第一章 直角三角形的边角关系
1.经历探索直角三角形中边角之间关系,以及30°,45°,60°角的三角函数值的过程,发展观察、分析、发现问题的能力.
2.理解锐角三角函数的意义,并能够通过实例进行说明.
3.会求解含30°,45°,60°角的三角函数值的问题.
4.能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值,或由已知三角函数值求出相应的锐角.
5.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.
6.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.
7.体会数形之间的关系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.
1.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.
2.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.
3.通过探索学习,使学生经历“观察——分析——发现——运用”的过程,掌握直角三角形边角之间的关系,进一步体会数形之间的联系.
1.通过对直角三角形中边角之间关系的探究,进一步激发学生学习图形中各个元素之间关系的兴趣.
2.能够运用锐角三角函数解直角三角形,进一步养成分析问题、解决问题的良好学习习惯.
本章是在学习直角三角形的边、角知识的基础上,进一步探究直角三角形的边和角之间的关系.同时也是正比例函数、一次函数、反比例函数等函数知识的延续.直角三角形中边角之间的关系在现实生活中应用广泛.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中,人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题,一般来说,这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角之间关系的问题.通过直角三角形中边角之间的关系的学习,学生将进一步体会数学知识之间的联系(边和角之间的关系),把这种关系用数量的形式表示出来,是分析问题和解决问题过程中常用的方法.通过学习也将为其他数学知识奠定基础.通过研究图形之中各个元素之间的关系,进一步感受数形结合思想,体会数形结合的方法.
【重点】
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1.三角函数及其有关的概念.
2.特殊角的三角函数值的探究及应用.
3.利用计算器求三角函数值或锐角的度数.
4.能够用锐角三角函数解直角三角形.
5.能够运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题.
【难点】
1.探索直角三角形中边角之间关系和30°,45°,60°角的三角函数值的过程.
2.解决与直角三角形有关的实际问题.
3.体会数、形之间的关系,掌握用数形结合思想分析问题和解决问题.
1.注重问题情境的创设.
在引入锐角三角函数时,要创设符合学生实际生活的情境,激发学生的学习兴趣,使学生感受到数学与现实世界的联系.如通过梯子的情境问题,引出第一个三角函数——正切.对于这个问题,学生比较熟悉,而且属于开放性问题,直观上又容易判断.又如,在学习特殊角的三角函数时,用学生熟悉的三角尺引入,使学生较快进入30°,45°,60°角的三角函数值的探索.
2.鼓励学生有条理地进行思考和表达.
引导学生观察、分析、发现直角三角形中边角之间的关系,让他们学会有条理地思考和表达.例如,利用相似的直角三角形,如何获得正切的概念?如何建立直角三角形中角和边之间的关系?如何类比正切的概念获得正弦和余弦的概念?
3.重视渗透数学思想方法,促进学生思维水平的提高.
教学中应注重渗透数形结合的思想方法,引导学生逐步从对具体问题的研究中提炼出数学思想方法.在形成正切概念的过程中,教师要给学生留有充分的时间,让学生利用前面学过的相似三角形的知识去探索对边和邻边之比与角的大小的关系,进而获得正切的概念.在引出正弦和余弦的概念时,可以类比正切概念获得的过程,从数学的角度直接引入.这样可以使学生从已学知识进行联想,加深对概念的理解,提升学生的思想水平.在解直角三角形的过程中,要让学生体会计算过程所依据的算理,以及如何根据已知条件去探求结论的思考过程.
4.关注问题解决的教学过程.
对于实际问题,首先要引导学生弄清实际问题的意义,然后逐步把实际问题转化为数学问题,帮助学生形成模型思想.另外,教师要注意为学生的问题解决过程搭建“脚手架”:一是对一些术语(如仰角、俯角、坡度、零部件截面图等)进行说明;二是对解决问题的策略、问题的发现和提出等,都要提供一定的帮助与支持.
5.精心设计实践活动的教学流程.
对于第6节“利用三角函数测高”这样的实践活
动,建议首先将学生分组,各组分头准备测量所需的仪器;其次,由学生自己设计活动报告,教师给予必要的指导;再次,尽量安排那些学生比较熟悉,且易于开展的小组活动,并能保证任务完成的质量;最后,在活动期间,教师应在现场观察、指导各组的活动,同时应做必要的记录.
6.根据《标准》要求,把握好三角函数的定位.
教学中要把握好三角函数的定位.教科书上虽然称“锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数”,但实际上并没有特别明确地从函数的角度研究它们,也就是说没有研究随着角的变化,其三角函数值的变化规律;而是研究当锐角一定时,直角三角形中相应边的比值是什么.教学中要把握好这个定位,切莫提高要求.
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1 锐角三角函数
2课时
2 30°,45°,60°角的三角函数值
1课时
3 三角函数的计算
1课时
4 解直角三角形
1课时
5 三角函数的应用
1课时
6 利用三角函数测高
1课时
回顾与思考
1课时
1 锐角三角函数
1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.
2.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明.
3.能够运用tan A,sin A,cos A表示直角三角形中两边的比.
4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.
1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.
2.在探索锐角三角函数的过程中,初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.
1.通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程.
2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦,从解决实际问题中感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.
【重点】
1.理解锐角三角函数的意义.
2.能利用三角函数解三角形的边角关系.
【难点】 能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.
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第课时
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算.
3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.
1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.
1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
【重点】
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.
【难点】 理解正切的意义,并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】
1.自制4个直角三角形纸板.
2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.
导入一:
课件出示:
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你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.
【引入】 应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.
[设计意图] 创设新颖、有趣的问题情境,以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.
导入二:
课件出示:
四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长(平直的)分别为300 cm,250 cm,200 cm,200 cm;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.
【问题】 四个滑梯中哪个滑梯的高度最高?
[设计意图] 利用学生所熟悉的滑梯进行引导,使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学生的探究思路会比较顺畅.
[过渡语] 梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”,那个梯子放的“平缓”,人们是如何判断的呢?“陡”和“平缓”是用来描述梯子什么的?
一、正切的定义
(一)探究新知
请同学们看下图,并回答问题.
探究一:
问题1
课件出示:
在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?
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小组讨论后展示结果:
1组:梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角,发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.
师:哪组还有不同的判定方法?
2组:我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比,ED与FD的比,发现前者的比值大,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.
3组:我们组的方法和1组的大致相同,借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过E作EG∥AB交FD于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.
4组:我们组发现这两架梯子的高度相同,水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子AB较陡.
探究二:
问题2
课件出示:
在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?
学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.
问题3
课件出示:
在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?
多给学生思考和讨论的时间.
代表发言:AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以AB和EF的倾斜度一样.
教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问题2与问题3中,两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.
问题4
课件出示:
在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?
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教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面的探究中得到什么启示呢?
生讨论后得出:
思路1:梯子EF较陡,因为∠EFD>∠ABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.
思路2:梯子EF较陡,因为>,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.
师生共同总结:在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB和EF的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.
做一做:请通过计算说明梯子AB和EF哪一个更陡呢?
生独立解答,代表展示:
∵==,==,tan β,所以甲梯更陡.
[设计意图] 通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.
二、正切的应用
[过渡语] 正切在日常生活中的应用很广泛,例如,在建筑、工程技术中,经常用正切描述山坡的坡度.
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课件出示:
如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100 m就升高60 m,那么山坡的坡度 (即tan α)就是: i=tan α==.
结论:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),tan α=,即坡度等于坡角的正切.
[设计意图] 正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义,密切数学与生活的联系,使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.
[知识拓展] 坡度与坡面的关系:坡度越大,坡面越陡.
(1)正切的定义:tan A=.
(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.
(3)坡度(或坡比)的定义:i=tan α=.
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tan A等于 ( )
A. B. C. D.
解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tan A=.故选B.
2.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是 ( )
A. B.
C. D.
解析:认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB=.故选B.
3.(2014·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tan A的值是 .
解析:tan A==.故填.
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4.河堤横断面如图所示,堤高BC=5 m,迎水坡AB的坡度是1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是 .
解析:在Rt△ABC中,BC=5,tan A=1∶,∴AC=5,∴AB==10(m).故填10 m.
第1课时
(1)正切的定义:tan A=.
(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.
(3)坡度(或坡比)的定义:i=tan α=.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第4页随堂练习第1,2题.
2.教材第4页习题1.1第1,2题.
【选做题】
教材第4页习题1.1第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tan A的值为 ( )
A. B.
C. D.
2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000 m,则他升高了( )
A.500 m B.200 m
C.500 m D.1000 m
3.已知斜坡的坡度为i=1∶5,如果这一斜坡的高度为2 m,那么这一斜坡的水平距离为 m.
【能力提升】
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4.(2015·山西中考)如图所示,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是 ( )
A.2 B.
C. D.
5.如图所示,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B'与C重合,连接A'B,则tan∠A'BC'的值为 .
6.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=10 cm,BC=9 cm,△ABC的面积为27 cm2.求tan B的值.
7.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图所示).如果改动后电梯的坡面长为13 m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.
【拓展探究】
8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,若AB=13,BC=10,试求tan∠DBC的值.
【答案与解析】
1.D(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tan A===.故选D.)
2.B(解析:设铅直高度为x m,∵坡度为1∶2,∴水平宽度为2x m,由勾股定理得x2+(2x)2=10002,解得x=200.∴他升高了200 m.故选B.)
3.10(解析:∵斜坡的坡比是1∶5,∴=.∴=,∴斜坡的水平距离为=10 m.故填10.)
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4.D(解析:如图所示,连接AC,由勾股定理,得AC=,AB=2,BC=,∴△ABC为直角三角形,∴tan B==.故选D.)
5.(解析:如图所示,过A'作A'D⊥BC',垂足为D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底边上的中线,∴A'D=B'D=.∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'===.故填.)
6.解:如图所示,过点A作AH⊥BC于H,∵S△ABC=27,∴×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH===8,∴tan B===.
7.解:在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=±5(负值不合题意,舍去),∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3(m).答:改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3 m.
8.解:如图所示,过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH==12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且D为AC中点,∴DF=AH=6,∴BF=BC=,∴在Rt△DBF中,tan∠DBC==.
本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的认识规律,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手,引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念,
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引出正切概念,再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结知识和方法.
本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.
对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成为学习的主人.
随堂练习(教材第4页)
1.解:能.tan C====.
2.解:根据题意,得AB=200,BC=55,则AC===5,所以山的坡度为=≈0.286.
习题1.1(教材第4页)
1.解:∵BC===12,∴tan A==,tan B==.
2.解:∵tan A==,BC=3,∴AC=BC=.
4.tan A=.
学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系),在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件——在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.
如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为α,β.已知h=2 m,α=45°,tan β=,CD=10 m.求路基底部AB的宽.
〔解析〕 如图所示,过D,C分别作下底AB的垂线,垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt△BCF中,可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,BF的长,进而可求得AB的值.
解:如图所示,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.
∵四边形ABCD为梯形,
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∴AB∥CD,∴EF=CD=10 m.
∴四边形DCFE为矩形.
在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2 m,∴CF=DE=h=2 m.
在Rt△BCF中,tan β=,CF=2 m,∴BF=2CF=4(m).
故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(m).
答:路基底部AB的宽为16 m.
[解题策略] 此题主要考查了坡度问题的应用,求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.
第课时
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦及三角函数的意义和与现实生活的联系.
2.能够用sin A,cos A表示直角三角形中直角边与斜边的比,能够用正弦、余弦进行简单的计算.
1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
2.体会数学来源于生活又服务于生活的理念.
1.在探究新知的过程中,培养与他人合作的意识.
2.激发学生探究新知的兴趣,让他们体会学习数学的快乐,培养应用数学的意识.
【重点】
1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义,并能举例说明.
2.能用sin A,cos A表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.
【难点】 类比正切,用函数思想理解正弦和余弦.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习tan A的定义以及利用tan A表示直角三角形两边比的方法.
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导入一:
如图所示,AC是旗杆AB的一根拉线,测得AB=6 m,∠ACB=α,同学们,你能用α表示出拉线AC的长度吗?
【问题】 边AB和AC分别是∠ACB的什么边?和我们上节课学习的正切一样吗?
[设计意图] 通过与正切的对比,引出本节课要探究的问题,让学生体会类比思想的重要性.
导入二:
课件出示:
如图所示,我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角之间的关系——正切.由正切定义我们知道正切是一个比值,并且得出了当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其对边与邻边的比值便随之确定.
【问题】 此时,其他边之间的比值也确定吗?
[设计意图] 引导学生回忆上节课学的正切后,开门见山,直入正题,让学生的思维很快进入今天的学习内容.
[过渡语] 在直角三角形ABC中,除了两条直角边的比之外,还有没有利用其他边的比值来表示梯子AB的倾斜程度的情况呢?
一、正弦、余弦、三角函数的定义
问题1
课件出示:
如图所示,在直角三角形中,除了两直角边的比值外还有其他边之间的比值吗?
生观察后思考得出:还可以用直角边比斜边或斜边比直角边.(这里学生可能会提到多种情况,只要学生回答的有道理就予以肯定和表扬)
教师引导:如果以∠A为例,总结一下共有几种情况.
【学生活动】 同伴交流,总结归纳出两种类型:对边与斜边的比、邻边与斜边的比.
【教师点评】 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比和邻边与斜边的比也随之确定.
【师生活动】 共同总结:
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sin A,即sin A=.
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine),记作cos A,即cos A=.
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锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.
提示:当锐角A变化时,相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.
[设计意图] 通过探究,引导学生类比正切的概念总结出正弦、余弦及三角函数的概念,为下面的学习打下良好的基础.
二、sin A,cos A与梯子倾斜程度的关系
[过渡语] 通过上节课的学习我们知道了梯子的倾斜程度与tan A有关系:tan A的值越大,梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sin A,cos A有关系呢?如果有关系,是怎样的关系?
问题2
【想一想】 在教材图1-3中,梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关系吗?
【教师活动】 要求小组合作交流,统一答案.
【学生活动】 小组同学认真思考,热烈讨论,积极总结.
思路一
教师引导学生分析:
如图所示,AB=A1B1,在Rt△ABC中,sin A=,在Rt△A1B1C1中,sin A1=.
∵AB=A1B1,∴cos A1,
∴梯子的倾斜程度与cos A也有关系.cos A的值越小,梯子越陡.
【师生总结】 梯子的倾斜程度与sin A,cos A的关系:sin A的值越大,梯子越陡;cos A的值越小,梯子越陡.
[设计意图] 此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过学生的参与、动手操作让学生学会“由特殊到一般”“数形结合”的思想方法,提高分析问题和解决问题的能力.
例题解析
[过渡语] 通过探究我们掌握了正弦、余弦的定义,下面就通过例题检验一下我们对新知的理解能力.
课件出示:
(教材例2)如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sin A=0.6,求BC的长.
【师生活动】 生独立解答,师巡视观察学生解题的情况,随时进行指导.
解:在Rt△ABC中,∵sin A=,即=0.6,∴BC=200×0.6=120.
想一想:你还能求出cos A,sin C和cos C的值吗?
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生认真思考,独立写解题过程.
代表展示:cos A=0.8,sin C=0.8,cos C=0.6.
[设计意图] 例题的安排既对学生学习的内容加以巩固,也让学生体会严谨的做题思路,并通过拓展得出直角三角形的三角函数之间的关系.
[知识拓展] 1.若∠A+∠B=90°,一个锐角的正弦等于它余角的余弦,sin A=cos B;一个锐角的余弦等于它余角的正弦,cos A=sin B.
2.锐角三角函数之间的关系:
(1)同一个角:①商的关系:tan A=;②平方关系:sin2A+cos2A=1.
(2)互余两角:若∠A+∠B=90°,则sin A=cos B,cos A=sin B.
三、三角函数的运用
[过渡语] 灵活运用三角函数能提高我们的解题效率.
课件出示:
【做一做】 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=10,AB等于多少?sin B呢?
【学生活动】 要求学生独立完成,代表展示解题过程.
代表展示:
解:在Rt△ABC中,
∵cos A===,
∴AB==.
∴sin B===.
[设计意图] 在学习前边知识的基础上,巩固运用正弦、余弦及正切表示直角三角形中两边的比,体验数形之间的联系,学习利用数形结合思想分析问题和解决问题,提高解决实际问题的能力.
(1)三角函数的概念:正弦:sin A=.余弦:cos A=.
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.
(2)梯子的倾斜度与三角函数之间的关系:
sin A的值越大,梯子越陡;cos A的值越小,梯子越陡.
(3)锐角三角函数之间的关系:
(1)同一个角:①商的关系:tan A=;②平方关系:sin2A+cos2A=1.
(2)互余两角:若∠A+∠B=90°,则sin A=cos B,cos A=sin B.
90
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cos B=,则BC的长为 ( )
A.4 B.2
C. D.
解析:∵cos B=,∴=.∵AB=6,∴CB=×6=4.故选A.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若cos A=,则tan B的值是 ( )
A. B. C. D.
解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴cos A=,tan B=,AC2+BC2=AB2.∵cos A=,∴设AC=2x(x>0),则AB=3x,BC=x,∴tan B==.故选A.
3.如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sin B的值是 .
解析:∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,CD=2,∴AB=2CD=4,∴sin B==.故填.
4.如图所示,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sin A= .
解析:过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D,如图所示,设小方格的边长为1,在Rt△ACD中,AC==2,∴sin A==.故填.
5.如图所示,∠ACB=90°,DE⊥AB,垂足为点E,AB=10,BC=6,求∠BDE的三个三角函数值.
解:∵∠C=∠BED=90°,∠B=∠B,
∴△ACB∽△DEB,∴∠BDE=∠A,
∴sin∠BDE=sin A=,cos∠BDE=cos A=,tan∠BDE=tan A=.
第2课时
1.三角函数的概念:
(1)∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,即sin A=.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,即cos A=.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.
2.梯子的倾斜度与三角函数之间的关系:sin A的值越大,梯子越陡;cos A的值越小,梯子越陡.
90
一、教材作业
【必做题】
1.教材第6页随堂练习第1,2题.
2.教材第6页习题1.2第1,2,3,4题.
【选做题】
教材第7页习题1.2第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cos A的值是 ( )
A. B.
C. D.
2.(2015·广西中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,则下列三角函数表示正确的是 ( )
A.sin A= B.cos A=
C.tan A= D.tan B=
3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sin A= .
4.如图所示,在直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是(3,m),且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是,则sin α的值为 .
【能力提升】
90
5.(2015·乐山中考)如图所示,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cos A的值为 ( )
A. B.
C. D.
6.在△ABC中,∠C=90°,BC=6,sin A=,则AB边的长是 .
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin A=,求BC的长和tan B的值.
8.如图所示,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE.求sin∠ECM的值.
【拓展探究】
9.(2014·贺州中考)网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC每个顶点都在网格的交点处,则sin A= .
【答案与解析】
1.D(解析:∵AB=5,BC=3,∴AC=4,∴cos A==.故选D.)
2.A(解析:∵∠ACB=90°,AB=13,BC=12,∴AC===5.A,sin A==,故本选项正确;B,cos A==,故本选项错误;C,tan A==,故本选项错误;D,tan B==,故本选项错误.故选A.)
3.(解析:首先由勾股定理求得斜边AC=5,然后由锐角三角函数的定义知sin A=,最后将相关线段的长度代入计算即可.)
4.(解析:如图所示,过点P作PE⊥x轴于点E,则可得OE=3,PE=m,在Rt△POE中,tan α==,解得m=4,则OP==5,故sin α=.)
90
5.D(解析:过B点作BD⊥AC,如图所示,由勾股定理,得AB==,AD==2,∴cos A===.故选D.)
6.9(解析:∵BC=6,sin A=,∴=,解得AB=9.故填9.)
7.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin A==,∴BC=4,根据勾股定理,得AC==2,则tan B===.
8.解:设AE=x(x>0),则BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x,∴CE==5x,EM==x,CM==2x,∴EM2+CM2=CE2,∴△CEM是直角三角形,∠EMC=90°,∴sin∠ECM===.
9.(解析:如图所示,作AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,由勾股定理得AB=AC=2,BC=2,AD=3,易知△ABC是等腰三角形,由面积相等可得BC·AD=AB·CE,∴CE==,∴sin∠CAE===.故填.)
上节课已经学习了三角函数中的正切,所以这节课根据初中学生身心发展的特点,运用了类比教学法,想唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,运用直观教学,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.用函数的观点理解正弦、余弦和正切,是本节课的一个难点.为了更好地突破难点,在教学时发动学生及时进行讨论,产生的效果较好.在探讨梯子的倾斜程度与sin A和cos A的关系时,鼓励学生利用类比tan A的方法进行探究,可以比较直观地得出结论,学生比较容易接受.课堂练习题及检测题题量适中且有针对性,课后作业有分层,适合不同程度的同学.在整个教学过程中,学生探究活动始终处于主导地位,培养了学生独立思考、合作探究及分析问题、解决问题的能力.
在处理梯子的倾斜度与三角函数的关系的问题时,时间安排的不是很科学,导致后面的例题以及做一做的处理稍显仓促.
90
在以后的教学中注意科学合理地安排课堂时间,并且大部分的知识让学生利用类比tan A的方法进行自主探究.
随堂练习(教材第6页)
1.解:过A点作AD⊥BC,垂足为D,BD=BC=3,AD===4,∴sin B==,cos B==,tan B==.
2.解:∵sin A=,∴AB===25,则AC===15,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60,△ABC的面积=AC·BC=×15×20=150.
习题1.2(教材第6页)
1.解:∵x= =9 =,∴sin α=cos β==,cos α=sin β==,tan α==,tan β==.
2.提示:倾斜角的正弦值、正切值越大,梯子越陡;倾斜角的余弦值越小,梯子越陡.
3.解:如图所示,∵sin A=,cos B=,∴sin A=cos B.
4.解:如图所示,∵CD是AB边上的中线,且CD=5,∴AB=2CD=10.∵BC=8,∴AC==6,∴sin A===.过点D作DE⊥AC于E,∵sin A=,∴DE=5sin A=4,∴AE==3,∴CE=6-3=3,∴sin∠ACD==,cos∠ACD==,tan∠ACD==.
5.解:当∠BAC>90°时,CD=10,sin C=.当∠BAC0,∴0.096a>0.077a,
∴乙船先到达C处.
90
4 解直角三角形
1.了解解直角三角形的概念,使学生理解直角三角形中五个元素的关系.
2.经历解直角三角形的过程,掌握运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的方法.
1.在研究问题的过程中思考如何把实际问题转化为数学问题,进而把数学问题具体化.
2.通过利用三角函数解决实际问题的过程,进一步提高学生的逻辑思维能力和解决问题能力.
1.在解决问题的过程中引导学生形成数形结合的数学思想,体会数学与实践生活的紧密联系.增强学生的数学应用意识,激励学生敢于面对数学学习中的困难.
2.通过获取成功的体验和克服困难的经历,增进学生学习数学的信心,养成学生良好的学习习惯.
【重点】 理解并掌握直角三角形边角之间的关系,运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形中的未知元素.
【难点】 从已知条件出发,正确选用适当的边角关系或三角函数解题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习三角函数和勾股定理的相关知识.
导入一:
课件出示:
90
在日常生活中,我们常常遇到与直角三角形有关的问题,知道直角三角形的边可以求出角,知道角也可以求出相应的边.如图所示,在Rt△ABC中共有几个元素?我们如何利用已知元素求出其他的元素呢?
【师生活动】 复习直角三角形的性质(两锐角互余和勾股定理)和三角函数的概念.
【学生活动】 通过独立思考和与同伴交流,分析出Rt△ABC中的6个元素,并尝试利用已知元素求未知元素.
[设计意图] 在学生分析直角三角形6个元素的过程中,学生自然而然地会想到直角三角形的相关性质,在复习旧知的同时,又为学习新知奠定了良好的基础.
导入二:
课件出示:
如图所示,AC是电线杆AB的一根拉线,测得拉线AC=12 m,AB=6 m,你能求出拉线底端到电线杆底端的长度BC吗?能求出拉线AC与地面BC所成角的度数和拉线AC与电线杆AB所成角的度数吗?
学生分析:可以利用勾股定理求拉线AC的长度,易知拉线与地面所成角为∠BCA,拉线与电线杆所成角为∠BAC,利用三角函数知识和计算器即可求出∠BCA和∠BAC的度数.
【引入】 这节课我们就综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的知识探究直角三角形中的边和角的求解方法.
[设计意图] 通过生活中实际情境的引入,使学生对本节课的学习任务一目了然,学生在探究的过程中就可以抓住重点和难点.
[过渡语] 我们已经了解了直角三角形中6个元素分别是三条边和三个角,那么至少要知道几个元素,才可以求出其他元素呢?下面我们进行分类探究.
一、已知两条边解直角三角形
【做一做】 在Rt△ABC中,如果已知其中两边的长,你能求出这个三角形的其他元素吗?
课件出示:
(教材例1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a=,b=,求这个三角形的其他元素.
思路一
教师引导学生分析:
1.直角三角形中已知两边可以利用 定理求出第三条边.
2.直角三角形中,已知两边可以利用 求∠A(或∠B)的度数.
90
3.再利用 求∠B(或∠A)的度数.
【师生活动】 教师引导学生分析,得出解直角三角形的方法,理清解题思路.
【学生活动】 得出结论:1.勾股定理 2.三角函数 2.两锐角互余
解:在Rt△ABC中,a2+b2=c2,a=,b=,∴c===2.
在Rt△ABC中,sin B===,
∴∠B=30°,∴∠A=60°.
思路二
分组探究,思考下面的问题:
1.由两个已知条件a=,b=能不能求出其中的一个锐角?
2.如何再求出另外一个锐角的度数?
3.如何再求出第三条边的长?
【师生活动】 学生先独立思考,然后小组讨论.教师巡视,及时发现问题,予以纠正.完成后各小组展示解题的方法和步骤,师生共同验证.
解:在Rt△ABC中,a=,b=,
∴tan A===,
∴∠A=60°,∴∠B=30°.
在Rt△ABC中,sin B=sin 30°=,
即=,∴c=2.
【教师小结】 解直角三角形的概念:由直角三角形中已知的元素,求出所有的未知元素的过程,叫做解直角三角形.
[设计意图] 通过对直角三角形6个元素的分析及对猜测的探究活动,自然而然地引出解直角三角形的概念,并让学生及时总结解题方法,加深对概念的理解.
[知识拓展] 已知直角三角形两条边求其他元素的方法:
方法1:已知两条边的长度,可以先利用勾股定理求出第三边,然后利用锐角三角函数求出其中一个锐角,再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角.
方法2:已知两条边的长度,可以先利用锐角三角函数求出其中一个锐角,然后根据直角三角形中两锐角互余求出另外一个锐角,再利用锐角三角函数求出第三条边.
二、导入题再现
[过渡语] 你现在可以解决导入二中的问题了吗?
【师生活动】 要求学生独立完成,进行小组比赛,找代表板演,师生共同订正.
解:在Rt△ABC中,AC=12,AB=6,由勾股定理得BC=6.
在Rt△ABC中,tan∠BCA===,
∴∠BCA=60°,∴∠BAC=30°.
∴拉线底端到电线杆底端的长度BC是6 m,∠BCA和∠BAC的度数分别是60°和30°.
[设计意图] 通过对导入题的解答,加深学生对解直角三角形概念的理解,提高解题的综合能力.
三、已知一条边和一个角解直角三角形
[过渡语] 在Rt△ABC中,如果已知一边和一个锐角,你能求出这个三角形的其他元素吗?请看下面的问题:
(教材例2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=30,∠B=25°.求这个三角形的其他元素(边长精确到1).
〔解析〕 在直角三角形中可以利用两锐角互余求另外一个锐角的度数,然后利用与锐角∠B和边b有关的三角函数先求出其中一条边a或c,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边c或a.
解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,
∴∠A=65°.
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∵sin B=,b=30,∴c==≈71.
∵tan B=,b=30,∴a==≈64.
【教师设疑】 此题还有其他解法吗?
【学生活动】 学生相互交流他们的解法.
[设计意图] 通过对学习活动的探究,学生逐步掌握了解直角三角形所要具备的条件,并在探究的过程中及时总结归纳出解直角三角形的思路和方法,为后面的练习和应用打下了良好的基础.
[知识拓展] 已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素的方法:
已知一个锐角的度数,先根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角的度数;又知道一条边的长度,根据三角函数的定义可以求出另外两条边的长度;也可以先利用三角函数的定义求出其中一条边的长度,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边的长度.
四、解直角三角形需要满足的条件
[过渡语] 除了已知“两边”和“一边一角”解直角三角形外,还有其他的情况解直角三角形吗?
问题1
在Rt△ABC中,如果已知两个锐角,可以解直角三角形吗?
【学生活动】 学生先独立判断,再分组讨论.
学生小结:只知道角度是无法求出直角三角形的边长的.
问题2
只给出一条边长这一个条件,可以解直角三角形吗?
学生小结:只给出一条边长,不能解直角三角形.
【教师点评】 解直角三角形必须满足的一个条件是已知“一条边”.
【师生总结】 解直角三角形需要满足的条件:
在直角三角形的6个元素中,直角是已知元素,如果再知道一条边和第三个元素,那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来.
【教师提示】 第三个元素既可以是角也可以是边.
[知识拓展] 解直角三角形的思路和方法:
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则有:
(1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).
(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.
(3)边角之间的关系:sin A=,cos A=,tan A=,sin B=,cos B=,tan B=.
(4)面积的不同表示法:S△ABC=ab=ch(h为斜边上的高).
1.解直角三角形的概念:
由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.
2.解直角三角形的类型:
(1)已知直角三角形两条边求其他元素.
(2)已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素.
3.解直角三角形需要满足的条件:
除直角外,再知道一条边和第三个元素,就可以解直角三角形.
1.如图所示的是教学用直角三角板,边AC=30 cm,∠C=90°,tan∠BAC=,则边BC的长为 ( )
A.5 cm B.10 cm
90
C.20 cm D.30 cm
解析:在直角三角形ABC中,根据三角函数定义可知tan∠BAC=,∵AC=30 cm,tan∠BAC=,∴BC=AC·tan∠BAC=30×=10(cm).故选B.
2.如图所示,在Rt△ABO中,斜边AB=1.若OC∥BA,∠AOC=36°,则 ( )
A.点B到AO的距离为sin 54°
B.点B到AO的距离为tan 36°
C.点A到OC的距离为sin 36°·sin 54°
D.点A到OC的距离为cos 36°·sin 54°
解析:根据图形得出点B到AO的距离是指BO的长,根据锐角三角函数定义得出BO=ABsin 36°,即可判断A,B错误;过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A到OC的距离,根据锐角三角函数定义得出AD=AOsin 36°,AO=AB·sin 54°,所以AD=sin 36°·sin 54°,即可判断C正确,D错误.故选C.
3.如图所示,已知在Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B=,则AC= .
解析:∵在Rt△ABC中,cos B==,∴sin B==,tan B==.∵在Rt△ABD中,AD=4,∴AB===.∵tan B==,∴AC=ABtan B=×=5.故填5.
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8,则BC= .
解析:如图所示,过点A作AD⊥BC于D,∵AB=AC,∴BD=CD,在Rt△ABD中,∵sin∠ABC==0.8,∴AD=5×0.8=4,则BD==3,∴BC=2BD=6.故填6.
5.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cos A=,求BC的长和tan B的值.
解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cos A===,∴AC=4,
根据勾股定理,得BC==6,
90
∴tan B===.
4 解直角三角形
解直角三角形:
一、教材作业
【必做题】
教材第17页习题1.5第1,2题.
【选做题】
教材第18页习题1.5第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=50°,BC=5,则AC等于 ( )
A.3sin 50° B.3sin 40°
C.3tan 50° D.3tan 40°
2.如图所示,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则AB的长是 ( )
A.2 B.8 C.2 D.4
3.(2015·桂林中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB,垂足为D,则tan∠BCD的值是 .
4.要用8 m长的梯子爬到4 m高的墙上,则梯子与地面的夹角为 度.
【能力提升】
5.如图所示的是一张简易活动餐桌,测得OA=OB=30 cm,OC=OD=50 cm,B点和O点是固定的.为了调节餐桌高矮,A点有3处固定点,分别使∠OAB为30°,45°,60°,则这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是(不考虑桌面厚度) ( )
A.40 cm B.40 cm
90
C.30 cm D.30 cm
6.如图所示,在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=5,则△ABC的面积是 .
7.(2015·湖北中考)如图所示,AD是△ABC的中线,tan B=,cos C=,AC=,求:
(1)BC的长;
(2)sin∠ADC的值.
8.张大爷家有一块三角形土地如图所示,测得∠A=30°,∠B=45°,BC=20 m.请你帮助张大爷计算这块土地有多少平方米.
9.如图所示,沿AC方向开山修一条公路,为了加快施工速度,要在小山的另一边寻找点E同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=127°,沿BD的方向前进,取∠BDE=37°,测得BD=520 m,并且AC,BD和DE在同一平面内.
(1)施工点E离D多远正好能使A,C,E成一条直线(结果保留整数)?
(2)在(1)的条件下,若BC=80 m,求公路段CE的长(结果保留整数).(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
【拓展探究】
10.(2014·宁波中考)如图所示,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10 km,∠CAB=25°,∠CBA=37°,因城市规划的需要,将在A,B两地之间修建一条笔直的公路.
(1)求改直的公路AB的长;
(2)公路改直后比原来缩短了多少千米?(参考数据:sin 25°≈0.42,cos 25°≈0.91,sin 37°≈0.60,tan 37°≈0.75)
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【答案与解析】
1.D(解析:∵在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A=50°,∴∠B=90°-∠A=90°-50°=40°.∵tan B=,∴AC=BC·tan B=3tan 40°.故选D.)
2.C(解析:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴tan A=.∵AC=4,tan A=,∴BC=AC·tan A=2,∴AB===2.故选C.)
3.(解析:在Rt△ABC与Rt△BCD中,∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°,∴∠A=∠BCD,∴tan∠BCD=tan A===.故填.)
4.60(解析:要用8 m长的梯子爬到4 m高的墙上,梯子、地面和墙正好构成直角三角形,∴梯子与地面的夹角的正弦值为=.∵sin 60°=,∴梯子与地面的夹角为60°.故填60.)
5.B(解析:过点D作DE⊥AB于点E,易知∠OAB=30°时,桌面离地面最低,∴DE的长即为最低长度.∵OA=OB=30 cm,OC=OD=50 cm,∴AD=OA+OD=80 cm.在Rt△ADE中,∵∠OAB=30°,AD=80 cm,∴DE=AD=40 cm.故选B.)
6.(解析:过点A作AD⊥BC,∵在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=5,∴cos B==,∴∠B=45°.∵sin C===,∴AD=3,∴在Rt△ADC中,CD==4,∴在等腰直角三角形ADB中,BD=AD=3,则△ABC的面积是×BC×AD=×(3+4)×3=.故填.)
7.解:过点A作AE⊥BC于点E,∵cos C=,∴∠C=45°.在Rt△ACE中,CE=AC·cos C=1,∴AE=CE=1.在Rt△ABE中,tan B=,即=,∴BE=3AE=3,∴BC=BE+CE=4.
(2)由(1)知BC=4,∵AD是△ABC的中线,∴CD=BC=2,∴DE=CD-CE=1.∵AE⊥BC,DE=AE,∴∠ADC=45°,∴sin∠ADC=.
8.解:如图所示,过点C作CD⊥AB于D.易知CD=BD=BC·sin 45°=20×=10,∴AD===10,∴AB=AD+BD=10(+),∴S△ABC=AB·CD=×10(+)×10≈273.2(m2).答:这块土地约有273.2 m2.
9.解:(1)若使A,C,E成一条直线,则需∠ABD是△BDE的外角,∴∠BED=∠ABD-∠D=127°-37°=90°,∴DE=BD·cos 37°≈520×0.80=416(m),∴施工点E离D距离约为416 m时,正好能使A,C,E成一条直线. (2)由(1)得在Rt△BED中,∠BED=90°,∵∠D=37°,∴BE=BD·sin 37°≈520×0.60=312(m).∵BC=80 m,∴CE=BE-BC≈312-80=232(m),∴公路段CE的长约为232 m.
90
10.解:(1)如图所示,过点C作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中,CH=AC·sin∠CAB=AC·sin 25°≈10×0.42=4.2(km),AH=AC·cos∠CAB=AC·cos 25°≈10×0.91=9.1(km),在Rt△BCH中,BH=CH÷tan∠CBA≈4.2÷tan 37°≈4.2÷0.75=5.6(km),∴AB=AH+BH≈9.1+5.6=14.7(km).故改直的公路AB的长约为14.7 km. (2)在Rt△BCH中,BC=CH÷sin∠CBA≈4.2÷sin 37°≈4.2÷0.60=7(km),则AC+BC-AB≈10+7-14.7=2.3(km).答:公路改直后比原来缩短了约2.3 km.
为使学生迅速掌握本节课的知识,上课开始就对解直角三角形所用到的知识点:直角三角形中三边之间的关系,两锐角之间的关系,边角之间的关系等知识点进行了复习回顾,因为合理选用这些关系是正确、迅速解直角三角形的关键.解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,但例题具有示范作用.因此,在处理例题时,首先,应让学生独立完成,培养学生分析问题、解决问题的能力,同时渗透数形结合思想.本节课力求给学生更多自主探索的时间,让其在宽松和谐的氛围中学习,使他们学得更主动、更轻松,力求在探索知识的过程中培养学生探索能力、创新精神、合作精神,激发学生学习数学的积极性、主动性.同时,在学生选择解直角三角形的诸多方法的过程中,鼓励学生通过多种解法去解答.
在选用合适的三角函数解决问题时,要引导学生总结出分析问题的方法,巧妙联系已知和未知之间的函数关系,选取合适的三角函数求解.
再教时,增加解实际问题中直角三角形的例题的练习,因为学生对把实际问题转化成数学问题的能力还不太强.
随堂练习(教材第17页)
(1)c=4,∠A≈27°,∠B≈63°. (2)a=,c=,∠A=30°. (3)a=10,b=10,∠B=30°.
习题1.5(教材第17页)
1.(1)b=19,∠A=45°,∠B=45°. (2)c=12,∠A=30°,∠B=60°.
2.(1)a=10,b=10,∠B=45°. (2)b=12,c=24,∠A=60°.
3.解:tan∠ACD==,∴∠ACD≈27.5°,∠ACB=2∠ACD≈2×27.5°=55°.
4.解:(1)墙高=6sin 75°≈6×0.966≈5.8(m). (2)cos α=,解得α≈66°.∵50°10,∴货轮没有触礁的危险.
[设计意图] 在“货轮有触礁的危险吗?”的探讨过程中,学生入手感到困难,所以精心设计了一系列问题,将难点分解,逐步引导学生总结出应用数学知识解决实际问题的一般步骤,进一步培养了学生的探究、归纳能力和解决实际问题的能力.
[知识拓展] 应用三角函数知识解决实际问题的步骤:(1)根据题意,画出示意图,将实际问题转化为数学问题;(2)用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形的问题;(3)解释结果的合理性.
二、利用仰角和俯角解决实际问题
课件展示:
【想一想】 如图所示,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50 m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1 m)
90
教师引导学生思考并回答:
1.在这个图中,仰角为30°、仰角为60°分别指哪两个角?
2.此题的示意图和“船触礁”问题的示意图一样吗?它们有什么共同点?
【学生活动】
1.学生分析题目中的两个仰角的对应情况,并相互订正.得出结论:∠DAC=30°,∠DBC=60°.
2.两题的示意图都含有两个直角三角形,所以解答方法类似.
【教师活动】 要求学生类比“船触礁”问题的解答方法,对本题进行解答.
【师生活动】 学生思考后,独立完成,然后与同伴交流,代表展示,师生共同订正.
解:在Rt△ACD中,tan 30°=,
即AC=.
在Rt△BCD中,tan 60°=,即BC=.
由AB=AC-BC=50,得-=50,解得CD≈43,即塔CD的高度约为43 m.
[知识拓展] 在“测量塔高”的问题中,小明的身高忽略不计,而在实际测量时,应该考虑小明的身高,更准确一点应考虑小明在测量时,眼睛离地面的距离.如果小明测量时,眼睛离地面的距离为1.6 m,其他数据不变,此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?
【师生活动】 引导学生画出示意图后,由学生自己解答.
【学生活动】 口述解答过程:如图所示,由前面的解答过程可知CD≈43 m,则C'D≈43+1.6=44.6(m),即如果考虑小明的高度,塔的高度约为44.6 m.
[设计意图] 直角三角形的边角关系在航海、工程测量等问题中有着广泛应用,通过“测量塔高”的问题进一步让学生巩固如何用直角三角形的边角关系解决实际问题,提高学生的建模、转化能力,通过问题的变式训练让学生了解更贴近实际生活的数学问题,也为第6节“利用三角函数测高”打下了铺垫.
三、利用倾斜角解决实际问题
课件展示:
【做一做】 某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾斜角由40°减至35°,已知原楼梯长为4 m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01 m)
【教师活动】 要求学生根据题意,画出示意图,将这个实际问题转化成数学问题,并进行解答.
【学生活动】 先独立完成,然后相互交流,讨论各自的想法.
90
【师生活动】 师生共同画出示意图:
代表展示解题过程:
解:如图所示,在Rt△ABC中,sin 40°=,
∵AC=4 m,∴AB=4sin 40° m,原楼梯占地长BC=4cos 40° m.
调整后,在Rt△ADB中,sin 35°=,
则AD==(m),楼梯占地长DB= m,
∴调整后楼梯加长:AD-AC=-4≈0.48(m).
楼梯比原来多占地面:DC=DB-BC=-4cos 40°≈0.61(m).
【教师点评】 本节课所探究的内容是从实际问题中抽象出的数学模型——双直角三角形.
[设计意图] 本环节的难点在于是否能利用掌握的“双直角三角形”模型,借助方程思想解决问题.处理这个环节时,要给学生充分思考的时间和空间,发挥学生潜在的能力,通过小组合作交流,完善自己的想法,并在教师的指导下,规范地表述思考过程.
[知识拓展] 形如“双直角三角形”的图形的解题规律:
设∠C=α,∠ADB=β,CD=a.
1.非特殊角的组合(α和β组合):AB=a.
2.特殊角的组合(α和β组合):
(1)30°与60°组合:AB=a.
(2)30°与45°组合:AB=a.
(3)45°与60°组合:AB=a.
1.三角函数的应用
2.两个转化:(1)是把实际问题的图形转化为数学图形;(2)是把已知条件转化为数学图形中的边角关系.
1.渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上,渔船向正东方向航行了12 n mile到达B处,在B处看到灯塔C在正北方向上,这时渔船与灯塔C的距离是 ( )
A.6 n mile B.8 n mile
C.2 n mile D.4 n mile
90
解析:由已知得∠BAC=90°-60°=30°,在直角三角形ABC中,BC=AB·tan 30°=12×=4(n mile).故选D.
2.如图所示,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20 m,到达点C,再次测得点A的仰角为60°,则物体AB的高度为 ( )
A.10 m B.10 m
C.20 m D. m
解析:∵在直角三角形ADB中,∠D=30°,∴BD==AB.∵在直角三角形ABC中,∠ACB=60°,∴BC==AB.∵CD=20,∴CD=BD-BC=AB-AB=20,解得AB=10.故选A.
3.长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了 m.
解析:由题意知调整前梯高为4·sin 45°=4×=2(m),调整后梯高为4·sin 60°=4×=2(m),∴梯子升高了2(-)m.故填2(-).
4.如图所示,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30 m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25 min后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,则小山东西两侧A,B两点间的距离为 m.
解析:过点A作AD⊥BC,垂足为D,在Rt△ACD中,∠ACD=75°-30°=45°,AC=30×25=750(m),∴AD=AC·sin 45°=375(m).在Rt△ABD中,易知∠B=30°,∴AB=2AD=750(m).故填750.
5.小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤岛,妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如下左图所示).小船从P处出发,沿北偏东60°方向划行200 m到A处,接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上,这时小亮与妈妈相距多远(精确到1 m)?(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈1.41,≈1.73)
90
解:过点P作PC⊥AB于C,如上右图所示,
在Rt△APC中,AP=200 m,∠ACP=90°,∠PAC=60°,
∴PC=200×sin 60°=200×=100.
∵在Rt△PBC中,sin 37°=,
∴PB=≈≈288(m).
答:小亮与妈妈相距约288 m.
5 三角函数的应用
1.三角函数的应用
2.两个转化:(1)是把实际问题的图形转化为数学图形;(2)是把已知条件转化为数学图形中的边角关系.
3.一个构造:若原图形不是直角三角形,可添加辅助线构造直角三角形.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第20页随堂练习第1,2题.
2.教材第21页习题1.6第1,2题.
【选做题】
教材第21页习题1.6第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·哈尔滨中考)如图所示,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1200 m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为 ( )
A.1200 m B.1200 m
C.1200 m D.2400 m
2.(2014·苏州中考)如图所示,港口A在观测站O的正东方向,OA=4 km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为 ( )
90
A.4 km B.2 km
C.2 km D.(+1)km
3.如图所示,小明为了测量河宽AB,先在BA延长线上取一点D,再在同岸取一点C,测得∠CAD=60°,∠BCA=30°,AC=15 m,那么河AB宽为 m.
4.如图所示,在东西方向的海岸线上有A,B两个港口,甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4 n mile/h的速度匀速航行,同时乙货船从B港沿西北方向匀速航行,2 h后两货船相遇在点P处,则乙货船每小时航行n mile(用根号表示).
【能力提升】
5.(2015·泰安中考)如图所示,轮船从B处以每小时60 n mile的速度沿南偏东20°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上,轮船航行40分钟到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上,则C处与灯塔A的距离是 ( )
A.20 n mile B.40 n mile
C. n mile D. n mile
6.如图所示,路边路灯的灯柱BC垂直于地面,灯杆BA的长为2 m,灯杆与灯柱BC成120度角,锥形灯罩轴线AD与灯杆AB垂直,且灯罩轴线AD正过道路路面的中心线(D在中心线上),已知点C与D点之间的距离为12 m,则BC的高是 m.
7.如图所示的是某滑板爱好者训练时的斜坡示意图,出于安全因素考虑,决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°,已知原斜坡坡面AB的长为5 m,点D,B,C在同一水平地面上.
(1)改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB加长多少米?(精确到0.01 m)
90
(2)若斜坡的正前方能有3 m长的空地就能保证安全,已知原斜坡AB的前方有6 m长的空地,进行这样的改造是否可行?说明理由.
8.(2014·南充中考)马航MH370失联后,我国政府积极参与搜救.某日,我国两艘专业救助船A,B同时收到有关可疑漂浮物的讯息,可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上,在救助船B的西北方向上,船B在船A正东方向140 n mile处.(参考数据:sin 36.5°≈0.6,cos 36.5°≈0.8,tan 36.5°≈0.75)
(1)求可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离;
(2)若救助船A和救助船B分别以40 n mile/h,30 n mile/h的速度同时出发,匀速直线前往搜救,试通过计算判断哪艘船先到达P处.
【拓展探究】
9.如图所示,某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°,再沿山坡向上走到P处测得该建筑物顶点A的仰角为45°.已知BC=90 m,且B,C,D在同一条直线上,山坡坡度为(即tan∠PCD=).
(1)求该建筑物的高度(即AB的长);
(2)求此人所在位置点P的铅直高度.(测量角度的仪器的高度忽略不计,结果保留根号形式)
【答案与解析】
1.D(解析:易知∠ABC=∠α=30°,∴AB===2400(m),即飞机A与指挥台B的距离为2400 m.故选D.)
2.C(解析:过点A作AD⊥OB于D.在Rt△AOD中,易知∠ADO=90°,∠AOD=90°-60°=30°,OA=4,∴AD=OA=2.在Rt△ABD中,易知∠ADB=90°,∠B=∠CAB-∠AOB=(90°-15°)-30°=75°-30°=45°,∴BD=AD=2,∴AB=AD=2.即该船航行的距离(即AB的长)为2 km.故选C.)
3.15(解析:过C作CE⊥AB,在Rt△ACE中,∵∠CAD=60°,AC=15 m,∴∠ACE=30°,AE=AC=×15=7.5(m),CE=AC·cos 30°=15×=(m).∵∠BCA=30°,∠ACE=30°,∴∠BCE=60°,∴BE=CE·tan 60°=×=22.5(m),∴AB=BE-AE=22.5-7.5=15(m).故填15.)
4.2(解析:如图所示,过点P作PC⊥AB于点C,∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4 n mile/h的速度航行,∴∠PAC=90°-60°=30°,AP=4×2=8,∴PC=AP×sin 30°=8×=4.∵乙货船从B港沿西北方向匀速航行,∴∠PBC=45°,∴PB=PC÷sin 45°=4÷=4,∴乙货船每小时航行4÷2=2(n mile).故填2.)
90
5.D(解析:如图所示,作AM⊥BC于M.由题意得∠DBC=20°,∠DBA=50°,BC=60×=40(n mile),∠NCA=10°,则∠ABC=∠ABD-∠CBD=50°-20°=30°.∵BD∥CN,∴∠BCN=∠DBC=20°,∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴AB=AC,∵AM⊥BC,∴CM=BC=20(n mile).在直角三角形ACM中,∵∠AMC=90°,∠ACM=30°,∴AC===(n mile).故选D.)
6.12-4(解析:设灯柱BC的长为h m,作AH⊥CD于点H,作BE⊥AH于点E.∴四边形BCHE为矩形.∵∠ABC=120°,∴∠ABE=30°.又∵∠BAD=∠BCD=90°,∴∠ADC=60°.在Rt△AEB中,AE=ABsin 30°=1,BE=ABcos 30°=,∴CH=.又∵CD=12,∴DH=12-.在Rt△AHD中,tan∠ADH===,解得h=12-4.故填12-4.)
7.解:(1)在Rt△ABC中,BC=AC=AB·sin 45°=(m),在Rt△ADC中,AD==5(m),CD==(m),∴AD-AB=5-5≈2.07(m).答:改善后的斜坡约加长2.07 m.
(2)这样改造能行.由(1)可知CD-BC=-≈2.59(m),而6-3>2.59,∴这样改造能行.
8.解:(1)过点P作PE⊥AB于点E,如图所示,由题意得∠PAE=90°-53.5°=36.5°,∠PBA=45°,设PE为x n mile,则BE=PE=x n mile.∵AB=140 n mile,∴AE=(140-x)n mile.在Rt△PAE
中,=tan∠PAE,即=0.75,解得x=60,∴可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离为60 n mile. (2)由(1)知在Rt△PBE中,PE=60 n mile,∠PBE=45°,则BP=PE=60(n mile),B船需要的时间为≈2.83(h).在Rt△PAE中,=sin∠PAE,∴AP=PE÷sin∠PAE≈60÷0.6=100(n mile),∴A船需要的时间为100÷40=2.5(h).∵2.83>2.5,∴A船先到达P处.
9.解:(1)由题意可知AB⊥BC,在Rt△ABC中,BC=90 m,∠ACB=60°,∴AB=BC·tan 60°=90(m),故建筑物的高度为90 m.
(2)如图所示,过点P作PE⊥BD于E,PF⊥AB于F.∵AB⊥BC于B,∴四边形BEPF是矩形,∴PE=BF,PF=BE.设PE=x m,则BF=PE=x m.∵在Rt△PCE中,tan∠PCD==,∴CE=2x.∵在Rt△PAF中,∠APF=45°,∴AF=AB-BF=90-x,PF=BE=BC+CE=90+2x.又∵AF=PF,∴90-x=90+2x,解得x=30-30.答:此人所在位置点P的铅直高度为(30-30)m.
90
本节课选用的教学素材来源于现实生活,船是否有触礁的危险、小明测塔高、怎样改造楼梯都是学生关注和感兴趣的实例,使学生感受到了数学知识就在身边,与现实世界有着非常密切的联系.这些内容对一部分学生来说会显得轻松自如,但对另外一部分学生来说,他们基础较差,对数学的应用不是那么得心应手,关键是不会合理构造直角三角形,所以在学习时会有些困难.在教学时,注重引导学生在审清题意的基础上,自己(或在老师的引导下)画出示意图,将实际问题转化为数学问题,通过亲身经历数学活动的过程,初步掌握数学建模的方法,然后留时间给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以合作互助、优势互补的方式突破难点.本节课的知识比较抽象,为了满足学生的认知规律和逻辑思维习惯,在内容设计上有一定的层次性和弹性.此外,在教学过程中,把一个知识对象尽量用多样化的载体予以呈现,体现了知识发展的阶梯.
1.学生间差异较大,部分学生跟不上教学节奏,学习较吃力,需要课下加强辅导.
2.本节课设计的练习题的题量比较大,有部分学生没有当堂完成.
学生对数学建模思想理解得不透彻,再教时应该时刻提醒学生首先要建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.
随堂练习(教材第20页)
1.约7.96 m.
2.(1)17°8'21″. (2)10182.34 m3.
习题1.6(教材第21页)
1.解:∵sin A===,∴∠A=30°,即斜坡的倾斜角为30°.
2.解:如图所示,由题意得∠A=30°,AB=50 m,∠CBD=45°.∵CD⊥AD,∴CD=BD.设CD=x m,则BD=x m.在Rt△ADC中,tan A===
,∴3x=50+x,∴x=≈68.3(m).
3.解:过点A作AE⊥BC于E,∵tan B=,∴BE=≈≈49(mm),由题意知四边形ABCD是等腰梯形,∴BC=AD+2BE≈180+2×49=278(mm).
4.33.94 n mile.[提示:(解法不唯一)方法1:过点B作AN的垂线,可得BCsin 75°-BCcos 75°=36×.方法2:过点C作AB的垂线,得出两个特殊直角三角形,再利用∠A=45°,∠B=30°求得BC.]
90
1.运用直角三角形的边角关系解决实际问题的关键是掌握两个转化:实际问题数学问题,已知条件数学图形中的边角关系.
2.本节课的图形比较特别,为“双直角三角形”,准确把握此图形的特征是总结其规律的前提条件,熟记“双直角三角形”的规律方法会让学生节省大量的时间,提高解题效率.
某船以每小时36 n mile的速度向正东方向航行,在点A测得某岛C在北偏东60°方向上,匀速航行半小时后到达点B,测得该岛在北偏东30°方向上,已知该岛周围16 n mile内有暗礁.
(1)试说明点B是否在暗礁区域外;
(2)若继续向东航行有无触礁危险?请说明理由.
〔解析〕 (1)求点B是否在暗礁区域内,其实就是求CB的距离是否大于16,如果大于则不在暗礁区域内,反之,则在.可通过构造直角三角形来求CB的长,作CD⊥AB于D点,CD是直角三角形ACD和直角三角形CBD的公共直角边,可先求出CD的长,再求出CB的长.(2)本题实际上是求C到AB的距离是否大于16,如果大于则无触礁危险,反之,则有,C到AB的距离在(1)中已经求出,只要进行比较即可.
解:(1)如图所示,作CD⊥AB于D点,设BC为x,
在Rt△BCD中,∠CBD=90°-30°=60°,
∴BD=x,CD=x.
在Rt△ACD中,∠CAD=90°-60°=30°,
∴tan∠CAD==,
由题意可知AB=36×=18(n mile),
∴=,
解得x=18,
∵18>16,∴点B在暗礁区域外.
(2)有.理由如下:
由(1)可知CD=x=×18=9≈15.6(n mile).
90
∵15.68,所以渔船没有触礁的危险.
90
19.解:过点C作CF⊥AB于F,则△ADE∽△ACF,∴=,即=,∴CF=2.7 m.∵BC=2.8 m,∴sin α==≈0.9643,∴α≈74°38'39.14″.
20.解:如图所示,连接BD,过点B作BE⊥CD于E,过点D作DF⊥AB于F,在Rt△BEC中,sin C=,∴BE=BC·sin 60°=20×=10(m).在Rt△AFD中,sin A=,∴DF=AD·sin 60°=30×=15(m),∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=AB·DF+CD·BE=×50×15+×50×10=625≈1082.53(m2).
21.解:(1)如图所示,过A作AG⊥CD于G,过E作EF⊥CD于F,依题意知AB=5 m,BC=30 m,∠DEF=30°,EB=1.4 m.在Rt△DFE中,∵tan∠DEF=,∴DF=BC·tan 30°=30×=10(m),∴DC=DF+FC=DF+EB=10+1.4≈18.72(m). (2)∵GC=AB=5 m,∴DG=DC-GC≈18.72-5=13.72(m).∵AG=BC=30 m,∴AD=≈≈32.99(m).
22.提示:各边长约为0.34 m,0.34 m,0.66 m.
23.解:(1)由勾股定理可知OA1=,OA2=,OA3=,…,OAn=.∵tan∠A0OA1==,∴∠A0OA1=45°.∵tan∠A1OA2==,∴∠A1OA2≈35°15'51.8″.∵tan ∠A2OA3==,∴∠A2OA3=30°. (2)∵tan 20°≈0.3640,tan∠An-1OAn==≈2.7473,∴n>7.5477,∴n的值为8.
本节课探究学习的主要任务是掌握利用测倾器测倾斜角和测量物体高度的方法,所以前提条件是要对测倾器有足够的了解,学生在课前可以自己制作一个简单的测倾器,这样就会非常熟悉其操作原理,对于活动一,测量倾斜角就会感觉非常容易;对于活动二、三的探究,分组讨论和全班的交流讨论就显得尤为重要,要积极投身其中,区分测量底部可以到达的物体的高度和底部不可以到达的物体的高度的方法,熟练掌握各种方案的步骤,并利用所学知识解决实际问题,达到学以致用.
测量物体的高度时容易漏掉测倾器的高度.
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李明带领小组成员做了测量电线杆高度的活动,在离电线杆21 m的D点,用高1.2 m的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角α=30°,则电线杆AB的高为 m.
【错解】 7
【错解分析】 在利用三角函数计算出AE的长度后,忽略测倾器的高度,漏加CD,造成错误.
【正解】 7+1.2
【正解分析】 CE=DB=21 m,BE=CD=1.2 m.在Rt△ACE中,∠α=30°,CE=21 m,∴AE=CE·tan 30°=7(m),∴AB=AE+BE=(7+1.2)m.
(2014·绍兴中考)九(1)班同学在上学期的社会实践活动中,对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量.
(1)如图(1)所示,第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上,使得DB与CB的长度相等,如果测量得到∠CDB=38°,求护墙与地面的倾斜角α的度数.
(2)如图(2)所示,第二小组用皮尺量得EF为16 m(E为护墙上的端点),EF的中点离地面FB的高度为1.9 m,请你求出E点离地面FB的高度.
(3)如图(3)所示,第三小组利用第一、第二小组的结果来测量护墙上旗杆的高度,在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°,向前走4 m到达Q点,测得A的仰角为60°,求旗杆AE的高度(精确到0.1 m).
备用数据:tan 60°≈1.732,tan 30°≈0.577,≈1.732,≈1.414.
〔解析〕 (1)根据∠α=2∠CDB即可得出答案.(2)设EF的中点为M,过M作MN⊥BF,垂足为点N,过点E作EH⊥BF,垂足为点H,如图所示,根据EH=2MN即可求出E点离地面FB的高度.(3)延长AE,交PB的延长线于点C,设AE=x,则AC=x+3.8,CQ=x-0.2,根据=得出=,求出x即可.
解:(1)∵BD=BC,∴∠CDB=∠DCB,
∴∠α=2∠CDB=2×38°=76°.
90
(2)设EF的中点为M,如图所示,过M作MN⊥BF,垂足为点N,过点E作EH⊥BF,垂足为点H,
∵MN∥EH,MN=1.9,∴EH=2MN=3.8(m),
∴E点离地面FB的高度是3.8 m.
(3)延长AE,交PB于点C,如图所示,设AE=x,则AC=x+3.8,
∵∠APB=45°,∴PC=AC=x+3.8.
∵PQ=4,∴CQ=x+3.8-4=x-0.2,
∴tan∠AQC==tan 60°=,
∴=,解得x=≈5.7,
∴AE≈5.7 m.
答:旗杆的高度约是5.7 m.
[解题策略] 此题考查了解直角三角形的应用,用到的知识点是仰角的定义,能作出辅助线并借助仰角构造直角三角形是解本题的关键.
1.经历回顾与思考,建立本章的知识框架图.
2.利用计算器,发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系.
3.进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用.
1.体会数形之间的联系,逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题.
2.进一步体会三角函数在现实生活中的广泛应用,增强应用数学的意识.
1.在独立思考问题的基础上,积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点,并尊重与理解他人的见解,在交流中获益.
2.认识到数学是解决现实问题的重要工具,提高学习数学的自信心.
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【重点】
1.建立本章的知识结构框架图.
2.应用三角函数解决现实生活中的问题,进一步理解三角函数的意义.
【难点】 应用三角函数解决相关的实际问题.
直角三角形的边角关系
一、锐角三角函数的意义
1.锐角三角函数的定义:
(1)正切:tan A=(tan A>0).
(2)正弦:sin A=(0
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