第三十二章 投影与视图
1.通过实例,了解中心投影、平行投影的意义;能确定简单物体的中心投影、平行投影;体会中心投影、平行投影在生活中的应用.
2.了解物体的正投影,能区分中心投影和平行投影.
3.了解视图的概念,能判断简单物体的视图;会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图和俯视图.
4.会根据视图描述简单的几何体,体会几何体与其视图间的联系.
5.了解直棱柱和圆锥的侧面展开图,能根据表面展开图想象和制作实物模型.
6.通过实例,了解视图与侧面展开图在现实生活中的应用.
1.经历对实物进行观察分析和探索的过程,初步感受平行投影、中心投影及正投影的意义,体会数学与生活之间的密切关系,提高学生的数学应用意识.
2.通过具体的活动,发展学生动手实践能力和数学思考能力,发展学生的合情推理和空间观念.
3.通过观察、操作、猜想、讨论、合作等活动,使学生体会到三视图中位置及各部分之间大小的对应关系,积累数学活动的经验.
4.通过观察、探究等活动,使学生能根据视图描述几何体或实物原型,进一步认识物体与其三视图之间的关系.
5.经历直棱柱和圆锥的侧面展开与折叠、制作模型等活动,加强直观与想象相结合的能力,提高动手操作与理论结合实际的能力.
1.使学生学会关注生活中有关投影与视图的数学问题,体会数学与生活实际密不可分,提高数学的应用意识.
2.学生通过观察、思考、分析,探究出结论,培养观察能力、实践能力及归纳总结能力.
3.通过学生自主学习与小组合作的学习方式,提高分析问题及解决问题的能力,培养学生合作意识.
4.通过探究物体的三视图,学会多角度看问题,体会成功的快乐,激发学生学习数学的热情,增强学好数学的信心.
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5.在探究三视图向立体图形转化过程中,使学生感受数学的和谐美,培养学生动手实践能力,发展空间想象能力.
本章是结合学生在生活中对几何体认识的基础上,通过研究中心投影、平行投影、几何体的三视图、直棱柱与圆锥的侧面展开图等内容,将立体图形用平面图形来刻画,进一步丰富学生认识几何体的方法.投影是生活中常见的现象,而三视图又是特殊投影的产物,投影与三视图的知识在日常生活和生产中有着广泛的应用,是培养学生空间观念的有效平台.本章内容在数学学习中起着承上启下的作用,教材前边学习过“图形的初步认识”“图形的变换”等几何图形知识,在此基础上本章将研究“投影与视图”,它是反映空间观念的重要内容,也为高中学习立体几何做好铺垫.
本章教材以生活实例出发,通过对比、分析生活中的实例,引导学生理解平行投影与中心投影及正投影的概念,而物体三个方向上的正投影就是该物体的三视图,教材最后探究“由物到图”和“由图到物”,两方面结合起来,就从不同角度反映了平面图形与立体图形之间的联系.本章的知识内容不太多,在内容安排的顺序上,注重知识的发生、发展过程,注重知识间的内在联系.编写本章最主要的目的不是介绍投影与视图的知识,而是通过学习本章内容,切实发展学生的空间想象能力.本章主要内容的学习是以学生已有的生活经验为基础,通过观察、操作、想象、交流、推理等数学活动,直观地获得有关概念和性质,有效地发展学生的空间观念,由平面图形到空间图形,再由空间图形到平面图形,体验平面图形与立体图形的相互转化.
【重点】
通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用;会画基本几何体及简单组合体的三视图;能根据三视图描述基本几何体或实物的原型.
【难点】
了解基本几何体与其三视图、展开图之间的联系,通过典型实例知道这种关系在现实生活中的应用.
学生的空间知识来自丰富的实物模型,与现实生活息息相关,所以在本章的教学中要重视借助直观模型或动画演示,开展多种实践活动,帮助学生克服立体几何知识不足的困难,学生在学习本章内容前缺乏对这些知识的系统学习,只是有一些感性认识,解决这个问题的比较好的做法是选择一些实例或通过课件动画展示,通过让学生观察、想象,由直观地认识结合实例了解空间关系,降低学习本章内容的难度,提高学生空间想象能力.
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学,数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的.关于投影和视图的知识是从实际需要(建筑、制造等)中产生的,它们与实际问题联系得非常紧密.在学习本章之前,学生已经数次接触过和几何图形有关的平面图形知识及简单立体图形,对投影和视图的知识已有初步的、朦胧的了解,
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只是还没有明确地接触过一些基本名词术语,对有关基本规律还缺乏归纳总结.所以在本章的学习中,以生活实例为载体,通过让学生观察熟悉的生活实例,抽象出有关概念和性质,多组织学生进行不同形式的数学活动,在活动中促进对知识的理解,以学生的生活经验和已有的数学活动经验为基础,以具体的内容为发展空间观念的载体,积极创造自主探究与合作交流的氛围,有意识地引导学生自觉地表达自己对有关概念、结论的理解,自觉地用自己的语言说明操作的过程.
32.1投影
1课时
32.2视图
3课时
32.3直棱柱和圆锥的侧面展开图
1课时
回顾与反思
1课时
32.1 投 影
1.了解中心投影和平行投影的意义,能够对它们进行区分.
2.能够确定物体的中心投影和平行投影,体会它们在生活中的应用.
3.了解物体的正投影,能画出简单的平面图形的正投影.
1.经历对实物进行观察、分析和探索的过程,初步感受平行投影、中心投影及正投影的意义,体会数学与生活之间的密切关系,提高学生的数学应用意识.
2.通过具体的活动,发展学生动手实践能力和数学思考能力,发展学生的空间观念.
1.通过感受日常生活中的一些投影现象,体会数学与实际生活息息相关,激发学生学习数学的兴趣.
2.使学生学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识,增强学好数学的信心.
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3.学生通过观察、思考、分析,探究出结论,培养观察能力、实践能力及归纳总结能力.
【重点】
通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用;能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.
【难点】
在投影面上画出平面图形的平行投影、中心投影及正投影.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P90~92.
导入一:
你看过皮影戏吗? 皮影戏又名“灯影子”,是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术,在关中地区很为流行,深受农民的欢迎.
(课件展示)
类似地,物体在光线的照射下会形成影子.
(课件展示)
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【师生活动】 学生欣赏图片,教师课件展示图片,有条件的可以放映电影《小兵张嘎》部分片段——小胖墩和他爸在日军炮台内为日本鬼子表演皮影戏,简单介绍有关皮影戏的知识,导出本节课的课题.
导入二:
北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉灿烂文化的瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成,当太阳光照在日晷中轴上产生投影,晷针的影子就会投向晷面,随着时间的推移,晷针的影子的长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢慢移动,聪明的古人以此来显示时刻.
(课件展示)
【师生活动】 教师展示图片,引入新课,学生观察思考,初步感知投影的概念.
[设计意图] 学生通过电影片段或欣赏图片,了解中国传统文化,数学课堂上渗透德育教育,通过对皮影戏和日晷的介绍,让学生体会数学在实际生活中的应用,初步感知投影的概念,为下面的学习做好铺垫.
[过渡语] 物体在光线的照射下,会在投影面上形成投影.物体的投影具有怎样的特征呢?让我们一起走入今天的知识殿堂.
认识概念
(课件展示)
【思考1】
1.灯泡的光线与探照灯的光线有什么区别?
(灯泡的光线可以看做是从一点射出的,探照灯的光线可以看做是平行的)
2.蜡烛的光线、太阳光线分别与哪种光线相同?
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(蜡烛的光线与灯泡的光线相同,太阳光线与探照灯的光线相同)
3.你能举出生活中的一些实例吗?
【师生活动】 教师展示课件图片,学生观察思考,结合现实生活中影子的实例,小组内交流两种光线的不同,学生代表回答,教师点评,课件展示有关投影的概念.
(课件展示)
物体在光线的照射下,会在某个平面(墙面、地面等所在的平面)上留下它的影子,这种现象就是投影.光线是投影线,这个平面是投影面.
蜡烛和灯泡的光线可以看做是从一点射出的.像这样,由一点射出的光线照射在物体上所形成的投影,叫做中心投影.
太阳光线和探照灯的光线可以看做是平行的.像这样,由平行光线照射在物体上所形成的投影,叫做平行投影.
【思考2】
观察平行投影和中心投影,它们有什么相同点与不同点?
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师进行点评,共同归纳,完成表格.
(课件展示)
平行投影与中心投影的区别与联系
区别
联系
光线
物体与投影面平行时投影与物体之间的关系
平行投影
平行的
投射线
全等
都是物体在光线的照射下,在某个平面内形成的影子(都是投影)
中心投影
从一点出发
的投射线
放大(位
似变换)
[设计意图] 通过观察图片,感知数学概念的形成来源于生活,让学生观察、思考、分析课件展示的图片,寻找它们的异同,抽象出投影的有关概念,激发学生的求知欲望.通过交流平行投影与中心投影的区别,加深对投影的有关概念的理解和掌握.
大家谈谈
[过渡语] 我们认识了中心投影与平行投影的有关概念,那么物体的摆放位置与中心投影的形状和大小有关系吗?让我们一起观察与思考.
(课件展示)
1.如图所示,观察正方形的中心投影.当投影面和物体的摆放位置不变时,光源距物体的远近与物体投影的大小有什么关系?
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2.当投影面和光源的位置不变时,物体的摆放位置与它的投影形状有什么关系?
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,小组代表回答,教师点评并动手演示,师生共同归纳结论.
(课件展示)
中心投影时,光源距物体越近,物体的投影越大, 反之越小;物体的摆放位置与它的投影形状无关.
[设计意图] 通过观察、思考,使学生体会中心投影对物体的大小、形状的影响,发展学生合情推理及空间想象观念.
一起探究
[过渡语] 我们一起探究了物体的位置与中心投影的形状和大小之间的关系,那么物体的位置与平行投影的形状和大小之间有什么关系呢?
思路一
【师生活动】 学生自主学习教材第91页,要求学生在自主学习过程中动手操作,画图并独立思考所提出的问题,完成画图和思考后,小组内合作交流,共同归纳结论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,给学生充足的时间和空间思考交流,小组代表回答问题,其他学生质疑提问,教师点评归纳.
(课件展示)
1.同一时刻,同一物体的平行投影大小相同;同一时刻,不同物体的平行投影的长与物体的高的比相等.
2.平行投影时,物体的摆放位置离地面的远近与它的投影的形状没有关系;物体摆放的位置不同,则它的投影的形状不同,如正方形的平行投影可能是正方形、长方形或一条线段.
3.正投影:我们把投影线垂直照射在投影面上的物体的投影叫做正投影.
追加思考:
1.三角形在平行投影下的形状是什么?圆呢?
2.三角形的正投影是什么图形?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
思路二
【思考1】
(课件展示)
1.如图所示,一束平行光线倾斜地照射在地面(投影面)上.
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教师引导思考:
(1)我们站在阳光下,投影的长短是否会变化?那么立于地面上点A处的旗杆的高度与它投影的长短有什么关系?
(变化,成正比)
(2)如何画出物体在阳光下的投影?请你分别画出小明站在点B处和点C处时的投影(用线段表示),并比较他在这两处投影的长短.
(过物体的顶端作光线的平行线,底面的交点与物体之间的线段为物体的投影,小明站在B,C两处的投影大小相等)
(3)同一时刻,物体与它的投影构成的三角形之间有什么关系?旗杆高与它投影长的比,小明身高与他投影长的比,二者之间有什么关系?
(相似,二者相等)
【师生活动】 学生在教师的引导下思考、操作、回答,师生共同归纳结论.
(课件展示)
结论:
同一时刻,同一物体的平行投影是相同的;
同一时刻,不同物体的平行投影长度与物体的高度的比相等.
【思考2】
(课件展示)
2.如图所示,一束平行光线垂直地照射在地面(投影面)上.
观察、思考并回答下列问题:
(1)当正方形纸片摆放位置距离地面的远近不同时,它的平行投影的形状、大小 ;
(2)当正方形纸片平行于投影面时,它的平行投影与正方形纸片的形状、大小 ;
(3)当正方形纸片倾斜于投影面时,它的平行投影与正方形纸片的形状、大小 ;
(4)当正方形纸片倾斜于投影面时,它的平行投影是 .
(5)根据上边探究的结论,平行投影分为几种形式?哪几种形式?
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(两种形式,一种为投影线倾斜于投影面,一种为投影线垂直于投影面.)
【师生活动】 教师课件展示问题,学生观察思考后,小组合作交流答案,对学生的答案,教师作出点评,师生共同归纳结论.
(课件展示)
1.平行投影时,物体的摆放位置离地面的远近与它的投影的形状没有关系;物体摆放位置不同它的投影的形状不同,如正方形的平行投影可能是正方形、长方形或一条线段.
2.正投影:我们把投影线垂直照射在投影面上的物体的投影叫做正投影.
追加思考:
1.三角形在平行投影下的形状是什么?圆呢?
2.三角形的正投影是什么图形?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
[设计意图] 通过观察、思考、动手实践,利用平行线构成相似三角形,使学生体会平行投影对物体的大小、形状的影响,借助多媒体展示当纸片在不同位置时,投影的形状,使学生获得直观体验.
观察与思考
(课件展示)
如图所示,已知正方体的R面与投影面是平行的,它在投影面上的正投影是四边形A'B'C'D'.
(1)四边形A'B'C'D'是什么四边形?正方体R面对面的正投影是什么图形?
(2)正方体Q面和P面的正投影分别是什么图形?
(3)正方体棱AB和棱AE的正投影分别是什么图形?正方体顶点A和顶点E的正投影分别是什么图形?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内交流答案,学生回答问题后,教师归纳总结.
(1)四边形A'B'C'D'是正方形.R面的对面的正投影是正方形.
(2)Q面与P面的正投影均为线段.
(3)棱AB的正投影是线段且与AB等长,棱AE的正投影是一个点;顶点A和顶点E的正投影仍是一个点.
结论:
点的正投影是点;线的正投影是线或点;面的正投影是面或线.
[设计意图] 通过观察、思考后,小组合作交流,体会点、线、面正投影的形状,发展学生空间观念,提高学生观察、归纳和空间想象能力及应用意识.
[知识拓展] 1.光线移动时,物体影子的大小、方向也随着变化,物体的形状与影子的形状有密切的联系.
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2.光是沿直线传播的,因此我们可以由投影与物体确定光线方向.
3.平行投影的应用:(1)根据阳光下影子的大小、位置的变化判断时刻的不同;(2)已知一个物体及其在阳光下的影子,可作出同一时刻另一个物体在阳光下的影子;(3)根据物高和影长的关系可以求物高或影长.
4.中心投影的应用:(1)根据点光源下两种或两种以上物体及影子的情况判断点光源的位置;(2)已知点光源的位置,可以画物体在点光源下的影子.
5.当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.
6.只有在平行投影中,才会出现正投影.正投影是光线与投影面的关系,与物体的摆放位置无关.
人们在实际作图中,经常采用正投影.
1.什么是平行投影、中心投影、正投影?
2.平行投影和中心投影的区别与联系:
区别
联系
光线
物体与投影面平行时投影与物体之间的关系
平行投影
平行的
投射线
全等
都是物体在光线的照射下,在某个平面内形成的影子(都是投影)
中心投影
从一点出发
的投射线
放大(位
似变换)
3.物体的位置与它的平行投影、中心投影之间的关系.
4.点、线、面的正投影的形状.
1.平行投影中的光线是 ( )
A.平行的 B.聚成一点的
C.不平行的 D.向四面八方发散的
解析:平行投影中的光线是平行的.故选A.
2.下列投影中属于中心投影的是 ( )
A.阳光下跑动的运动员的影子
B.阳光下木杆的影子
C.阳光下汽车的影子
D.路灯下行人的影子
解析:中心投影的光源为灯光,平行投影的光源为阳光与月光,在各选项中只有D选项得到的投影为中心投影.故选D.
3.如图所示,箭头表示投影的方向,则图中圆柱体的正投影是 ( )
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A.圆 B.矩形
C.梯形 D.圆柱
解析:圆柱的正投影是矩形.故选B.
4.小明想利用太阳光测量楼高.他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:如图所示,小明边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同.此时,测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2 m,又测得CE=0.8 m,CA=30 m(点A,E,C在同一直线上).
已知小明的身高EF是1.7 m,请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1 m).
解:如图所示,过点D作DG⊥AB,分别交AB,EF于点G,H,则EH=AG=CD=1.2,
DH=CE=0.8,DG=CA=30.
∵EF∥AB,∴=.
由题意得FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5.
∴=,
解得BG=18.75.
∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0.
∴楼高AB约为20.0 m.
32.1 投 影
认识概念
大家谈谈
一起探究
观察与思考
一、教材作业
【必做题】
教材第92页习题A组的1,2,3题.
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【选做题】
教材第93页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示的投影不是中心投影的是 ( )
A
B
C
D
2.如图所示,晚上小亮在路灯下散步,在小亮由A处走到B处这一过程中,
他在地上的影子 ( )
A.逐渐变短
B.逐渐变长
C.先变短后变长
D.先变长后变短
3.如图所示的是一根电线杆在一天中不同时刻的影长,试按其一天中发生的先后顺序排列,正确的是 ( )
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A.①②③④ B.④①③②
C.④②③① D.④③②①
4.如图所示的圆台的上下底面与投影线平行,圆台的正投影是 ( )
A.矩形
B.两条线段
C.等腰梯形
D.圆环
5.下列叙述正确的是 ( )
A.圆锥的正投影是圆或等腰三角形
B.圆柱的正投影是矩形或圆
C.球的正投影是圆
D.正方体的正投影是正方形
6.如图所示,小华为了测量所住楼房的高度,她请来同学帮忙,测得同一时刻她自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米,已知小华的身高为1.6米,那么她所住楼房的高度为 米.
(第6题图)
(第7题图)
7.如图所示,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=6 m,点P到CD的距离是2.7 m,则AB与CD之间的距离是 m.
8.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度,如图所示,他在某一时刻立1米长的标杆,测得其影长为1.2米,同时旗杆的投影一部分在地面上,另一部分在某一建筑的墙上,分别测得其长度为9.6米和2米,则学校旗杆的高度为 米.
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9.如图所示,AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5 m,某一时刻AB在阳光下的投影BC=3 m.
(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;
(2)在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m,请你计算DE的长.
10.某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD,某一时刻在太阳光下,木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上.
(1)你在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF;
(2)若AB=5米,CD=3米,CD到PQ的距离DQ的长为4米,求此时木杆AB的影长.
【能力提升】
11.(2016·北京中考)如图所示,小军、小珠之间的距离为2.7 m,他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m,1.5 m,已知小军、小珠的身高分别为1.8 m,1.5 m,则路灯的高为 m.
12.如图所示,光源L距地面(LN)8米,距正方体大箱顶端(LM)2米,已知,在光源照射下,箱子在左侧的影子BE长5米,求箱子在右侧的影子CF的长.(箱子棱长为6米)
【拓展探究】
13.如图所示,王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B,当她行到P处时发现,她在路灯B下的影长为2米,且恰好位于路灯A的正下方,接着她又走了6.5米到Q处,此时她在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方(已知王琳身高1.8米,路灯B高9米).
(1)指出王琳站在P处在路灯B下的影子;
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(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长;
(3)计算路灯A的高度.
【答案与解析】
1.D(解析:分别连接头顶和影子的端点,A,B,C中的两条光线交于一点,是中心投影,D中的两条光线平行,是平行投影.)
2.C(解析:因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程,所以他在地上的影子先变短后变长.)
3.B(解析:对于北半球而言,从早晨到傍晚影子的指向是:西—西北—北—东北—东,影长由长变短,再变长.根据题意,太阳是从东方升起,故影子指向的方向为西方,然后依次为西北—北—东北—东,故分析可得先后顺序为④①③②.故选B.)
4.C(解析:根据题意,圆台的上下底面与投影线平行,则圆台的正投影是该圆台的轴截面.)
5.C(解析:圆锥、圆柱的正投影都有可能是椭圆,故A,B不正确;球的正投影永远是圆,故C正确;正方体的正投影还有可能是线段,故D不正确.)
6.48(解析:如图所示,易证△ABC∽△DEF,有AC∶BC=DF∶EF,由题意知AC=1.6米,BC=0.5米,EF=15米,所以DF=48米.)
7.1.8(解析:∵AB∥CD,∴△PAB∽△PCD,∴AB∶CD=P到AB的距离∶点P到CD的距离,∴2∶6=P到AB的距离∶2.7,∴P到AB的距离为0.9 m,所以AB与CD之间的距离为2.7-0.9=1.8 (m).)
8.10(解析:如图所示,作DE⊥AB于点E,根据题意得=,即=,解得AE=8(米),则AB=AE+BE=8+2=10(米),即旗杆的高度为10米.)
9.解:(1)如图所示,连接AC,过点D作DF∥AC,交地面于点F,连接EF,则线段EF即为DE的投影. (2)∵AC∥DF, ∴∠ACB=∠DFE.∵∠ABC=∠DEF=90°,∴△ABC∽△DEF,∴=,即= ∴DE=10(m).
10.解:(1)如图所示. (2)设木杆AB的影长BF为x米,由题意得=,解得x=.答:木杆AB的影长是米.
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11.3(解析:如图所示,由题意知小军、小珠的身高都与影长相等,所以∠E=∠F=45°,所以AB=BE=BF,设路灯的高AB为x m,则BD=(x-1.5)m,BC=(x-1.8)m,又CD=2.7 m,所以x-1.5+x-1.8=2.7,解得x=3(m).)
12.解:∵四边形DEFG是正方形,LN⊥BC,∴DG∥EF,MN=DE=FG,四边形DENM与四边形MNFG是矩形,∴△DLM∽△BLN,∴=,∴DM=米,∴MG=DG-DM=6-=(米),同理,=,∴FC=13米.∴箱子在右侧的影子CF的长为13米.
13.解:(1)线段CP为王琳站在P处在路灯B下的影子. (2)由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD, ∴=,∴=,解得QD=1.5(米).故王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米. (3)由题意知Rt△DFQ∽Rt△DAC, ∴=, ∴=,解得AC=12(米).答:路灯A的高度为12米.
本节课由学生感兴趣的皮影戏和日晷导出课题,让学生了解中国文化,体会数学与生活之间的联系,激发学生的学习兴趣.通过观察现实生活中的不同的影子,直观地认识中心投影和平行投影,并了解不同投影之间的区别和联系,加深对投影概念的理解.让学生根据已有的生活经验独立思考、分析中心投影与平行投影与物体位置之间的关系,然后小组内合作交流,师生共同归纳结论,进一步培养学生抽象、概括能力,发展学生的空间想象能力.最后在教师提出的问题的引导下,加强学生对正投影下正方体中点、线、面的投影的认识.整节课的教学设计思路清晰,目标明确,学生思维活跃,充分体现了学生在课堂上的主体性.
本节课的主要内容是投影的意义及生活中的应用,通过联系生活实际,观察、思考、交流、归纳等数学活动,感知平行投影、中心投影及正投影的概念和有关性质,课堂上学生气氛活跃,回答问题积极,但是在“一起探究”活动中,学生缺乏空间想象能力,没有给学生足够的时间和空间思考和交流,造成对抽象概括投影与物体位置之间的关系的理解有困难.在以后教学中,应注重培养学生空间想象及抽象概括能力,多给学生相互交流的时间和空间.
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本节课的重点是理解和掌握投影的有关概念及在实际问题中的应用,以生活实际问题中的影子引出本节课的课题,让学生体会数学与生活息息相关,激发学生的好奇心和求知欲.以学生举出的与影子有关的生活实例抽象出平行投影和中心投影的概念,并归纳两者的区别和联系,培养学生的观察能力和实践能力.通过观察、思考、画图、交流等数学活动,师生共同探究物体位置与投影之间的关系,加深对概念的理解和掌握,提高学生的分析能力和解决问题的能力,发展学生空间想象能力.
练习(教材第92页)
1.解:如图所示,线段AB是小树的投影.
2.解:如图所示,线段AB表示小明,BC表示小明的影子.
习题(教材第92页)
A组
1.解:如图所示,线段AB是标杆的投影.
2.解:如图所示,线段AB是乙杆的投影.
3.提示:为一个矩形.
B组
1.提示:为一个正方形.
2.解:(1)如图所示,折线EG-GM是旗杆在阳光下的影子. (2)过点M作MN⊥DE于点N,设
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旗杆的影子落在墙上的长度MG为x m,则NE=x m,DN=(15-x)m,MN=EG=17.7 m,根据“同一时刻,阳光下的物高与影长成比例”得=,即=,解得x=3.2,所以旗杆的影子落在墙上的长度为3.2 m.
重视空间图形与平面图形之间的联系
1.数学是以数量关系和空间形式为研究对象的学科,数量关系和空间形式都是从现实世界中抽象出来的,投影是从实际需要(建筑、制造等)中产生的,它们与实际生活紧密相连.教科书从学生熟悉的生活经验出发,引出投影现象的概念,让学生体会数学与生活的联系,激发学生学习兴趣.以物体在太阳光和灯光下的影子的不同,引出平行投影、中心投影的概念,让学生感受数学来源于生活.
2.客观世界一般是立体图形,它的投影是平面图形,由物体产生的投影是将立体图形转化为平面图形的过程,认识平面图形与立体图形之间的联系,对培养学生空间观念非常重要.在教学设计中,学生虽然在前边接触过立体图形,但空间想象能力还比较差,所以在课堂上多给学生思考和交流的时间和空间,让学生相互交流、共同得出结论.通过展示自己,体验成功的快乐,让学生真正成为课堂的主体,人人学有价值的数学.
如图(1)所示,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是1.5米,求路灯A的高度AB是多少.
解析:由于人和地面是垂直的,即和路灯到地面的垂线平行,故可以构成两组相似三角形.根据对应边成比例,列方程解答即可.
解:如图(2)所示,GC⊥BC,AB⊥BC,
∴GC∥AB,
∴△GCD∽△ABD,∴ =.
设BC=x,则 =.
96
(1)
(2)
同理,△HEF∽△ABF,∴=,
即 =,
∴ =,∴x=3(已检验),
∵ =,
∴= ,
∴AB=6(已检验).
答:路灯A的高度AB是6米.
32.2 视 图
1.了解视图(主视图、俯视图、左视图)的概念,会判断简单物体的视图.
2.会画正方体及其简单组合体、直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图和俯视图.
3.会根据视图描述几何体或实物原型,体会几何体与其视图间的联系,了解视图在现实生活中的应用.
1.通过操作、观察、猜想、交流等数学活动,使学生体会到三视图中位置及各部分之间大小的对应关系,积累数学活动的经验.
2.通过画正方体及其简单组合体、直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图,实现立体图形到平面图形的转化.
3.经历探索简单的几何体的三视图的还原,进一步发展空间想象能力.
96
4.通过观察探究等活动使学生能根据物体的三视图还原出物体的形状,进一步认识物体与其三视图之间的关系.
1.使学生学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识,养成细致、严谨的态度.
2.培养学生自主学习与合作的学习方式,使学生体会从生活中发现数学的能力.
3.通过探究物体的三视图,学会多角度看问题,体验成功的喜悦,激发学生学习数学的热情.
4.在探究三视图向立体图形转化的过程中,使学生感受数学的和谐美,培养学生动手实践能力及空间想象能力.
【重点】
理解三视图的概念;会画简单物体的三视图;能根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型.
【难点】
对三视图概念理解的升华及画实物的三视图;根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型.
第课时
1.了解视图(主视图、俯视图、左视图)的概念,会判断简单物体的视图.
2.会画正方体及长方体、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图和俯视图.
1.通过感受从不同方向观察同一物体可能看到不一样的结果,培养学生全面观察的能力.
2.通过操作、观察、猜想、讨论、合作等活动,使学生体会到三视图中位置及各部分之间大小的对应关系,积累数学活动的经验.
1.使学生学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识.
2.培养学生自主学习与合作的学习方式,使学生体会从生活中发现数学的能力.
96
3.通过探究物体的三视图,学会多角度看问题,体验成功的喜悦,激发学生学习数学的热情.
【重点】
理解三视图的概念;会画简单的三视图.
【难点】
对三视图的概念的理解的升华及正确画简单物体的三视图.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P94~98.
导入一:
(课件展示)
“横看成岭侧成峰,远近高低各不同.不识庐山真面目,只缘身在此山中”.从我们熟悉的这首古诗中,你能得到什么启示?
【师生活动】 教师展示图片,学生结合图片赏析古诗,思考并回答问题,教师点评,导出课题.
[过渡语] 这首诗教会了我们怎样观察物体——横看、侧看、近看、身处其中看,从不同方向看庐山,我们欣赏到不同的美景.
导入二:
(课件展示)
某次军事演习中展示了我国不少先进的武器,
下图是一架飞机及各角度展示的图片,你能发现是从哪几个角度展示的吗?
【师生活动】 学生观察回答,教师点评,导出新课.
96
【导入语】 我们要反映一个物体的形状,一般从多个方面观察,才得到物体的形状,如上图所示,从三个方向反映了飞机飞行的形状,这就是我们这节课要研究的物体的三视图.
导入三:
复习提问:
1.什么是物体的正投影?
2.你知道正方体、球的正投影是什么形状的图形吗?
【师生活动】 学生思考回答,教师点评,并导入新课.
[设计意图] 教师从学生熟悉的古诗入手,感受从多个角度认识物体,引出本节课课题,激发学生的学习兴趣;由三个方向反映飞机的形状及复习提问正投影的有关概念,为理解本节课的三视图埋下伏笔.
[过渡语] 在工程设计中,立体图形的形状往往是以平面图形来刻画的.借助正投影,可实现立体图形和平面图形之间的相互转化.
观察与思考
(课件展示)
1.如图所示,左边几何体的正投影(1),(2),(3)分别是从几何体的哪个方向上得到的?
【师生活动】 学生观察、思考、回答,初步感受物体的三视图,教师点评.
(课件展示)
2.如图所示,对于给出的几何体,思考并回答下列问题:
(1)对于(2),(3)这两个几何体,只从它们上面的正投影,我们能确定这两个几何体的形状吗?
(2)对于(1),(3)这两个几何体,只从它们正面和左面的正投影,我们能确定这两个几何体的形状吗?
(3)对于这三个几何体,分别从它们的正面、左面和上面的正投影,我们能确定这三个几何体的形状吗?
教师引导分析:
1.图(1)中几何体从正面的正投影是 ,从左面的正投影是 ,从上面的正投影是 .
96
图(2)中几何体从正面的正投影是 ,从左面的正投影是 ,从上面的正投影是 .
图(3)中几何体从正面的正投影是 ,从左面的正投影是 ,从上面的正投影是 .
2.图(2),(3)这两个几何体,上面的正投影 ,所以只从它们上面的正投影,我们不能确定这两个几何体的形状.
3.图(1),(3)这两个几何体,正面和左面的正投影 ,所以只从它们正面和左面的正投影,我们不能确定这两个几何体的形状.
4.这三个几何体,分别从它们的 、 、 的正投影,我们能确定这三个几何体的形状和大小.
【师生活动】 学生在教师的引导下,观察、思考、交流、回答,教师作出点评,归纳三视图的有关概念.
[过渡语] 一般地,用几何体的正面、左面和上面三个不同方向上的正投影,就可以刻画出这个几何体的形状与大小了.
(课件展示)
一个几何体的正投影,又叫做这个几何体的视图.从正面得到的视图叫做主视图,从上面得到的视图叫做俯视图,从左面得到的视图叫做左视图.
(课件展示)
我们约定面对几何体的一面为几何体的正面,由左向右方向的一面为几何体的左面,竖直向下方向的一面为几何体的上面.
如图(1)所示的这个几何体的主视图、俯视图和左视图如图(2)所示.
[设计意图] 以简单的基本几何体为例,学生在教师的引导下观察、思考、交流,感悟确定一个几何体的形状和大小需要三个方向的正投影,归纳三视图的概念,进一步发展学生的空间思维,激发学生学习数学的求知欲.
例题讲解
(课件展示)
(教材第95页例1)画出如图所示的圆柱的主视图、俯视图和左视图.
【师生活动】 学生独立完成画三视图的过程,小组内交流答案,小组代表板书展示,教师点评.
96
(板书)
解:如图所示.
追问:
1.圆柱的主视图中长方形的长和宽与圆柱之间有什么关系?
2.圆柱的左视图中长方形的长和宽与圆柱之间有什么关系?
3.圆柱的俯视图中圆与圆柱之间有什么关系?
4.你能归纳画一个几何体的三视图的一般步骤吗?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表发言展示,教师给学生时间和空间,让他们用自己的语言描述、归纳,最后师生共同归纳结论.
(课件展示)
1.圆柱的主视图是一个长方形,长方形的长和宽分别等于圆柱的高和圆柱底面圆的直径;它的俯视图是一个圆,圆的直径等于圆柱底面圆的直径;它的左视图也是一个长方形,长方形的长和宽分别等于圆柱的高和圆柱底面圆的直径.
2.画几何体的三视图的步骤:
(1)确定主视图的位置,画出主视图;
(2)在主视图正下方画出俯视图,注意与主视图“长对正”.
(3)在主视图正右方画出左视图,注意与主视图“高平齐”,与俯视图“宽相等”.
[设计意图] 通过画三视图,使学生进一步加深对三视图的理解,充分认识视图与物体形状的联系,体验三视图的形成过程,提高学生观察、操作能力及归纳总结能力,进一步培养空间观念.
做一做
1.如图所示,已知圆锥的主视图和左视图,请再画出这个圆锥的俯视图.
2.如图所示,请画出球的主视图、俯视图和左视图.
【师生活动】 学生独立完成,小组内交流答案,小组代表板书,教师点评.
96
[设计意图] 通过做一做,进一步巩固常见几何体的三视图的画法,体会立体图形与平面图形之间的转化,提高空间想象能力.
[知识拓展] 1.三个视图分别从不同方向表示物体的形状,单独一个视图难以全面地反映物体的形状,三者合起来才能较全面地反映物体的形状.
2.对于同一个物体,观察的角度不同,所得到的视图也不同.
3.俯视图在主视图的下方,左视图在主视图的右边,画三视图时,三个视图要放在正确的位置,不能随意乱放.三视图之间要保证“长对正、高平齐、宽相等”,这三个关系是看图与画图的基本规律.一般情况下,一个视图不能确定物体的空间形状,看图时必须将各视图对照起来看,这样才能看清物体的全貌.
1.什么是视图?什么是主视图、左视图和俯视图?
2.物体的三个视图的位置和大小有什么关系?
3.画物体的三视图的一般步骤及注意事项是什么?
1.(2016·漳州中考)下列几何体中,左视图为圆的是 ( )
A
B
C
D
解析:A中图形的左视图是长方形;B中图形的左视图是等腰三角形;C中图形的左视图是圆;D中图形的左视图是正方形.故选C.
2.在①长方体、②球、③圆锥、④圆柱这四种几何体中,其主视图、左视图、俯视图都完全相同的是 .(填序号)
96
解析:①长方体的主视图是长方形、左视图是长方形、俯视图也是长方形,但是长方形的边长不一样长;②球的主视图、左视图、俯视图都是圆;③圆锥有两个视图是三角形,一个视图是带圆心的圆;④圆柱有两个视图是长方形,一个视图是圆.故填②.
3.画出如图所示的一些基本几何体的三视图.
解:三视图如图所示.
第1课时
观察与思考
例题讲解
做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第96页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第97页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下面四个立体图形中,主视图是三角形的是 ( )
A
96
B
C
D
2.下列立体图形中,俯视图是正方形的是 ( )
A
B
C
D
3.如图所示的几何体的俯视图是 ( )
4.下列几何体,主视图和俯视图为矩形的是 ( )
96
A
B
C
D
5.写出一个在三视图中,俯视图和主视图一定完全相同的几何体: .
6.长方体的主视图和左视图如图所示(单位: cm),则其俯视图的面积是 .
【能力提升】
7.将如图所示放置的一个直角三角形ABC(∠C=90°),绕斜边AB旋转一周所得到的几何体的主视图是四个图形中的 (只填序号).
8.画出如图所示的立体图形的三视图.
【拓展探究】
96
9.一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时,把由圆锥与圆柱组成的几何体(如图所示,圆锥放置在圆柱上底面正中间)摆在讲桌上,请你在指定的方框内分别画出这个几何体的三视图(从正面、左面、上面看得到的视图).
【答案与解析】
1.C(解析:A中主视图、左视图是矩形,俯视图是圆,故A错误;B中主视图、左视图、俯视图都是圆,故B错误;C中主视图、左视图都是三角形,俯视图是带圆心的圆,故C正确;D中主视图、俯视图、左视图都是矩形,故D错误.)
2.A(解析:A的俯视图是正方形,故A正确;B的俯视图是圆,故B错误;C的俯视图是圆,故C错误;D的俯视图是带圆心的圆,故D错误.)
3.B(解析:从上面看到的图形是两个长方形,并且看到的棱在俯视图中画实线.故选B.)
4.D(解析:A中图形的主视图是矩形,俯视图是圆,故A错误;B中图形的主视图是三角形,俯视图是带圆心的圆,故B错误;C中图形的主视图是圆,俯视图也是圆,故C错误;D中图形的主视图是矩形,俯视图是矩形,故D正确.)
5.球或正方体(解析:球的俯视图与主视图都为圆;正方体的俯视图与主视图都为正方形.)
6.6 cm2(解析:由长方体的主视图和左视图可知这个长方体的高是4 cm,底面长是3 cm,底面宽是2 cm,长方体的俯视图就是其底面的图形,是长是3 cm,宽是2 cm的长方形,它的面积=3×2=6(cm2).故填6 cm2.)
7.(2)(解析:直角三角形ABC(∠C=90°),绕斜边AB旋转一周所得到的几何体是同底的两个圆锥体,因为AC>BC,所以它的主视图是两个同底的等腰三角形,并且上边三角形的腰大于下边三角形的腰.故填(2).)
8.解:如图所示.
9.解:三视图如图所示.
96
本节课通过学生熟悉的古诗引出课题,让学生感受从不同方向看物体的形状不同,激发学生的学习兴趣.通过观察、思考、交流、归纳等数学活动,得到对于一个几何体,分别从正面、左面、上面的正投影能确定一个几何体的形状,很自然地引出三视图的概念,并通过课件,观察几何体三视图,体会立体图形与平面图形之间的关系.通过画三视图,使学生进一步加深对三视图的理解,充分认识视图与物体形状的联系,体验三视图的形成过程,提高学生观察、操作能力及归纳总结能力,进一步培养空间观念.在整节课中,学生积极参与,课堂气氛活跃,发挥了学生在课堂上的主体作用.
在本节课的教学设计中,通过教师的课件展示和问题的引导,以学生活动为主,通过自主学习、观察思考、合作交流、归纳结论等数学活动,让学生亲自经历知识的形成过程,达到真正理解和掌握三视图的目的,但在实际操作中,由于部分学生空间想象能力较差,几何体的三视图画得并不是很正确,在以后教学中要加强对学生的空间想象能力的培养,多给学生交流的时间和空间.
本节课的重点是探索物体三个视图之间的关系,并能画出物体的三视图,以学生熟悉的生活实例导出本节课课题,体会数学与生活之间的联系.通过观察、思考、交流,体会物体需要从三个方向的正投影,才能确定物体的形状和大小,很自然地引出视图、三视图的概念.通过师生共同探究圆柱体的三视图,给学生足够的时间和空间讨论交流三个视图之间的位置关系及大小关系,归纳出“长对正,高平齐,宽相等”的结论,从而非常容易地归纳出画三视图的具体步骤.在整个教学设计中,让学生经历知识的形成过程,达到提高学生数学思维、培养学生能力的目的.
练习(教材第96页)
1.解:图(2)是领奖台的主视图.
2.解:如图所示.
96
习题(教材第96页)
1.解:如图所示.
2.解:如图所示.
3.解:如图所示.
B组
1.解:(1)有,如圆柱、圆锥等. (2)有,如球、正方体.
2.解:如图所示.
96
以学生活动为主,经历知识的形成过程
1.本节课的重点在学习投影的基础上探究几何体的三视图,在探究新知的过程中,注重发挥学生的积极主动性和参与性,注重学生在教学活动中自主探索、合作交流,如通过小组活动,让学生自己体会从不同方向看同一个物体得到不同的结果,发展学生空间观念.学生在探究三视图的过程中,通过观察、思考、交流、操作等数学活动,让学生参与其中,亲身体验概念的形成过程,使学生快乐、轻松的成为学习的主人,体会获得成功的喜悦.
2.通过开展小组合作学习等数学活动,可以提高学生的合作参与意识,培养学生善于倾听他人意见和帮助别人共同提高的品质.在数学活动中要给学生充足的时间进行反思,学生学习能力的培养不仅能使学生扎实有效地理解和掌握最基础的知识及基本的数学技能,而且也能培养学生的数学应用意识和能力,给不同层次的学生创设学好数学的氛围,特别是更有利于培养学生善于探索、勇于创新的精神.
(2015·泸州中考)如左下图所示的几何体的左视图是 ( )
解析:从几何体的左面看是一个矩形,∴几何体的左视图是矩形.故选C.
(2015·江西中考)如图所示的几何体的左视图为 ( )
解析:该几何体的左视图由上、下两个长方形组成的,看到的棱在左视图中画实线.故选D.
第课时
96
1.会画直棱柱及简单组合体的主视图、左视图和俯视图.
2.明确画几何体的三视图的一般规则.
1.通过画直棱柱和简单几何体的三视图,培养学生动手画图能力及全面观察的能力.
2.通过直观感知、动手操作,提高学生的空间想象能力,培养学生的应用意识.
3.通过操作、观察、讨论、合作等活动,使学生体会到三视图中位置及各部分之间大小的对应关系,积累数学活动的经验.
1.培养学生自主学习与合作的学习方式,使学生体会从生活中发现数学的能力.
2.通过探究物体的三视图,学会多角度看问题,体会成功的喜悦,激发学生学习数学的热情.
【重点】
画直棱柱及简单组合体的主视图、左视图和俯视图.
【难点】
画几何体的三视图的一般规则.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P97~98.
导入一:
复习提问:
1.什么是主视图、俯视图、左视图?
2.画几何体的三视图的注意事项是什么?
(“长对正”“高平齐”“宽相等”)
3.常见的几何体——长方体、圆柱、圆锥、球体的三视图分别是什么?
【师生活动】 学生回答,教师点评.
导入二:
96
动手操作:
1.如图(1)所示,教师将长方体粉笔盒放在讲桌上,请学生画出它的三视图.
2.如图(2)所示,教师将圆柱形水杯放在粉笔盒上,请学生画出它的三视图.
(1)
(2)
【师生活动】 学生独立完成画图,小组内交流答案,小组代表板书,教师点评并导出本节课课题.
[设计意图] 通过复习三视图的有关概念及画法,为本节课的学习做好铺垫.以身边的实物组成几何体,让学生画出它的三视图,很自然地导出新课重点,并激发学生的学习兴趣,让学生体会到生活中处处有数学.
[过渡语] 长方体粉笔盒就是一个直棱柱,我们把两个底面平行、棱垂直于底面的棱柱,叫做直棱柱.在没有特殊说明的情况下,以后所指棱柱都是直棱柱.让我们一起学习画直棱柱的三视图吧!
观察与思考
(课件展示)
如图所示的为底面是等边三角形的三棱柱,请你画出三棱柱的三视图.
思路一
【师生活动】 学生独立完成画图,小组内交流答案,小组代表板书,对学生画出主视图中没有画出虚线的三视图,教师引导学生提出质疑,师生共同在改错的过程中体会画三视图的规定:三棱柱的主视图中有一条线看不见,应画成虚线.教师展示正确的答案.
(板书)
解:如图所示.
96
思路二
(课件展示)
小明画出的三棱柱的主视图、俯视图和左视图如图所示.你认为他画的视图能完全反映三棱柱的特征吗?
【师生活动】 学生思考回答,对不能发现问题的学生教师加以引导,师生共同改正小明画出主视图中的错误,并课件展示正确结果.
(课件展示)
这个三棱柱的主视图中有一条线看不见,应画成虚线,如图所示.
[设计意图] 通过一个错误的视图,使学生在互相交流并引发深入思考的前提下,感受在画三视图时的规定的合理性,培养学生的合作精神及探究意识.
例题讲解
(课件展示)
(教材第98页例2) 如图所示,分别画出四棱柱(左、右两个面为正方形)和蒙古包模型(上部是圆锥,下部是圆柱)的主视图、俯视图和左视图.
【师生活动】 学生独立完成后,学生代表板书,其余学生小组内交流答案,教师给学生充足的时间交流、改错,同时在巡视中帮助有困难的学生,对学生的板书进行点评.
(板书)
解:如图所示.
96
[设计意图] 通过例题,进一步掌握直棱柱及简单组合体的三视图的画法,让学生体会生活中的实物与平面图形之间的转化,培养学生的空间想象能力及动手画图的能力.
做一做
(课件展示)
1.如图所示,画出组合体(由5个相同的小正方体构成)的主视图、俯视图和左视图.
2.如图所示,画出螺栓(上部是圆柱,下部是六棱柱)的主视图、俯视图和左视图.
【师生活动】 学生独立完成画图,给学生充足的时间在小组内交流答案,小组代表板书展示,师生共同点评.
(板书)
1.解:如图所示.
2.解:如图所示.
96
[设计意图] 通过做一做,进一步巩固简单组合体的三视图的画法,体会从生活中发现数学的能力,提高学生的空间想象能力,并使学生获得成功的体验.
[知识拓展] 1.在画三视图时,看不见的线画虚线,看得见的线画实线.
2.在生产实践中常用三视图描述物体(如机械零件、建筑物等)的形状.
3.由几个基本几何体组成的组合体,其各种视图可以分解为基本几何体的视图再组合,画三视图时要注意各几何体的上、下、前、后、左、右的位置关系.
1.简单组合体的三视图的画法.
2.画三视图时的规定:看不见的线画虚线,看得见的线画实线.
1.(2016·甘肃中考)如图所示的是由 5 个大小相同的正方体组成的几何体,则该几何体的主视图是 ( )
解析:主视图是从正面看到的图形,从正面看几何体有两行,上面一行最左边有一个正方体,下面一行有3个正方体.故选A.
2.如图所示的是一个几何体的实物图,则其主视图是 ( )
96
解析:从正面看可得到一个矩形和一个下底和矩形一条边重合的梯形(下底长小于矩形的长)的组合图.故选C.
3.如图所示的几何体的左视图是 ( )
解析:从左边看,上面立着一个长方形,下面横着一个长方形,根据圆柱和长方体的位置关系可知D正确.故选D.
4.画出图中几何体的三视图 .
解:几何体的三视图如图所示.
第2课时
观察与思考
例题讲解
做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第99页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第100页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
96
1.如图所示的是由5个大小相同的正方体组成的几何体,则它的主视图是 ( )
2.由五个同样大小的小立方体组成如图所示的几何体,则关于此几何体的三种视图叙述正确的是 ( )
A.左视图与俯视图相同
B.左视图与主视图相同
C.主视图与俯视图相同
D.三种视图都相同
3.如左下图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方体组成的,则这个几何体的俯视图是 ( )
4.如图所示的是将正方体切去一个角后形成的几何体,则该几何体的左视图为 ( )
5.将一个长方体内部挖去一个圆柱(如图所示),则它的主视图是 ( )
96
6.如图所示,几何体上半部为正三棱柱,下半部为圆柱,则其俯视图是 ( )
7.用12个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示,标有正确小正方体个数的俯视图是 ( )
8.如图所示的是由6个同样大小的小正方体摆成的几何体,将小正方体①移走后,所得几何体的主视图 ,左视图 ,俯视图 .(填“改变”或“不变”)
9.画出图中几何体的三视图.
96
【能力提升】
10.(淄博中考)如图所示的是三个大小不等的正方体拼成的几何体,其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长.该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S1,S2,S3,则S1,S2,S3的大小关系是 ( )
A.S1>S2>S3 B.S3>S2>S1
C.S2>S3>S1 D.S1>S3>S2
11.画出如图所示的物体的三种视图.
【拓展探究】
12.棱长为1的小正方体组成如图所示的几何体,画出这个几何体的三视图,并求出这个几何体的表面积是多少.
【答案与解析】
1.C(解析:观察几何体,从正面看几何体有两列,左边一列有两个正方体,右边一列有一个正方体,所以它的主视图是C.)
96
2.B(解析:该几何体的主视图是两列,从左到右依次有3个、1个正方形;左视图有两列,从左到右依次有3个、1个正方形;俯视图有两列,从左到右依次有2个、1个正方形.所以主视图与左视图相同.)
3.C(解析:从上面看,看到的是一个圆和一个长方形,所以这个几何体的俯视图是C.)
4.C(解析:从左往右看可得几何体的左视图是图C.)
5.A(解析:长方体的主视图为矩形,圆柱的主视图也是矩形,则可以排除答案C和D,根据圆柱和长方体的位置关系可得主视图为A.)
6.C(解析:从上面看,正三棱柱的俯视图是正三角形,圆柱的俯视图是圆,且正三角形在圆内.)
7.A(解析:从上面看可得几何体俯视图有三列小正方形,其个数从左往右依次为3,2,1,结合几何体可知各位置上小正方体个数标注正确的是A.)
8.改变 不变 改变(解析:主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形.将小正方体①移走后,所得几何的主视图改变,左视图不变,俯视图改变.)
9.解:如图所示的是几何体的三视图.
10.D(解析:主视图的面积是三个正方形的面积和,左视图的面积是两个正方形的面积和,俯视图的面积是一个正方形的面积,所以S1>S3>S2.故选D.)
11.解:如图所示.
12.解:三视图如图所示.
96
从上面看到的面积为6×(1×1)=6,从正面看到的面积为6×(1×1)=6,从后面看到的面积为6×(1×1)=6,从左面看到的面积为6×(1×1)=6,从右面看到的面积为6×(1×1)=6,从底面看到的面积为6×(1×1)=6,故这个几何体的表面积为6+6+6+6+6+6=36.
本节课是在上节课学习了简单几何体的三视图后,进一步学习简单组合体的三视图的画法,通过画这些物体的视图,使学生明白画视图的一般规则.在教学过程中,对学生有困难的视图的画法,教师拿模型让学生观察、思考,进行直观教学,学生更易于理解和掌握.以身边的实物组成简单几何体让学生画出它的三视图,能够激发学生的学习热情,使学生积极参与,情绪高涨.通过小组合作交流答案、互相纠错等活动,让学生比较轻松地突破了难点.本课时的学习是上一个课时的延续,内容简单,所以教师在教学中只起到引导的作用,充分发挥学生的主观能动性,使学生真正成为了课堂的主人.
本课时的学习内容以上个课时学习内容为基础,是上一个课时的延续,内容简单.教学设计时,教师引导学生思考的教学活动太多,不敢大胆把课堂交给学生,在课堂上学生思维活跃,发言积极,教师虽适时调整,但担心学生通过合作交流不能真正掌握重点,在学生能学会的基础上重复太多.在以后的教学设计中,以学生活动为主,相信学生自主学习和合作交流的能力,让学生在互助学习中提高能力.
本节课的重点是研究直棱柱和简单组合体的视图,以画身边的实物组成的几何体导入新课,激发学生的学习兴趣,体会身边处处有数学,让学生以轻松的心态走入新课堂.学生有了上节课学习的基础,所以在教学设计中,教学活动以学生自主学习、小组合作交流为主,对三视图画法有困难时,教师准备模型让学生观察、思考、交流.在课堂上,教师要大胆放手,给学生思考、讨论、归纳的空间和时间,充分发挥学生的主体作用,让学生在课堂上体验成功的快乐.
96
练习(教材第99页)
1.(4)
2.解:如图所示.
3.解:如图所示.
习题(教材第99页)
A组
1.解:(1)主视图. (2)左视图. (3)俯视图.
2.解:如图所示.
3.解:如图所示.
96
B组
1.解:如图所示.
2.解:如图所示.
自主学习,提高数学学习能力
本节课的重点是画直棱柱及简单组合体的三视图,是画三视图的延续,在上一节课学习的基础上,学生对三视图已有一定的认识,并且掌握了简单几何体的三视图的画法,所以在本节课的教学设计中,以学生自主学习为主,教师可以课前准备导学案,指导学生通过自主学习掌握本节课的重难点.课堂教学是一个双边活动,学生在轻松愉悦的课堂中更容易掌握知识,提高学习能力.在教学设计中,以身边的组合体(如粉笔盒和水杯)导入新课,激发学生的学习兴趣.学生通过小组合作交流得到简单组合体的三视图,然后通过探究教材中例题,独立完成三视图的画法,小组内合作交流答案,很轻松地突破本节课的难点.在教学设计中,
96
以学生活动为主,学生通过自主学习、小组合作交流完成本课时的学习,在课堂上体验成功的快乐,从而达到提高数学学习能力的目的.
(2015·临沂中考)如图所示,该几何体的主视图是 ( )
解析:从正面看的平面图形是长方形,看不见的线画成虚线.故选D.
(2015·深圳中考)下列主视图正确的是 ( )
解析:由前面往后面看,主视图有三列两层,左边一列有1个小正方形,中间一列有2个小正方形,右边一列有1个小正方形,底层有3个小正方形,上层有1个小正方形.故选A.
(2015·自贡中考)如图所示的是常用的一种圆顶螺杆,它的俯视图正确的是 ( )
A
B
C
96
D
解析:俯视图是从物体的上面看物体所得到的视图,因为圆柱的俯视图是一个圆,所以此组合体的俯视图则是大圆与小圆组合在一起,所以这个组合体的俯视图是B.故选B.
(潍坊中考)如左图所示,空心圆柱体的主视图的画法正确的是右图中的 ( )
解析:本题容易出现的错误是:①只考虑到主要轮廓线而忽略了看不到的轮廓线而误选A,或把看不到的轮廓线画成实线而误选B;②混淆了三视图与实物图的区别而误选D.故选C.
第课时
1.学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型.
2.体会三视图与实物模型之间的关系.
1.经历探索简单的几何体的三视图的还原,进一步发展空间想象能力.
2.通过观察、探究等活动,使学生能根据物体的三视图还原出物体的形状,进一步认识物体与其三视图之间的关系.
1.使学生学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识.
2.在探究三视图向立体图形转化的过程中,使学生感受数学的和谐美,培养学生动手实践能力,发展空间想象能力.
96
【重点】
根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型.
【难点】
根据物体的三视图想象立体图形的形状.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P100~101.
导入一:
复习提问:
1.画一个立体图形的三视图时要注意什么?
2.说一说:直三棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图.
【师生活动】 教师提出问题,学生回顾上节课内容并作出回答,教师点评.
导入二:
(课件展示)
欣赏机械制图中三视图与对应的立体图形的图片,说说三视图与对应的立体图形有怎样的关系?
【师生活动】 教师出示图片,学生观察二者之间的关系,初步感知由三视图想象几何体的过程.
[设计意图] 通过学生观察三视图与立体图形之间的对应关系,培养学生的空间观念,为新课的探索做好铺垫,同时通过认识三视图与其对应的立体图形在工件生产中的作用,使学生感受到知识的价值,激发学习数学的兴趣.
[过渡语] 上节课我们讨论了由立体图形(实物)画出三视图,那么由三视图能否想象出立体图形(实物)呢?这就是我们这节课要探究的内容.
共同探究
96
(课件展示)
1.如图所示,根据视图,分别描述相应几何体的形状.
2.一个几何体的主视图和左视图如图(1)所示,它可能是哪种几何体?一个几何体的俯视图如图(2)所示,它可能是哪种几何体?
3.两个几何体构成的组合体的视图如图所示,这个组合体是由什么样的几何体组成的?
思路一
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,尝试描述出立体图形,小组代表发言,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,点评结果,强调注意事项.
解:1.图中主视图和左视图是长方形,所以该几何体是柱体,图(1)的俯视图是圆,所以图(1)的几何体是圆柱;图(2)的俯视图是正方形,所以图(2)的几何体是长方体.
2.(1)根据图中的主视图和左视图是长方形,该几何体可能是圆柱,也可能是长方体等;(2)俯视图是圆,该几何体是圆柱,也可能是球.
3.组合体是大小不同的长方体上下组合而成的几何体.
思路二
教师引导回答:
1.长方体、圆柱、圆锥的三视图是什么形状?它们有什么区别和联系?
2.已知几何体的主视图和左视图是长方形,那么这个几何体可能是什么形状?
3.几何体的主视图和左视图是长方形,俯视图是圆,那么这个几何体是什么形状?如果俯视图是长方形(正方形)呢?
4.几何体的俯视图是圆,那么这个几何体可能是什么形状?
5.由三视图想象几何体,分别通过观察哪个视图确定几何体的前面、左面和上面?
【师生活动】 学生在教师提出的问题下思考回答,然后尝试描述立体图形,教师及时点评,最后归纳结论.
96
结论:
由三视图想象立体图形时,要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左面,然后再综合起来考虑整体图形.
[设计意图] 学生在教师的引导分析下,观察、思考、想象,由三视图得出对应的实物,进一步掌握由图想物的技能,培养学生的空间想象能力,发展学生的空间观念,同时小组合作交流,提高学生与他人合作的能力.
例题讲解
(课件展示)
(教材第101页例3)如图所示,图(1)、图(2)、图(3)分别是底面为正三角形、等腰直角三角形的三棱柱和底面为正方形的四棱柱的俯视图,分别画出它们的主视图和左视图.(棱柱的高都是1.6 cm)
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表描述几何体的形状,教师点评,师生共同画出它们的主视图和左视图.
(板书)
解:如图所示.
[设计意图] 通过例题,进一步巩固由三视图描述立体图形,熟练视图与立体图形的相互转化,提高学生分析问题的能力,发展学生的空间观念.
[知识拓展] 1.由一个视图不能确定物体的空间形状,根据三视图描述几何体或实物原型时,必须将各视图对照起来看.
2.一个摆好的几何体的视图是唯一的,但从视图反过来考虑几何体时,它有多种可能性.例如:正放的正方体的主视图是正方形,但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等.
3.三视图是平面图形,它是平行光线从不同方向照射物体所得的投影,并且平行光线和投影面是垂直的.
96
1.由三视图到立体图形:
(1)由一个视图不能确定物体空间的形状,根据三视图描述几何体时,必须将各视图对照起来看.
(2)一个摆好的几何体的视图是唯一的,但从视图反过来考虑几何体时,它有多种可能.
(3)对于较复杂的物体,由三视图想象物体的原型时,应搞清三个视图之间的前后、左右、上下的对应关系.
2.由三视图画立体图形时应注意:
(1)主视图反映物体的长和高,主要提供正面的形状.
(2) 左视图反映物体的高和宽,主要提供左侧面的形状.
(3)俯视图反映物体的长和宽,主要提供上面的形状,由俯视图看不出物体的高.
1.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是 ( )
解析:由主视图和左视图为长方形,可得此几何体为柱体,由俯视图为圆,可得几何体为圆柱.故选B.
2.(2016·北京中考)如图所示的是某个几何体的三视图,该几何体是 ( )
A.圆锥 B.三棱锥
C.圆柱 D.三棱柱
解析:根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体,根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱.故选D.
3.两个物体的主视图都是圆,则这两个物体可能是 ( )
A.圆柱、圆锥 B.圆柱、正方体
C.圆柱、球 D.圆锥、球
解析:圆柱、球的主视图可能都是圆,圆锥的主视图可能为带圆心的圆.故选C.
96
4.(2016·龙东中考)如左图所示的是由5个完全相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数,其主视图是 ( )
解析:从正面看几何体有两列,左边一列是3个小正方体,右边一列有1个小正方体,且最底层有2个小正方体.故选B.
5.一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是 .
解析:主视图、左视图为等腰三角形,该几何体为锥体,又俯视图为带圆心的圆,所以该几何体为圆锥.故填圆锥.
6.某物体的三视图如图所示.
(1)此物体是什么形状?
(2)求此物体的体积.
解:(1)根据三视图的知识,主视图以及左视图都为矩形,俯视图是一个圆,故可判断出该几何体为圆柱.
(2)根据圆柱的体积公式可得π××40=4000π.
第3课时
共同探究
例题讲解
一、教材作业
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【必做题】
教材第102页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第104页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,一个简单的几何体的三视图的主视图与左视图都为正三角形,其俯视图为正方形(带有对角线),则这个几何体是 ( )
A.四棱锥 B.正方体
C.四棱柱 D.三棱锥
2.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是 ( )
3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体是 ( )
A
96
B
C
D
4.已知一个正棱柱的俯视图和左视图如图所示,则其主视图是 ( )
5.如图所示的是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图,则组成这个几何体的小正方体的个数是 ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
6.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面,如图所示的是它们的三视图,则货架上的红烧牛肉方便面至少有 ( )
96
A.8桶 B.9桶
C.10桶 D.11桶
7.某几何体的三视图如图所示,则组成该几何体共用了 个小立方体.
8.某工厂要加工一批茶叶罐,设计者给出了茶叶罐的三视图,如图所示,按照三视图制作的每个茶叶罐的体积(不计茶叶罐的厚度)为 .(单位:毫米)
9.根据几何体的三视图描述物体的形状.
96
【能力提升】
10.(兰州中考)一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示,则其主视图的面积为 ( )
A.6 B.8
C.12 D.24
11.已知一个几何体的主视图、俯视图如图所示,你能补画出它的左视图吗?动手画一画.
【拓展探究】
12.如图所示的是一个几何体的主视图和俯视图,求该几何体的体积.
【答案与解析】
1.A(解析:主视图与左视图都为正三角形,则它是棱锥,俯视图是一个带有对角线的正方形,所以它是四棱锥.故选A.)
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2.D(解析:根据三视图的知识,主视图为两个矩形,左视图为一个矩形,俯视图为一个三角形,故这个几何体为直三棱柱.)
3.C(解析:主视图和左视图上边是等腰三角形,下边是矩形,所以该几何体由上边是锥体、下边是柱体组成的,因为俯视图为带圆心的圆,所以该几何体上边是圆锥,下边是圆柱.)
4.D(解析:根据此正棱柱的俯视图和左视图得到该几何体是正五棱柱,其主视图应该是矩形,而且能看到两条棱,背面的棱用虚线表示.)
5.B(解析:综合三视图,几何体的底层应该有3+1=4(个)小正方体,第二层应该有一个小正方体,因此,小正方体的个数有5个.)
6.B(解析:根据三视图易得第一层有4桶,第二层最少有3桶,第三层最少有2桶,所以至少共有9桶.)
7.7(解析:观察几何体的三视图发现该几何体共有三层,第一层有三个小立方体,第二层有两个小立方体,第三层也有两个小立方体,∴该几何体共有3+2+2=7(个).)
8.375000 π毫米3(解析: 由三视图可知茶叶罐的形状为圆柱体,并且茶叶罐的底面直径d为100毫米,高H为150毫米,所以制作的每个茶叶罐的体积为·πH=·π×150=375000π毫米3.)
9.解:(1)正六棱柱. (2)圆锥和长方体组成的组合体. (3)三视图的主视图以及左视图均为矩形,俯视图为一个空心的圆环,故该几何体为空心圆柱.
10.B(解析:由左视图和俯视图可知该长方体的长为4,宽为3,高为2,所以主视图的面积为4×2=8.故选B.)
11.解:左视图如图所示.
12.解:该几何体的实物是由共轴线的圆柱和直四棱柱构成的,其上部圆柱的底面直径d1=20 cm,高h1=32 cm;其下部的直四棱柱的长a=30 cm,宽b=25 cm,高h2=40 cm.上部圆柱的底面积为S1=π=π=100π(cm2),则其体积为V1=S1h1=100π·32=3200π(cm3),下部直四棱柱的底面积为S2=ab=30×25=750(cm2),则其体积为V2=S2h2=750×40=3000(cm3),故此几何体的体积为V=V1+V2=(3200π+3000) cm3.
本节课通过引入复习提问,为本节课的学习做好铺垫,以生活实例导入新课,让学生初步了解三视图是生活的需要,激发学生的学习兴趣.探究已知三视图和实物之间的关系,学生经过观察、讨论,初步了解三视图与物体之间的对应关系,然后探究新知,以教材例题展开,以学生活动为主,通过观察、思考、讨论、操作、归纳等数学活动,探究出由三视图得到立体图形的一般思路和方法,体现了学生在课堂上的主体作用.学生在课堂上思维活跃、积极发言,经历知识的形成过程,体验成功的快乐,提高数学能力.
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本节课的重点是由三视图还原立体图形,认识三视图与立体图形之间的关系,教学过程中注重了教师的引导和学生的主体作用在课堂上的展示,将重点设计在了自主探究、合作交流等活动上,过于追求课堂形式,使学生数学能力尤其是空间想象能力,没有得到很好的发挥.课堂形式是为了让学生更好地掌握知识、提高能力,所以在以后的教学中尽量让两者有机结合,重在通过课堂提高学生能力.
本节课是上节课由立体图形画三视图的一个延续,主要探究由三视图还原对应的立体图形,重点培养学生的空间想象能力,所以在教学设计中,以复习上节课知识导入新课,为本节课的学习做好铺垫,然后从生活实例的三视图与实物对应画出立体图形,再到由三视图求立体图形的体积,由浅入深,由易到难引导学生观察、分析、讨论、归纳,得出由图到物的一般思路和方法.课堂上注重学生的参与性,多设计数学教学活动,让学生经历知识的形成过程,从而促进数学能力的提升.
练习(教材第102页)
1.解:(1)圆锥. (2)球.
2.解:如图所示.
3.解:圆柱体和长方体.
习题(教材第102页)
A组
1.解:圆柱体.体积为π×12=300π(mm3).
2.解:(1)长方体(下面)和圆柱(上面)的组合体. (2)体积为30×20×50+π××30=(30000+750π) mm3.
3.解:长方体去掉一部分后所得的几何体,形状如图所示.
B组
1.(60+12)
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2.解:体积为30×26×40+π×32=31200+3200π≈41248(cm3).
培养空间想象能力,解决图形问题
本节课是在上节课画物体的三视图的基础上,探究由三视图想象对应的几何体,教材中安排了多个例题,讨论简单立体图形与它的三视图的相互转化.这包括简单几何体的三视图、简单组合体的三视图、空心几何体的三视图,根据三视图想象立体图形、描述物体形状等等,这一节是全章的重点内容,它不仅包括了有关三视图的基本概念和规律,而且包括了反映立体图形和平面图形的联系与转化的内容,与培养空间想象能力有直接的关系.学生经验是发展空间观念的基础,学生的空间知识来自丰富的现实原型,与现实生活关系非常紧密,这是他们理解和发展空间观念的宝贵资源,培养空间观念要将视野拓展到生活的空间,重视现实世界中有关空间与图形的问题.
学生的空间想象能力是解决由三视图到立体图形的转化的基础,所以探究本节课内容时,给学生提供充足的探索与交流的时间和空间,思考后小组合作交流,共同归纳三视图到立体图形的转化的一般步骤,让学生亲身经历知识的形成过程,使空间想象能力得到提高,同时也培养了学生分析问题、解决问题的能力.
(2015·孝感中考)如图所示的是一个几何体的三视图,则这个几何体是 ( )
A.正方体 B.长方体
C.三棱柱 D.三棱锥
解析:主视图、左视图分别是两个长方形,则该几何体为柱体,俯视图是四边形,所以该几何体是长方体.故选B.
(2015·益阳中考)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是 ( )
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A.三棱锥 B.三棱柱
C.圆柱 D.长方体
解析:根据三视图的知识,主视图为两个矩形,左视图为一个矩形,俯视图为一个三角形,故这个几何体为直三棱柱.故选B.
(2015·呼和浩特中考)如图所示的是某几何体的三视图,根据图中所标的数据求得该几何体的体积为 ( )
A.236π B.136π
C.132π D.120π
解析:由三视图可得该几何体为平放着的两个圆柱体组成的几何体,大圆柱的体积为π×8=128π,小圆柱的体积为π×2=8π,所以该几何体的体积为128π+8π=136π.故选B.
32.3 直棱柱和圆锥的侧面展开图
1.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图.
2.能根据展开图想象和制作实物模型.
3.能应用直棱柱和圆锥的侧面展开图的知识解决实际问题.
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1.通过经历直棱柱和圆锥的侧面展开与折叠、制作模型等活动,进一步培养学生的空间观念和综合运用知识的能力.
2.通过动手操作、经历体验、合作探究,培养学生的观察能力、抽象思维能力和概括能力.
1.通过观察思考、动手操作等数学活动,使学生体会立体图形与平面图形的互相转化,渗透数学应用意识,提高学生学习数学的兴趣.
2.通过共同探究立体图形的侧面展开图,培养学生合作交流意识及主动探索、敢于实践的学习品质.
【重点】
直棱柱、圆锥的侧面展开图及利用直棱柱、圆锥的侧面展开图解决实际问题.
【难点】
直棱柱、圆锥的侧面展开图的相关计算.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 长方体纸盒、预习教材P106~108.
导入一:
提问:
1.圆柱和圆锥的侧面展开图是什么图形?
2.我们用什么方法探究出的圆柱、圆锥的侧面展开图?
(沿它们的母线展开,观察可得到侧面展开图)
【师生活动】 学生思考回答,教师点评.
导入二:
动手操作:
将课前准备的长方体纸盒,沿着它的一条棱展开,观察得到什么图形?
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【师生活动】 学生动手操作,小组内交流侧面展开图形状,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,点评学生的结果,并导出本节课的课题.
[设计意图] 通过提问,为本节课的学习做好铺垫.通过动手操作长方体的侧面展开图,培养学生的动手操作能力,激发学生的学习兴趣.
[过渡语] 圆柱和圆锥都可以沿它们的母线展开成平面图形.直棱柱的侧面展开图是怎样的呢?
观察与思考
(课件展示)
如图所示,底面为正六边形的六棱柱,沿它的一条侧棱展开,就得到了这个六棱柱的侧面展开图.
【师生活动】 教师课件展示六棱柱的侧面展开图,学生观察.
思考:
1.在上图中,六棱柱的侧面展开图为长方形.这个长方形的长和宽分别与棱柱底面的周长和侧棱长有什么关系?
2.如图所示,底面为多边形的棱柱侧面展开图是长方形吗?如果是长方形,那么它的长和宽分别与棱柱底面的周长和侧棱长有什么关系?
思路一
【师生活动】 学生观察、独立思考后,小组合作交流答案,小组代表发言,教师点评,师生共同归纳结论.
结论:
直棱柱的侧面展开图是长方形,长方形的长是直棱柱的底面周长,长方形的宽是直棱柱的侧棱长.
思路二
教师引导思考:
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1.观察底面为正六边形的六棱柱的侧面展开图,六棱柱的侧面展开图是什么图形?
(长方形)
2.底面为正六边形的六棱柱的侧面展开图——长方形中,长方形的长与六棱柱的底面周长有什么关系?
(长方形的长与六棱柱的底面周长相等)
3.底面为正六边形的六棱柱的侧面展开图——长方形中,长方形的宽与六棱柱的侧棱长有什么关系?
(长方形的宽与六棱柱的侧棱长相等)
4.如果是底面为正八边形的八棱柱,上面的结论是否仍然成立?
(成立)
5.如果是底面为多边形的棱柱,它的侧面展开图仍是长方形吗?
(仍是长方形)
6.底面为多边形的棱柱,它的侧面展开图的长与棱柱的底面周长有什么关系?它的侧面展开图的宽与棱柱的侧棱长有什么关系?
(相等,相等)
【师生活动】 教师引导学生思考回答,教师点评,师生共同归纳结论.
结论:
直棱柱的侧面展开图是长方形,长方形的长是直棱柱的底面周长,长方形的宽是直棱柱的侧棱长.
[设计意图] 通过观察、思考,小组合作交流,经历立体图形到平面图形的形成过程,让学生直观感受直棱柱和它的展开图之间的关系,提高学生观察及分析问题的能力.
大家谈谈
(课件展示)
如图所示,已知三个棱柱的侧面展开图,请说说它们分别是什么样的棱柱.
【师生活动】 学生观察、思考、回答,小组内交流答案,小组代表发言,教师点评,并归纳结论:侧面展开图有几个长方形,对应的实物就是几棱柱.
[设计意图] 通过侧面展开图想象立体图形,进一步体会平面图形与立体图形之间的相互转化,发展学生的空间观念,提高学生的空间想象能力.
做一做
(课件展示)
(1)在硬纸片上画一个半径为6 cm,圆心角为216°的扇形.将这个扇形剪下来,按如图所示的方式围成一个圆锥的侧面.指出这个圆锥的母线长.
(2)用一块硬纸片剪出这个圆锥的底面,和(1)中圆锥的侧面一起做成一个圆锥.(黏合部分忽略不计)
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【师生活动】 以小组为单位动手操作,共同制作符合要求的圆锥模型,并交流如何剪下符合要求的圆形底面.小组代表展示制作的圆锥,并回答教师提出的问题,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,鼓励学生大胆发言,对学生的回答作出点评,并归纳结论.
(课件展示)
结论:扇形的半径为围成的圆锥的母线长,扇形的弧长为围成的圆锥的底面周长.
[设计意图] 学生经历观察思考、动手操作、小组合作交流的活动过程,制作出符合要求的圆锥模型,提高学生对圆锥和它的展开图之间的认识,培养学生动手操作的能力及空间观念.
例题讲解
(课件展示)
(教材第107页例题)如图所示为一个正方体.按棱画出它的一种表面展开图.
【师生活动】 学生独立思考后,画出它的表面展开图,给学生充足的时间小组内交流答案,小组代表板书,教师鼓励学生展示不同的答案,对学生的画图作出评价,并课件展示正方体的所有展开图.
(板书)
解:按棱展开的方式有多种,其中一种如图所示.
(课件展示)
正方体的11种表面展开图:
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[设计意图] 通过学生小组之间的合作交流,共同探究正方体的展开图,提高学生的交流能力,发展学生的空间想象能力.
共同探究
(课件展示)
如图所示,已知一个长方体纸箱的长、宽和高分别为30 cm,20 cm,10 cm.一只昆虫从纸箱的顶点A处沿纸箱表面ACDE和表面GEDB爬到另一个顶点B处.它沿哪条路线爬行的距离最短?请说明理由,并求出这个最短距离.(结果保留两位小数)
教师引导思考:
1.长方体有几种展开方式,使得点A与点B在同一个平面上?
2.在同一平面上如何求两点之间的最短距离?
3.长方体的展开图中,哪个展开图中A,B两点之间的距离最短?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内进行操作试验,分析长方体的多种展开方式,计算A,B两点之间的最短距离,小组代表展示,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示进行评价.
(课件展示)
解:如图所示,将这个长方体纸箱的表面展开,连接AB.根据“两点之间线段最短”,可知线段AB就是昆虫爬行距离最短的路线.
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在Rt△ABC中,AC=30 cm,BC=BD+CD=20+10=30(cm).
根据勾股定理,得:
AB=
=
=30
≈42.43(cm),
即昆虫最短爬行路线的距离约为42.43 cm.
[设计意图] 通过独立思考、动手操作、合作交流等数学活动,利用长方体的展开图解决实际问题,培养学生动脑、动手的良好学习习惯及合作解决问题的意识,同时体会将实际问题转化为数学问题的过程,提高分析问题、解决问题的能力.
[知识拓展] 1.立体图形是由面围成的,同一个立体图形,沿不同方式展开,得到的平面图形是不同的.
2.常见图形的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是一个扇形,其中扇形的半径是圆锥的母线长,扇形的弧长是底面圆的周长;圆柱的侧面展开图是矩形,矩形的一边长是圆柱的底面周长,另一边长是圆柱的高;正方体的表面展开图有11种情况;棱柱的侧面展开图是矩形,矩形的一边长是棱柱的底面周长,另一边长是棱柱的侧棱长.
1.棱柱的侧面展开图.
2.圆锥的侧面展开图.
3.正方体的表面展开图.
4.由展开图想象几何体模型.
5.求长方体上两点之间的最短距离.
1.下面的图形中,是三棱柱的侧面展开图的是 ( )
解析:棱柱的侧面展开图是矩形,三棱柱的侧面展开图是3个矩形.故选A.
2.小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒(如图所示),六个面上各有一个字,连起来就是“预祝中考成功”,其中“预”的对面是“中”,“成”的对面是“功”,则它的平面展开图可能是 ( )
96
解析:A中展开图“预”的对面是“考”,不符合要求,故A错误;B中“预”的对面是“功”,不符合要求,故B错误;C中“预”的对面是“中”,“成”的对面是“功”,符合题意,故C正确;D中“预”的对面是“中”,“成”的对面是“祝”,不符合题意,故D错误.故选C.
3.如果圆锥的母线长为5 cm,底面半径为3 cm,那么圆锥的全面积为 .
解析:圆锥的侧面积为×5×(3×2×π)=15π(cm2),底面积为π×32=9π(cm2),所以圆锥的全面积为15π+9π=24π(cm2).故填24π cm2.
4.如图所示的是一个食品包装盒的平面展开图.
(1)请写出这个包装盒的多面体形状的名称;
(2)请根据图中所标的尺寸,计算这个多面体的侧面积和全面积(侧面积与两个底面积之和).
解:(1)这个多面体是正六棱柱.
(2)S侧=6ab ,S底= 6×b2=b2,
所以S全面积=S侧+2S底=6ab+3b2.
32.3 直棱柱和圆锥的侧面展开图
观察与思考
大家谈谈
做一做
例题讲解
共同探究
96
一、教材作业
【必做题】
教材第108页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第109页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.把图中的三棱柱展开,所得到的展开图是 ( )
2.如图所示,下列四个选项中,不是正方体表面展开图的是 ( )
A
B
C
D
96
3.如图所示的是一个正方体展开图,把展开图折叠成正方体后,“你”字一面相对面上的字是 ( )
A.我 B.中 C.国 D.梦
4.已知O为圆锥的顶点,M为圆锥底面上一点,点P在OM上.一只蜗牛从P点出发,绕圆锥侧面爬行,回到P点时所爬过的最短路径的痕迹如图所示.若沿OM将圆锥侧面剪开并展开,所得侧面展开图是 ( )
5.如左图所示的是一个几何体的三视图,则该几何体的展开图可以是 ( )
6.如图所示,一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆,则该圆锥的底面半径是 ( )
A.1 B.
C. D.
96
7.(宁波中考)如图所示的四张正方形硬纸片,剪去阴影部分后,如果沿虚线折叠,可以围成一个封闭的长方体包装盒的是 ( )
8.如图(1)所示的是边长为1的六个小正方形围成的图形,它可以围成如图(2)所示的正方体,则图(1)中小正方形顶点A,B在围成的正方体上的距离是 .
9.图中的展开图各是什么几何体的展开图?
10.如图所示的是一个多面体的表面展开图,每个面上都标注了字母,请根据要求回答问题:
(1)如果面A在多面体的底部,那么哪一面会在上面?
(2)如果面F在前面,从左面看是面B,那么哪一面会在上面?
(3)从右面看是面C,面D在后面,那么哪一面会在上面?
【能力提升】
11.如图所示的是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图,求它的表面积.
12.一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的表面积和体积.
96
【拓展探究】
13.如图所示的是一个几何体的三视图(图中尺寸单位:厘米).
(1)写出这个几何体的名称;
(2)根据所示数据计算这个几何体的表面积;
(3)如果一个蚂蚁要从这个几何体中的点B出发,沿表面爬到AC的中点D,请你求出线路的最短路径.
【答案与解析】
1.B(解析:两个全等的三角形在侧面三个长方形的两侧,这样的图形围成的是三棱柱.把图中的三棱柱展开,所得到的展开图是B.)
2.C(解析:选项A,B,D折叠后都可以围成正方体,而C折叠后不能折成正方体.)
3.D(解析:一个正方体的平面展开图,共有六个面,根据正方体展开图的特点,其中面“我”与面“中”相对,面“的”与面“国”相对,面“你”与面“梦”相对.)
4.D(解析:蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路径应该是一条线段,因此选项A和B错误,因为蜗牛从P点出发,绕圆锥侧面爬行后,又回到起始点P处,所以将选项C,D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后,位于母线OM上的点P应该能够与母线OM'上的点(P')重合,而选项C还原后两个点不能够重合.故选D.)
5.A(解析:根据三视图可得几何体的形状为圆柱体,所以它的展开图可以为A.)
6.C(解析:因为展开之后的弧长L=πR=π,展开之后的弧长其实就是圆锥的底面圆的周长,所以L=π=2πr,所以r=.)
7.C(解析:长方体包装盒与正方体包装盒的形状略有不同,类比于正方体平面展开图,也可分为相应的11种形式,对照各选项,只有C经过适当“割补”,可以围成一个封闭的长方体包装盒.故选C.)
8.1(解析:由题意知AB是正方体的棱长,所以AB=1.)
96
9.解:(1)沿虚线折叠后得到四棱锥. (2)把小圆作底,扇形两半径叠合会得到一个圆锥. (3)以两个正六边形为底,长方形沿虚线依次折叠,使宽叠合围成一个六棱柱.
10.解:(1)面F会在上面. (2)面C或面E会在上面. (3)面A或面F会在上面.
11.解:侧面积=6×3×2=36( cm2),底面可以看做2个等腰梯形组成,它们的高是=(cm),所以两个底面积是2×2×=12( cm2),所以表面积=(12+36) cm2.
12.解:由三视图易知该正三棱柱的形状如图所示,
且AA'=BB'=CC'=4 cm,正三角形ABC和正三角形A'B'C'的高为2 cm.∴正三角形ABC的边长为=4(cm).∴该三棱柱的表面积S=3×4×4+2××4×2=48+8(cm2),体积V=×4×2×4=16( cm3).故这个三棱柱的表面积为(48+8) cm2,体积为16 cm3.
13.解:(1)根据三视图的知识,主视图以及左视图都是三角形,俯视图为带圆心的圆,故可判断出该几何体是圆锥. (2)S表面积=S扇形+S圆=LR+πr2=12π+4π=16π(平方厘米),即该几何体的表面积为16π平方厘米. (3)如图所示,将圆锥侧面展开,得到扇形ABB',则线段BD为所求的最短路程.设∠BAB'=n°.∵=4π,∴n=120,即∠BAB'=120°.∵C为弧BB'中点,∴∠ADB=90°,∠BAD=60°,∴BD=AB·sin∠BAD=6×=3(厘米),∴路线的最短路径长为3厘米.
本节课先从学生熟悉的长方体(四棱柱)的侧面展开图入手,类似得到六棱柱及底面是多边形的棱柱的侧面展开图,体会由特殊到一般的探究方法,得到棱柱侧面展开图与棱柱的底面周长、侧棱的关系.然后让学生经历动手操作将扇形围成圆锥及将正方体剪开观察表面展开图的过程,给学生充足的时间进行交流,体会几何体和它的展开图之间的关系.在教学过程中,采用独立完成与合作学习的方式,体会展开图与实物模型的关系,培养学生空间观念,提高动手能力,让学生体验成功的快乐.增强学习数学的自信心.课堂上学生积极参与,整个教学环节设计合理,能够很好地完成教学目标.
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本节课的重点是探究立体图形与展开图之间的关系,并由展开图想象出立体图形,通过观察思考、动手操作、合作交流等环节,让学生经历知识的形成过程,体验成功的快乐,由于学生空间想象能力和动手操作能力较差,在动手操作制作圆锥模型及一起探究展开长方体时,学生用时较多,造成一起探究环节处理仓促,部分学生没有真正理解和掌握.在以后教学时可以让学生课前预习,课上注重培养学生的动手操作能力.
本节课的重点是经历直棱柱和圆锥的侧面展开与折叠、制作模型等活动,进一步了解立体图形与平面图形之间的关系,发展空间观念.在教学设计中,注重学生动手操作、合作交流等数学活动,首先让学生直观感受六棱柱的侧面展开图,观察立体图形与平面图形之间的关系,再通过动手操作完成由平面图形制作圆锥,体会由图想物的过程,再通过动手操作将长方体剪成平面图形,结合两点之间线段最短,求出立体图形上两点之间的最短距离.在教学中培养学生动手操作能力及空间想象能力,让学生在课堂上积极参与,充分发挥学生在课堂上的主体作用.
练习(教材第108页)
1.解:面A的对面是面F,面B的对面是面D,与面C相邻的面是面A,B,D,F.
2.提示:(1)正方体. (2)三棱柱. (3)五棱柱.
习题(教材第108页)
A组
1.解:与数7,2表示的顶点重合.
2.解:分别为圆锥、圆柱.
B组
1.(3).
2.将长方体的侧面展开后,点P,Q是直角三角形斜边上的两个顶点,两条直角边长分别为2×(2+4)=12(cm),5 cm,则PQ==13(cm).答:蚂蚁爬行的最短路线的长是13 cm.
复习题(教材第111页)
A组
1.(1)球 正方体 (2)远 (3)六边 1 (4)学
2.解:如图所示.
3.C.
4.解:六棱柱.
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5.解:分别如图(1),(2),(3)所示.
图(1)
图(2)
图(3)
6.解:三棱柱.如图所示.
96
B组
1.解:如图所示,它们的影子比立于B处的钢管的影子要长些.
2.解:(1)三棱柱. (2)根据勾股定理得BC=4 cm,三棱柱的高是5 cm,所以侧面积为3×5+4×5+5×5=60(cm2).
3.C.
4.解:如图所示,假设将树干滚动7周,表面展开图为7个并排的矩形,每个小矩形的宽为3 m,长为20 m,对角线AB的长就是紫藤的长.AB==29(m).
C组
1.解:如图所示,线段PP'为最短路线.
2.解:无盖正方体盒子可按如图(1)(2)(3)所示的三种方式展开,按如图(4)所示的矩形图中所画粗线的方式裁剪制作,最多可得3个无盖正方体铁盒.
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3.解:(1)每个零件的体积为(30×20-10×10×2)×20=8000(cm3),所以这批零件需生铁8000×5000×7.8×10-6=312(吨). (2)每个零件的表面积为(30+10×7)×20+(30×20-10×10×2)×2=2000+800=2800(cm2),2800 cm2=0.28m2.这批零件需防锈漆0.28×5000÷4=350(kg).
通过动手操作,提高数学思维
本节课内容以学生亲自制作模型为主,经历直棱柱与圆锥的侧面展开与折叠、制作模型等活动,了解直棱柱与圆锥的展开图,体会立体图形与平面图形之间的关系,进一步发展空间观念.本节内容是通过学生动手实践去培养学生的空间思维能力.在教学中,如果忽略了学生的动手操作而只是语言叙述,很容易让学生觉得几何很难,而对几何有厌学的状态.因此,在这节课中通过学生动手操作,将预先准备好的柱体和锥体进行展开和拼合,让学生在动手中体验立体图形是由平面图形所围成的,进而让学生通过展开的平面图形进行探讨,总结出柱体和锥体的展开图的特点.总之,通过三视图制作立体模型的实践活动,让学生体验平面图形向立体图形的转化,体会用三视图表示立体图形的作用,培养学生动手操作及归纳的能力,从而达到提高学生的数学思维的目的.
某工厂要加工一批密封罐,设计者给出了密封罐的三视图(如图所示),请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积.(图中尺寸单位:mm)
解:由三视图可知密封罐的形状是正六棱柱,
立体图形及其展开图,如图所示.
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密封罐的高为50 mm,
底面正六边形的边长为50 mm.
所以制作一个密封罐所需钢板的面积为:
6×50×50+2×6××50×50×sin60°
=6×502×
≈27990(mm2).
1.理解平行投影和中心投影的含义,体会中心投影、平行投影在生活中的应用.
2.会画简单几何体的三视图.
3.能根据三视图描述基本几何体或实物模型.
4.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图,能根据侧面展开图想象和制作实物模型.
1.经过投影与三视图的学习,养成勤于观察、思考的良好习惯,提高应用数学解决实际问题的意识.
2.通过观察几何体画出它的三视图,培养学生空间想象能力.
3.通过观察、探究等活动,使学生能根据物体的三视图还原出物体的形状,进一步认识物体与其三视图之间的关系.
4.通过学习和实践活动,激发学生对视图与投影学习的好奇心,加强动手动脑、理论结合实际的能力.
1.进一步培养学生综合运用知识的能力及运用学过的知识解决问题的能力.
2.通过平面图形与立体图形的相互转化,发展学生的空间想象能力.
3.调动学生学习数学的积极性和主动性,培养学生认真思考等学习习惯,形成实事求是的科学态度.
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4.在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数学的信心.
【重点】
平行投影与中心投影的含义及简单应用;会画几何体的三视图;能根据三视图描述相应的几何体.
【难点】
几何体与其三视图及展开图之间的联系.
一、投影
物体在光线的照射下,会在某个平面(墙面、地面等所在的平面)上留下它的影子,这种现象就是投影.光线是投影线,这个平面是投影面.
二、投影的分类
投影有两类:一类是平行投影,一类是中心投影.
1.蜡烛和灯泡的光线可以看做是从一点射出的.像这样,由一点射出的光线照射在物体上所形成的投影,叫做中心投影.
(1)等高的物体垂直于地面放置时,在灯光下离点光源近的物体影子短,离点光源远的物体影子长.
(2)等长的物体平行于地面放置时,一般情况下,离点光源越近,影子越长;离点光源越远,影子越短,但不会比物体本身的长度还短.
2.太阳光线和探照灯的光线可以看做是平行的.像这样,由平行光线照射在物体上所形成的投影,叫做平行投影.
(1)等高的物体垂直于地面放置时,在太阳光下,它们的影子一样长;等长的物体平行于地面放置时,在太阳光下,它们的影子一样长,且影子的长度等于物体本身的长度.
(2)平行投影有两类,正投影和非正投影.
三、正投影
平行投影又分为两种形式,一种为投影线倾斜于投影面,一种为投影线垂直于投影面.我们把投影线垂直照射在投影面上的物体的投影叫做正投影.
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四、三视图及其画法
1.一个几何体的正投影,又叫做这个几何体的视图.从正面得到的视图叫做主视图,从上面得到的视图叫做俯视图,从左面得到的视图叫做左视图.
在几何体的主视图、俯视图和左视图中,主视图可反映出几何体的长和高,俯视图可反映出几何体的长和宽,左视图可反映出几何体的高和宽.
2.视图的摆放位置一般是:俯视图在主视图的下面,左视图在主视图的右面,并且应当是“长对正,高平齐,宽相等”.
画图时需规定,看得见的部分的轮廓线画成实线,因被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线.
五、直棱柱和圆锥的侧面展开图
几何体的侧面展开图都是平面图形,圆柱和直棱柱的侧面展开图都是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形.几何体的表面展开图也是平面图形,它是侧面展开图和底面展开图的组合图形.
专题一 投影的应用
【专题分析】
投影在实际生活中有许多应用,解决这类问题,往往利用相似三角形的知识进行计算,有时需要通过作垂直构造相似三角形求解.
一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度,如图所示,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等,接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25 m.已知李明直立时的身高为1.75 m,求路灯的高CD的长.(结果精确到0.1 m)
〔解析〕 由MA⊥EC,NB⊥EC,DC⊥EC,得MA∥NB∥DC,所以△ABN∽△ACD,由相似三角形的对应边成比例可列方程求解.
解:设路灯的高CD为x m,
∵AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,
EA=MA=1.75 m,
∴MA∥CD,BN∥CD,
∴EC=CD=x m,△ABN∽△ACD,
∴=,即=,
解得x=6.125≈6.1(已检验).
答:路灯的高CD约为6.1 m.
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[方法归纳] 在解决与投影有关的计算问题时,应与平行、相似等知识相结合,解题时灵活运用相似三角形对应边成比例列方程求解.
【针对训练1】 如图所示,王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当她走到点P时,发现身后她影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,当她向前再走12 m到达Q点时,发现身前她影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部.已知王华同学的身高是1.6 m,两个路灯的高度都是9.6 m.
(1)求两个路灯之间的距离;
(2)当王华同学走到路灯BD处时,她在路灯AC下的影子长是多少?
〔解析〕 (1)两个路灯之间的距离(即AB的长)等于AP,PQ及BQ的长度之和,而由题意及中心投影的性质,显然AP=BQ,由于PQ的长已知,于是可设AP=BQ=x m,然后运用相似三角形的性质解决.(2)要求王华同学走到路灯BD处时在路灯AC下的影子长,应先将表示其投影的线段画出来,然后再运用中心投影的性质找出相似三角形加以解决.
解:(1)由对称性可知AP=BQ,
设AP=BQ=x m,
∵MP∥BD,∴△APM∽△ABD.
∴=.
∴=,解得x=3(已检验),
∴AB=2x+12=2×3+12=18(m).
∴两个路灯之间的距离为18 m.
(2)设王华走到路灯BD处头的顶部为E,连接CE并延长交AB的延长线于点F,则BF即为此时她在路灯AC下的影子长,如图所示,设BF=y m,
∵BE∥AC,∴△FEB∽△FCA.
∴=,
即=,
解得y=3.6(已检验).
∴当王华同学走到路灯BD处时,她在路灯AC下的影子长是3.6 m.
[解题策略] 本题中,求两个路灯之间的距离是本题的突破口,而打开这个突破口的关键是发现和挖掘题目中的一个隐含条件,即“走到点P时,身后影子的顶部刚好接触到路灯
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AC的底部,到达Q点时,身前影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部”由此可得AP=BQ,为问题的求解提供了一个至关重要的已知条件.
专题二 画立体图形的三视图
【专题分析】
画一个几何体的三视图时,要根据物体的特征,想象出它从正面、侧面和上面看分别是什么图形,然后把各个图形画出来即可,画三视图时要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则.
画下面几何体的三视图.
〔解析〕 从正面看到的是正方形的右上角有个三角形,从左面看到的是内部带虚线的正方形,从上面看到的是正方形的右下角处有直角三角形.
解:如图所示.
[方法归纳] 画三视图时,想象出物体在三个方向上的正投影,然后遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则画出图形,易错点是忽略看不见的部分画成虚线.
【针对训练2】 如图所示的是由小立方块堆成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数,请你画出该几何体的主视图和左视图.
〔解析〕 根据该几何体的俯视图,可知其主视图有三列:第一列有4个小正方形,第二列有2个小正方形,第三列有3个小正方形. 其左视图也有三列:第一列有2个小正方形,第二列有4个小正方形,第三列有3个小正方形.
解:主视图、左视图如图所示.
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专题三 由三视图得到立体图形
【专题分析】
由三视图到立体图形是一个难点,需要较强的空间想象力,它需要将三个平面图形结合起来进行整体分析,有利于形成整体意识,三视图中的主视图提供正面的形状,左视图提供物体的高度和厚度,俯视图提供物体的长和宽.
若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是 ( )
A
B
C
D
〔解析〕 由该几何体的主视图、俯视图、左视图可判断形状为C中的几何体.故选C.
[解题策略] 熟练掌握常见几何体的三视图:柱体的主视图、左视图是长方形,棱柱的俯视图是多边形,圆柱的俯视图是圆;锥体的主视图、左视图是等腰三角形,棱锥的俯视图是多边形,圆锥的俯视图是带圆心的圆;球的三视图都是圆.
【针对训练3】 (潍坊中考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体是 ( )
96
A
B
C
D
〔解析〕 由主视图和左视图可得该几何体有上下两部分组成,上部分是台体,下部分是柱体,又俯视图是两个同心圆,所以该几何体的上部分是圆台,下部分是圆柱.故选D.
由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示,则组成这个几何体的小正方体的个数可能是 .
〔解析〕 由俯视图易得该几何体的最底层有3个小正方体,由主视图可得第二层左边第一列有1个小正方体或2个小正方体,所以该几何体由4或5个小正方体组成.故填4或5.
[易错提示] 已知小正方体组成的几何体的三视图,求小正方体的个数有时不是唯一确定的.
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【针对训练4】 在桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体,其主视图和左视图如图所示,设组成这个几何体的小正方体的个数为n,则n的最小值为 .
〔解析〕 易得此几何体有三行、三列,判断出各行各列最少由几个小正方体组成即可.该几何体的底层小正方体最少的个数应是3个,第二层小正方体最少的个数应该是2个,因此这个几何体最少由5个小正方体组成.故填5.
专题四 根据三视图计算几何体的表面积及体积
【专题分析】
根据三视图想象出对应的立体图形或实物的模型,当立体图形的侧面是平面时,直接应用公式求几何体的表面积或体积,当几何体的侧面是曲面时,求表面积需要将侧面展开求其侧面积.
已知一个几何体的三视图如图所示.
(1)写出这个几何体的名称;
(2)请根据三视图画出它的表面展开图,并求其表面积S.
〔解析〕 有两个视图的轮廓是长方形,那么这个几何体为棱柱,另一个视图的轮廓是三角形,那么该几何体是三棱柱;根据勾股定理求出等腰三角形的腰长,再根据三棱柱的表面积公式求解即可.
解:(1)该几何体是三棱柱.
(2)平面展开图如图所示(答案不唯一).
由三视图可知三棱柱的底面是等腰三角形,
腰长为=1.25(cm).
∴S表面积=2S底面积+S侧面积
96
=2××(1+1)×0.75+(1+1+2×1.25)×1.5
=1.5+6.75=8.25(cm2).
[解题策略] 由三视图想象出对应的几何体模型是解决本题的关键.
【针对训练5】 一个几何体的三视图如图所示,求这个几何体的体积.
〔解析〕 根据主视图和左视图,可得该几何体由两部分组成,上半部分是锥体,下半部分是柱体,又俯视图是带两条对角线的正方形,所以几何体的上半部分是四棱锥,下半部分是四棱柱,根据体积公式计算可得.
解:这个几何体由两部分组成,
下半部分是棱长为3的正方体,
上半部分是底面边长为3的正方形,高为1的正四棱锥,
所以这个几何体的体积为33+×32×1=30.
本章质量评估
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(第1~10小题各3分,第11~16小题各2分,共42分)
1.下列说法正确的是 ( )
A.皮影可以看成平行投影形成的
B.无影灯(手术用的)所产生的影子是平行投影
C.日食不是太阳光所形成的投影现象
D.月食是太阳光所形成的投影现象
2.小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影试验,通过观察,发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是 ( )
A.三角形 B.线段
C.矩形 D.正方形
3.下列四个几何体中,俯视图为四边形的是 ( )
A
96
B
C
D
4.如图所示,由三个小立方体搭成的几何体的俯视图是 ( )
A
B
C
D
5.(白银中考)如图所示的是由两个相同的正方体和一个圆锥体组成的立体图形,其主视图是 ( )
96
6.(2016·泰州中考)如图所示的几何体,它的左视图与俯视图都正确的是 ( )
7.一个物体由多个完全相同的小正方体组成,它的三视图如图所示,那么组成这个物体的小正方体的个数为 ( )
A.2 B.3
C.5 D.10
8.下列几何体中,其主视图不是中心对称图形的是 ( )
9.如图所示,位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成,相似比为2∶5,且三角尺的一边长为8 cm,则投影三角形的对应边长为 ( )
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A.8 cm B.20 cm
C.3.2 cm D.10 cm
10.图中三视图所对应的直观图是 ( )
A
B
C
D
11.一个几何体的表面展开图如图所示,则这个几何体是 ( )
96
A.四棱锥 B.四棱柱
C.三棱锥 D.三棱柱
12.如图所示的是某几何体的三视图,其侧面积为 ( )
A.6 B.4π
C.6π D.12π
13.如图所示的是由几个小立方体所搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置上的小立方体的个数,则这个几何体的主视图是 ( )
A
B
C
D
14.用四个相同的小立方体搭几何体,要求每个几何体的主视图、左视图、俯视图中至少有两种视图的形状是相同的,下列四种摆放方式中不符合要求的是 ( )
A
B
96
C
D
15.晚上,小亮走在大街上.他发现:当他站在大街两边的两盏路灯之间,并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时,自己右边的影子长为3米,左边的影子长为1.5米.又知自己身高1.8米,两盏路灯的高相同,两盏路灯之间的距离为12米,则路灯的高为 ( )
A.6.6米 B.6.7米 C.6.8米 D.6.9米
16.如图所示的是某几何体的三视图,根据图中数据,求得该几何体的体积为 ( )
A.60π B.70π C.90π D.160π
二、填空题(第17~18小题各3分,第19小题4分,共10分)
17.已知小明同学身高1.5 m,经太阳光照射,在地面的影长为2 m,若此时测得一座塔在同一地面的影长为60 m,则塔高为 m.
18.如图所示的是一个几何体的三视图,则这个几何体是 ,它的侧面积是 (结果保留π).
96
19.如图所示的是由一些小立方体所搭几何体的三种视图,若在所搭几何体的基础上(不改变原几何体中小立方体的位置),继续添加相同的小立方体,以搭成一个大正方体,至少还需要 个小立方体.
三、解答题(共68分)
20.(9分)画出下列几何体的三视图.
(1) (2)
21.(9分)[2015·陕西中考]晚饭后,小聪和小军在社区广场散步,小聪问小军:“你有多高?”小军一时语塞.小聪思考片刻,提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是,两人在灯下沿直线NQ移动,如图所示,当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时,其影长AD恰好为1块地砖长;当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时,其影长BF恰好为2块地砖长.已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成,小聪的身高AC为1.6米,MN⊥NQ,AC⊥NQ,BE⊥NQ.请你根据以上信息,求出小军身高BE的长.(结果精确到0.01米)
22.(9分)如图所示,在一次数学活动课上,李老师带领同学们去测教学楼的高度.在阳光下,测得身高是1.65米的黄丽同学BC的影长AB为1.1米.
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(1)画出此时教学楼DE在阳光下的投影DF;
(2)要想测得教学楼的高度,还需要测量哪些数据?
(3)根据(2)中的测量方法,写出求教学楼高度DE的表达式,并根据图形,选择你喜欢的测量数据求教学楼的高度.
23.(9分)如图所示的是一个由若干个棱长相等的小正方体构成的几何体的三视图.
(1)写出构成这个几何体的小正方体的个数;
(2)请根据图中尺寸,计算这个几何体的表面积.
24.(10分)如图所示,晚上,小亮在广场上乘凉.图中线段AB表示站立在广场上的小亮,线段OP表示直立在广场上的灯杆,点P表示照明灯.
(1)请在图中画出小亮在照明灯P照射下的影子;
(2)如果灯杆高OP=12 m,小亮的身高AB=1.6 m,小亮与灯杆的距离OB=13 m,求小亮影子的长度.
25.(10分)如图所示的是某几何体的三视图(图中尺寸单位:cm).
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(1)画出该几何体的示意图及其表面的展开图;
(2)计算出该几何体的表面积(结果保留π).
26.(12分)如图所示,花丛中有一路灯杆AB.在灯光下,小明在D点处的影长DE=3米,沿BD方向行走到达G点,DG=5米,这时小明的影长GH=5米.如果小明的身高为1.7米,求路灯杆AB的高度(精确到0.1米).
【答案与解析】
1.D(解析:皮影、无影灯所产生的影子都是中心投影,日食和月食都是平行投影,所以A,B,C都不正确,只有D正确.)
2.A(解析:将长方形硬纸板与投影线平行放置时,形成的影子为线段;将长方形硬纸板与地面平行放置时,形成的影子为矩形;将长方形硬纸板倾斜放置时,形成的影子为平行四边形(可为正方形).故得到的投影不可能是三角形.)
3.D(解析:A中圆柱的俯视图是圆;B中三棱锥的俯视图是内部带三条实线的三角形;C中球的俯视图是圆;D中正方体的俯视图是四边形.)
4.A(解析:从上面看可得到两个相邻的正方形.)
5.B(解析:先得出立体图形的主视图,再与各选项对照,从而确定正确选项.两个相同的正方体和一个圆锥体组成的立体图形,其主视图的下面是两个正方形,左上方是一个等腰三角形.故选B.)
6.D(解析:从左面和上面看都是长方形.故选D.)
7.C(解析:观察主视图,小正方形的个数为5;观察左视图,小正方形的个数为2;观察俯视图,小正方形的个数为3.从主视图与左视图可以得出此物体只有一排,即可得出一共有5个小正方体,从俯视图可以验证这一点,从而确定小正方体总个数为5.故选C.)
8.B(解析:A中主视图是矩形,矩形是中心对称图形,故错误;B中主视图是三角形,三角形不是中心对称图形,故正确;C中主视图是圆,圆是中心对称图形,故错误;D中主视图是正方形,正方形是中心对称图形,故错误.)
9.B(解析:设投影三角尺的对应边长为x cm,∵三角尺与投影三角尺相似,∴8∶x=2∶5,解得x=20.)
10.C(解析:从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体,上面部分为圆柱,且与下面的长方体的顶面的两边相切,且长方体与圆柱的高度相同.只有C满足题意.)
11.A
12.C(解析:观察三视图知该几何体为圆柱,高h=3,底面直径d=2,所以侧面积为πdh=2π×3=6π.)
13.D(解析:由俯视图可知几个小立方体所搭成的几何体如图所示,所以主视图为D.)
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14.D(解析:A中此几何体的主视图和俯视图都是“”形,故A选项不合题意;B中此几何体的主视图和左视图都是“”形,故B选项不合题意;C中此几何体的主视图和左视图都是“”形,故C选项不合题意;D中此几何体的主视图是“”形,俯视图是“”形,左视图是“”形,故D选项符合题意.)
15.A(解析:如图所示.设小亮距离右边的路灯x 米,则距离左边的路灯(12-x)米,再设路灯的高为h米,易证△FHG∽△FDE,△CHG∽△CBA,∴=,=,即1.8∶h=1.5∶(1.5+x),1.8∶h=3∶(3+12-x),求得x=4,h=6.6,即路灯高6.6米.)
16.B(解析:观察三视图发现该几何体为空心圆柱,其高为10,其底面为圆环,且小圆半径为3,大圆半径为4,所以其体积为10×(42π-32π)=70π.故选B.)
17.45(解析:设塔高为x m,由同一时刻物高与影长成比例得=,得x=45. )
18.圆锥 2π(解析:由俯视图为带圆心的圆,主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥,根据圆锥侧面积=底面周长×母线长÷2,可求得结果.由题图知底面圆的半径r=1,圆锥的高为h=,∴圆锥母线长l==2,∴侧面积==2π.)
19.54(解析:由俯视图易得几何体的最底层有7个小立方体,结合主视图及左视图易得第二层有2个小立方体,第三层有1个小立方体,那么该几何体共有7+2+1=10(个)小立方体组成.若搭成一个大正方体,共需4×4×4=64(个)小立方体,此时所需小立方体最少,所以至少还需64-10=54(个)小立方体.)
20.解:(1)几何体的三视图如图所示.
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(2)几何体的三视图如图所示.
21.解:由题意得∠CAD=∠MND=90°,∠CDA=∠MDN,∴△CAD∽△MND,∴=,∴=,∴MN=9.6,∵∠EBF=∠MNF=90°,∠EFB=∠MFN,∴△EFB∽△MFN,∴=,∴=,∴EB≈1.75,∴小军身高约为1.75米.
22.解:(1)教学楼DE在阳光下的投影DF如图所示.
(2)需要测量DF的长度. (3)∵太阳光线是平行光线,即AC∥EF,∴△ABC∽△FDE,∴=.∴求教学楼高度DE的表达式为DE=·BC.设DF=12米,则DE=×1.65=18(米).∴教学楼DE的高度为18米(答案不唯一).
23.解:(1)根据三视图可得几何体中有一个小正方体与下面四个小正方体重叠了,故该几何体共有5个小正方体. (2)底面积=4a2,俯视图上表面积=4a2,下层侧面积=8a2,上层侧面积=4a2,所以几何体的表面积=4a2+4a2+8a2+4a2=20a2.
24.解:(1) 如图所示,连接PA并延长交地面于点C,连接BC,线段BC就是小亮在照明灯P照射
下的影子. (2)在△CAB和△CPO中,∵∠ACB=∠PCO,∠ABC=∠POC=90°,∴△CAB∽△CPO ,则=,即=,解得BC=2.∴小亮的影子长度为2 m.
25.解:(1)这个几何体的示意图及表面展开图,如图所示.
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(2)这个几何体是一个简单组合体,它的下部是一个圆柱(底面半径为6 cm,高为20 cm),它的上部是一个圆锥(底面半径为6 cm,高为5 cm,母线长为 cm),所以几何体的表面积S=π×62+2π×6×20+π×6×=(276π+6π) cm2.
26.解:根据题意得AB⊥BH,CD⊥BH,FG⊥BH,在Rt△ABE和Rt△CDE中,∵AB⊥BH,CD⊥BH,∴CD∥AB,可证得△ABE∽△CDE,∴=,① 同理,=,② 又CD=FG=1.7米,由①②可得=,即=,解得BD=7.5,将BD=7.5代入①得=,解得AB=5.95(米)≈6.0(米).答:路灯杆AB的高度约为6.0米.
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