第三十一章 随机事件的概率
1.体会有些事件的发生是确定的,有些是不确定的.在具体问题情景中,能区分必然事件、不可能事件、随机事件.
2.了解事件发生的可能性有大小之分,能对一些简单事件发生的可能性大小作定量描述.
3.通过试验,知道大量重复试验时的频率具有稳定性,用频率估计事件发生的概率.
4.能利用表格或树形图列举试验的所有可能结果,求简单事件的概率.
5.能设计简单的试验,验证对事件发生的可能性大小的直观猜想.
1.经历猜测、试验、收集与分析试验结果的过程,归纳出三种事件的各自的本质特征,抽象成数学概念.
2.通过现实生活中的问题的探究,体会运用数学知识解决实际问题的方法,感受数学知识与现实世界的联系.
3.通过直觉判断——试验——汇总试验数据——分析数据——发现规律等探究过程,让学生体会探究的乐趣,增强学习的自信心.
4.通过观察列举法的结果是否重复和遗漏,总结列举不重复不遗漏的方法,培养学生观察、归纳、分析问题的能力.
5.通过运用列表法或树形图法求事件的概率解决实际问题,提高学生解决问题的能力,发展应用意识.
6.经历运用列表法或树形图法解决概率实际问题的过程,渗透数学建模的思想,感知数学的应用价值.
1.从具体生活实例出发,观察、思考、总结,确定事件的分类,学会与他人合作交流,培养合作精神,发展随机观念.
2.体验从事物的表象到本质的探究过程,感受数学的科学严谨性及生活中丰富的数学现象.
3.通过在试验中获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,真正做到在探索中学习,培养学生的探索精神.
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4.在观察、思考、试验、归纳等数学活动中,培养学生的辩证唯物主义观点,增强学生的学科意识.
5.通过对实际问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想.
6.通过具体实际生活情景,经历用频率估计概率的过程,激发学生的学习兴趣,体验数学的应用价值.
统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,它通过对数据的收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画,来帮助人们作出合理的决策.对统计与概率知识的认识,学生在七八年级每学期都有接触,知识螺旋上升,逐步推进.现实生活中存在大量的不确定事件,在一次观察和试验中,不确定事件发生与否具有随机性,但在大量重复试验中却呈现出确定的规律性,而概率论正是研究这种不确定事件的规律性的学科.本章的内容包括认识确定事件和随机事件,理解概率的意义;初步认识频率的稳定性,用频率估计概率;用列举法求简单事件的概率.通过本章的学习,使学生初步感受随机现象,树立随机的观念,为进一步学习统计与概率的知识和方法奠定基础.
对于随机事件的认识,让学生观察、分析摸球试验,体验有些事件的发生是不确定的,从而能区分确定事件和随机事件;随机事件发生的可能性相同时,可以利用概率公式计算事件的概率;用列举法分析事件发生的所有可能情况的结果数一般有列表和画树状图两种方法;随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性,但只要保持试验条件不变,那么这一事件出现的频率就会随着试验次数的增大而趋于稳定.这个稳定值就可以作为该事件发生概率的估计值.用等可能事件的概率公式解决一些现实问题,用频率来估计事件发生的概率在生活生产中有着广泛的应用.它有助于我们在错综复杂的情况下,分析事件的本质属性,帮助我们作出合理的判断,这是本章学习的重点.等可能事件的概率的计算往往需要学生有较强的分析和综合能力,对在保持试验条件不变的情况下,随着试验次数的增加,某事件出现的频率趋于稳定,学生较难理解,是本章教学的难点.
【重点】
理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义,并能准确地对某一事件进行判断;理解概率的意义,会用列表法和树形图法求事件的概率,并能利用概率知识解决日常生活中的实际问题.
【难点】
理解概率的意义;会用列表法和树形图法求确定事件发生的概率,并能利用概率解决实际问题.
1.概率内容比较抽象,试验的不确定性、概率结果的唯一性,常常使学生感到困惑.所以教学中应多选取贴近学生生活的实际问题,通过观察、分析大量学生熟悉而有趣的问题,使学生认识到不确定现象的普遍性,丰富对概率背景的认识.让学生亲身经历试验,
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分析试验结果,经历观察与思考、一起探究、大家谈谈等数学活动过程,调动学生的学习积极性,激发对概率学习的兴趣,培养学生的主动参与意识.
2.在本章的教学中,教师要注重引导学生积极参与试验,并和学生小组内交流试验结果,体会随机事件在一次试验中具有不确定性,在大量试验下却呈现出确定的规律.在教学设计中,要根据现有条件,设计方便操作的试验,由于试验耗费的时间较多,可以安排学生课下进行试验,课堂上重点进行汇报试验结果、数据交流、统计分析、讨论交流.
3.列举法计算事件的概率的教学,教师要提供不同类型的问题情景,让学生进行充分的观察思考和讨论交流,形成解决问题的策略,并对不同的观点进行辨析.同时引导学生探究计算概率的方法,特别对于两步完成的试验,可以用列表法列举试验的结果,对于两步以上完成的试验,用树形图列举试验的结果.
4.根据《数学课程标准》,“概率与统计”这块内容到这里已全部学完.应适当注意统计与概率之间的内在联系,频率作为概率的估计值就是体现两者联系的一个方面.用频率的近似值估计概率,在教学中有两点要引起重视.一是试验条件不变,二是随着试验次数的增加,频率趋于稳定,这个稳定值可作为概率的估计值.试验条件不变实际上不容易做到,有条件的话用计算机模拟试验,教学效果将更好.
31.1确定事件和随机事件
1课时
31.2随机事件的概率
2课时
31.3用频率估计概率
2课时
31.4用列举法求简单事件的概率
2课时
回顾与反思
1课时
31.1 确定事件和随机事件
1.初步认识有些事件的发生是确定的,有些事件的发生是不确定的.
2.在具体的问题情景中区分必然事件、不可能事件和随机事件,能正确地描述事件.
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1.经历猜测、试验、收集与分析试验结果的过程,归纳出三种事件的各自的本质特征,抽象成数学概念.
2.通过观察一些现象,初步认识有些事件的发生是确定的,有些事件的发生是不确定的,体会数学与生活密切联系.
1.从具体生活实例出发,观察、思考、总结,确定事件的分类,学会与他人合作交流,培养合作精神,发展随机观念.
2.体验从事物的表象到本质的探究过程,感受数学的科学严谨性及生活中丰富的数学现象.
【重点】
必然事件、随机事件和不可能事件的特点.
【难点】
能够判断具体问题情景中的随机事件类型.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P60~62.
导入一:
(课件展示)
如图所示,彩票号码摇奖器中,有10个质地、大小完全相同的球,分别标号为0,1,2,…,9.摇奖器在转动的过程中,将有一个球从下方的洞中漏出.你事先能确定这个球的号码吗?漏出球的号码有多少种可能结果?每个号码出现的可能性大小是否相同?
【师生活动】 教师展示课件,学生观察回答,教师导出本章课题——随机事件的概率.
导入二:
播放一段天气预报,引出一句古语:“天有不测风云”.
(课件展示)
请说明下列事件是否一定发生.
(1)太阳从西边落下;
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(2)某人的体温是100 ℃;
(3)a2+b2=-1(其中a,b都是实数);
(4)水往低处流;
(5)酸和碱反应生成盐和水;
(6)一元二次方程x2+2x+3=0有实数解.
【师生活动】 教师展示问题,学生思考回答,教师点评并提问“上述事件是确定的吗?”,学生思考回答后,教师导出本节课课题——确定事件和随机事件.
[设计意图] 通过教材章题页中的彩票摇奖问题简要指明了本章学习的研究内容,激发学生的学习兴趣.通过学生熟知的生活常识和学科知识中生动的、有趣的实例,引出必然事件和不可能事件,很自然地进入新知识的学习和探究,同时体会数学与生活实际息息相关.
[过渡语] 在现实生活中,有些事情事先我们能知道它们一定发生或一定不发生,但对有些事情是否发生,我们事先不能作出肯定的回答,它们有时会发生,有时不会发生,发生与否具有随机性,让我们一起观察哪些事件是随机的,哪些事件是确定的.
观察与思考
(课件展示)
观察下列摸球试验,思考相应的问题.
试验1:A盒中有10个大小和质地都相同的红球,搅匀后从中任意摸出1个球.事先能肯定摸到的是红球吗?能摸到黄球吗?
试验2:B盒中有10个大小和质地都相同的球,其中6个是红球,4个是黄球,搅匀后从中任意摸出1个球.事先能肯定摸到的是红球吗?能肯定摸到的是黄球吗?
试验3:C盒中有10个大小和质地都相同的球,分别标号为0,1,…,9,搅匀后从中任意摸出1个球.摸到球的号码有多少种可能结果?事先能肯定摸到球的号码是几吗?
思路一
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表回答,教师点评.
教师根据学生回答归纳:
(1)在试验1中,由于A盒中全是红球,所以摸到的肯定是红球.我们说“摸到红球”是必然发生的事情.由于A盒中没有黄球,所以肯定不会摸到黄球,即“摸到黄球”是不可能发生的事情.
(2)在试验2中,可能摸到红球,也可能摸到黄球,事先不能肯定摸到的是红球还是黄球.我们说“摸到红球”和“摸到黄球”都是随机发生的事情.
(3)在试验3中,标号为0,1,…,9的球都有可能被摸到,共有10种可能结果,但事先不能肯定哪种结果会发生.
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教师提问:
1.在试验1中,“摸到红球”“摸到黄球”的事件分别是什么事件?
2.在试验2中,“摸到红球”和“摸到黄球”是什么事件?
【师生活动】 学生思考回答,师生共同归纳概念.
(课件展示)
在一定条件下,必然发生的事情叫做必然事件,不可能发生的事情叫做不可能事件,可能发生也可能不发生的事情叫做随机事件.必然事件和不可能事件统称为确定事件.
思路二
【师生活动】 学生独立思考回答试验1,学生亲自做试验2和试验3,重复试验几次,观察事件发生的情况,并回答提出的问题.
教师引导思考:
上面的事件可以分几类?各类事件有什么特点?
【师生活动】 学生观察思考后,小组合作交流,小组代表回答,教师点评,师生共同归纳有关概念.
(课件展示)
在一定条件下,必然发生的事情叫做必然事件,不可能发生的事情叫做不可能事件,可能发生也可能不发生的事情叫做随机事件.必然事件和不可能事件统称为确定事件.
追加提问:
1.在试验1中,“摸到红球”和“摸到黄球”分别是什么事件?
2.试验2中,“摸到红球”和“摸到黄球”分别是什么事件?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
[设计意图] 从试验出发,学生观察、思考、归纳,体会不同类型的事件的特点,培养学生的归纳总结能力,体会数学与生活之间密切联系.
做一做
(课件展示)
【思考1】
对于试验3,指出下列事件中,哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.
(1)摸到球的号码不超过9;
(2)摸到球的号码为6;
(3)摸到球的号码为10;
(4)摸到球的号码为奇数.
【师生活动】 学生独立思考,小组内交流答案,小组代表回答,教师点评并给出提示.
【提示】 为方便起见,一般用大写拉丁字母A,B,C,…表示事件.例如,在试验3中,可设A=“摸到球的号码为奇数”,B=“摸到球的号码为偶数”,事件A和B都是随机事件.
【思考2】
你能举出现实生活中有哪些随机事件的实例吗?
【师生活动】 学生思考回答,教师鼓励学生大胆发言,教师点评并课件展示生活中常见实例.
(课件展示)
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(1)抛掷一枚硬币,硬币落地后,“正面朝上”和“反面朝上”都是随机事件.
(2)上学路上,小明在某个有交通信号灯的路口“遇到红灯”是随机事件.
(3)小亮拨打火车票订票电话,“线路占线”是随机事件.
(4)从一批节能灯管中任意抽查一只,“使用寿命超过3000 h”是随机事件.
[设计意图] 通过练习,进一步巩固所学知识,加深对必然事件、不可能事件、随机事件的理解.通过列举现实生活中的随机事件的实例,感受生活中处处有数学,数学来源于生活,又运用到生活中去.
[知识拓展] 必然事件与不可能事件统称为确定事件,在叙述必然事件、不可能事件和随机事件时,必须受一定条件的制约,如标准大气压下,水加热到100 ℃沸腾是必然事件,但气压高于标准大气压时,水加热到100 ℃沸腾就不是必然事件.
判断一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件,要从它们的定义出发,同时也要联系生活中的相关知识.
1.事件的分类:
事件
2.在一定条件下,必然发生的事情叫做必然事件,不可能发生的事情叫做不可能事件,可能发生也可能不发生的事情叫做随机事件.
1.(2016·漳州中考)掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法正确的是 ( )
A.每2次必有1次正面向上
B.必有5次正面向上
C.可能有7次正面向上
D.不可能有10次正面向上
解析:掷一枚质地均匀的硬币10次是随机事件,正面可能朝上可能朝下,正面朝上的次数不会超过10次.故选C.
2.下列说法正确的是 ( )
A.如果一件事情发生的机会只有十万分之一,那么它就不可能发生
B.如果一件事情发生的可能性是100%,那么它就一定会发生
C.买彩票的中奖率是1%,那么买100张彩票,就有一张中奖
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D.一个口袋中有10个质地均匀的小球,其中9个白球,只有一个红球,那么从中任取一个球,一定是白球
解析:选项A中事件发生的可能性虽然很小,但也有可能发生;选项B中的事件是必然事件,所以它一定会发生;选项C中买彩票的中奖率是1%,说明中奖的可能性小,有时买100张彩票也可能不中奖;选项D中的事件是随机事件.故选B.
3.有下列事件:①今天是6月1日,明天是6月2日;②明天是阴天;③全年级370人中,至少有两个人的生日是同一天;④下个月有32天.以上事件中,确定事件有 ,随机事件有 .(填序号)
解析:①③是必然事件,②是随机事件,④是不可能事件,所以确定事件是①③④,随机事件是②.
答案:①③④ ②
4.下列事件中,哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件?
①抛掷一块石头,石头落地;
②某人的体温是100 ℃;
③a2+b2=-1(其中a,b都是实数);
④水往低处流;
⑤酸和碱反应生成盐和水;
⑥三个人性别各不相同;
⑦一元二次方程x2+2x+3=0无实数根;
⑧经过有信号灯的十字路口,遇见红灯.
解:事件①④⑤⑦是必然事件;事件②③⑥是不可能事件;事件⑧是随机事件.
31.1 确定事件和随机事件
观察与思考
做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第62页习题A组.
【选做题】
教材第62页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列事件是随机事件的是 ( )
A.抛硬币,正面朝上
B.在标准大气压下,加热到100 ℃,水沸腾
C.奥运会上,百米赛跑的成绩为5秒
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D.掷一枚普通骰子,朝上的一面的点数是8
2.下列成语中描述的事件必然发生的是 ( )
A.水中捞月 B.瓮中捉鳖
C.守株待兔 D.拔苗助长
3.“a是实数,|a|≥0”这一事件是 ( )
A.必然事件 B.不确定事件
C.不可能事件 D.随机事件
4.下列事件:①在足球赛中,弱队战胜强队;②抛掷一枚硬币,落地后正面朝上;③任取两个正整数,其和大于1;④长为3 cm,5 cm,9 cm的三条线段能围成一个三角形,其中确定事件的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.从正五边形的五个顶点中,任取四个顶点连成四边形,对于事件M:“这个四边形是等腰梯形”,下列判断正确的是 ( )
A.事件M是不可能事件
B.事件M是必然事件
C.事件M是随机事件
D.以上均不正确
6.“任意打开一本200页的教科书,正好是第35页”,这是 事件.(填“随机”或“必然”)
7.抛掷两个分别标有1,2,3,4的正四面体木块,写出这个试验中的一个随机事件是 ,写出这个试验中的一个必然事件是 .
8.袋子中装有6个红球、3个白球、2个黄球,这些球除了颜色外完全相同,将袋中球搅拌均匀.
(1)闭上眼睛从袋子中拿出一个球,拿出 是可能的, 是不可能的;
(2)闭上眼睛从袋子中取出3个球,拿出的都是 是不可能的,都是 是可能的.
9.按事件的确定性,将下列事件分为两类.
(1)同种电荷,相互排斥;
(2)没有水分,种子就不会发芽;
(3)掷一枚硬币,出现正面朝上;
(4)若a,b为实数,则a+b=b+a;
(5)掷一枚骰子,向上的一面是2点;
(6)若射击运动员射击一次,命中靶心.
【能力提升】
10.下列事件中是必然事件的为 ( )
A.有两边及一角对应相等的三角形全等
B.方程x2-x+1=0有两个不相等的实数根
C.北京明天是晴天
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D.圆的切线垂直于过切点的半径
11.下列事件中,哪些是必然发生的?哪些是不可能发生的?哪些是随机发生的?
(1)小明今年18岁,明年15岁;
(2)小兵期中考试,数学获得满分120分;
(3)购买一件合格率为98%的商品,买到一件次品(不合格产品);
(4)任意购买一张电影票,座位号是双号;
(5)向空中抛掷一枚硬币,硬币正面朝上;
(6)今天是10号,明天是11号.
12.如图所示的转盘被分成三个相同的扇形,指针位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置,并相应得到一个数(指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形).写出此情景下一个不可能发生的事件.
【拓展探究】
13.一个不透明的袋子中装有6个红球和4个白球,请根据此信息设计一个随机事件、一个必然事件和一个不可能事件.
【答案与解析】
1.A(解析:抛硬币,可能正面朝上,可能反面朝上,是随机事件;B是必然事件;C,D是不可能事件.)
2.B(解析:只有B是必然事件.)
3.A(解析:因为任何实数的绝对值都是非负数,所以|a|≥0是必然成立的.)
4.B(解析:①在足球赛中,弱队战胜强队,此事件为随机事件.②抛掷一枚硬币,落地后正面朝上,此事件为随机事件.③任取两个正整数,其和大于1,此事件为确定事件中的必然事件.④长分别为3 cm,5 cm,9 cm的三条线段能围成一个三角形,此事件为确定事件中的不可能事件.故确定事件为③和④,一共有2个确定事件.)
5.B(解析:如图所示,正五边形ABCDE中,连接BE,根据正五边形ABCDE的性质得到BC=DE=CD=AB=AE,根据多边形的内角和定理得出∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠AED=108°,根据等腰三角形的性质求出∠ABE=∠AEB=36°,求出∠CBE=72°,推出BE∥CD,得到四边形BCDE是等腰梯形,所以该事件是必然事件.)
6.随机(解析:任意打开一本200页的教科书,可能是第35页,也可能不是第35页,所以是随机事件.)
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7.着地点数之和为4 着地点数之和小于9(解析:写出的事件可能发生可能不发生的即为随机事
件,一定发生的为必然事件,答案不唯一.)
8.(1)红,白,黄球 红,白,黄颜色之外的颜色的球
(2)黄球 红球或者白球(解析:(1)因为袋中只有红,白,黄球,所以拿出红,白,黄球是可能的,其他颜色的球是不可能的,(2)因为袋中红,白,黄球中只有黄球少于3个,是2个,所以闭上眼睛随机从袋子中取3个球,拿出都是黄球是不可能的,都是红球或者白球是可能的.)
9.解:确定事件有:(1)(2)(4),不确定事件有:(3)(5)(6)
10.D(解析:如果是两边及一边的对角对应相等,这两个三角形就不一定全等,所以A是随机事件;根据根的判别式可得b2-4ac
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