第二十八章 锐角三角函数
1.了解锐角三角函数的概念,能够正确应用sin A,cos A,tan A表示直角三角形中两边的比.
2.能推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值,并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角.
3.能够正确地使用计算器,由已知锐角求出它的三角函数值,由已知三角函数值求出相应的锐角.
4.理解直角三角形中五个元素的关系,以及什么是解直角三角形,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
5.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题,并能对相关知识进行综合应用.
1.通过探究锐角的正弦、余弦、正切概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳推理能力.
2.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移.
3.综合运用所学知识解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.培养学生思维能力的灵活性.
4.通过画示意图,将实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.
5.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.
1.通过积极参与数学学习活动,体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.
2.引导学生参与体验数学活动,学会用数学思维方式思考、发现、总结、验证,提高数学思维能力.
3.通过主动探究,合作交流,培养学生的团队精神,增强合作意识,同时让学生体验成功的快乐.
4.让学生经历观察、操作等数学活动,探索三角函数有关知识,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
5.在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯.
6.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,调动学生学习数学的积极性和主动性,培养学生认真思考等学习习惯,形成实事求是的科学态度.
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本章《锐角三角函数》是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容,是初中阶段研究三角形部分的最后阶段,主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容,掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法,既是相似三角形及函数的继续,也是继续学习三角形的基础,本章属于三角学中的最基础的部分,而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分,所以本章的学习是为高中数学中三角函数等知识的学习做准备.
本章在前边研究了直角三角形中三边之间的关系、两个锐角之间的关系的基础上,进一步研究边角之间的关系,本章包括锐角三角函数的概念(主要是正弦、余弦和正切的概念),以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容,锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具,解直角三角形在实际当中有着广泛的应用,这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会,研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论,解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容,因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础.通过本章的学习,使学生全面掌握直角三角形的组成元素之间的关系,并综合运用已学知识解决与直角三角形有关的度量问题,进一步培养学生的推理能力、运算能力和数学建模思想.
【重点】
1.正弦、余弦、正切的概念.
2.特殊角的三角函数值.
3.会解直角三角形.
4.能利用三角函数有关知识解决实际问题.
【难点】
1.解直角三角形的应用.
2.把实际问题转化为直角三角形中的问题,并通过锐角三角函数解决问题.
(1)注重数形结合,加深理解记忆
解决锐角三角函数的有关问题,都是在直角三角形中进行的,所以数形结合思想是本单元的重要思想方法.已知角所在的三角形为直角三角形时,常根据三角函数定义得到边角之间的关系,解决有关几何图形问题,已知角不在直角三角形中时,常通过作辅助线,构造直角三角形,再利用三角函数定义解决几何图形问题,所以在教学中注重数形结合思想的学习,在探究特殊角的三角函数值时,结合特殊的直角三角形,利用边角之间的关系,通过计算得出特殊值,体会由形到数的转化;由特殊角的三角函数值,通过构造直角三角形,得到边角之间的关系,体会由数到形的转化.
(2)重视知识的形成过程,深化理解概念
锐角三角函数的概念是本章的难点,也是学习本章的关键,难点在于锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系,这种角与函数之间的关系,学生以前没有接触过,所以学生对三角函数概念的理解成为本章的难点.在教学设计中,重视过程,深化理解,以直角三角形为主线,力求体现生活化课堂的理念,让学生在经历“问题情景——形成概念——应用拓展——反思提高”的基本过程中,通过主动探究来体现他们的主体地位,教师通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用,对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.学生经历概念的形成过程,体验知识间的内在联系,感受探究的乐趣,从而加深对概念的理解和掌握.
28.1 锐角三角函数
4课时
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形(1课时)
28.2.2 应用举例(2课时)
3课时
单元概括整合
1课时
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28.1 锐角三角函数
1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的锐角确定时,它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比是固定值,从而引出正弦、余弦、正切的概念.
2.了解三角函数的概念,理解锐角的正弦、余弦、正切的概念并能根据这些概念进行有关计算.
3.能推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.
4.能熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式.
5.让学生熟识计算器一些功能键的使用.会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值求角.
1.通过探究锐角的正弦、余弦、正切概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳推理能力.
2.经过三角函数概念的发现与学习,养成勤于思考,善于发现的良好习惯.
3.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
4.通过推导特殊角的三角函数值,了解知识间的联系,提高综合运用数学知识解决问题的能力.
5.自己熟悉计算器,在老师的指导下求一般锐角三角函数值,体会数学知识与实际生活息息相关.
1.通过积极参与数学学习活动,体验数学活动中充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.
2.引导学生参与体验数学活动,学会用数学思维方式思考、发现、总结、验证,提高数学思维能力.
3.通过主动探究,合作交流,培养学生的团队精神,增强合作意识,同时让学生体验成功的快乐.
4.让学生经历观察、操作等数学活动,探索三角函数有关知识,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
5.通过计算器的使用,了解科学在人们日常生活中的重要作用,激励学生热爱科学、学好文化知识.
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【重点】
1.理解各三角函数的意义,并会求锐角的各三角函数值.
2.熟记30°,45°,60°角的三角函数值,能熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式.
3.运用计算器处理三角函数中的值或角的问题.
【难点】
1.探索各三角函数值的概念.
2.30°,45°,60°角的三角函数值的推导过程.
3.运用计算器处理三角函数中的值或角等问题.
第课时
1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的锐角确定时,它的对边与斜边的比是固定值,从而引出正弦的概念.
2.理解锐角的正弦的概念,并能根据正弦的概念进行计算.
1.通过探究锐角的正弦的概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳推理能力.
2.通过锐角的正弦的学习,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
1.通过锐角的正弦概念的建立,体会从特殊到一般的数学思想方法,渗透数形结合思想.
2.让学生在通过探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的快乐,感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.
3.通过主动探究,合作交流,感受探索的乐趣和成功的体验,体会数学的合理性和严谨性,使学生养成积极思考的好习惯,同时培养学生的团队合作精神.
【重点】
理解正弦函数的意义,并会求锐角的正弦值.
【难点】
理解直角三角形的锐角确定时,它的对边与斜边的比是固定值.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P61~63.
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导入一:
意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜,其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1 m.1972年比萨地区发生地震,这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立,但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2 m,而且还在继续倾斜,有倒塌的危险.当地从1990年起对斜塔维修纠偏,2001年竣工,此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8 cm.
【师生活动】 学生欣赏比萨斜塔图片,教师介绍比萨斜塔有关知识,然后引出本章课题.
[过渡语] 你能用塔身中心线与垂直中心线所成的角来描述比萨斜塔的倾斜程度吗?通过本章的学习,你将能够解决这个问题.
导入二:
【复习提问】
1.直角三角形有哪些特殊性质?
2.有一个锐角是30°的直角三角形有什么特殊性质?
3.有一个锐角是45°的直角三角形有什么特殊性质?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
导入三:
操场上有一个旗杆,老师让小明去测量旗杆高度.
小明在离旗杆底部10米远处目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34°,并且已知目高为1.5米,然后他很快就能算出旗杆的高度了.
[过渡语] 你想知道小明怎样算出的吗?这就是我们即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测量物体的高度.今天我们学习锐角三角函数的第一种——锐角的正弦.
[设计意图] 通过大家熟知的意大利比萨斜塔导出本章学习内容,激发学生学习本章的求知欲,同时又以生活实例测旗杆的高度导入本课时的内容,让学生体会测量旗杆的高度不仅可以用上章所学习的相似三角形,还可以应用本章的锐角三角函数,激发学生的学习兴趣,体会生活与数学之间的密切联系.同时由复习导入新课,为本节课的学习做好铺垫.
一、共同探究
思路一
为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A)为30°,为使出水口的高度为35 m,需要准备多长的水管?
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思考一
(1)你能不能把该实际问题转化为几何语言?
[在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35 m,求AB(如右图所示)]
(2)你能求出AB的长度吗?为什么?
(根据直角三角形中30°的锐角对应的直角边等于斜边的一半,可得AB=2BC=70 m)
(3)计算题目中∠A的对边与斜边的比是多少.
(4)在该题目中,如果出水口的高度为50 m,那么需要准备多长的水管?此时的值是多少?需要准备100 m长的水管,=
(5)出水口的高度改变,∠A不变时,∠A的对边与斜边的比是否变化?不变,都等于
【师生活动】 学生独立思考后,小组交流答案,学生展示结果,教师点评,归纳结论.
【结论】 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,无论这个直角三角形大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于.
思考二
(1)如下图所示,任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=45°,你能计算出∠A的对边与斜边的比吗?
(2)通过计算,你能得到什么结论?
【师生活动】 学生思考后,小组合作交流,小组代表展示成果,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评,共同归纳结论.
【结论】 在直角三角形中,如果一个锐角等于45°,无论这个直角三角形大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于.
思考三
【猜想】 一般地,当∠A取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?
如图所示,Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,那么与有什么关系?用语言叙述你的结论.
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,共同得出结论,教师对学生的展示进行点评.
【板书】 由于∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,
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所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',
因此,=,即=.
【课件展示】 在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都不变,是一个固定值.
思路二
动手操作:
(1)测量自己手中一副三角板中30°,45°,60°角所对的直角边与斜边的长度,并计算它们的比值.其中一同学测量、计算教师手中的三角板中各角所对的直角边与斜边的比值.
(2)小组内交流计算结果,三角板的大小不同,30°,45°,60°角所对的直角边与斜边的比有什么特点?你能得到什么结论?
【师生活动】 学生动手测量、计算,小组内交流结果,共同归纳结论,教师及时发现学生存在的问题并及时纠正,对学生的结论进行点拨.
【结论】 不论三角板大小如何,30°,45°,60°角的对边与斜边的比都是一个固定值.
【猜想】 如果是任意一个直角三角形,当一个锐角的度数固定时,这个角的对边与斜边的比是否也是固定值呢?
【验证】 如图所示,Rt△ABC和Rt△A'B'C',∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,那么与有什么关系?用语言叙述你的结论.
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,共同得出结论,教师对学生的展示进行点评.
【板书】 由于∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',
因此,=,即=.
【课件展示】 在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都不变,是一个固定值.
[设计意图] 思路一由实际问题入手,计算直角三角形中特殊锐角所对的直角边与斜边的比是固定值,然后类比探索出直角三角形中锐角确定时,它所对的直角边与斜边的比是固定值;思路二通过操作、测量、猜想、验证,得出结论,让学生体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳总结能力.
二、形成概念
[过渡语] 在直角三角形中,锐角的度数一定时,它所对的直角边与斜边的比是固定值,这个固定值就是这个锐角的正弦值.
【课件展示】 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A,即sin A==.
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【思考】
(1)当∠A=30°或∠A=45°时,∠A的正弦为多少?当∠A=30°时,sin A=sin 30°=;当∠A=45°时,sin A=sin 45°=
(2)∠A的正弦sin A表示的是sin与A的乘积还是一个整体?(sin A表示的是一个整体)
(3)当∠A的大小变化时,sin A是否变化?(sin A随着∠A的大小变化而变化)
(4)sin A有单位吗?(sin A是一个比值,没有单位)
(5)∠B的正弦怎么表示?
(6)要求一个锐角的正弦值,我们需要知道直角三角形中的哪些边?(需要知道这个锐角的对边和斜边)
【师生活动】 学生思考,小组合作交流,小组代表回答问题,教师点拨.
[设计意图] 在一系列的问题解决中,经历从特殊到一般建立数学概念的过程,让学生理解、认识正弦的概念及写法和意义,教师强调概念中需注意的事项,加深对正弦概念的理解和掌握.
三、例题讲解
(教材例1)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sin A和sin B的值.
教师引导思考:
(1)求sin A实际上要确定什么?依据是什么?sin B呢?
(2)sin A,sin B的对边和斜边是已知的吗?
(3)直角三角形中已知两边如何求三角形的第三边?
【师生活动】 学生思考后回答问题,然后书写解题过程,小组交流结果,小组代表板书过程,教师规范解题步骤.
【课件展示】 解:如图(1)所示,在Rt△ABC中,由勾股定理得AB===5.
因此sin A==,sin B==.
如图(2)所示,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC===12.
因此sin A==,sin B==.
[设计意图] 学生在教师的引导下,根据正弦的概念求出角的正弦值,教师规范学生的解题过程,让学生体会数学的严谨性,培养学生分析问题和解决问题的能力.
[知识拓展] (1)正弦是一个比值,没有单位.
(2)正弦值只与角的大小有关,与三角形的大小无关.
(3)sin A是一个整体符号,不能写成sin ·A.
(4)当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如sin∠ABC.
(5)sin2A表示(sin A)2,不能写成sin A2.
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1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.
2.正弦的定义:在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A,即sin A==.
1.如图所示,△ABC的顶点都是正方形网格(每个小正方形的边长均为1)中的格点,则sin∠ABC等于 ( )
A. B. C. D.
解析:如图所示,过点A向BC引垂线,与BC的延长线交于点D.在Rt△ABD中,AD=2,BD=4,∴AB==2,∴sin∠ABC==.故选C.
2.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦值 ( )
A.不变 B.缩小为原来的
C.扩大为原来的3倍 D.不能确定
解析:因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,所以锐角A的大小没改变,所以锐角A的正弦值也不变.故选A.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,AB=20,则BC= .
解析:∵AB=20,sin A=,∴sin A==,∴BC=×20=12.故填12.
4.如图所示,在菱形ABCD中,DE⊥AB,垂足为E,DE=8 cm,sin A=,则菱形ABCD的面积是 cm2.
解析:在菱形ABCD中,DE⊥AB,在Rt△DEA中,DE=8 cm,sin A=,则=,则AD=10 cm.所以AB=AD=10 cm,所以菱形ABCD的面积=DE×AB=8×10=80(cm2).故填80.
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,且sin B=,试分别求出AC,AB的值.
解:在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴sin B==.
设AC=3x,则AB=5x.
又AB2=AC2+BC2,
∴(5x)2=(3x)2+62=9x2+36,
即25x2=9x2+36,
∴x=,∴AC=3x=,AB=5x=.
第1课时
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1.共同探究
2.形成概念
在Rt△ABC中,∠C=90°,则sin A==.
3.例题讲解
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第68页习题28.1第1,2,4题.(只求正弦)
【选做题】
教材第69页习题28.1第6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=1,则sin B的值为 ( )
B. C. D.2
2.三角形在正方形网格(每个小正方形的边长均为1)中的位置如图所示,则sin α的值是 ( )
A. B.
C. D.
3.在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin A=,则BC等于 ( )
A.45 B.5 C. D.
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则sin B的值为 ( )
A. B. C. D.1
5.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,若AC=,BC=2,则sin∠ACD的值为 ( )
A. B. C. D.
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=8,则sin A= .
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,sin A=,则AB= .
8.如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且AB=5,BC=3,则sin∠BAC= ,sin∠ADC= ,sin∠ABC= .
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9.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1 cm,BC=2 cm,求sin A和sin B的值.
10.在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)若sin A=,BC=9,求AB的长;
(2)若sin B=,AB=10,求BC的长.
【能力提升】
11.如图所示,圆O的直径CD=10 cm,且AB⊥CD,垂足为P,AB=8 cm,则sin∠OAP= .
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=20,则sin B= .
13.如图所示,菱形ABCD的周长为40 cm,DE⊥AB,垂足为E,sin A=.则下列结论正确的有 .(填序号)
①DE=6 cm;②BE=2 cm;③菱形面积为60 cm2;④BD=4 cm.
14.如图所示,将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠,B点恰好落在AD边上,设此点为F,若AB∶BC=4∶5,求sin∠CFD,sin∠DCF的值.
【拓展探究】
15.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD为AC边上的中线,求sin∠ABD的值.
【答案与解析】
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1.A(解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,sin B==.故选A.)
2.C(解析:观察网格图,可知在直角三角形中,α的对边长为3,邻边长为4,根据勾股定理可得斜边长为5,所以根据正弦定义可得sin α=.故选C.)
3.B(解析:∵sin A==,AB=15,∴BC=5.故选B.)
4.C(解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,设BC=a,则AB=2a,根据勾股定理可得AC===a,∴sin B===.故选C.)
5.A(解析:在Rt△ABC中,根据勾股定理可得AB===3.由题意知∠B+∠BCD=90°,∠ACD+∠BCD=90°,∴∠B=∠ACD.∴sin∠ACD=sin B==.故选A.)
6.(解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=8,∴BC===,∴sin A==.故填.)
7.6(解析:∵sin A===,∴AB=6.故填6.)
8. (解析:∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵AB=5,BC=3,∴sin∠BAC==,AC===4,∴sin∠ADC=sin∠ABC==.故依次填,,.)
9.解:由勾股定理可得AB==(cm),所以sin A===,sin B===.
10.解:(1)∵sin A==,又BC=9,∴AB=15. (2)∵sin B==,又AB=10,∴BC=8.
11.(解析:∵AB⊥CD,∴AP=BP=AB=×8=4(cm),在Rt△OAP中,OA=CD=5 cm,∴OP==3 cm,∴sin∠OAP==.故填.)
12.(解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,即=,设CB=4x,则AB=5x,∴根据勾股定理可得AC=3x.∴sin B==.故填.)
13.①②③(解析:∵菱形ABCD的周长为40 cm,∴AD=AB=BC=CD=10 cm.∵DE⊥AB,垂足为E,∴sin A===,∴DE=6 cm,∴AE=8 cm,∴BE=2 cm.∴菱形的面积为AB×DE=10×6=60(cm2).在Rt△BED中,BE=2 cm,DE=6 cm,∴BD=2 cm.∴①②③正确,④错误.故填①②③.)
14.解:由AB∶BC=4∶5,可设AB=4k,BC=5k,由折叠可知CF=CB=5k.矩形ABCD中,CD=AB=4k,在Rt△CDF中,由勾股定理可得DF==3k,∴sin∠CFD==,sin∠DCF==.
15.解:如图所示,作DE⊥AB于E.设BC=AC=2x,∵BD为AC边上的中线,∴CD=AD=AC=x.在Rt△BCD中,根据勾股定理,得BD=x.∵∠C=90°,AC=BC,∴∠A=∠CBA=45°,又∵DE⊥AB,∴∠A=∠EDA=45°,∴AE=DE=x,在Rt△BDE中,sin∠ABD===.
通过复习含特殊角的直角三角形的性质,为本节课的探究做好铺垫,用具体情景引入新课,把教学内容转化为具有潜在意义的问题,让学生带着问题进入课堂,然后用具体实例的探究,层层递进,由特殊到一般,引导学生归纳总结出:直角三角形的锐角确定时,它的对边与斜边的比是固定值的特点,从而自然引出正弦的概念,顺理成章完成知识的迁移,
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学生通过动手操作、合作探究、归纳总结等数学活动突破了本节课的重点和难点,培养了学生发现问题、探究思考与合作交流的能力.在课堂上,学生参与意识较强,课堂气氛活跃,让不同的学生得到不同的发展,突出了学生在课堂上的主体作用.
本节课的重点是探究直角三角形中锐角确定时,它的对边和斜边的比是固定值,由此归纳总结正弦定义,在教学设计中,注重知识间的联系,由前边所学知识自然推导结论,由结论自然导出正弦概念,但在授课过程中忽略了学生的认知能力,部分学生对锐角的正弦的理解有困难,在以后的教学中,给出正弦的定义后,应给出几个简单练习加深学生对概念的理解和掌握.
本节课的内容是探究直角三角形中锐角确定时,它的对边和斜边的比是固定值,把这个固定值定义为这个锐角的正弦,在教学设计中,以比萨斜塔导入新课,激发学生学习本章内容的好奇心和求知欲,然后通过复习特殊直角三角形的性质,为本节课的探究活动做好铺垫,通过探究特殊图形中边之间的关系,猜想一般直角三角形中边之间的关系,然后理论证明猜想,从而很自然地导出概念,让学生经历概念的形成过程,利于对概念的理解和掌握,同时提高数学思维和能力.
练习(教材第64页)
1.解:(1)∵在Rt△ABC中,AB===,∴sin A===,sin B===. (2)∵在Rt△ABC中,BC===2,∴sin A===,sin B===.
2.提示:sin A=.
本节课是锐角三角函数的第一个课时,在教学设计中,通过设计“思考”“探究”“归纳”等教学环节,为学生提供探究交流的空间,发展学生的思维能力.教材中直接给出了正弦的概念,而概念的形成过程的探索留给了学生,在本节课的教学设计中,通过复习特殊直角三角形的性质,为学生探究活动做好铺垫,然后给出特殊的直角三角形,学生通过独立思考、小组合作交流、共同归纳等数学活动,探索出结论“在直角三角形中,当一个锐角确定时,这个角的对边与斜边的比是固定值”,然后教师引导学生思考,对于一般的直角三角形是否具有这样的性质.学生通过动手操作,合作探究,完成严格的理论证明,从而得到结论的正确性,很自然地引出正弦的概念.在课堂上以问题引导的形式让学生积极参与课堂,亲身经历知识的形成过程,为学生提供了更加广阔的探索空间,让学生学会观察、思考、与他人合作及归纳总结,从而提高学生分析问题、解决问题的能力,使数学思维得到进一步的提升.
如图所示,在下列网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上,则∠AOB的正弦值是 ( )
90
A. B. C. D.
〔解析〕 如图所示,作AC⊥OB,交OB延长线于点C.则AC=,AO==2,则sin∠AOB===.故选D.
第课时
1.探索直角三角形的锐角确定时,它的邻边与斜边的比、对边与邻边的比是固定值,从而引出余弦、正切的概念.
2.了解锐角三角函数的概念,理解锐角的余弦、正切的概念并能根据余弦、正切的概念进行计算.
1.结合正弦概念探索锐角的余弦、正切概念的形成,培养学生类比推理的能力.
2.通过探究锐角的余弦、正切概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳推理能力.
3.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
1.通过观察、思考、交流、总结等数学活动,体验数学学习充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.
2.通过主动探索,合作交流,增强学生的合作意识,体验成功的快乐,增强学习数学的信心.
3.培养学生敢于发表自己的想法,勇于质疑,养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯,形成实事求是的科学态度.
【重点】
理解余弦、正切的概念,并会求锐角的余弦值、正切值.
【难点】
类比正弦的概念,探索余弦、正切的概念.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P64~65.
90
导入一:
【复习提问】
1.在直角三角形中,当一个锐角的大小一定时,它的对边与斜边的比有什么规律?
2.什么是正弦?如何求一个角的正弦?
3.探究正弦的概念时,我们用了什么方法?
导入二:
观察两个大小不同的三角板,当角是30°,45°,60°时,它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法.
[过渡语] 类比探究正弦的方法,在直角三角形中,当锐角的度数一定时,它的邻边与斜边、对边与邻边的比也是固定的值,这就是我们这节课要学习的内容.
[设计意图] 通过复习提问,回忆上节课的探究方法,用类比的方法探究本节课的内容,为本节课的学习做好铺垫.计算直角三角板中特殊角的邻边与斜边、对边与邻边的比,归纳规律,很自然地引出本节课要学习的概念,同时培养学生计算、观察、猜想的能力.
一、新知探究
思路一
【思考】 在不同的直角三角形中,当锐角A的度数相同时,它们的邻边与斜边的比、对边与邻边的比是同一个固定值吗?
【师生活动】 教师提示类比上节课的证明思路,学生独立完成证明过程,学生代表板书,教师规范证明过程.
已知:如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α.
求证:=,=.
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,共同得出结论,教师对学生的展示进行点评.
【板书】 证明:由于∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',
因此,=,即=.
同理可得=,即=.
【思考】 大家能不能得出锐角B的度数一定时,∠B的邻边与斜边、∠B的对边与邻边的比是不是一个固定值呢?
90
学生思考回答,教师点评.
【课件展示】
1.在直角三角形中,当锐角的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的邻边与斜边的比都是一个固定值.
2.在直角三角形中,当锐角的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与邻边的比都是一个固定值.
思路二
如图所示,在Rt△AB1C1和Rt△AB2C2中,∠AC1B1=∠AC2B2=90°.
【思考】
(1)Rt△AB1C1与Rt△AB2C2之间有什么关系?(Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2)
(2)与,与之间各有什么关系?=,=
(3)在射线AB1上任取一点B3,过B3作B3C3⊥AC1,垂足为C3,则与,与之间有什么关系?=,=
(4)根据以上思考,你得到什么结论?(直角三角形中∠A的邻边与斜边、对边与邻边的比是固定不变的)
(5)如果改变∠A的大小,上边的比值是否变化?归纳你的结论.
【师生活动】 教师提出问题,学生思考后小组合作交流,共同归纳结论,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的回答作出点评.
【课件展示】
1.在直角三角形中,当锐角的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的邻边与斜边的比都是一个固定值.
2.在直角三角形中,当锐角的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与邻边的比都是一个固定值.
[设计意图] 在教师提出的问题的引导下,学生通过小组合作交流,类比上节课探究问题的方法,经过观察、讨论、验证等数学活动,归纳出结论,为归纳理解三角函数定义做好铺垫,同时培养学生的归纳总结能力.
二、形成概念
[过渡语] 在直角三角形中,锐角的度数一定时,角的邻边与斜边、对边与邻边的比是固定值,我们把这两个固定值分别定义为余弦和正切.
【课件展示】 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即cos A==.
90
同样,把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A==.
【思考】 当∠A的大小变化时,sin A,cos A,tan A是否变化?对于锐角A的每一个确定的值,sin A,cos A和tan A是否有唯一的值和它对应?
【师生活动】 学生思考回答,教师引导点评.
归纳:sin A,cos A,tan A都是∠A的函数.
【课件】 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
[设计意图] 教师根据上边的总结验证,类比正弦的概念形成,引导学生认识理解余弦、正切的概念,教师可以强调概念中需注意的事项,加深学生对锐角三角函数概念的理解和掌握.
三、例题讲解
(教材例2)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sin A,cos A,tan A的值.
【思考】
(1)根据余弦、正切的定义,要求cos A,tan A的值必须求出哪条边的长?
(2)怎样求出AC的长?
【师生活动】 学生思考后回答问题,然后书写解题过程,小组交流结果,小组代表板书过程.
【课件展示】 解:由勾股定理得AC===8,
所以sin A===,
cos A===,
tan A===.
(补充拓展)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,sin A=,求cos A,tan B的值.
【解析】
(1)已知sin A和BC的值,根据正弦定义,可以求出三角形的哪条边长?
(2)你能不能求出三角形的第三条边长?
(3)根据余弦、正切定义,你能求出cos A,tan B的值吗?
【师生活动】 学生独立思考完成,小组内交流答案,教师帮助有困难的学生,对学生的答案进行点评.
解:∵sin A=,∴AB==6×=10.
又∵AC===8,
∴cos A==,tan B==.
90
[设计意图] 在教师提出的问题的引导下,学生独立思考完成,教师对学生的结果进行点评,让学生根据概念求出各三角函数值,加深学生对概念的理解和掌握,同时让学生综合运用勾股定理、三角函数概念进行有关计算,培养学生综合运用数学知识解决问题的能力.
[知识拓展] (1)余弦和正切都是一个比值,没有单位.
(2)余弦值和正切值只与角的大小有关,而与三角形的大小无关.
(3)cos A,tan A都是一个整体符号,不能写成cos·A,tan·A.
(4)当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如tan∠ABC.
(5)在Rt△ABC中,∠C=90°,由于sin A==,cos A==,sin B==,cos B==,tan A==,tan B==,因此,sin A=cos B,cos A=sin B,tan A·tan B=1.
(6)在Rt△ABC中,∠C=90°,∴a2+b2=c2,∵sin A=,cos A=,tan A=,∴sin2A+cos2A=1,tan A=.
1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是一个固定值.
2.余弦、正切的定义:在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即cos A==.把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A==.
3.三角函数定义:锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
1.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cos A的值是 ( )
A. B. C. D.4
解析:根据余弦定义可得cos A==.故选B.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则下列选项正确的是 ( )
A.sin A= B.cos A=
C.tan A= D.以上都不对
解析:由勾股定理可得BC==5,∴sin A==,cos A==,tan A==.故选B.
3.如图所示,A,B,C三点在正方形网格线的交点处,网格中,小正方形的边长均为1,若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B',则tan B'的值为 .
解析:由旋转可得∠B'=∠B,所以tan B'=tan B=.故填.
4.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,cos A=,AB=12,求△ABC的面积.
解:∵cos A==,AB=12,∴AC=4.
90
由勾股定理可得BC===4,
∴S△ABC=AC·BC=×4×4=24.
第2课时
1.新知探究
2.形成概念
在Rt△ABC中,∠C=90°,则cos A==,tan A==.
3.例题讲解
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第68页习题28.1第1,2,4题.
【选做题】
教材第70页习题28.1第10题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tan B的值是 ( )
A. B. C. D.
2.已知Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2,则tan A的值是 ( )
A.2 B. C. D.
3.已知Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=8,则AC等于 ( )
A.6 B. C.10 D.12
4.如图所示,若cos α=,则sin α的值为 ( )
A. B.
C. D.
5.(连云港中考)小明在学习“锐角三角函数”中发现,将如图1 - 13所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A在BC上的点E处,还原后,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC上的点F处,这样就可以求出67.5°的角的正切值是 ( )
A.+1 B.+1 C.2.5 D.
90
6.(2015·巴中中考)如图所示,将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中,则tan∠AOB= .
7.如图所示,AB是☉O的直径,AB=15,AC=9,连接BC,则tan∠ADC= .
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,AB=26.求cos B及AC的长.
【能力提升】
9.如图所示,A,B,C三点在正方形网格线的交点处(每个小正方形的边长均为1).若将△ACB绕着点A逆时针旋转到如图所示的位置,得到△AC'B',使A,C,B'三点共线,则tan∠B'CB的值为 .
10.如图所示,AB是☉O的直径,且AB=5,CD是☉O的弦,AD与BC相交于点E,若CD=2,则cos∠BED= .
11.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是BC边上的中线,sin∠CAM=,则tan B的值是 .
12.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,tan B=cos∠DAC.
(1)求证AC=BD;
(2)若sin C=,BC=12,求AD的长.
90
【拓展探究】
13.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,AC=2,CD=1,设∠CAD=α.
(1)求sin α,cos α,tan α的值;
(2)若∠B=∠CAD,求BD的长.
【答案与解析】
1.D(解析:在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC==4,∴tan B==.故选D.)
2.B(解析:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=2,BC=1,∴tan A==.故选B.)
3.A(解析:∵tan A==,BC=8,∴AC==BC=6.故选A.)
4.D(解析:∵cos α==,∴设α的邻边长为k,斜边长为10k,由勾股定理可得α的对边长为=3k,∴sin α===.故选D.)
5.B(解析:注意折叠前后对应点关于对称轴对称,也就是说△ABE和△AEF都是等腰三角形,进而得到67.5°的角为∠FAB.设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE中,利用勾股定理求得AE=EF=x,于是BF=(+1)x.在直角三角形ABF中,tan∠FAB===+1=tan 67.5°.故选B.)
6.(解析:过点A作AD⊥OB,垂足为D,如图所示,在Rt△AOD中,AD=1,OD=2,则tan∠AOB==.故填.)
7.(解析:∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵AB=15,AC=9,∴根据勾股定理,得BC=12.∵∠ADC和∠ABC是同弧所对的圆周角,∴∠ADC=∠ABC.∴tan∠ADC=tan∠ABC===.)
8.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∴tan A==,∴设BC=2k,AC=3k,由勾股定理可得AB=k,∴k=26,∴k=2,∴BC=2k=4,AC=3k=6,∴cos B===.∴AC的长为6,cos B=.
9.2(解析:如图所示,连接BD,由正方形网格利用勾股定理得BC=,CD=,BD=2,则CD2+BD2=BC2,所以CD⊥BD,则tan∠B'CB==2.)
90
10.(解析:如图所示,连接BD,则∠ADB=90°,易知∠CDA=∠ABC,∠C=∠A,∴△CED∽△AEB,∴==,在Rt△BED中,∠EDB=90°,∴cos∠BED==.故填.)
11.(解析:在Rt△AMC中,sin∠CAM==,设MC=3x,AM=5x,则AC==4x.由题意知M是BC的中点,∴BC=2MC=6x.在Rt△ABC中,tan B===.)
12.(1)证明:∵AD是BC边上的高,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ADC中,tan B=,cos∠DAC=,又∵tan B=cos∠DAC,∴=,∴AC=BD.
(2)解:在Rt△ADC中,sin C==,故可设AD=12k,AC=13k,∴CD==5k,∵BC=BD+CD,又AC=BD,∴BC=13k+5k=18k,∵BC=12,∴18k=12,∴k=,∴AD=12k=12×=8.
13.解:在Rt△ACD中,∵AC=2,DC=1,∴AD==.(1)sin α===,cos α===,tan α==. (2)在Rt△ABC中,tan B=,即tan α==,∴BC=4,∴BD=BC-CD=4-1=3.
本节课的主要内容是在上节课的基础上,用类比的方法探究余弦和正切定义,在教学设计中,通过复习上节课探究正弦的方法和技巧,为本节课学生的自主学习打下基础.在探究活动中,教师引导学生仿照研究锐角的正弦的思路和方法,自己完成锐角的余弦、正切的探索过程,从而得到余弦和正切的概念.例题的分析和解答以学生为主体,通过小组合作交流完成,教师及时点拨,加深学生对概念的理解和掌握的同时,提高了学生的解题能力,并规范了教学过程.
本节课学习的主要内容是三个锐角三角函数,在教学设计时,只注重了学生的活动的设计,考虑到学生基础较差,对函数的理解较难,所以没有将函数与定义过多的联系,三角函数定义是高中知识的基础,所以仅仅让学生停留在会应用定义进行简单的计算还远远不够,在以后的教学中,应让学生加深对三角函数定义的理解和掌握.
本节课的重点是通过探究得到直角三角形中,当锐角的度数一定时,这个锐角的邻边与斜边、对边与邻边的比都是一个固定值,从而得到锐角的余弦和正切的定义,并根据定义能进行有关运算,在教学中以复习锐角的正弦定义及探究方法、生活实例导入新课,为本节课的学习做铺垫,激发学生学习的兴趣,然后把课堂大胆交给学生,类比上节课的探究方法,通过自主探究、小组合作等数学活动,让学生探究出结论,归纳三角函数定义,让学生体验成功的快乐,人人学有价值的数学.
90
练习(教材第65页)
1.解:(1)BC==5,sin A=,sin B=,cos A=,cos B=,tan A=,tan B=. (2)AB==,sin A==,sin B==,cos A==,cos B=,tan A=,tan B=.
2.解:当直角三角形的各边长都扩大为原来的2倍时,锐角A的正弦值、余弦值、正切值都不变.因为锐角三角函数值只与角的大小有关.
本节课的教学设计中,重点是探究余弦、正切两个三角函数的定义,通过复习上节课正弦的概念及探究方法,让学生类比“直角三角形中,当锐角的度数一定时,这个锐角的对边与斜边的比是一个固定值”的证明方法,独立完成猜想“直角三角形中,当锐角的度数一定时,这个锐角的邻边与斜边、对边与邻边的比都是固定值”,然后通过小组交流,顺利完成证明过程,从而归纳余弦、正切的定义.在例题的设计中,学生在解答教师提出的一系列问题的引导下,独立思考,有困难的学生通过小组合作交流,加深对概念的理解和掌握.总之,在教学设计中,以学生活动为主,在设计的各个活动中,学生掌握了知识,提高了学习能力.
如图所示,沿AE折叠矩形纸片ABCD,使点D落在BC边的点F处.已知AB=8,BC=10,则tan∠EFC的值为 ( )
A. B. C. D.
〔解析〕 根据题意可知在Rt△ABF中,有AB=8,AF=AD=10,则BF=6,易知∠EFC=∠BAF,故tan∠EFC=tan∠BAF==.故选A.
第课时
1.能推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2.能熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式.
90
1.通过探索特殊角的三角函数值的过程,培养学生观察、分析、发现的能力.
2.通过推导特殊角的三角函数值,了解知识间的联系,提升综合运用数学知识解决问题的能力.
3.经历特殊角的三角函数值的学习,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
1.在探索特殊角的三角函数值中,学生积极参与数学活动,培养学生独立思考问题的能力.
2.让学生经历观察、操作等过程,探索特殊三角函数值,让学生获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
【重点】
熟记30°,45°,60°角的三角函数值,能熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式.
【难点】
30°,45°,60°角的三角函数值的推导过程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习锐角三角函数的定义.
导入一:
如图所示,这是一块三角形草皮,∠A=60°,AB=2米,AC=1.8米,那么这块三角形的草皮面积为多少呢?
如图所示,这是一块三角形草皮,∠A=60°,AB=2米,AC=1.8米,那么这块三角形的草皮面积为多少呢?
【师生活动】 学生思考后,小组合作交流,回答解决方法,教师点评,导出新课.
结合学生回答,教师分析:过C点作AB的垂线CD,垂足为D,∵sin A=,∴CD=ACsin 60°.
[过渡语] AC是已知的,假如sin 60°能够知道,CD就可求,那么这个问题就得到解决.本节课我们就一同来探讨30°,45°,60°角的三角函数值.
导入二:
【复习提问】
1.什么是锐角的正弦、余弦、正切?
2.含30°,45°角的直角三角形有哪些性质?
3.你还记得我们探究锐角的正弦概念时所得的30°,45°角的正弦吗?
4.你还能推导出30°,45°,60°角的其他三角函数值吗?
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[设计意图] 通过生活实际问题导入新课,激发学生的求知欲望,感受生活中处处有数学,复习直角三角形的性质和三角函数的概念,为本节课特殊角的三角函数值的推导打下基础,做好铺垫,让学生从已有的知识体系中很自然地构建出新知识.
[过渡语] 探究30°,45°,60°角的三角函数值就是我们本节课要学的内容.
一、实践探究
思路一
动手操作:画出含有30°,45°角的直角三角形,分别求出30°,45°,60°角的所有三角函数值.
【师生活动】 学生画图,根据直角三角形的知识和三角函数定义,独立推导各三角函数值,然后小组成员交流推导结果,教师提示可以用字母表示三角形的一条边长,然后计算各三角函数值,对学生推导的结果教师作出点评,共同完成下列表格.
【课件展示】
锐角A
锐角
三角函数
30°
45°
60°
sin A
cos A
tan A
1
【思考】 观察表格中特殊角的三角函数值,你能发现什么结论?
【师生活动】 学生进行小组讨论,教师巡视中帮助有困难的学生,并对学生的回答作出点评,只要学生说得有理,就要给予肯定和鼓励.
【结论】
(1)正弦、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.
(2)sin 30°=cos 60°,sin 60°=cos 30°,sin 45°=cos 45°,故sin α=cos (90°-α),cos α=sin (90°-α),其中α为锐角.
(3)0170海里,∴轮船不改变航向继续向前行驶,轮船无触礁的危险.
90
11.解:(1)∠BAO=45°,∠ABO=15°. (2)能.过点O作OC⊥AB于点C,如图所示,则△AOC与△BOC都是直角三角形,由(1)得∠BAO=45°,∠ABO=15°,∴△AOC是等腰直角三角形,∴AC=OC.在Rt△AOC中,AC=OAcos 45°=8×=4≈5.64,∴OC=AC≈5.64,在Rt△BOC中,BC=≈≈20.89.∴AB=AC+BC≈5.64+20.89=26.53(海里).∵中国渔政船的速度是每小时28海里,∴中国渔政船能在1小时内赶到.
12.解:(1)如图所示,过点B作BD⊥AC于点D,∵台风中心正以50 km/h的速度沿北偏东60°的方向移动,∴∠CAB=30°.∵AB=300 km,∴BD=AB=×300=150(km),150 km8,∴没有触礁的危险.
2.解:(1)由已知得tan α==,tan β=,∴α≈33.69°,β≈18.43°. (2)在Rt△ABF中,∵sin α=,∴AB=≈≈10.9(m).
习题28.2(教材第77页)
1.解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°,∴a=c=4,b==4. (2)∵∠A=15°,∴∠B=90°-15°=75°,∴a=b·tan 15°≈7×0.268≈1.9,c=≈≈7.2. (3)∵a=5,b=12,∴c==13,∴sin A=,∴∠A≈23°,∴∠B≈67°.
2.解:在Rt△ABD中,BD=5,∵tan 36°=,∴AD=5tan 36°≈5×0.727≈3.6(m).∵cos 36°=,∴AB=≈≈6.2(m).
3.解:由题意可知∠B=16°31',∠C=90°,AC=1200 m.在Rt△ABC中,sin B=,∴AB==≈≈4221(m).答:飞机A到指挥台B的距离约为4221 m.
4.解:如图所示,由题意可知PA=55 m,∠B=21°,∠A=90°.在Rt△PAB中,sin B=,∴PB==≈≈153(m).答:帆船距灯塔约153 m.
5.解:如图所示,∠B=24°,BC=5.5 m,∠C=90°.在Rt△ABC中,cos B=,∴AB==≈≈6.0(m).答:斜坡上相邻两树间的坡面距离约为6.0 m.
6.解:在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)∠B=90°-∠A,b=c·cos A,a=c·sin A. (2)∠B=90°-∠A,b=,c=. (3)b=.由sin A=,sin B=,可求出∠A,∠B的度数.
7.解;如图所示,BC=130×=65(m),∠B=65°,∠C=90°.∵tan B=,∴AC=BC·tan B=65×tan 65°≈65×2.1445≈139(m).答:这座金字塔原来的高约为139 m.
8.解:由题意可知AR=6 km,∠LRA=43°,∠LRB=45.54°,∠BLR=90°,∴BR=AR·cos 43°÷cos 45.54°≈6.27(km).在Rt△ALR中,sin∠LRA=,∴AL=AR·sin∠LRA.在Rt△
90
BLR中,sin∠LRB=,∴BL=BR·sin∠LRB.又∵AB=LB-LA,∴AB=BR·sin∠LRB-AR·sin∠ARL≈6.27×sin 45.54°-6×sin 43°≈6.27×0.7137-6×0.6820≈0.38(km),∴火箭的平均速度约为0.38÷1=0.38(km/s).答:这枚火箭从A到B的平均速度约为0.38 km/s.
9.解:设斜坡的长度为l,则l==≈9(m).答:斜坡的长度约为9 m.
10.解:根据题意画图,如图所示,过点P作PB⊥AB,垂足为B点,易知AP=32 n mile,∠PAB=30°,∴在Rt△APB中,PB=AP=16.又∵16
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