第二十六章 反比例函数
1.结合具体情景体会反比例函数的意义,理解并掌握反比例函数的概念.
2.能用待定系数法求反比例函数的解析式.
3.会用描点法画反比例函数图象.
4.掌握反比例函数的图象和性质,并能运用相关性质解决有关问题.
5.理解反比例函数中比例系数k的几何意义.
6.能根据实际问题确定变量之间是反比例关系,并确定反比例函数解析式,能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的实际问题.
1.从实际问题情景中经历探索两个变量之间关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.
2.通过函数图象探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用,经历知识的形成过程,体会由特殊到一般的数学方法.
3.通过探究反比例函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.
4.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.
1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.
3.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的反比例函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验,感受数学模型思想在实际问题中的应用价值.
函数知识是初中代数的核心内容,反比例函数也是新课标明确要求的初中学生必需体会和掌握的三种函数基本形式之一.本节课的内容,是在学生已经学习了函数及其图象的初步知识,以及系统地研究了一次函数的概念、图象、性质、简单应用,是在学生已经初步掌握研究函数的基本方法的基础上进行研究的.反比例函数是一种简单而又重要的函数,作为重要的数学模型,在解决日常生活、物理化学学科学习等实际问题中发挥了重要作用.通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题,逐步提高分析问题、解决问题的能力.
本章内容从实际问题情景入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,重点内容是对反比例函数的图象和性质的理解与掌握,通过画特殊的反比例函数的图象,归纳出一般反比例函数的图象特征和性质,体会由特殊到一般的数学学习方法,提高学生观察、分析、归纳总结的能力.对于某些解决实际问题的安排,
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力图加强反比例函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生应用数学的意识.数形结合思想贯穿本章内容,函数图象是研究函数性质的直观载体,从图象上直观观察函数的变化规律,整体把握函数的性质,而解析式是对函数性质的无限“解读”,但抽象不直观,所以将两者结合起来,共同研究函数的性质.
本章重点是反比例函数的概念、图象、性质及应用,难点是反比例函数图象的生成过程,以及函数图象的间断及渐近性特点.根据学生特点,以前面学过的函数为基础,用类比的方法探究本章内容,重视反比例函数与一次函数、二次函数的联系、差异和综合运用.
【重点】
1.通过对实际问题情景的分析,确定反比例函数的解析式.
2.会用描点法画反比例函数图象,并能从图象中认识反比例函数的性质.
3.能用反比例函数性质解决简单的实际问题.
【难点】
1.能根据反比例函数图象特征及其性质解决有关问题.
2.应用反比例函数解决实际问题,能解决与其他函数结合的问题.
初中阶段从量变的角度研究函数,把函数定义为当一个量变化时,另一个量随这个量的变化而变化.根据学生的知识基础,一方面要以前面所学的函数概念及相关知识为基础,另一方面要进一步深化对函数内涵的理解和掌握.
反比例函数是初中阶段学习的最后一类函数,因此,教学中要处理好新旧知识的联系,通过复习相关内容,类比前边所学函数的内容结构和思路,为全章的学习做好铺垫,尽量减少学生接受新知识的困难.
在教学中,要重视反比例函数与已学函数,特别是与正比例函数的对比,教学时应引导从以下方面对比思考:函数解析式与函数图象的异同、常数k对函数图象的分布、增减性、变化趋势等性质的影响、自变量x的取值范围的异同.同时要重视反比例函数与一次函数、二次函数的联系、差异和综合运用.
渗透数学重要思想与方法成为本章的主要线索,类比思想、从特殊到一般、数形结合思想、方程思想及待定系数法等数学思想和方法,贯穿整章的教学,教学过程中每课时都要注重数学思想的培养.
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数(1课时)
26.1.2反比例函数的图象和性质(2课时)
3课时
26.2 实际问题与反比例函数
2课时
单元概括整合
1课时
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26.1 反比例函数
1.了解反比例函数概念,能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式.
2.会画反比例函数图象,并结合图象分析总结出反比例函数的性质.
3.初步运用待定系数法确定反比例函数的解析式.
4.能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的问题.
1.从实际问题情景中经历探索两个变量之间关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.
2.通过函数图象探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.
3.经历观察、分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数模型,进一步体会数学建模思想.
1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.让学生经历观察、比较、归纳、应用的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.
3.体会数学与现实生活的紧密联系,增强学生应用数学解决实际问题的意识.
【重点】
1.理解反比例函数的概念.
2.画反比例函数图象,理解反比例函数的性质.
3.利用反比例函数的性质解决有关问题.
【难点】
1.理解反比例函数的意义.
2.通过图象分析、总结反比例函数图象的特征和性质.
3.灵活运用反比例函数的图象和性质解决综合问题.
26.1.1 反比例函数
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1.理解并掌握反比例函数定义.
2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数.
3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式及自变量的取值范围.
1.让学生从实际问题情景中经历探索、分析和建立两个变量之间的反比例函数关系的过程.
2.用类比的思想方法,从实际问题中抽象出反比例函数概念,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.
3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.
1.通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣.
2.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.
【重点】
1.理解并掌握反比例函数的定义,掌握反比例函数的一般形式.
2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式.
【难点】
经历探索和表示反比例函数关系的过程,体验用反比例函数表示变量之间的关系.
【教师准备】 多媒体课件1~7.
【学生准备】 预习教材P1~3.
导入一:
【课件1】 同一条铁路线上,由于不同车次列车运行时间有长有短,所以它们的平均速度有快有慢.
(1)如果速度v一定,那么路程s与时间t是什么关系?
(s=vt,是正比例函数)
(2)如果时间t一定,那么路程s与速度v又是什么关系呢?
(s=vt,是正比例函数)
(3)如果路程s一定,那么速度v和时间t又是什么关系呢?
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【思考】 以上关系是函数吗?这个函数是不是我们前边学过的函数?
【导入语】 问题(1)(2)中的函数是一次函数(正比例函数),(3)中的函数不是前边学过的函数,这类函数就是本章要研究的反比例函数.
[设计意图] 通过生活中的情景问题,引导学生发现不同于以往学过的新的函数关系,唤起学生对本课时的学习欲望,使学生带着问题进入新课的学习.
导入二:
【课件2】 我们知道,导体中的电流I与导体的电阻R、导体两端的电压U之间满足关系式U=IR,当U=220 V时:
(1)你能用含有R的代数式表示I吗?
(2)利用写出的关系式完成下表:
R/Ω
20
40
60
80
100
I/A
当R越来越大时,I怎样变化?当R越来越小呢?
(3)变量I是R的函数吗?为什么?
[设计意图] 从学生身边的生活和已有知识出发,创设情景,目的是让学生感受到生活当中处处有数学,激发学生学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象出反比例函数概念做铺垫.同时,这个事例的引入也有助于学生从学科综合的角度进行学习.
导入三:
【复习提问】
(1)什么是函数?什么是一次函数、二次函数?
(2)一次函数、二次函数的学习过程是怎样的?
【课件3】 出示以往研究函数的基本思路:
【师生活动】 学生思考回答,教师点拨.
[设计意图] 通过复习一次函数、二次函数的概念,让学生从已有的知识体系中自然地构建出新知识.回忆学习一次函数、二次函数的研究思路,引导学生用类比的方法学习本章的反比例函数,初步了解本章的基本内容和研究思路,为后续学习做好铺垫.
[过渡语] 函数是初中数学中重要的数学模型,我们学习一次函数、二次函数时,在理解定义的基础上,研究它们的图象和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数——反比例函数.
思路一
1.感知反比例函数
【出示课件4】
(1)京沪线铁路全程为1463 km,某次列车的平均速度v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变化而变化;
(2)某住宅小区要种植一块面积为1000 m2的矩形草坪,草坪的长y(单位:m)随宽x(单位:m)的变化而变化;
(3)已知北京市的总面积为1.68×104 km2,人均占有面积S(单位:km2/人)随全市总人口n(单位:人)的变化而变化.
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教师引导学生针对上面三个事例思考:
(1)每个事例中的两个变量是什么?
(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?
(3)有几个值与变化的量相对应?这种变化说明变量之间是什么关系?
(4)题目中的等量关系是什么?如果是函数关系,其解析式是什么?
(5)所列出的函数关系式有什么特点?
[设计意图] 通过问题组的形式,引导学生发现这些变量之间的关系是一种函数关系,并且这种函数的解析式不同于以往的一次函数和二次函数,为进一步研究反比例函数做知识准备,同时激发学生学习的欲望,实现了让学生感知反比例函数的目的.
【学生活动】 独立思考后,小组合作交流,确定三个问题中的变量关系都是函数关系,并列出具体的函数解析式.
【参考答案】 (1)v= (2)y= (3)S=.
2.反比例函数的概念
[过渡语] 刚才同学们总结的函数关系式,既不是一次函数,也不是二次函数,接下来让我们一起研究这类函数的特征吧.
观察前面的三个函数关系式,思考:
(1)这三个函数是一次函数或二次函数吗?
(2)这三个函数与前边学过的函数有什么不同?你能说出它们的共同特征吗?
(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?
(4)你能给这类函数下一个定义吗?
【师生活动】 学生思考后,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳结论.
教师引导学生从两个方面思考:与一次函数和二次函数的解析式对比;给出的三个函数关系式等号右面是整式还是分式;三个函数关系式中的k值有什么特点.
【总结(出示课件5)】
一般地,形如y=(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
思考:(1)你身边哪些量之间存在着反比例函数关系?
(2)在反比例函数y=中,k,x,y可以取任意实数吗?
(3)反比例函数y=中,自变量x的指数是1吗?为什么?
(4)反比例函数除了这种分式的形式外,还有其他表示方法吗?
【师生活动】 学生独立思考后,小组交流,学生回答时教师及时点评和引导,师生共同归纳反比例函数概念的有关特点:
反比例函数y=等号右边是分式形式.
反比例函数中,比例系数k≠0,自变量x≠0,函数值y≠0.
反比例函数的三种表示形式:y=,xy=k,y=kx-1.
[设计意图] 通过学生观察讨论,依据老师设计的问题串,类比已学函数,抽象出函数的本质特征,归纳出反比例函数的特征,学生经历概念的形成过程,从而达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结能力.
思路二
1.认识新的函数——反比例函数
【出示课件6】 下列五个事例:
(1)某住宅小区要种植一块面积为1000 m2的矩形草坪,草坪的长y(单位:m)与宽x(单位:m)有何关系?
(2)物理学中电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR.当U=220 V时,R与I有何关系?当R=10 Ω时,I与U有何关系?
(3)京沪线铁路全程为1463 km,某次列车的平均速度v(单位:km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位:h)有何关系?
(4)用10 m长的篱笆围成矩形的小花园.
①如果花园的长为y m,宽为x m,那么y与x有何关系?
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②如果花园的长为x m,面积为y m2,那么y与x又有何关系?
(5)已知北京市的总面积为1.68×104 km2,人均占有面积S(单位:km2/人)与全市总人口n(单位:人)有何关系?
教师引导学生针对上面五个事例思考:
(1)每个事例中的两个变量是什么?
(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?这种变化说明变量之间是什么关系?
(3)题目中的等量关系是什么?如果是函数关系,其解析式是什么?
(4)所列出的函数关系式有什么特点?
[设计意图] 问题情景既有教材“思考”栏目的问题,又有新增设的跨学科的物理问题,这些事例都要求学生从实际问题中找到两个变量,确定函数解析式.使已学函数和要研究的新函数都呈现在学生面前,引发学生的认识冲突,为形成反比例函数概念、辨析反比例函数做好准备.
【总结】 经过学生交流研讨,确认五个问题中的变量关系都是函数关系,并列出具体的函数解析式.
(1)y=. (2)R=;I=. (3)v=. (4)①y=5-x. ②y=5x-x2. (5)S=.
2.反比例函数的概念
[过渡语] 刚才同学们列出了相关的7个函数关系式,接下来我们开始研究这些函数解析式的特征吧.
(1)反比例函数的一般形式
【出示课件7】 思考下列问题:
【问题1】 哪些是正比例函数、一次函数、二次函数?
【问题2】 哪些函数与问题1中的函数不同?能给这类函数下定义吗?
【问题3】 你能尝试写出类似问题1中这种函数的一般形式吗?
【问题4】 上述函数中的常数k分别是多少?
【问题提示】 上述情景中给出七个函数,其中第一、二、三、四个及第七个函数不是以往学习过的函数.通常情况下,我们用y表示函数,用k表示常量,用x表示自变量.这几个特殊的函数学生可以初步总结为y=.
(2)理解反比例函数概念
【问题1】 反比例函数的一般式y=的等号右边是什么式子?
(提示:分式,其他的函数都是单项式或多项式)
【问题2】 反比例函数y=的比例系数k、自变量x取值有什么要求?
(提示:都是不能为0的实数)
【问题3】 反比例函数解析式还可以写成其他形式吗?
(提示:两个变量的乘积为定值;自变量x的指数为-1)
[设计意图] 通过前面的三个问题,观察学生是否能理解反比例函数的意义,是否能用数学语言表达反比例函数的解析式,是否理解自变量的取值范围(实际问题中自变量取值有所不同),是否掌握判断反比例函数的标准和方法. 通过学生的观察、思考、合作、交流,反比例函数概念及模型的建立也就会水到渠成.
3.例题讲解
[过渡语] 我们通过实例归纳总结了反比例函数的概念,试试能不能解决下列问题.
下列函数:(1)y=;(2)y=;(3)y=;(4)y=;(5)xy=2;(6)y=.其中是反比例函数的是 (填序号),它们的比例系数分别是 .
〔解析〕 根据反比例函数概念进行判断,易得(1),(2),(4),(5)是反比例函数,其中k分别为5,0.4,,2.
〔答案〕 (1)(2)(4)(5) 5,0.4,,2
若y=(a-2)x|a|-3是反比例函数,则a的值为 .
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【师生活动】 学生独立思考后,小组交流答案,教师对学生的答案进行点评,并强调易错点.
〔解析〕 根据反比例函数概念可得,反比例函数满足两个条件:(1)常数k≠0;(2)自变量x的指数为-1.由题意可得|a|-3=-1,且a-2≠0,解得a=-2.故填-2.
[设计意图] 通过练习让学生进一步理解和掌握反比例函数的一般形式及特点,特别是忽略考虑k≠0这一易错点.
(教材例1)已知y是x的反比例函数,并且当x=2时,y=6.
(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)当x=4时,求y的值.
【师生活动】 师生共同复习待定系数法求函数解析式,然后学生独立完成,并板书过程,学生之间互相纠正错误答案,教师点评,并归纳待定系数法求函数解析式的一般步骤.
〔解析〕 类比一次函数、二次函数求解析式的方法——待定系数法,设出函数解析式,将一对x,y的值代入,求出待定系数k.
解:(1)设所求函数解析式为y=.
因为当x=2时,y=6,所以有6=.
解得k=12.因此所求函数解析式为y=.
(2)把x=4代入y=,得:
y==3.
[设计意图] 通过复习待定系数法,再次用这一方法求反比例函数解析式,并让学生体会反比例函数解析式中只有一个待定系数,所以代入一组值即可求出函数解析式.同时让学生体会建模思想在数学中的应用,提高学生的归纳能力.
[知识拓展] (1)反比例函数y=(k≠0)等号右边分式的分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如y=,y=等都是反比例函数,但y=中,y就不是x的反比例函数.
(2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成xy=k(k≠0),y=kx-1(k≠0)的形式.
1.反比例函数定义:形如y=(k为常数,且k≠0)的函数叫做反比例函数.
2.反比例函数满足的条件:
(1)函数右边是分式形式;
(2)自变量的指数是-1;
(3)比例系数不为0.
3.反比例函数的三种表示形式:y=(k≠0);xy=k(k≠0);y=kx-1(k≠0).
4.反比例函数自变量的取值范围:x≠0.
1.下列函数中,是反比例函数的是 ( )
A.y=2x+1 B.y=0.75x
C.y= D.xy=1
解析:A中函数是一次函数;B中函数是正比例函数;C中函数右边分母不是x的单项式,所以A,B,C都不是反比例函数,只有D符合反比例函数定义.故选D.
2.反比例函数y=(m+1)x-1中m的取值范围是 ( )
A.m≠1 B.m≠-1
C.m≠±1 D.全体实数
解析:在反比例函数y=kx-1中,比例系数k≠0,所以m+1≠0,所以m≠-1.故选B.
3.若函数y=x2m-1为反比例函数,则m的值是 .
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解析:根据反比例函数定义可得2m-1=-1,解得m=0.故填0.
4.某蓄水池的排水管每小时排水8 m3,6 h可将满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积为 ;
(2)若每小时排水用Q(m3)表示,则排水时间t(h)与Q(m3)的函数解析式为 .
解析:由题意可得等量关系为:单位时间内的排水量×排水时间=总排水量,所以蓄水池的容积为8×6=48(m3),故Qt=48,即t=.
答案:(1)48 m3 (2)t=
5.已知y与3x成反比例,且当x=1时,y=.
(1)写出y与x的函数解析式;
(2)当x=时,求y的值;
(3)当y=时,求x的值.
解:(1)设y与x的函数解析式为y=,
把x=1,y=代入,
得=,所以k=2,
所以y与x的函数解析式为y=.
(2)当x=时,y=2.
(3) 当y=时,=,
解得x=.
26.1.1 反比例函数
思路一
1.感知反比例函数
2.反比例函数的概念
思路二
1.认识新的函数——反比例函数
2.反比例函数的概念
3.例题讲解
例1
例2
例3
一、教材作业
【必做题】
教材第3页练习第1,2题.
【选做题】
教材第3页练习第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列函数中,不是反比例函数的是 ( )
A.y=- B.y=
C.y= D.3xy=2
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2.下列反比例函数中,当x=2时,y的值为-3的是 ( )
A.y= B.y=-
C.y=- D.y=-
3.若y=(a+1)是反比例函数,则a的值为 ( )
A.1 B.-1 C.±1 D.任意实数
4.若一个矩形的面积为10,则这个矩形的长与宽之间的函数关系是 ( )
A.正比例函数关系 B.反比例函数关系
C.一次函数关系 D.不能确定
5.下列函数:①y=2x-1;②y=-;③y=x2+8x-2;④y=;⑤y=;⑥y=.其中y是x的 反比例函数的有 (填序号).
6.若反比例函数y=,当x=-1时,y=2,则k的值是 .
7.已知y是x的反比例函数,且当x=3时,y=8,那么当x=4时,y= .
8.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的,高为y,面积为60,则y与x的函数解析式是 (不考虑x的取值范围).
9.分别写出下列函数的解析式,指出是哪种函数,并确定其自变量的取值范围.
(1)在路程为60 km的运动中,速度v(单位:km/h)关于运动时间t(单位:h)的函数关系式;
(2)某校要在校园中开辟出一块面积为84 m2的矩形土地做花圃,这个花圃的长y(单位:m)关于宽x(单位:m)的函数关系式;
(3)市政府计划建设一项水利工程,工程需要运送的土石总量为106米3,某运输公司承办了该项工程运送土石的任务,运输公司的平均工作量V(单位:米3/天)与完成运送任务所需要的时间t(单位:天)之间的函数关系式.
10.已知y与x的反比例函数解析式为y=.
(1)请完成下表:
x
-3
-1
1
3
y
(2)求当x=-10时函数y的值;
(3)求当y=6时自变量x的值.
【能力提升】
11.将x=代入反比例函数y=-中,所得函数值记为y1,又将x=y1+1代入原反比例函数中,所得函数值记为y2,再将x=y2+1代入原反比例函数中,所得函数值记为y3,…,如此继续下去,则y2014= .
12.已知一个长方体的体积是100 cm3,它的长是y cm,宽是5 cm,高是x cm.
(1)写出用高表示长的解析式;(不用写出自变量取值范围)
(2)当x=3时,求y的值.
【拓展探究】
13.已知y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=3;当x=-1时,y=1.求当x=时y的值.
【答案与解析】
1.C(解析:A,B,D符合反比例函数定义,C函数中的分母不是关于x的单项式,所以不是反比例函数.故选C.)
2.B(解析:把x=2分别代入各选项求出y的值,只有B中y的值为-3.故选B.)
3.A(解析:根据反比例函数的定义,得a2-2=-1,且a+1≠0,解得a2=1,a≠-1,∴a=1.故选A.)
4.B(解析:题目中的等量关系为:长×宽=矩形面积,所以长×宽=10,即长等于10除以宽,所以长与宽是反比例函数关系.故选B.)
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5.②⑤(解析:①是一次函数,不是反比例函数;③y=x2+8x-2是二次函数,不是反比例函数;④的分母中x的指数是3,不是反比例函数;⑥y=中,a≠0时,是反比例函数,没有此条件则不一定是反比例函数.只有②⑤符合反比例函数定义.故填②⑤.)
6.-2(解析:把x=-1,y=2代入可得k=(-1)×2=-2.故填-2.)
7.6(解析:设y=,把x=3,y=8代入,得k=24,所以y与x之间的函数解析式为y=,把x=4代入得y=6.故填6.)
8.y=(解析:根据梯形的面积公式可得y=60,化简得y=.故填y=.)
9.解:(1)v=,是反比例函数,t>0. (2)y=,是反比例函数,x>0. (3)V=,是反比例函数,t>0.
10.解:(1)-1 -3 3 1 (2)当x=-10时,y=-. (3)当y=6时,6=,解得x=.
11.-(解析:把x=代入得y1=-,则 x2=-+1=-,所以y2=2,则 x3=2+1=3,所以y3=-,则x4=-+1=,所以y4=-.….观察y1=y4 ,所以三组一循环出现,2014除3余1,所以y2014=y1= -.)
12.解:(1)y=. (2)当x=3时,y=.
13.解:设y1=k1x2,y2=,则y=y1+y2=k1x2+.把x=1,y=3;x=-1,y=1代入得解得所以y=2x2+.当x=时,y=2×+2=.
本课时精心设计了课程导入环节,顺利地把学生带入课时学习的情景之中,为学好本课时的内容做了很好的铺垫.
在教学设计思路上,不是把概念直接交给学生,而是让学生通过比较反比例函数与其他函数区别的基础上得出结论,这样既巩固了先前的知识,又很好地做到了知识的迁移和延伸.
依托教材的素材对教材进行了开发,依据教材的情景,设计了对学生具有启发性和引导性的问题,精心设置了教材例题之外的例题,更好地为实现本节课的教学目标服务.
在复习一次函数和二次函数等函数知识的时候,给学生的时间较少,部分同学还没有很好地回忆和总结先前的知识,这在一定程度上造成了学生理解知识存在衔接的困难.在讨论问题组的时候,让学生自我学习和交流做得不够深入,老师过早地把问题结论提示给学生,对学生的思维活动没有做到很好的引导.在习题处理环节上,第一个例题可以让学生通过交流合作去完成.
因为本课时的学习内容需要联系以往的函数知识,教师应该在课前让学生进行有针对性的复习.降低补充的两个例题的综合程度,把处理的重点放在巩固基础知识上,而不是强调对知识的综合练习.在明确了反比例函数的定义之后,建议学生利用函数解析式把不同的函数特点进行对比,这样更有利于学生对知识的掌握.
练习(教材第3页)
1.(1)t= (2)h= (3)p=
71
2.解:y=-,xy=123中的y是x的反比例函数.
3.解:(1)设函数解析式为y=(k≠0),所以4=,k=36,所以函数解析式为y=. (2)y==16. (3)当y=6时,6=,解得x=±.
反比例函数与正比例函数的异同.
函数名称
正比例函数
反比例函数
一般形式
y=kx(k≠0)
y=(k≠0)
自变量x的取值范围
任意实数
x≠0
函数y的取值范围
任意实数
y≠0
自变量x的次数
1
-1
函数y与自变量x的数量关系
商为定值k(k≠0)
积为定值k(k≠0)
(1)本节课要学习的内容是反比例函数的概念,通过具体实例中的变量关系的特征,感受反比例函数的特征和意义,从而形成反比例函数的初步认识,本节课的重点是在实际问题中建立数学模型及用待定系数法求函数解析式.教师引导学生分析实际问题,并用解析式表示实际问题中的等量关系,从而引出反比例函数的概念,让学生获得用反比例函数表示变量关系的体验,学生在教师的引导下,通过自主探索与合作交流,理解并掌握本节课的重点,同时学生通过主动探究,获取了知识,丰富了数学活动的经验,逐步达到学会学习.
(2)对于九年级的学生来说,之前已经学习过一次函数和正比例函数、二次函数,对于函数是刻画变量之间关系的数学模型思想也有了一定的认识,可以在此基础上用类比的方法继续深入学习反比例函数,所以在学习本节课内容时,要重视新旧知识之间的联系,如适时复习函数、自变量、函数值、正比例函数、一次函数及二次函数等有关概念,为学习反比例函数概念做好铺垫.
已知关于x的函数y=(5m-3)x2-n+(m+n).
(1)当m,n为何值时,该函数为一次函数?
(2)当m,n为何值时,该函数为正比例函数?
(3)当m,n为何值时,该函数为反比例函数?
解:(1)由题意可得
解得n=1,m≠,
所以当n=1,m≠时该函数为一次函数.
71
(2)由题意可得
解得n=1,m=-1.
所以当n=1,m=-1时该函数为正比例函数.
(3)由题意可得
解得n=3,m=-3,m≠,
所以当n=3,m=-3时该函数为反比例函数.
26.1.2 反比例函数的图象和性质
1.能用描点法画出反比例函数y=的图象.
2.能根据图象理解和掌握反比例函数y=的性质,并能灵活运用解决函数问题.
3.理解反比例函数中比例系数k(k≠0)的几何意义.
4.初步建立反比例函数解析式与图象之间的关系.
1.经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过程,获得研究函数性质的经验.
2.通过函数图象探究函数性质,进一步体会运用数形结合思想研究函数的性质.
3.经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程,培养学生观察、探究、归纳及动手能力.
1.经历观察、推理、交流等过程,获得研究问题和合作交流的方法与经验,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.在数学学习过程中,进一步理解变量和常量间的辨证关系,培养严谨的科学态度,感受数学美,并发现学习的乐趣.
【重点】
用描点法画反比例函数的图象;探索反比例函数的图象特点和性质.
【难点】
探究反比例函数的图象特点和性质的过程及比例系数的几何意义.
第课时
71
1.能用描点法画出反比例函数y=的图象.
2.能根据图象理解和掌握反比例函数y=的性质.
3.能运用反比例函数的性质解决有关问题.
1.经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过程,获得研究函数性质的经验.
2.通过函数图象探究函数性质,进一步体会运用数形结合思想研究函数的性质.
3.经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程,培养学生观察、探究、归纳及动手能力.
1.经历画图、观察、猜想、思考、交流等活动,获得研究问题和合作交流的方法与经验,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.在数学学习过程中,体验与领悟数学发现的成功感,感受数学美,发现学习的乐趣.
【重点】
用描点法画反比例函数的图象;探索反比例函数的图象特点和性质.
【难点】
探究反比例函数的图象特点和性质的过程.
【教师准备】 多媒体课件1~4.
【学生准备】 在练习本上画两个平面直角坐标系.
导入一:
【课件1展示】
校园内有一块矩形草坪面积为200 m2,它的长y(单位:m)与宽x(单位:m)之间满足的函数关系是什么?当它的长y(单位:m)增加时,它的宽x(单位:m)将怎样变化?
【师生活动】 学生思考回答,并观察该反比例函数中y随x的增大而减小,教师引出课题.
[设计意图] 由生活实际情景导入新课,让学生体会生活中处处有数学,激发学生学习兴趣,同时通过观察,思考问题中长y与宽x之间的关系,很自然地由实际问题抽象出本课时学习重点之一的反比例函数图象的增减性.
71
导入二:
【复习提问】
(1)以前学习一次函数、二次函数时,是用什么思路和方法研究的?
(先根据函数解析式画出函数的图象,然后观察、分析、归纳得到函数的性质)
(2)一次函数、二次函数的图象分别是什么?
(直线、抛物线)
(3)请你说出一次函数、二次函数的性质是什么.
(一次函数增减性、图象所经过象限;二次函数图象开口方向、对称轴、增减性等)
(4)画函数图象的基本步骤是什么?
(列表、描点、连线)
【导入语】 我们可以类比研究一次函数、二次函数性质的方法来研究反比例函数的性质,如果可以,应先研究什么?
[设计意图] 通过复习画函数图象的基本步骤,为本节课的学习做好铺垫,复习通过画函数图象来研究一次函数、二次函数性质的方法,让学生用类比的方法自然地构建出新知识,降低本节课的学习难度.
[过渡语] 这节课我们通过画反比例函数的图象来研究它的一般性质.
一、描点法画反比例函数图象
画函数y=与y=的图象.
思路一
教师引导,师生共同完成,同时展示画图象的过程.
(1)自变量x的取值范围是什么?函数值y的取值范围是什么?
(2)画函数图象时取哪些x的值列表,使函数图象完整、准确?
(师生共同完成列表)
(3)在平面直角坐标系中描点.
(4)如何用平滑的曲线连接各点?
(5)从左到右连线时,图象与x轴、y轴有没有交点?为什么?
教师强调连线时从左到右依次用平滑曲线连接,由自变量x、函数值的取值范围可得函数图象与两坐标轴没有交点,故画反比例函数图象时与画一次函数、二次函数图象时不同,坐标轴把图象分成两部分.
[设计意图] 通过师生合作,经历用描点法画函数图象的过程,培养学生动手操作能力,理解描点法画函数图象的本质,经历知识的形成,进一步体会数形结合思想,通过课件展示画图的过程,直观形象,学生既感兴趣又记忆深刻.
思路二
【任务】 同桌合作,每人在课前准备的平面直角坐标系中画一个函数图象.
【师生活动】 学生独立完成列表、描点、连线,画图后,小组合作交流,发现组内成员的画图错误,并帮助改正,教师在巡视过程中及时发现常见典型错误,进行汇总,在展示完整画图过程后展示典型画图错误.
【课件2展示】
(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表:
71
(教师强调:列表时取值不能太少,也不能只取正值)
x
…
-6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
6
…
y=
…
-1
-1.5
-2
-3
-6
6
3
2
1.5
1
…
y=
…
-2
-3
-4
-6
-12
12
6
4
3
2
…
(2)描点.(教师强调:描点时横、纵坐标易混淆)
(3)连线.(教师强调:连线时用平滑曲线,不能画成折线,因为自变量x不等于0,所以画函数图象时,不能将左右两个图象连接起来)
[设计意图] 通过动手操作,让学生自己经历画反比例函数图象的过程,进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤,培养学生动手操作能力,经历知识的形成过程.通过小组合作交流,培养学生合作精神,在讨论画图结果时互相纠错的过程中,加深了学生对画函数图象的理解和认识.
二、反比例函数y=(k>0)的性质
[过渡语] 通过函数图象可以得到函数的有关性质,让我们一起观察所画的函数图象有哪些性质吧!
思路一
观察教材图26.1 - 2的函数图象,学生在教师的引导下思考回答:
(1)你能描述反比例函数图象的形状吗?
(教师给出双曲线定义)
(2)反比例函数图象无限延伸后与x轴、y轴有公共点吗?与函数解析式之间有什么关系?
(因为自变量x、函数值y不能等于0,所以函数图象与x轴、y轴没有交点)
(3)函数图象在哪个象限内?该图象关于原点O对称吗?
(在第一、第三象限,关于原点O对称)
(4)观察函数图象,当x0时呢?你能根据函数解析式说明理由吗?
(当x0时,随着x的增大,y也减小)
(5)对于反比例函数y=(m>0),以上结论还成立吗?
71
【师生活动】 学生在教师设计的问题下边思考边回答,教师提示学生可以通过表格和图象两个方面思考解决问题,对回答有困难的问题,教师要给学生足够的时间思考、交流.
[设计意图] 将探究函数的性质设计成问题的形式,使学生在探究过程中有方向和目的,降低学习新知识的难度,同时进一步体会数形结合思想及由特殊到一般的研究方法.
【共同总结(课件3展示)】
(1)反比例函数y=(k>0)的图象是双曲线;
(2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限;
(3)在每个象限内,y随着x的增大而减小;
(4)两支双曲线向两边无限延伸,与坐标轴没有交点;
(5)两支双曲线关于坐标原点成中心对称.
思路二
类比以前研究的一次函数、二次函数的性质的方法,根据所列表格、函数解析式、所画函数图象,你能得到哪些结论?看看哪个小组得到的正确结论最多.
【师生活动】 学生观察函数图象后先独立思考,再小组合作交流,然后学生展示,教师在巡视过程中及时帮助有困难的学生,发现学生思考片面时,可以及时提醒学生从图象形状、增减性、对称性等多个角度观察思考,学生展示后,教师点评,师生共同归纳函数的性质.
【共同总结】 (板书)
(1)反比例函数y=(k>0)的图象是双曲线;
(2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限;
(3)在每个象限内,y随着x的增大而减小;
(4)双曲线两支向两边无限延伸,与坐标轴没有交点;
(5)双曲线两支关于坐标原点成中心对称.
[设计意图] 通过小组合作交流,归纳反比例函数的性质,学生之间的合作交流,培养了学生合作精神,同时提高分析问题的能力.类比以前学过的函数的方法和性质归纳总结,让学生体会数学中重要的学习方法——类比法,同时进一步体会数形结合思想是学习数学最常用的思想方法之一.
三、反比例函数y=(ky3 B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1
〔解析〕 (1)已知三点的横、纵坐标分别是什么?(2)函数值y1,y2,y3与已知点的横坐标有什么关系?(点的横坐标和纵坐标满足函数解析式)(3)已知函数解析式和自变量的值,怎样求出对应的函数值?(把点的横坐标代入函数解析式求出对应的函数值)(4)你能分别求出y1,y2,y3的值吗?三者的大小关系是什么?(把x1=-2,x2=-1,x3=1分别代入函数解析式求出y1,y2,y3)(5)反比例函数y=的图象及增减性是怎样的?(反比例函数的图象在第一、三象限,在每个象限内y随x的增大而减小)(6)你能根据函数增减性判断y1,y2,y3的大小关系吗?(第三象限图象上的点的纵坐标小于0,且y随x的增大而减小;第一象限图象上的点的纵坐标大于0)
71
【师生活动】 学生独立思考,并回答问题,教师及时点评,然后归纳两种比较函数值大小的方法.
解法1:把三个点的横坐标分别代入y=,
得y1=-,y2=-1,y3=1,∴y3>y1>y2 .故选C.
解法2:可以看出点(-2,y1),(-1,y2)在同一象限,
∵k=1>0,∴在每个象限内,y随x的增大而减小,
∵-2y2 .故选C.
[设计意图] 通过例题加深学生对反比例函数的图象和性质的理解与掌握,体会运用数形结合思想解决函数问题的方法和技巧,提高学生分析问题、解决问题的能力.例2中用不同思路解决问题,培养学生多角度思考问题的能力.
[知识拓展] (1)反比例函数的图象是双曲线,它有两支,它的两个分支是断开的.
(2)当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限;当k0时,在每一个象限内,y随着x的增大而减小,但不能笼统地说:当k>0时,y随着x的增大而减小.同样,当k0时,y随x的增大而增大
D.x0,∴图象在第一、三象限,故B错误;∵k>0,∴x>0时,y随x的增大而减小,故C错误;∵k>0,∴x0,则x的取值
71
范围在数轴上表示正确的是( )
解析:∵正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于点E(-1,2),∴根据图象可知当y1>y2>0时,x的取值范围是x0,解得k0)的图象交于A(a,1),B(1,b)两点.
(1)求函数y2=的表达式;
(2)观察图象,比较当x>0时,y1与y2的大小.
解:(1)把点A坐标代入y1=-x+4,得a=3,
即点A的坐标为(3,1),∴k2=3,∴y2=.
(2)把点B的坐标代入y2=,得b=3,
∴点B的坐标为(1,3),
∴由图象可知,当00)与双曲线y=相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则x1y1+x2y2的值为 .
10.(2015·襄阳中考)如图所示,已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A(1,4)和点B(n,-2).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时,直接写出x的取值范围.
71
【能力提升】
11.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,那么(x2-x1)(y2-y1)的值为 .
12.如图所示,在直角坐标系中,正方形的中心在原点O,且正方形的一组对边与x轴平行,点P(3a,a)是反比例函数y=(k>0)的图象与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积和等于9,则这个反比例函数的解析式为 .
13.(2015·珠海中考)如图所示,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴上,函数y=的图象过点P(4,3)和矩形的顶点B(m,n)(00.故选A.)
71
4.A(解析:根据题意,得xy=36,即y=(x>0),是一个反比例函数.故选A.)
5.S= 2(解析:因为体积V=Sd,所以S==,把S=500代入函数解析式得d=2.故填S=,2.)
6.v=(t>0)(解析:设函数解析式为v=,把(4,12)代入函数解析式得k=4×12=48,所以所求的函数解析式为v=.故填v=(t>0).)
7.y=(x>0) 反比例函数(解析:根据路程=速度×时间,得xy=500,所以y=(x>0),y是x的反比例函数.)
8.解:(1)由题意得a=0.1,s=700,代入反比例函数关系式中,解得k=sa=70,∴函数关系式为s=. (2)将a=0.08代入s=得s===875,故该轿车可以行驶875千米.
9.y= x≥3(解析:工作时间y(分)×每分钟的排水量x(升)=总容量,所以可得出y与x的解析式为y=,热水器可连续工作的最长时间为1小时,即00),图象略. (2)W=(x-2)y=-+60,因为00),将(8,6)代入得6=8k1,
∴k1=.
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=(k2>0),将(8,6)代入得6=,
∴k2=48,
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=x(0≤x≤8),药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=(x>8).
(2)结合实际,令y=中y=1.6得x=30,
即从消毒开始,至少经过30分钟后学生才能进入教室.
(3)把y=3代入y=x,得x=4,
把y=3代入y=,得x=16.
∵16-4=12>10,∴这次消毒是有效的.
第课时
1.能根据与其他学科联系的公式确定反比例关系,并求出反比例函数解析式.
2.能够根据实际问题情景建立反比例函数的模型,解决与其他学科知识相联系的问题.
1.通过探究与其他学科相联系的实际问题,让学生体会数学建模思想的构建.
2.通过探究反比例函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.
1.通过将反比例函数知识灵活应用于其他学科,让学生体会学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣.
2.通过小组合作交流,提高合作意识,培养创新精神,同时感受数学模型思想在实际问题中的应用价值.
【重点】
利用反比例函数的知识解决跨学科问题.
【难点】
根据实际问题情景建立反比例函数的数学模型.
71
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P14~15.
导入一:
【复习提问】
(1)反比例函数y=的图象形状、位置、增减性是怎样的?当x=3时,y= ;当y=3时,x= .
(2)结合一个反比例函数实例,说说反比例函数两个变量之间的关系.
【师生活动】 教师出示问题后,学生独立思考回答,教师点评.
导入二:
有一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度ρ(单位:kg/m3)是体积V(单位:m3)的反比例函数,它的图象如图所示,当V=2 m3时,气体的密度是多少千克/米3?
【导入语】 数学与物理、化学学科紧密相连,如何用数学知识解决这样的物理、化学问题,通过今天的学习,我们可以轻松解决.
导入三:
“给我一个支点,我可以撬动地球”是古希腊科学家阿基米德说的一句话,他发现若杠杆上的两物体与支点的距离和其重量成反比,则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.通俗地说,杠杆原理为:阻力×阻力臂=动力×动力臂.
当阻力和阻力臂不变,动力与动力臂有怎样的函数关系?
[设计意图] 通过复习反比例函数的图象和性质,理解反比例函数两个变量之间的关系,为本节课的例题学习做好准备.以物理学科中密度问题导入新课,让学生体会数学与物理学科密切相关,由科学家阿基米德著名的杠杆原理导入新课,为本节课的例题提供理论依据,同时激发学生学习的兴趣.
[过渡语] 应用杠杆原理,可以解决与杠杆有关的实际问题,让我们一起探究下边和杠杆有关的实际问题吧!
一、共同探究一
【课件展示】
71
(教材例3)小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1200 N和0.5 m.
(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5 m时,撬动石头至少需要多大的力?
(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半,则动力臂l至少要加长多少?
思路一
教师引导学生思考回答下列问题.
(1)杠杆原理中的等量关系是什么?
(2)阻力和阻力臂一定时,其乘积是常数,动力F与动力臂l有怎样的函数关系?
(3)如何求动力F与动力臂l之间的函数解析式?
(4)当自变量l=1.5时,你能否求出对应的函数值F?
(5)在动力F与动力臂l的函数关系中,函数值随自变量的增大怎样变化?
(6)“动力F不超过题(1)中所用力的一半”的含义是什么意思?
(7)你能结合函数图象,用方程思想求解(2)吗?
(8)你还能用不等式等其他方法求解(2)吗?
【师生活动】 学生在教师提出的问题引导下,思考并回答问题,教师点评答案,及时纠正学生回答中的错误,然后学生完成解题过程,教师通过课件展示解题过程.
思路二
独立完成下列填空后,尝试解答该题.
“杠杆原理”是 ,即Fl= ,故F与l之间的函数解析式为 ,所以当l=1.5 m时,F= .
“动力F不超过题(1)中所用力的一半”即F ,因为函数F随自变量l增大而 ,所以动力臂至少为 m,即动力臂至少要加长 m.
【师生活动】 学生独立思考后尝试完成该题的解答,然后小组内成员对解答过程和解题思路进行讨论交流,教师在巡视过程中对学生的困难给予帮助,及时发现小组中不同的解题方法,并示意板书解题过程,对学生的板书点评指导.
解:(1)根据“杠杆原理”,得Fl=1200×0.5,
所以F关于l的函数解析式为F=.
当l=1.5 m时,F==400(N).
对于函数F=,当l=1.5 m时,F=400 N,此时杠杆平衡.因此,撬动石头至少需要400 N的力.
(2)对于函数F=,F随l的增大而减小.因此,只要求出F=200 N时对应的l的值,就能确定动力臂l至少应加长的量.
当F=400×=200时,由200=得:
l==3,3-1.5=1.5(m).
对于函数F=,当l>0时,l越大,F越小.因此,若想用力不超过400 N的一半,则动力臂至少要加长1.5 m.
另解:由F=得l=,因为F≤200,所以l≥3,
3-1.5=1.5(m),所以若想用力不超过400 N的一半,则动力臂至少要加长1.5 m.
【追加思考】 此题利用反比例函数知识解释:为什么使用撬棍时,动力臂越长越省力?
【师生活动】 学生思考后小组讨论交流,教师点评得出结论:
对于函数F=,当l>0时,F随l的增大而减小,所以使用撬棍时,动力臂越长越省力.
[设计意图] 本例利用数学知识解决物理问题,让学生感受数学知识在物理中的应用,促使学生主动尝试从数学的角度运用所学知识寻求解决问题的方法策略,培养学生建模思想的构建,提高学生解决问题的能力和应用意识.
二、共同探究二
【课件展示】
71
(教材例4)一个用电器的电阻是可调节的,其范围为110~220 Ω,已知电压为220 V,这个用电器的电路图如图所示.
(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系?
(2)这个用电器的功率的范围是多少?
思路一
教师引导学生分析:
(1)电学知识中,用电器的功率P(W)、电阻R(Ω)、两端的电压U(V)之间的等量关系式是PR= ,也可以写成P= ,或R= .
(2)由(1)得功率P与电阻R之间的关系为 .
(3)由反比例函数性质可得功率P随着电阻R的增大而 .
(4)当电阻最小R=110 Ω时,功率有最 值,P= ,当电阻最大R=220 Ω时,功率有最 值,P= ,所以用电器功率的范围是 .
【师生活动】 学生在教师的问题的引导下思考回答问题,然后完成解题过程,小组代表板书,教师对学生的回答给予评价和指导,并对学生的板书过程进行点评.
解:(1)根据电学知识,当U=220时,得P=.
(2)根据反比例函数性质可知,电阻越大,功率越小.
把电阻的最小值R=110代入P=,得到功率的最大值,P==440(W);
把电阻的最大值R=220代入P=,得到功率的最小值,P==220(W).
因此用电器功率的范围为220~440 W.
思路二
【思考】
(1)电学知识中,用电器的功率P(W)、电阻R(Ω)、两端的电压U(V)之间的等量关系是什么?
(2)你能根据上边的等量关系写出功率P与电阻R之间的函数解析式吗?
(3)根据反比例函数性质,功率P随电阻R的增大怎样变化?
(4)当电阻R取最小值时,对应的函数值P有最小值还是最大值?当电阻R最大时呢?
(5)自变量R的取值范围是什么?对应的函数值P的取值范围是什么?
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,共同探究解题过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评.
【追问】 为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节?
【师生活动】 学生小组讨论后,大家积极发表自己的见解,教师及时点评.
【结论】 收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速都由这些电器的输出功率决定,在电压一定的情况下,用电器的输出功率是用电器电路中电阻的反比例函数.
[设计意图] 通过物理学科中已学过的电学公式,建立公式与反比例函数之间的联系,用反比例函数知识解决跨学科问题,感受数学在现实生活中的应用,激发学生学习数学的兴趣,提高学生应用数学解决问题的能力.
[知识拓展] (1)在利用反比例函数解决跨学科问题时,要根据物理、化学等学科中的公式建立函数关系式,再根据需要进行变形或计算.
(2)本节知识用到了转化思想及数学建模思想,如将实际问题中的数量关系转化为数学问题中的函数关系.
1.建立反比例函数模型,解决跨学科问题一般步骤:
(1)审题:弄清题意,分析问题中等量关系;
71
(2)建模:根据等量关系,将跨学科问题转化为数学问题,利用反比例函数知识建立数学模型.
(3)解模:根据反比例函数的性质解决问题.
2.本节课用到的思想和方法.
1.一定质量的干松木,当它的体积V=2 m3时,它的密度ρ=0.5×103 kg/m3,则ρ与V的函数关系式是 ( )
A.ρ=1000V B.ρ=V+1000
C.ρ= D.ρ=
解析:根据物理知识得ρ=,∵体积V=2 m3时,它的密度ρ=0.5×103 kg/m3,∴m=2×0.5×103=1000,∴ρ=.故选D.
2.如果变阻器两端电压不变,那么通过变阻器的电流y(A)与电阻x(Ω)之间的函数关系图象大致是 ( )
解析:依题意,得电压(U)=电阻(x)×电流(y),当U一定时,可得y=(x>0,y>0),∴函数图象为双曲线在第一象限的部分.故选B.
3.二氧化碳的密度ρ(kg/m3)关于其体积V(m3)的函数关系如图所示,那么函数关系式是 .
解析:由题意得ρ与V成反比例函数的关系,设ρ=,根据图象信息可得当ρ=0.5时,V=19.8,∴k=ρV=19.8×0.5=9.9,即可得ρ=.故填ρ=.
4.在压力不变的情况下,某物体承受的压强p(Pa)是它的受力面积S(m2)的反比例函数,其图象如图所示.
(1)求p与S之间的函数关系式;
(2)求当S=0.5 m2时物体承受的压强p;
71
(3)若要获得2500 Pa的压强,受力面积应为多少?
解:(1)设p=,
∵点(0.25,1000)在这个函数的图象上,
∴1000=,
∴k=250,
∴p与S的函数关系式为p=(S>0).
(2)当S=0.5 m2时,p==500(Pa).
(3)令p=2500,S==0.1(m2) .
第2课时
1.共同探究一
例1
2.共同探究二
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第16页习题26.2第4,6题.
【选做题】
教材第17页习题26.2第8题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体,密度ρ(单位:kg/m3)与体积V(单位:m3)满足函数关系式 ρ=(k为常数,k≠0),其图象如图所示,则k的值为 ( )
A.9 B.-9 C.4 D.-4
2.用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的关系是P=I2R,下面说法正确的是 ( )
A.当P为定值时,I与R成反比例
B.当P为定值时,I2与R成反比例
C.当P为定值时,I与R成正比例
D.当P为定值时,I2与R成正比例
3.某同学做物理实验,他使用的蓄电池电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)的关系如图所示,若该电路内的用电器限制电流不得超过8 A,则此用电器的可变电阻R(Ω)的范围应为 ( )
A.R5 C.R≤5 D.R≥5
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4.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(单位:kPa)是气体体积V(单位:m3)的反比例函数,其图象如图所示.当气球内的气压大于120 kPa时,气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应 ( )
A.不大于 m3 B.大于 m3
C.不小于 m3 D.小于 m3
5.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例,已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5 m,则y与x之间的函数关系式是 .
6.将50 N的压力作用在1 cm2的面积上所产生的压强是 Pa,如果保持压力不变,要产生5×103 Pa的压强应使受力面积变为 cm2.
7.实验表明,当导线的长度一定时,导线的电阻与它的横截面面积成反比例,一条长为100 km的铝导线的电阻R(Ω)与它的横截面面积S(cm2)的函数关系如图所示,那么当S=5 cm2时,R= Ω.
8.在某一电路中保持电压不变,电流I(A)与电阻R(Ω)将如何变化?若已知当电阻R=5 Ω时,电流I=2 A.
(1)求I与R之间的关系式;
(2)电阻是8 Ω时,电流是多少?
(3)如果要求电流的最大值为10 A,那么电阻R的最小值是多少?
【能力提升】
9.在对物体做功一定的条件下,力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例关系,其图象如图所示,P(5,1)在此函数图象上,则当力达到10牛时,物体在力的方向上移动的距离是米.
71
10.我市某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种.如图所示的是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度y(℃)随时间x(时)变化的函数图象,其中BC段是双曲线y=的一部分.请根据图中信息解答下列问题.
(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18 ℃的时间有多少小时?
(2)求k的值;
(3)当x=16时,大棚内的温度约为多少?
【拓展探究】
11.蓄电池电压为定值,使用此电源时,电流I(A)与电阻R(Ω)之间关系的图象如图所示,若点A在图象上,解答下列问题.
(1)电流I随着电阻R的增加是如何变化的?
(2)电流I可以看成电阻R的什么函数?求出这个函数的表达式;
(3)如果以此蓄电池为电源的用电器能正常工作,那么限制电流不得低于8 A且不得超过16 A,则用电器的可变电阻应控制在什么范围内?
【答案与解析】
1.A(解析:把点A(6,1.5)代入函数关系式,得k=6×1.5=9.故选A.)
2.B(解析:根据P=I2R可以得到:当P为定值时,I2与R的乘积是定值,所以I2与R成反比例.故选B.)
3.D(解析:由物理知识可知I= ,图象过点(10,4),故U=40,当I≤8时,R≥5.故选D.)
4.C(解析:设球内气体的气压p(kPa)和气体体积V(m3)的关系式为p=,∵图象过点(1.6,60),∴k=96,即p=,在第一象限内,p随V的增大而减小,∴当p≤120时,V=≥.故选C.)
5.y=(解析:由题意设y=,由于点(0.5,200)适合这个函数解析式,则k=0.5×200=100,∴y=,所以眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为y=.故填y= .)
6.5×105 100(解析:50 N的压力作用在1 cm2的面积上产生的压强为p1===5×105 Pa.保持压力不变,要产生5×103 Pa的压强,则受力面积由p=可得,S2===10-2m2=100 cm2.)
7.(解析:根据图象可得该图象经过点(1,29),所以R=,当S=5时,R=.故填.)
8.解:(1)由物理知识知U=IR,∵R=5,I=2,∴U=5×2=10,∴I与R之间的关系式为I=(R>0). (2)当R=8时,I==1.25(A).(3)当I=10 A时,R==1(Ω),∴电阻的最小值为1 Ω.
9.0.5(解析:设反比例函数关系式是F=,∵图象过点P(5,1),∴k=1×5=5,∴反比例函数关系式是F=,当F=10时,10=,解得s=0.5.故填0.5.)
71
10.解:(1)恒温系统在这天保持大棚温度18 ℃的时间为10小时. (2)∵点B(12,18)在双曲线y=上,∴18=,解得k=216. (3)当x=16时,y==13.5,∴当x=16时,大棚内的温度约为13.5 ℃.
11.解:(1)电流I随着电阻R的增加而减小. (2)电流I是电阻R的反比例函数.设I=(U≠0),∵图象经过点A(8,4),∴U=IR=8×4=32,∴I=(R>0). (3)当I=8时,R==4,当I=16时,R==2.∵I随R的增大而减小,∴当8≤I≤16时,2≤R≤4.∴用电器的可变电阻应控制在2~4 Ω范围内.
本节课探究一以问题串的形式,引导学生层层深入思考,然后小组合作交流,共同探究,建立函数模型,解决与反比例函数有关的跨学科问题,最后归纳总结解决这类实际问题的一般步骤,学生亲身经历知识的形成过程,提高了分析问题、解决问题的能力,提升了数学思维,同时体会了数学在其他学科问题中的应用.探究课本例题,让学生在问题的引导下自主探究,放手让学生从其他学科的公式中确定反比例函数解析式,解决生活中熟悉的实际问题,激发了学生的学习兴趣,使课堂气氛活跃.
本节课的重点是通过建立反比例函数模型解决跨学科的实际问题,设计时为了突出让学生经历知识的形成过程,设计的小问题多,造成课容量较大,在课堂中前松后紧,进行探究二有些着急,教师引导不到位,学生思考时间短.再有涉及的物理知识是学生熟知的,可以考虑不依赖教材,放手让学生思考、探究、交流、归纳,教师只要做到引导者的角色即可.
建立反比例函数模型解决实际问题是本章学习的一个难点,所以本节课的设计是教师在课堂中引导学生判断、分析、归纳,突出学生为主体,教师引导学生经历分析、观察、建模、发现新知、解决新知、归纳总结的过程,让学生在思考、交流活动中共同解决实际问题,提高学生解决问题的能力和数学应用意识,同时培养学生合作意识.
习题26.2(教材第16页)
2.解:(1)由矩形的面积公式有x·y=2×106.所以 y=.所以y与x之间的函数关系式是y=,是反比例函数. (2)当y∶x=2∶1,即y=2x时,把y=2x代入y=中,得2x=.所以2x2=2×106,x2=106,所以x=±103.因为x是矩形的宽,所以x>0,所以x=-103不符合题意,舍去.所以x=103,y=2x=2×103.所以试验田的长为2×103 m,宽为103 m.
3.解:由题意可知mn=1000,所以m=.所以m是n的反比例函数,函数关系式为m=.当n=4时,m==250.所以如果每天用电4 kW·h,这些电可以用250天.
4.提示:设I=.由表格可知,当I=5时,R=20.所以5=,所以k=100.所以I与R之间的函数关系式为I=,由I与R之间的函数关系式可完成表格.
5.C
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6.解:(1)设ρ=.由图象可知点A(5,1.98)在函数ρ=的图象上,所以1.98=,所以m=9.9.所以密度ρ与体积V之间的函数关系式是ρ=. (2)当V=9时,ρ==1.1.即当V=9 m3时,二氧化碳的密度是1.1 kg/m3.
7.解:(1)由题意可知vd=1200,所以d=.所以时间d与入库速度v成反比例函数关系,其函数关系式是d=. (2)当v=300时,d==4.所以60名职工每天入库300 t玉米,预计最快可在4天内完成. (3)300×2=600(t),1200-600=600(t),600÷(300÷60)=600÷5=120(名),120-60=60(名),所以至少需要增加60名职工.
8.(1)I= (2)36 V (3)表格从左到右依次填12,9,,6,,,4,. (4)R≥3.6
9.解:(1)由题意可知s·b=70.所以s=.所以s与b成反比例函数关系,其函数关系式为s=. (2)0.1×300=30(L),70-30=40(L),40÷(0.1×2)=200(km),因为200 一 > 二
3.(1)一、三 减小 (2)二、四 增大
4.B
5.解:由反比例函数的性质可知k-1>0,所以k>1.
6.解:由题意可设A,B,C三个面的面积分别为4S,2S,S.由压强=得a=.所以F=2aS.所以当砖A面向下放在地上时,地面所受的压强为==a(Pa).同理,当砖C面向下放在地上时,地面所受的压强为2a Pa.
7.解:(1)由题意可知dt=2×104,所以d=.所以d与t成反比例函数关系,其关系式是d=. (2)当t=10时,d==2000,2000÷365≈5(年).所以如果平均每天工作10 h,那么这种显示器大约可使用5年.
8.解:(1)y=的图象是B. (2)y=的图象是A. (3)y=-的图象是C. (4)y=-的图象是D.
9.解:两个不同的反比例函数的图象不会相交.理由如下:设这两个反比例函数分别为y=(k1≠0),y=(k2≠0且k2≠k1).令=,所以(k2-k1)x=0,因为k1≠k2,所以k1-k2≠0,所以x=0.因为当x=0时,反比例函数无意义,所以两个不同的反比例函数的图象不会相交.
10.解:函数y=k1x与y=的图象没有交点,有两种情况:当k1>0时,y=k1x的图象经过第一、三象限,则k2
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