第二十九章 投影与视图
1.以丰富的实例为背景,认识投影与视图的基本概念和基本性质.
2.会在投影面上画出平行投影、中心投影及简单的平面图形的正投影.
3.理解视图的概念,探索三视图中三个视图间的位置关系和大小关系.
4.会画简单几何体及简单组合体的三视图.
5.学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型.
6.通过制作立体模型的课题学习,进一步加强对投影与视图的认识.
1.通过联系生活实际,初步感受平行投影、中心投影及正投影,体会数学与生活之间的密切联系,提高学生的数学应用意识.
2.通过具体的活动,培养学生动手实践能力和数学思考能力,发展学生的空间观念.
3.通过观察、操作、猜想、讨论、合作等活动,使学生体会到三视图中各部分之间位置及大小的对应关系,积累数学活动的经验.
4.通过观察、探究等活动使学生能根据物体的三视图还原出物体的形状,进一步认识物体与其三视图之间的关系.
5.通过学习和实践活动,激发学生对投影与视图学习的好奇心,加强动手动脑、理论结合实际的能力.
1.使学生学会关注生活中有关投影与视图的数学问题,体会数学与生活实际密不可分,提高数学的应用意识,激发学生学习数学的兴趣.
2.学生通过观察、思考、分析、探究得出结论,培养学生的观察能力、实践能力及归纳总结能力.
3.通过自主学习与合作交流的学习方式,提高动手操作能力、分析问题及解决问题的能力,培养学生的合作精神.
4.通过探究物体的三视图,学会多角度看问题,品尝成功的喜悦,激发学生学习数学的热情,增强学好数学的信心.
5.在探究三视图向立体图形转化的过程中,使学生感受数学的和谐美,培养学生动手实践能力,发展空间想象能力.
本章的主要内容有平行投影、中心投影和简单物体的三视图.投影是生活中常见的现象,而三视图又是特殊投影的产物,投影与三视图的知识在日常生活和生产中有广泛的应用,是培养学生空间观念的有效平台,空间观念的形成是一个长期的过程,而使学生具有良好的空间观念是义务教育阶段数学教育的一个重要目标.本章内容在数学学习中起着承上启下的作用,学生前边学习过“图形的初步知识”“图形和变换”等几何知识,在此基础上本章继续研究“投影与视图”,它是反映空间观念的重要内容,也为高中学习立体几何做了铺垫.
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教材以生活实例出发,引出投影的概念,观察分析不同的投影,得到平行投影和中心投影的区别与联系,然后以探究正方形的影子为例,得到平行投影中正投影的概念,而物体三个方向上的正投影就是该物体的三视图,教材最后探究“由物到图”和“由图到物”,两方面结合起来,就从不同角度反映了平面图形与立体图形是如何联系的.本章的知识内容不太多,编写本章最主要的目的不是介绍投影与视图的知识,而是通过学习本章切实发展学生的空间想象能力.
【重点】
1.通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用.
2.会画基本几何体及简单组合体的三视图.
3.能根据三视图描述基本几何体或实物的原型.
【难点】
了解基本几何体与其三视图、展开图之间的联系,通过典型实例知道这种关系在现实生活中的应用.
教学中应重视借助直观模型或动画演示,帮助学生克服立体几何知识不足的困难,在本章的教学中,不可避免地要涉及立体几何中的一些基础知识,但是学生此前缺乏对这些知识的系统学习,只是有一些感性认识,解决这个问题比较好的做法是选择一些实例或通过课件展示,让学生通过观察、想象,由直观认识结合实例了解空间关系,降低学习本章内容的难度,提高学生空间想象能力.
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的学科,数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的.很明显,关于投影和视图的知识是从实际需要(建筑、制造等)中产生的,它们与实际问题联系非常紧密.在本章之前,学生已经数次接触过和几何图形有关的平面图形知识及简单立体图形,对投影和视图的知识已有初步的、朦胧的了解,只是还没有明确接触过一些基本名词术语,对有关基本规律还缺乏归纳总结.所以在本章的学习中,以生活实例为载体,通过观察学生熟悉的生活实例,抽象出有关概念和性质.实际教学要比教科书有更大的灵活性,教学中要动态地展示模型,直接面对学生授业解惑,应充分发挥这些优势.因此,建议教学中在上述问题的处理上,能注意结合实物模型,充分利用直观演示,达到由感性认识到理性认识的提高.
29.1 投影
2课时
29.2 三视图
2课时
29.3 课题学习 制作立体模型
1课时
单元概括整合
1课时
29.1 投 影
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1.通过实践探索,了解投影、投影面、平行投影、中心投影及正投影的概念.
2.了解平行投影和中心投影的含义,认识两者之间的区别.
3.会在投影面上画出平行投影和中心投影.
4.能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.
1.通过联系生活实际,初步感受平行投影、中心投影及正投影,体会数学与生活之间的密切联系,提高学生的数学应用意识.
2.通过具体的活动,培养学生动手实践能力和数学思考能力,发展学生的空间观念.
3.通过学习和实践活动,激发学生对投影学习的好奇心,体会数学与现实生活的联系.
1.通过感受生活中的投影现象,体会数学与实际生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣.
2.通过实物演示和多媒体教学,把抽象问题直观化,激发学生的求知欲,感悟数学知识的奇妙无穷.
3.学生通过观察、思考、分析、探究得出结论,培养学生的观察能力、实践能力及归纳总结能力.
4.通过探究正投影的性质,培养学生动手操作能力、分析问题及解决问题的能力.
【重点】
1.通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用.
2.能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.
【难点】
在投影面上画出平面图形的平行投影、中心投影及正投影.
第课时
1.通过实践探索,了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念.
2.了解平行投影和中心投影的含义,认识两者之间的区别.
3.会在投影面上画出平行投影和中心投影.
1.通过联系生活实际,初步感受平行投影和中心投影,体会数学与生活之间的密切联系.
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2.认识中心投影和平行投影的区别与联系,发展空间想象能力.
1.通过观察、分析、探究得出结论,激发学生学习数学的兴趣,培养学生观察能力和实践能力.
2.使学生学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识,增强学好数学的信心.
【重点】
理解平行投影和中心投影的特征.
【难点】
在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P87~88.
导入一:
【师生活动】 教师课件展示“鸟巢”“水立方”等建筑图片,学生观察欣赏.
[过渡语] 你注意过周围物体在日光或灯光下的影子吗?影子和物体有着怎样的联系呢?人们从光线照射物体会产生影子得到启发,得出了投影的有关知识,并用这些知识来绘制视图.在生产实践中,制造机器、建筑高楼、设计火箭……无一不和视图密切相关.本章我们将学习投影的有关知识,并借助投影认识视图.
导入二:
你看过皮影戏吗?皮影戏又名“灯影子”,是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术,在关中地区非常流行.皮影戏演出简便,表演领域广阔,演技细腻,活跃于广大农村,深受农民的欢迎.
【师生活动】 教师课件展示图片,学生欣赏图片,有条件的可以放映电影《小兵张嘎》部分片段——小胖墩和他父亲在日军炮台内为日本人表演皮影戏,简单介绍有关皮影戏的知识,导出本节课的课题.
导入三:
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北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉灿烂的文化瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成,太阳光照在日晷中轴上产生投影,晷针的影子就会投向晷面,随着时间的推移,晷针的影子长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢慢移动,聪明的古人以此来显示时刻.
【师生活动】 教师展示图片,引入新课,学生观察思考,初步感知投影的概念.
[设计意图] 通过欣赏大家熟悉的名建筑导出本章内容,让学生体会数学与生活之间的密切联系,激发学习本章的兴趣.学生通过观看电影片段或欣赏图片,了解中国传统文化,数学课堂上渗透德育教育,通过对皮影和日晷的介绍,让学生初步感知投影的概念,为下面的学习做好铺垫.
[过渡语] 影子随处可见,你能举出生活中关于物体在光线的照射下形成影子的实例吗?
一、认识概念
思路一
【师生活动】
(1)学生举出物体在光线的照射下形成影子的例子,教师点评.
(2)教师出示投影图片,让学生感受日常生活中的一些投影现象.
(3)学生尝试总结什么是投影,互相补充,最后教师与学生一起归纳总结.
课件展示图片:
【结论】 一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.
[过渡语] 我们生活中的所有投影是不是都一样呢?
【师生活动】
(1)教师展示探照灯发出的光线图片,学生观察.
(2)学生思考:探照灯发出的光线与灯泡发出的光线是否相同?太阳光线与哪种光线相同?
(3)学生小组合作交流,共同归纳,小组代表发言,教师点评,然后归纳有关概念.
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【结论】 有时光线是一组互相平行的射线,例如太阳光或探照灯中的光线.由平行光线形成的投影叫做平行投影.例如,物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影.
由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如,物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影.
思路二
【思考】
(1)物体在日光或灯光的照射下会形成影子,影子的形成与哪些因素有关?
(物体本身、照射光线、形成影子的平面)
(2)你能举出生活中的一些实例吗?
【师生活动】 教师展示生活中的图片(同思路一),学生观察思考后,小组合作交流,教师结合学生的结论,给出投影的一些概念.
【结论】 一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.
【师生活动】 教师展示分别用探照灯和灯泡作为光源,在教室的墙面上形成三角尺的影子.
【思考】
(1)探照灯的光线与灯泡发出的光线有什么不同?
(2)太阳光与哪种光线相同?
【师生活动】 学生观察思考后小组合作交流,教师对学生的回答进行点评,归纳概念.
【结论】 有时光线是一组互相平行的射线,例如太阳光或探照灯中的光线.由平行光线形成的投影叫做平行投影.例如,物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影.
由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如,物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影.
[设计意图] 通过观察图片,感知数学概念的形成来源于生活,通过观察、思考,抽象出有关概念,对投影的感性认识上升到理性认识,通过理论联系实际,不仅使学生加深了对概念的理解,而且突出了数学与现实的联系,激发了学生的求知欲望.
二、共同探究
[过渡语] 通过观察我们知道有两种不同的投影——平行投影和中心投影,下面我们一起来探讨它们的区别和联系.
【思考】
(1)如图(1)所示的是同一时刻的两棵树及其影子,请你在图中画出形成树影的光线,并判断它是太阳光线还是灯光的光线.若是灯光的光线,请确定光源的位置.
(2)请判断如图(2)所示的两棵树的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的,并画出同一时刻旗杆的影子(用线段表示).
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(3)通过上边的练习,请观察平行投影和中心投影,它们有什么相同点与不同点?
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,动手操作后交流答案,教师进行点评,共同归纳.
【课件展示】
【课件展示】 平行投影与中心投影的区别与联系:
区别
联系
平行投影
平行的投影线
都是物体在光线的照射下在某个平面内形成的影子(即都是投影)
中心投影
从一点发出的投影线
[设计意图] 通过解决设计的练习,学生经历观察、思考、操作、交流、归纳等数学活动,得出平行投影和中心投影的区别与联系,不仅加深了对平行投影和中心投影的概念的理解和掌握,同时提高了学生的应用意识和能力,让学生获得了成功的体验.
三、例题讲解
(1)地面上直立一根标杆AB,如图(1)所示,杆长为2 m.
①当阳光垂直照射地面时,标杆在地面上的投影是什么图形?
②当阳光与地面的倾斜角为60°时,标杆在地面上的投影是什么图形?并画出投影示意图.
(2)一个正方形纸板ABCD和投影面平行(如图(2)所示),投影线和投影面垂直,点C在投影面上的对应点为C',请画出正方形纸板的投影示意图.
教师引导分析:
(1)当阳光垂直照射地面时,点A的影子落在什么地方?
(2)当阳光与地面的倾斜角为60°时,点A的影子落在什么地方?
(3)在直角三角形中,已知一锐角和一直角边,怎样求出三角形的另一直角边?
(4)当投影线与投影面垂直时,如何画出顶点A,B,C,D的投影?
【师生活动】 学生独立思考,动手操作完成画图及求解,小组代表展示成果,教师点评.
解:(1)①当阳光垂直照射地面时,标杆在地面上的投影是一个点.因为标杆与地面垂直,阳光垂直照射地面时与标杆平行,使得影子与点B重合.
②当阳光与地面的倾斜角为60°时,如图(3)所示,
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在Rt△ABC中,∠ACB=60°,AB=2,
∵tan∠ACB==,∴BC==.
∴标杆在地面上的投影是长为 m的线段,如图(3)所示的BC.
(2)因为纸板与投影面平行,投影线和投影面垂直,所以分别过点A,B,D作投影面的垂线,垂足分别为A',B',D',顺次连接A',B',C',D'即可.如图(4)所示的为所画的投影.
[设计意图] 通过例题的教学进一步加深对投影的理解和掌握,在巩固所学的知识的同时,为下节课的正投影做铺垫,通过分析、思考、交流、解答等数学活动,培养学生分析问题、解决问题的能力.
[知识拓展] (1)光线移动时,物体影子的大小、方向也随着变化,物体的形状与影子的形状有密切的联系.
(2)光是沿直线传播的,因此我们可以由投影与物体确定光线方向.
(3)平行投影的应用:①根据阳光下影子的大小、位置的变化判断时刻的不同;②已知一个物体及其在阳光下的影子,可作出同一时刻另一个物体在阳光下的影子;③根据物高和影长的关系可以求物高或影长.
(4)中心投影的应用:①根据点光源下两种或两种以上物体及影子的情况判断点光源的位置;②已知点光源的位置,可以画物体在点光源下的影子.
1.一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.
2.有时光线是一组互相平行的射线,例如太阳光或探照灯中的光线.由平行光线形成的投影叫做平行投影.
3.由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.
1.平行投影中的光线是 ( )
A.平行的 B.聚成一点的
C.不平行的 D.向四面八方发散的
解析:平行投影中的光线是平行的.故选A.
2.下列投影中属于中心投影的是 ( )
A.阳光下跑动的运动员的影子
B.阳光下木杆的影子
C.阳光下汽车的影子
D.路灯下行人的影子
解析:中心投影的光源为点光源,平行投影的光源为阳光、探照灯光等平行光,在各选项中只有D选项中的投影为中心投影.故选D.
3.下图是小红在某天四个时刻看到一根木棒及其影子的情况,那么她看到的先后顺序是 .
解析:根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知影子由长变短再变长.故填④③①②.
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4.下列影子:①阳光下遮阳伞的影子;②灯光下小明读书的影子;③阳光下大树的影子;④阳光下农民锄地的影子;⑤路灯下木杆的影子.其中属于平行投影的是 ,属于中心投影的是 .
解析:①阳光下遮阳伞的影子、③阳光下大树的影子、④阳光下农民锄地的影子都是太阳光线形成的影子,故属于平行投影;②灯光下小明读书的影子及⑤路灯下木杆的影子都是灯光形成的影子.故属于平行投影的是①③④,属于中心投影的为②⑤.
答案:①③④ ②⑤
5.某一广告牌PQ旁有两根直立的木杆AB和CD,某一时刻在太阳光下,木杆CD的影子刚好不落在广告牌PQ上.
(1)在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF;
(2)若AB=5米,CD=3米,CD到PQ的距离DQ的长为4米,求此时木杆AB的影长.
解:(1)如下图所示.
(2)设木杆AB的影长BF为x米,
由题意,得=,解得x=.
答:此时木杆AB的影长是米.
第1课时
1.认识概念
平行投影
中心投影
2.共同探究
3.例题讲解
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第92页习题29.1第1题.
【选做题】
教材第92页习题29.1第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下面说法正确的是 ( )
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A.所有的光线都是平行的
B.太阳光线是平行的
C.同一组物体的平行投影与中心投影是相同的
D.以上说法都不对
2.在同一时刻,两根长度不等的竹竿置于阳光之下,但它们的影长相等,那么这两根竹竿的相对位置是 ( )
A.两根都垂直于地面 B.两根平行斜插在地上
C.两根竹竿不平行 D.一根倒在地上
3.下列投影不是中心投影的是 ( )
4.如图所示,晚上小亮在路灯下散步,在小亮由A处走到B处这一过程中,他在地上的影子 ( )
A.逐渐变短
B.逐渐变长
C.先变短后变长
D.先变长后变短
5.下列结论正确的有 ( )
①同一时刻物体在阳光照射下影子的方向是相同的;②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的;③物体在路灯照射下,影子的方向与路灯的位置有关;④物体在光线照射下,影子的长短仅与物体的长短有关.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
6.如图所示,小华为了测量所住楼房的高度,他请来同学帮忙,测得同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米,已知小华的身高为1.6米,那么他所住楼房的高度为 米.
7.如图所示,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=6 m,点P到CD的距离是2.7 m,则AB与CD之间的距离是 m.
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8.如图所示,赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度,他在某一时刻直立1米长的标杆测得其影长为1.2米,同时旗杆的影子一部分在地面上,另一部分在某一建筑的墙上,分别测得其长度分别为9.6米和2米,则学校旗杆的高度为 米.
9.如图所示,AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5 m,某一时刻AB在阳光下的投影BC=3 m.
(1)请在图中画出此时DE在阳光下的投影;
(2)在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m,请你计算DE的长.
10.如图所示,小华、小军、小丽同时站在路灯下,其中小军和小丽的影子分别是AB,CD.
(1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置(用点P表示);
(2)画出小华此时在路灯下的影子(用线段EF表示).
【能力提升】
11.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子(如图所示).现测得OA=20 cm,OA'=50 cm,这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比值是 .
12.如图所示,小明在A时测得某树的影长为2 m,B时又测得该树的影长为8 m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为 m.
13.如图所示,光源L距地面(LN)8米,距正方形顶端(LM)2米,已知在光源照射下,正方形在左侧的影子BE长5米,求正方形在右侧的影子CF的长.
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【拓展探究】
14.如图所示,王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B,当他行到P处时发现,他在路灯B下的影长为2米,且恰好位于路灯A的正下方,接着他又走了6.5米到Q处,此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方.(已知王琳身高1.8米,路灯B高9米)
(1)标出王琳站在P处在路灯B下的影子;
(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长;
(3)计算路灯A的高度.
【答案与解析】
1.B(解析:只有平行投影的光线是平行的,而中心投影的光线是不平行的,故A错误;太阳光线是平行的,B正确;根据平行投影及中心投影的定义及特点知同一组物体的平行投影与中心投影是不相同的,故C错误;D.因为B选项正确,所以D选项错误.故选B.)
2.C(解析:在同一时刻,两根长度不等的竹竿置于阳光之下,但它们的影长相等,那么这两根竹竿不平行.故选C.)
3.D(解析:分别连接头顶和影子的端点,A,B,C中的两条光线交于一点,是中心投影,D中的两条光线平行,是平行投影.故选D.)
4.C(解析:因为小亮由A处走到B处这一过程中,离光源是由远到近再到远的过程,所以他在地上的影子先变短后变长.故选C.)
5.B(解析:①由于太阳光线是平行光线,所以同一时刻物体在阳光照射下,影子的方向是相同的,故正确;②物体在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关,故错误;③物体在路灯照射下,影子的方向与路灯的位置有关,故正确;④物体在点光源的照射下,影子的长短与物体的长短和光源的位置有关,故错误.所以正确的有2个.故选B.)
6.48(解析:如图所示,易证△ABC∽△DEF,则有AC∶BC=DF∶EF,解得DF=48米.)
7.1.8(解析:∵AB∥CD,∴△PAB∽△PCD,∴AB∶CD=点P到AB的距离∶点P到CD的距离.∴2∶6=点P到AB的距离∶2.7,∴点P到AB的距离为0.9 m,则AB与CD之间的距离为2.7-0.9=1.8(m).故填1.8.)
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8.10(解析:如图所示,作DE⊥AB于点E,根据题意得=,即=,解得AE=8米,则AB=AE+BE=8+2=10(米).即旗杆的高度为10米.故填10.)
9.解:(1)如图所示,连接AC,过点D作DF∥AC,交直线BC于点F,线段EF即为DE的投影. (2)∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.∵∠ABC=∠DEF=90°,∴△ABC∽△DEF,∴=,∴=,∴DE=10 m.
10.解:如图所示.(1)点P为所求的点. (2)EF为小华此时在路灯下的影子.
11.(解析:由题意知三角尺与其影子相似,它们周长的比就等于相似比,因为==,所以三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比值是.故填.)
12.4(解析:如图所示,过点C作CD⊥EF,由题意得△EFC是直角三角形,且∠ECF=90°,又∠EDC=∠CDF=90°,∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°,∴∠E=∠DCF,∴Rt△EDC∽Rt△CDF,则有=,即DC2=ED·FD,代入数据可得DC2=16,则DC=4 m.故填4.)
13.解:由题意知四边形DEFG是正方形,且LN⊥BC,∴DG∥EF,MN=DE=FG,四边形DENM与四边形MNFG是矩形,∴△DLM∽△BLN,∴=,解得DM=,∴MG=,同理,=,解得FC=13.∴正方形在右侧的影子CF的长为13米.
14.解:(1)线段CP为王琳站在P处在路灯B下的影子. (2)由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD,∴=,∴=,解得QD=1.5,即影长为1.5米. (3)由题意得Rt△DFQ∽Rt△DAC,∴=,∴=,解得AC=12.答:路灯A的高度为12米.
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本节课由鸟巢、水立方等建筑实物图片引出教学内容,激发学生学习本节课内容的兴趣,学生欣赏皮影和日晷了解中国文化的同时,导出本节课的课题,让学生体会数学与生活之间的联系,激发学生学习本节课的欲望.结合生活中的影子图片,感知投影的概念,并观察不同的投影之间的区别与联系,归纳出平行投影和中心投影的概念.师生通过解决实际问题,画出图形,共同探究平行投影与中心投影的区别和联系,学生在教师的引导下,通过观察、思考、交流等数学活动,加深对有关投影概念的理解和掌握的同时,培养了归纳总结能力,并为下节课做好铺垫,学生在课堂上思维活跃,人人学有价值的数学.
本节课的主要内容是投影的有关概念,通过联系生活实际,观察、思考、交流、归纳等数学活动,感知投影、平行投影与中心投影的概念,课堂上学生气氛活跃,回答问题积极,但是由实际问题抽象出数学概念使学生难于理解和掌握,没有给学生更多的时间交流,在以后的教学中,应多举一些实例,让学生通过思考、交流,更深入地理解和掌握数学概念.
本节课的重点是理解和掌握投影的有关概念,以建筑实例引出本节内容,激发学生学习兴趣,再以和影子有关的生活实例导出本节课课题,让学生体会数学与生活息息相关,激发学生的好奇心和求知欲.从学生举出的与影子有关的生活实例中抽象出投影的概念,再从观察不同的投影过程中抽象出平行投影和中心投影的概念,并归纳两者的区别和联系,培养学生的观察能力和实践能力,最后师生共同探究有关的例题,加深对概念的理解和掌握,提高学生的分析问题和解决问题的能力.
练习(教材第88页)
解:如图所示.
1.数学是以数量关系和空间形式为研究对象的学科,数量关系和空间形式都是从现实世界中抽象出来的,投影是从实际需要(建筑、制造等)中产生的,它们与实际生活紧密相连.教科书从学生熟悉的生活经验出发,引出投影的概念,让学生体会数学与生活的联系,激发学生的学习兴趣.
2.教科书以物体在阳光下的影子引出平行投影的概念.中心投影的特征是投影线是由一点发出的,也就是说投影线是具有公共端点的射线.而平行投影的特征是由光源发出的光线是平行的.
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如图所示,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米,那么路灯A的高度AB是多少?
〔解析〕 由于人和地面是垂直的,即和路灯到地面的垂线平行,故构成两组相似.根据对应边成比例列方程解答即可.
解:由题意知GC⊥BC,AB⊥BC,∴GC∥AB,
∴△GCD∽△ABD,∴=.
设BC=x,则=,
同理,得=,
∴=,∴x=3,∴AB=6.
答:路灯A的高度AB是6米.
第课时
1.了解正投影的概念.
2.能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.
1.通过动手操作画图形的正投影,培养学生动手实践能力,发展空间想象能力.
2.通过探究生活中有关正投影的数学问题,体会数学与实际生活的紧密联系,提高学生的数学应用意识.
1.感受日常生活中的一些投影现象,体会数学与生活实际密不可分,激发学生学习数学的兴趣.
2.通过观察、思考、分析、探究得出结论,培养学生的观察能力、实践能力及归纳总结能力.
3.通过探究正投影的性质,培养学生动手操作能力、分析问题及解决问题的能力.
4.通过实物演示和多媒体教学,把抽象问题直观化,激发学生的求知欲.
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【重点】
1.正投影的含义.
2.能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.
【难点】
归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P88~91.
导入一:
【复习提问】
(1)什么叫投影、投影线、投影面、平行投影、中心投影?
(2)平行投影与中心投影有什么区别和联系?
(3)你能举出一些投影的生活实例吗?
(4)阳光可能与物体垂直吗?如果阳光垂直照在线段上,会得到什么图形?
【师生活动】 学生思考后回答问题,第(4)问让学生小组内交流,回答,教师点评,导入新课.
导入二:
【课件展示】 下图表示一块三角尺在光线照射下形成的投影,其中哪个是平行投影?哪个是中心投影?
如图(2)(3)所示的投影线与投影面的位置关系有什么区别?
【师生活动】 学生思考后小组内交流,学生回答后教师点评,导出新课.
解:图(1)中的投影线集中于一点,形成中心投影;图(2)(3)中,投影线互相平行,形成平行投影.
图(2)中,投影线斜着照射到投影面;图(3)中投影线垂直照射到投影面.
[设计意图] 通过复习投影的有关概念和学生的观察、分析、交流,使学生体会将实际问题抽象成几何图形的过程,有助于分析问题的本质,为引出正投影的概念做好铺垫.
[过渡语] 由刚才的讨论我们知道,在平行投影中,可能出现投影线与投影面垂直这种特殊的投影,这就是我们这节课要学习的正投影.
一、认识概念
【课件展示】 投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
【思考】
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(1)平行投影一定是正投影吗?正投影一定是平行投影吗?
(平行投影不一定是正投影,正投影一定是平行投影)
(2)正投影与物体的放置有关吗?
(正投影是光线与投影面之间的关系,与物体的放置无关)
【师生活动】 学生独立思考后,小组交流得出答案,教师对学生的答案进行点评.
[设计意图] 经过课前导入的观察、分析、比较的过程,抽象出正投影的概念,学生通过思考教师提出的问题,加深对正投影概念的理解.
二、探究性质
探究一:线段在平面上的正投影
思路一
【课件展示】 如图所示,把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置:
(1)铁丝平行于投影面;
(2)铁丝倾斜于投影面;
(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).
【思考】 三种情形下铁丝的正投影各是什么形状?大小有什么关系?
【解析】 通过观察,我们可以发现:
(1)当线段AB平行于投影面P时,它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB A1B1;
(2)当线段AB倾斜于投影面P时,它的正投影是线段A2B2,线段与它的投影的大小关系为AB A2B2;
(3)当线段AB垂直于投影面P时,它的正投影是 .
【师生活动】 教师课件展示问题,学生观察思考后,小组合作交流得出答案,小组代表展示成果,教师点评,共同归纳结论.
【课件展示】 线段平行于投影面时的正投影是线段,线段长等于正投影的长;
线段倾斜于投影面时的正投影是线段,线段长大于正投影的长;
线段垂直于投影面时的正投影是一个点.
思路二
[过渡语] 由课前讨论我们知道,线段相对于平面有三种位置关系,你能分别画出它们在平面上的正投影吗?
【动手操作】 画出线段在平面上的正投影.
【观察思考】 线段在平面上的正投影的形状是什么?与线段之间的大小关系如何?
【师生活动】 学生动手画图,教师提醒学生注意分类讨论,学生画完后小组合作交流答案,教师课件展示答案,学生根据所画图形小组讨论线段的正投影的形状及大小关系.
【课件展示】 线段平行于投影面时的正投影是线段,线段长等于正投影的长;
线段倾斜于投影面时的正投影是线段,线段长大于正投影的长;
线段垂直于投影面时的正投影是一个点.
[设计意图] 通过观察思考、小组合作交流(或通过动手操作、合作交流)探究线段在平面上的正投影的形状和大小,并归纳总结线段的正投影的规律.提高学生观察、思考能力,培养归纳总结能力.
探究二:正方形纸板在平面上的正投影
【课件展示】 如图所示,把一块正方形硬纸板P(记为正方形ABCD)放在三个不同位置:
(1)纸板平行于投影面;
(2)纸板倾斜于投影面;
(3)纸板垂直于投影面.
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【思考】 三种情形下纸板的正投影各是什么形状?大小有什么关系?
【解析】 通过观察,我们可以发现:
(1)当纸板P平行于投影面时,P的正投影与P的形状、大小 ;
(2)当纸板P倾斜于投影面时,P的正投影与P的形状、大小 ;
(3)当纸板P垂直于投影面时,P的正投影成为 .
【师生活动】 教师课件展示问题,学生观察思考后,小组合作交流得出答案,对学生的答案,教师进行点评,师生共同归纳结论.
【课件展示】 (1)当纸板P平行于投影面Q时,P的正投影与P的形状、大小一样;
(2)当纸板P倾斜于投影面Q时,P的正投影与P的形状、大小不完全一样;
(3)当纸板P垂直于投影面Q时,P的正投影成为一条线段.
探究三:正投影的性质
【思考】 根据以上探究,当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面有怎样的关系?
【师生活动】 学生独立思考,大胆猜想,然后小组合作交流,共同归纳性质,教师对学生的回答进行点评,并课件展示结论.
【课件展示】 正投影的性质:当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.
[设计意图] 学生通过观察、探究、体验和交流,归纳总结得出物体正投影的规律,进一步培养学生抽象概括能力,发展学生的空间观念.由线段到正方形的学习过程渗透了从简单到复杂、由特殊到一般的认知规律,发挥了学生的主体作用.
三、例题讲解
(教材例题)画出如图所示摆放的正方体在投影面上的正投影.
(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面(如图(1)所示);
(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面,底面ADEF垂直于投影面,并且其对角线AE垂直于投影面(如图(2)所示).
教师引导分析:
(1)当正方体在如图(1)所示的位置时,正方体的一个面ABCD及其相对的另一面与投影面 ,这两个面的正投影是与正方体的一个面的形状、大小 的正方形A'B'C'D'.正方形A'B'C'D'的四条边分别是正方体其余四个面(这些面垂直于投影面)的 .因此,正方体的正投影是 .
(2)当正方体在如图(2)所示的位置时,它的面ABCD和面ABGF倾斜于投影面,它们的投影是 ;正方体其余两个侧面的投影也分别是 ;上、下底面的投影分别是 和 .因此,正方体的投影是 .
解:(1)如图(1)所示,正方体的正投影为正方形A'B'C'D',它与正方体的一个面是全等关系.
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(2)如图(2)所示,正方体的正投影为矩形F'G'C'D',这个矩形的长等于正方体的底面对角线长,矩形的宽等于正方体的棱长.矩形上、下两边中点连线A'B'是正方体的侧棱AB及它所对的另一条侧棱EH的投影.
【归纳】 物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.
[设计意图] 通过例题训练,达到巩固正投影相关知识的目的,提高学生观察、归纳和空间想象能力,提高学生的应用意识.
[知识拓展] (1)当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.
(2)只有在平行投影中,才会出现正投影.正投影是光线与投影面的关系,与物体的放置无关.
(3)人们在实际作图中,经常采用正投影,正投影有如下性质:①线段AB在平面上的正投影.线段AB平行于投影面P时的正投影是线段,线段长等于正投影的长;线段AB倾斜于投影面P时的正投影是线段,线段长大于正投影的长;线段AB垂直于投影面P时的正投影是一个点.②长方形硬纸板ABCD在平面上的正投影.长方形硬纸板ABCD平行于投影面时,ABCD的正投影与ABCD的形状和大小一样;长方形硬纸板ABCD倾斜于投影面时,ABCD的正投影与ABCD的形状和大小不完全一样;长方形硬纸板ABCD垂直于投影面时,ABCD的正投影成为一条线段.
1.正投影:投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
2.正投影的性质:当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.
1.如图所示,一个斜插吸管的盒装饮料的正投影是图中的 ( )
解析:观察图形,由正投影的定义可得长方体的正投影是与前面相同的长方形,结合吸管方向可知只有A是符合题意的.故选A.
2.如图所示的圆台的上、下底面与投影线平行,圆台的正投影是 ( )
A.矩形 B.两条线段 C.梯形 D.圆环
解析:根据题意,圆台的上、下底面与投影线平行,则圆台的正投影是该圆台的轴截面.故选C.
3.如图所示,水杯的杯口与投影面平行,投影线的方向如箭头所示,它的正投影是下图中的 ( )
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解析:依题意,光线是垂直照下的,故只有D符合.故选D.
4.如图所示的三幅投影中,属于正投影的是图 .
解析:正投影的光线与投影面垂直.故填(3).
5.画出如图所示的立体图形在投影线从上方射向下方时的正投影.
解析:第一个图形中投影线从上方射向下方的正投影是长方形;第二个图形中投影线从上方射向下方的正投影是长方形,第三个图形中投影线从上方射向下方的正投影是带圆心的圆.
解:如下图所示.
第2课时
1.认识概念
正投影
2.探究性质
探究一:线段在平面上的正投影
探究二:正方形纸板在平面上的正投影
探究三:正投影的性质
3.例题讲解
例题
一、教材作业
【必做题】
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教材第92页习题29.1第3题.
【选做题】
教材第93页习题29.1第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.线段的正投影是 ( )
A.直线 B.线段
C.射线 D.线段或点
2.下列叙述正确的是 ( )
A.圆锥的正投影是等腰三角形
B.圆柱的正投影是矩形
C.球的正投影是圆
D.正方体的正投影是正方形
3.把一个正五棱柱按如图所示的方式摆放,当投影线由正前方射到后方时,它的正投影是如图所示的 ( )
4.若木棒长1.2米,则它的正投影的长一定 ( )
A.大于1.2米 B.小于1.2米
C.等于1.2米 D.小于或等于1.2米
5.平行于投影面的平行四边形的面积与它的正投影的面积的大小关系是 .
6.三角形的正投影可能是 .
7.一位画家把边长为1米的7个相同正方体摆成如图所示的形状,然后把表面涂上颜色,那么涂色面积为 .
8.如图所示,已知线段AB=2,投影面为P,太阳光线与投影面垂直.
(1)当AB垂直于投影面P时(如图(1)所示),请画出线段AB的投影;
(2)当AB平行于投影面P时(如图(2)所示),请画出它的投影,并求出正投影的长;
(3)在(2)的基础上,点A不动,线段AB绕点A在垂直于投影面P的平面内逆时针旋转30°,请在图(3)中画出线段AB的正投影,并求出其正投影的长.
9.如图所示,投影线的方向如箭头所示,画出立体图形的正投影.
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【能力提升】
10.一个水平放在桌面上的圆柱,从前向后形成的正投影是一个边长为20 cm的正方形,则此圆柱的表面积为 .
11.一个圆锥的轴截面平行于投影面,圆锥的正投影是腰长为5,底边长为6的等腰三角形,则圆锥的体积是 (结果保留π).
12.如图所示的为一个机器零件的立体图,箭头所指为其正面,试画出这个零件的正面的正投影.
【拓展探究】
13.先观察下面的立体图形,再分别画出它的正面、左面、上面三个方向的正投影.
【答案与解析】
1.D(解析:线段AB平行于投影面P时的正投影是线段,线段长等于正投影的长;线段AB倾斜于投影面P时的正投影是线段,线段长大于正投影的长;线段AB垂直于投影面P时的正投影是一个点.故选D.)
2.C(解析:圆锥的正投影可能是带圆心的圆,故A不正确;圆柱的正投影可能是圆,故B不正确;球的正投影是圆,故C正确;正方体的正投影还有可能是长方形,故D不正确.故选C.)
3.B(解析:该物体为五棱柱,根据投影的性质可知它的正投影应为矩形,且比前面矩形的宽大.故选B.)
4.D(解析:木棒在投影面上的正投影的长度与木棒的摆放角度有关,但无论怎样摆都不会超过1.2米.故选D.)
5.相等(解析:根据题意得平行四边形与投影面平行,即与光线垂直,故它的投影与其形状、大小完全相同,故面积相等.)
6.三角形或线段(解析:当三角形和平面垂直的时候,其投影为一条线段,当三角形与平面的夹角不为90°时,其投影为三角形.故填三角形或线段.)
7.28平方米(解析:根据分析,涂色面积=5×2+4×2+5×2=28.故填28平方米.)
8.解:(1)如图(1)所示,线段AB垂直于投影面P时,它的正投影是一个点. (2)如图(2)所示,线段AB平行于投影面P时,它的正投影是线段CD,与线段AB的长相等,即CD=AB=2. (3)如图(3)所示,线段AB倾斜于投影面P时,它的正投影是线段C1D1,长度小于线段AB的长,C1D1===.
9.解:如图所示.
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10.600π cm2(解析:由题意得该圆柱的高为20 cm,底面直径为20 cm,则S=2××π+20π×20=600π(cm2),∴此圆柱的表面积为600π cm2.)
11.12π(解析:由圆锥的正投影是腰长为5,底边长为6的等腰三角形,得圆锥的母线长为5,底面半径为3,根据勾股定理得高为4,再根据圆锥的体积公式V=Sh,得V=×π×32×4=12π.故填12π.)
12.解:如图所示.
13.解:它的正面、左面、上面三个方向的正投影依次如下图所示.
本节课以教材中的思考为背景导入新课,学生通过观察、分析、相互交流,初步感知正投影的概念,既复习了上节课的知识,又为本节课的学习打下了基础,导入流畅自然,学生易于接受,然后通过独立观察探究、小组合作交流、共同归纳总结等数学活动,在教师提出的问题的引导下,分别探究线段、正方形的正投影,得出正投影的一般性质,进一步培养学生抽象概括能力,发展学生的空间想象能力,由线段到正方形的探究过程,渗透了由特殊到一般的数学思想方法,提高了数学思维能力,最后的例题进一步巩固和提高学生对正投影的理解和掌握,整节课的教学设计思路清晰,目标明确,充分体现了学生在课堂上的主体性.
本节课的重点是通过观察、思考及动手操作,抽象出正投影的概念和性质,培养学生空间想象能力和归纳总结能力,教学设计时,本以为影子是学生熟悉的生活情景,学生应该易于理解和掌握,所以在探究正投影的性质时,速度稍快些,结果有些学生缺乏空间想象能力,造成抽象概括其性质有困难,在以后的教学中,应注重培养学生空间想象及抽象概括能力,多给学生相互交流的时间和空间.
本节课主要通过学生的观察思考、合作交流、归纳总结等活动,抽象概括正投影的概念和性质,在教学设计中,注重引导学生分析问题的设计,学生在教师提出的问题的引导下,
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经过观察思考、相互交流,更易于归纳得出结论,在这些探究活动中,学生思维活跃,经历知识的形成过程,培养学生分析问题和解决问题的能力,发展学生空间想象能力,让学生获得成功的喜悦.最后例题的设计也要注重教师的引导,降低学生学习难度,更大程度地提高学生的空间立体感.
练习(教材第92页)
解:(1)如图(1)所示. (2)如图(2)所示.
习题29.1(教材第92页)
1.解:第3幅照片是小华在下午拍摄的.
2.解:如图所示.
3.解:正五棱柱的五个侧面的正投影是线段,两个底面的正投影是全等的正五边形.
4.解:由题意可知圆锥的底面半径为,圆锥的高为,∴圆锥的体积V=π××=π,圆锥的表面积S=π××3+π×=π.
5.解:(1)投影线由物体前方照射到后方的正投影如图(1)所示. (2)投影线由物体左方照射到右方的正投影如图(2)所示. (3)投影线由物体上方照射到下方的正投影如图(3)所示.
(1)在学习本节课以前,学生已经具有一定的平面图形与立体图形的知识,本节课通过实际情景引出正投影的概念后,以铁丝和正方形纸板的影子为例,讨论直线和平面多边形与投影面三种不同位置关系时的正投影,归纳出其蕴含的正投影的一般规律,最后以正方体为例,讨论立体图形与投影面成不同位置关系时的正投影,在由简单平面图形到立体图形的正投影的探究活动中,逐步提高学生对图形的认识,增强平面图形与立体图形之间的联系,初步培养学生的空间想象能力,为后边学习立体图形的三视图打下基础.
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(2)本节课探究正投影的概念及规律,重点是由物体得到其投影,由物体产生投影是将立体图形转化为平面图形的过程,认识平面图形与立体图形之间的联系,对培养学生空间观念非常重要.在教学设计中,学生虽然在前边接触过立体图形,但空间想象能力还比较差,所以在课堂上要多给学生思考和交流的时间和空间,让学生相互交流,共同得出结论,通过展示自己体验成功的快乐,让学生真正成为课堂的主体,人人学有价值的数学,从而发展能力,提高数学思维和应用意识.
小明从正面观察下图中的两个物体,得到的正投影是 ( )
〔解析〕 圆柱的正投影是矩形,正方体的正投影是正方形.故选C.
29.2 三视图
1.会从投影的角度理解视图的概念.
2.探索三视图中三个视图间的位置关系和大小关系.
3.会画简单几何体及简单组合体的三视图.
4.学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型.
5.体会三视图与实物模型之间的关系.
1.通过观察、操作、猜想、讨论、合作等活动,使学生体会到三视图中各部分之间位置及大小的对应关系,积累数学活动的经验.
2.感受三视图的形成过程和方法,探索简单几何体的三视图的画法,进一步发展空间想象能力及动手操作能力.
3.通过探究由物体的三视图还原出物体的形状,进一步认识物体与其三视图之间的关系,提高学生的空间想象能力.
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1.使学生学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识,养成细致、严谨的态度.
2.培养学生自主学习与合作交流的学习方式,加强学生从生活中发现数学的能力.
3.通过探究物体的三视图,学会多角度看问题,品尝成功的喜悦,激发学生学习数学的热情.
4.在探究三视图向立体图形转化的过程中,使学生感受数学的和谐美,培养学生动手实践能力,发展空间想象能力.
【重点】
1.从投影的角度理解三视图的概念.
2.会画简单的三视图.
3.根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型.
【难点】
1.对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图.
2.学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型.
第课时
1.会从投影的角度理解视图的概念.
2.探索三视图中三个视图间的位置关系和大小关系.
3.会画简单几何体及简单组合体的三视图.
1.通过感受从不同方向观察同一物体可能看到不一样的图形,培养学生全面观察的能力.
2.通过观察、操作、猜想、讨论、合作等活动,使学生体会到三视图中各部分之间位置及大小的对应关系,积累数学活动的经验.
1.通过探究物体的三视图,培养学生动手能力及观察能力,养成细致、严谨的学习态度.
2.通过主动探究、合作交流,体会将空间图形转化为平面图形的几何美,同时培养学生的团队意识.
3.通过探究物体的三视图,学会多角度看问题,激发学生学习数学的热情.
【重点】
从投影的角度理解三视图的概念;会画简单的三视图.
【难点】
对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图.
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【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P94~97.
导入一:
从我们熟悉的古诗:“横看成岭侧成峰,远近高低各不同.不识庐山真面目,只缘身在此山中.”中,你能得到什么启示?
【师生活动】 教师展示图片,学生结合图片赏析古诗,思考得到的启示并回答问题,教师点评,导出课题.
[过渡语] 这首诗教会了我们怎样观察物体——横看、侧看、近看、身处其中看,从不同方向看庐山,我们欣赏到不同的美景,这节课我们将一起学习从三个不同方向看物体.
导入二:
某次军事演习中展示了我国不少先进的武器,左图是一架飞机,你能知道右图是从哪几个角度展示的吗?
【师生活动】 学生观察回答,教师点评,导出新课.
[过渡语] 我们要反映一个物体的形状,一般要从多个方面观察,如上图所示,从三个方向反映了飞机的形状,这就是我们这节课要研究的物体的三视图.
[设计意图] 教师从学生熟悉的古诗入手,学生结合古诗和图片,感受从多个角度观察物体,引出本节课课题,激发学生的学习兴趣;由三个方向反映飞机的形状,为理解本节课的三视图埋下伏笔.
一、观察体验
【师生活动】 教师拿一本英汉词典,让学生分别从词典的前面、左面、上面观察,会看到什么平面图形?学生观察思考,小组合作交流,小组代表回答,师生共同归纳概念.
【课件展示】 视图:当我们从某一方向观察一个物体时,所看到的平面图形叫做物体的一个视图.
【思考】 视图是不是投影?
(视图可以看成是物体在某一方向光线下的正投影)
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
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[设计意图] 从学生熟悉的物体入手,让学生经历从不同方向观察物体的活动过程,让学生对三视图形成感性认识,激发学生的求知欲望,为顺利完成本节课的学习做好铺垫.
二、新知探究
思路一
教师引导学生思考,形成概念.
【师生活动】 教师准备一个长方体,对长方体在教室墙角处的三个墙面进行正投影,或利用课件,边演示边讲解三视图的概念.
【课件展示】 如图(1)所示,我们用三个互相垂直的平面作为投影面,其中正对着我们的平面叫做正面,下方的平面叫做水平面,右边的平面叫做侧面.对一个物体(例如一个长方体)在三个投影面内进行正投影,在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图;在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图;在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做左视图.
【思考】
(1)物体的三视图分别是哪个方向上的正投影?
(2)如图(2)所示,展开的这三个视图的位置有什么关系?
(3)主视图、左视图、俯视图分别反映了长方体的哪些特征?
(4)如何画物体的三视图?
(5)结合三视图的位置关系和大小关系,画三视图时主视图与俯视图之间、主视图与左视图之间、左视图与俯视图之间应分别注意什么?
【师生活动】 学生观察、思考、讨论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生展示结果后,教师点评归纳.
【结论】
(1)正面上的正投影就是主视图,水平面上的正投影就是俯视图,侧面上的正投影就是左视图.
(2)三个视图的位置关系是:主视图在左上边,它的正下方是俯视图,左视图在主视图的右边.
(3)三视图中,主视图与俯视图表示同一物体的长,主视图和左视图表示同一物体的高,左视图和俯视图表示同一物体的宽,三个视图的大小是相互联系的.
(4)画物体的三视图时,三个视图都要放在正确的位置,并且使主视图与俯视图的长对正,主视图和左视图的高平齐,左视图和俯视图的宽相等.
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(5)画三视图时应注意“长对正,高平齐,宽相等”.
思路二
教师准备一个长方体,对长方体在教室墙角处的三个墙面进行正投影.(如思路一中图(1)所示)
【学生活动】 自主学习教材94~95页,思考回答下列问题:
(1)什么是主视图、左视图和俯视图?它们分别是哪个方向上的正投影?
(2)将物体的三视图画在同一个平面时,它们的位置、大小有什么关系?
(3)将某物体的三视图展开到同一平面,你还能确定它们各自的名称吗?
(4)如何绘制一个几何体的三视图?
(5)三视图彼此之间还有什么关系?
【师生活动】 学生自主学习教材后,思考教师提出的问题,然后小组合作交流,探讨画图规律、总结、展示,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,点评学生的回答,共同归纳出结论.
【结论】 (参考思路一)
[设计意图] 探究活动以简单的基本几何体为例,发现三个视图的大小关系,让学生感受从三维空间向二维空间的转换过程,初步领悟画法.学生在教师的引导下(或自主学习)观察、思考、讨论、归纳,培养学生抽象、概括能力,发展学生的空间思维,激发学生的求知欲.
三、例题讲解
【课件展示】
(教材例1改编)画出下图中基本几何体的三视图.
【师生活动】 教师板演圆柱的三视图,并总结画图步骤.学生讨论完成正三棱柱、四棱锥、球的三视图.学生在画图时,教师提示:看得见部分的轮廓线画成实线,因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线.学生板演,教师点评.
解:如下图所示.
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【追问】 你能归纳画三视图的具体步骤吗?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评,共同归纳.
【结论】
(1)确定主视图的位置,画出主视图;
(2)在主视图正下方画出俯视图,注意与主视图“长对正”.
(3)在主视图右方画出左视图.注意与主视图“高平齐”,与俯视图“宽相等”.
(教材例2)画出如图所示的支架(一种小零件)的三视图,其中支架的两个台阶的高度和宽度相等.
教师引导分析:支架的形状是由两个大小不等的长方体构成的组合体.画三视图时要注意这两个长方体的上下、前后位置关系.
【师生活动】 学生独立完成画图,小组交流答案,教师巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表到黑板展示,教师点评,归纳总结.
【结论】 画组合体的三视图时,构成组合体的各部分的视图也要遵守“长对正,高平齐,宽相等”的规律.
解:如图所示的是支架的三视图.
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[设计意图] 通过练习画图,使学生进一步加深对三视图的理解,充分认识视图与物体形状的联系,体验三视图的形成过程,提高学生分析问题和解决问题的能力,进一步培养空间观念.
[知识拓展] (1)三个视图分别从不同方向表示物体的形状,单独一个视图难以全面反映物体的形状,三者合起来才能较全面地反映物体的形状.
(2)对于同一个物体,观察的角度不同,所得到的视图一般不同.
(3)在生产实践中常用三视图描述物体(如机械零件、建筑物等)的形状.
(4)俯视图在主视图的正下方,左视图在主视图的右边,画三视图时,三个视图要放在正确的位置,不能随意乱放.三视图要保证“长对正、高平齐、宽相等”,这三个关系是看图与画图的基本规律.一般情况下,一个视图不能确定物体的空间形状,看图时必须将各视图对照起来看,这样才能看清物体的全貌.
1.一个物体(例如一个长方体)在三个投影面内进行正投影,在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图;在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图;在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做左视图.
2.三个视图的位置是:主视图在左上边,它的正下方是俯视图,左视图在主视图的右边.
3.“长对正,高平齐,宽相等”.
1.如图所示的物体的主视图为 ( )
解析:下面正方体的主视图是正方形,上面正方体的主视图是正方形,因此这个几何体的主视图由两个正方形组成,且下面正方形的边长大于上面正方形的边长,且上面正方形位于下面正方形的中间.故选B.
2.下列几何体中,左视图是圆的是 ( )
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解析:图形A的左视图是等腰三角形;图形B的左视图是长方形;图形C的左视图是梯形;图形D的左视图是圆.故选D.
3.在①长方体、②球、③圆锥、④竖放的圆柱、⑤竖放的正三棱柱这五种几何体中,其主视图、左视图、俯视图都完全相同的是 .(填序号)
解析:①长方体的主视图是长方形、左视图是长方形、俯视图也是长方形,但是长方形的长和宽不一定一样长;②球的主视图、左视图、俯视图都是圆;③圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形,俯视图是带圆心的圆;④圆柱的主视图、左视图都是长方形,俯视图是圆;⑤正三棱柱的主视图是长方形(中间可能有一条实线),左视图是长方形,俯视图是三角形.故填②.
4.画出图中几何体的三视图.
解:如下图所示的为该几何体的三视图.
第1课时
1.观察体验
2.新知探究
3.例题讲解
例1
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例2
一、教材作业
【必做题】
教材第101页习题29.2第1,2,3题.
【选做题】
教材第102页习题29.2第6,7题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示的立体图形的左视图是 ( )
2.如下图所示的是由5个大小相同的正方体组成的几何体,它的主视图是 ( )
3.下列立体图形中,俯视图是正方形的是 ( )
4.下列几何体中,主视图和俯视图均为矩形的是 ( )
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5.从不同方向看如图所示的一只茶壶,你认为是俯视效果图的是 ( )
6.在下面的四个几何体中,它们各自的左视图与主视图不一样的是 ( )
7.(2015·武汉中考)如图所示的是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体,其主视图是 ( )
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8.写出一个俯视图和主视图完全相同的几何体: .
9.如右图所示的是由6个同样大小的正方体摆成的几何体,将正方体①移走后,所得几何体的主视图 ,左视图 ,俯视图 .(填“改变”或“不变”)
10.下面是用5个小正方体搭成的四种几何体,分别画出它们的三视图.
【能力提升】
11.(2015·河南中考)如图所示的几何体的俯视图是 ( )
12.将如图所示放置的一个直角三角形ABC(∠C=90°)绕斜边AB旋转一周所得到的几何体的主视图是四个图形中的 (只填序号).
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13.画出如图所示的立体图形的三视图.
【拓展探究】
14.由10个棱长为1的小立方体组成如图所示的几何体,画出这个几何体的三视图,并求出这个几何体的表面积.
【答案与解析】
1.A(解析:左视图是从物体左面看所得到的图形,此立体图形的左视图是直角三角形,且直角在左侧.故选A.)
2.C(解析:从正面看,共两层,下层是两个正方形,上层左边是一个正方形.故选C.)
3.A(解析:A的俯视图是正方形,故A正确;B的俯视图是圆,故B错误;C的俯视图是三角形且中间有三条相交于一点的线,故C错误;D的俯视图是带圆心的圆,故D错误.故选A.)
4.D(解析:A中图形的主视图是矩形,俯视图是圆,故A错误;B中图形的主视图和俯视图都是圆,故B错误;C中图形的主视图是矩形且中间有一条虚线,俯视图是三角形,故C错误;D中图形的主视图是矩形,俯视图是矩形,故D正确.故选D.)
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5.A(解析:俯视图就是从物体的上面向下看物体得到的图形,选项A中的图形是从茶壶上面向下看得到的图形.故选A.)
6.D(解析:A中左视图和主视图均为正方形,不符合题意;B中左视图和主视图均为圆,不符合题意;C中左视图和主视图均为正方形且有2条竖直的虚线,不符合题意;D中左视图和主视图为不全等的三角形,符合题意.故选D.)
7.B(解析:主视图是从前面看到的平面图形,圆柱的主视图为长方形,长方体的主视图也是长方形,并且下边长方形的长比上边的长方形的长要长.故选B.)
8.球(解析:球的俯视图与主视图都为圆.答案不唯一.)
9.改变 不变 改变(解析:主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形.将正方体①移走后,所得几何体的主视图改变,左视图不变,俯视图改变.)
10.解:如下图所示.
11.B(解析:俯视图是从上往下看得到的图形,从上面看可以看到一个矩形且中间有一条实线.故选B.)
12.(2)(解析:直角三角形ABC(∠C=90°)绕斜边AB旋转一周所得到的几何体是同底的两个圆锥,因为AC
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