年人口数据资料，试根据表中数据估计我国年的人口数．
年份
人口数/百万
解：为了简化数据，先将年份减去，并将所得值用表示，对应人口数用表示，得到下面的数据表：
作出个点构成的散点图，
由图可知，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型来表示它们之间的关系．
根据公式（1）可得
5
这里的分别为的估
计值，因此线性回归方程
为
由于年对应的,代入线性回归方程可得（百万），即年的人口总数估计为13.23亿.
例2． 某地区对本地的企业进行了一次抽样调查，下表是这次抽查中所得到的各企业的人均资本（万元）与人均产出（万元）的数据：
人均
资本
/万元
人均
产出
/万元
（1）设与之间具有近似关系（为常数），试根据表中数据估计和的值；
（2）估计企业人均资本为万元时的人均产出（精确到）．
分析：根据，所具有的关系可知，此问题不是线性回归问题，不能直接用线性回归方程处理．但由对数运算的性质可知，只要对的两边取对数，就能将其转化为线性关系．
解（1）在的两边取常用对数，可得，设，，，则．相关数据计算如图所示．
1
人均资本/万元
3
4
5.5
6.5
7
8
9
10.5
11.5
14
2
人均产出/万元
4.12
4.67
8.68
11.01
13.04
14.43
17.5
25.46
26.66
45.2
5
3
0.47712
0.60206
0.74036
0.81291
0.8451
0.90309
0.95424
1.02119
1.0607
1.14613
4
0.6149
0.66932
0.93852
1.04179
1.11528
1.15927
1.24304
1.40586
1.42586
1.65514
仿照问题情境可得，的估计值，分别为由可得，即，的估计值分别为和．
（2）由（1）知．样本数据及回归曲线的图形如图（见书本 页）
当时，（万元），故当企业人均资本为万元时，人均产值约为万元．
2．练习：练习第题．
五．回顾小结：
1． 线性回归模型与确定性函数相比，它表示与之间是统计相关关系（非确定性关系）其中的随机误差提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值，的工具；
2． 线性回归方程中，的意义是：以为基数，每增加1个单位，相应地平均增加个单位；
3．求线性回归方程的基本步骤．
六．课外作业：．
5
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