第二章 二次函数
1.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义,形成模型思想.
2.能用描点法画出二次函数的图象,并能根据图象对二次函数的性质进行分析,进一步积累研究函数性质的经验,发展几何直观.
3.能用配方法将一般的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴.
4.能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解,理解一元二次方程与二次函数的关系.
5.能利用二次函数解决实际问题,对变量的变化情况进行初步讨论,提高应用意识.
6.会用待定系数法确定二次函数的表达式.
1.通过探索,使学生经历“观察发现——归纳猜想——灵活应用”的过程,体会由一般到特殊的探究方法.进一步体会数形结合思想、函数思想、数学建模等思想方法的运用.
2.在具体的情境中去发现问题和提出问题,在合作交流中解决问题.
1.要使学生体验数学的文化价值,使学生感受数学美,培养学生利用运动变化的观点观察事物.
2.进一步树立科学的人生观、价值观和辩证唯物主义世界观.
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型,它既是其他学科研究时所采用的重要方法之一,也是某些单变量最优化问题的数学模型,如本章中所提及的求最大利润、最大面积等实际问题.二次函数的图象是抛物线,既是人们最为熟悉的曲线之一,同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用,如抛物线形拱桥,抛物线形隧道等.和一次函数、反比例函数一样,二次函数还是一种非常基本的初等函数,对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验,为高中阶段继续学习函数做好铺垫.
【重点】
1.二次函数的概念.
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2.二次函数的图象与性质及其应用.
3.二次函数与一元二次方程的关系.
【难点】
1.利用二次函数的图象与性质解决相关的实际问题.
2.利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根.
1.注重实际问题情境的创设,帮助学生形成模型思想.
九年级的数学学习抽象性逐渐增强,本章更体现了这一特点.由此,在数学中要创设丰富的实际问题情境,使学生理解二次函数的意义,能够用二次函数表示实际问题,从而建立二次函数模型.
2.鼓励学生采用多种方法和方式体会二次函数的性质.
讨论二次函数的性质时要尽可能结合图象进行,建议运用多种教学形式,如小组活动、学生讲解等,使学生养成从多个角度认识问题的习惯,进而比较全面准确地理解二次函数的性质.二次函数图象的平移问题是教学中的难点,可以让学生将自己的思路表达出来,互相启发和借鉴,从而在多种理解方式中体会图象平移的核心.
3.注重知识之间的联系.
教学中要注意数学思想方法的挖掘,关注知识之间的联系.在讨论二次函数图象的对称轴和顶点坐标时,要尽量引导学生进行图象和图象之间、表达式和表达式之间的比较,进而建立图象和表达式之间的联系,以实现对二次函数图象的对称轴和顶点坐标的理解.
4.引导学生积极思考.
本章内容是初中数学较难的一部分,学生在学习过程中难免会遇到困难,教师要设置适当的问题,引导学生进行探索.在探索二次函数性质的几节课中,教学的速度要放慢,不必急于给出结论甚至应用,而是让学生经历探索新知识的过程,从而真正将知识内化.在本章的学习中,都不要一味地加大计算的难度,部分实际问题可鼓励学生使用计算器进行运算.
5.注重信息技术的应用.
在本章教学中,要尽可能利用信息技术手段,注重信息技术与本章内容的结合,以便有效地改变教与学的方式,提高课堂教学的效益.例如,在研究二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系时,可以在学生亲身画图、观察、想象等动手动脑活动的基础上,借助计算机、多媒体向学生展示更加丰富的函数图象,这样不仅为学生理解和掌握相关内容提供更多的形象支持,同时也可以让学生获得视觉上的愉悦,增强好奇心,激发学习兴趣.但不能用计算机、多媒体的演示完全取代学生的亲身实践活动.
1 二次函数
1课时
2 二次函数的图象与性质
4课时
3 确定二次函数的表达式
2课时
4 二次函数的应用
2课时
5 二次函数与一元二次方程
2课时
回顾与思考
1课时
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1 二次函数
1.经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.
1.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.
2.让学生学习了二次函数的定义后,能够表示简单变量之间的二次函数关系.
3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.
1.从学生感兴趣的问题入手,能使学生积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.
2.把数学问题和实际问题相联系,使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
3.通过学生之间互相交流合作,让学生学会与人合作,并能与他人交流思维的过程,培养大家的合作意识.
【重点】
1.经历探索和表示二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
【难点】 列二次函数关系式表示简单变量之间的关系,并能利用尝试求值的方法解决实际问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习正比例函数、一次函数、反比例函数等函数的相关概念.
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导入一:
课件出示:
观察下面的函数关系式:
(1)y=2x+5;(2)y=x2+5.
这两个函数关系式有什么相同点和不同点?
【师生活动】 复习正比例函数、一次函数、反比例函数等函数的相关概念.
【学生活动】 学生独立思考后小组交流,观察新函数的特征,尝试给新函数下定义.
[设计意图] 通过与一次函数的对比,让学生初步感知二次函数的特征,让学生类比一次函数的概念构建出二次函数的概念.
导入二:
课件出示:
赵州桥,又称大石桥、安济桥,是位于河北省赵县城南五里洨河上的一座石拱桥,是我国古代石拱桥的杰出代表,其设计者是隋代杰出的工匠李春,建造于公元605年.赵州桥的设计构思和工艺的精巧,在我国古桥中是首屈一指的,据世界桥梁的考证,像这样的敞肩拱桥,欧洲到19世纪中期才出现,比我国晚了一千二百多年,赵州桥的雕刻艺术,包括栏板、望柱和锁口石等,其上狮象龙兽形态逼真,琢工的精致秀丽,不愧为文物宝库中的艺术珍品.
问题
请同学们观察赵州桥的桥拱的形状,它的形状可以近似地看成一种函数图象,这和我们之前所学的函数图象一样吗?
[设计意图] 通过视频,让学生再次了解赵州桥,在对学生进行爱国主义教育的同时,引出本节课的课题,激发了学生的好奇心和探求新知的欲望.
[过渡语] 通过以前的学习,我们已经了解了一些函数,如:正比例函数、一次函数以及反比例函数,今天我们再来探究一种新的函数.
一、体会函数的模型思想
结合课本给出的引例、做一做和想一想中的问题,设出未知数,列出关于x的函数关系式.
课件出示:
【引例】 某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
师要求同学们认真分析题目,回答以下问题:
(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
【学生活动】 独立思考,代表回答:
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(1)自变量:橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等;因变量:橙子的个数、橙子的质量等.
(2)如果设果园增种x棵橙子树,那么果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.
(3)果园橙子的总产量y与x之间的关系式为y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100x+60000.
【师生活动】 观察关系式y=-5x2+100x+60000中的y是不是x的函数,并对比所学的函数,感受它们的相同点和不同点:根据函数的定义,y是x的函数,自变量x的最高次数是2,所以通过类比,猜想此函数为二次函数.
[设计意图] 利用学生熟悉的身边情境,小梯度地设计问题,逐步引导学生分析题目,列出关系式,提高学生分析问题的能力,同时培养学生的建模能力.
[过渡语] 银行的储蓄利率是随时间变化的,也就是说,利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
【做一做】
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.
【师生活动】 师生共同回忆与存款有关的知识:
1.银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说,利率是一个变量.
2.利息=本金×利率×期数(时间).
3.本息和=本金+利息.
【学生活动】 根据上面的提示,独立完成后,小组交流,得出关系式,代表展示.
解:y=100(x+1)2=100x2+200x+100.
观察y=100x2+200x+100与y=-5x2+100x+60000的相同点.
【学生活动】 通过观察,寻找它们的相同点,并与同伴相互交流,统一答案.
【教师点评】 自变量的最高次数都是2.
[设计意图] 通过对生活中熟悉情境的分析,让学生初步感知函数的模型思想,尝试归纳二次函数的概念.
[过渡语] 通过下面几何背景的问题和代数背景的问题,让我们从丰富的现实背景中再次体会函数模型的意义.
【想一想】
问题1
已知矩形的周长为40 cm,它的面积可能是100 cm2吗?可能是75 cm2吗?还可能是多少?你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?
【师生活动】 师生先复习一元二次方程及其解法,然后由学生先独立解决,再小组交流,最后代表展示.
解:(1)设其中一边长为x cm,则x=-x2+20x=100,
解得x1=x2=10.
x=-x2+20x=75,
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解得x1=5,x2=15.
这个矩形的面积与其一边长的关系为S=x=-x2+20x.
【教师点评】 只要和为20的两数都可以作为该矩形的长和宽,所以其面积还可以为64,51,36,….
问题2
两数的和是20,设其中一个数是x,你能写出这两数之积y的表达式吗?
【学生活动】 学生独立解答,同伴交流.
解:y=x(20-x)=-x2+20x.
[设计意图] 在几何和代数的背景中再次体会函数的模型,为下一步归纳总结二次函数的定义奠定良好的基础.
二、二次函数的定义
【对比观察】 让学生再一次观察三个式子的共同点:(1)y=-5x2+100x+60000;(2)y=100x2+200x+100;(3)y=-x2+20x.
【学生活动】 观察思考后,小组交流想法,组长发言:
共同特点是:①这些式子都是最高次数为2的函数;②表达式右边都是关于x的整式.
【教师引导】 类比一次函数与反比例函数的表达式,归纳出二次函数的定义及一般形式.
【师生总结】 二次函数的定义.
一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数.
【师生活动】 探讨a≠0的原因.
[设计意图] 让学生通过观察、思考、分析等数学活动,从不同实际背景的实例中抽象出二次函数的概念,使之经历概念的形成过程,培养其抽象思维和归纳概括的能力,感受从特殊到一般的数学思想方法,从而突破本节课的难点.
[知识拓展] 理解二次函数概念的注意事项:①常数a≠0;②自变量x的最高次数为2;③等号的右边是整式;④要确定二次函数的关系式,只要确定a,b,c的值就可以了.
三、二次函数的一般形式及自变量的取值范围
[过渡语] 类似于一元二次方程的一般形式,二次函数有一般形式吗?
(一)二次函数的一般形式
【思考】 二次函数的表达式y=ax2+bx+c中的a≠0, 系数b,c可以等于0吗?
【学生活动】 学生思考并交流,得出结论:系数b,c可以等于0.
【教师点评】
1.二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c (a≠0,b≠0,c≠0).
2.系数a≠0,但是b,c都可以为0.
3.二次函数的几种不同表示形式:(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0).(2) y=ax2+c (a≠0,b=0,c≠0).(3) y=ax2+bx (a≠0,b≠0,c=0).(4)一般形式:y=ax2+bx+c (a≠0,b≠0,c≠0).
(二)二次函数自变量的取值范围
【议一议】 本节课的上述问题中,自变量能取哪些值?
学生讨论各题的取值范围.
【教师点评】 自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分,今后除了解决最值问题外,一般不刻意讨论自变量的取值范围.
[设计意图] 通过对二次函数一般形式的了解,进一步加深了学生对二次函数概念的理解,是对数学符号语言应用能力的提升,同时强调了易错点.
1.二次函数的概念:形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c都是常数,a≠0)的函数.
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2.理解二次函数概念的注意事项:(1)常数a≠0;(2)自变量x的最高次数为2;(3)等号的右边是整式;(4)要确定二次函数的关系式,只要确定a,b,c的值就可以了.
1.(2014·兰州中考)下列函数解析式中,一定为二次函数的是 ( )
A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c
C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+
解析:A,y=3x-1是一次函数,故A错误;B,y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数,故B错误;C,s=2t2-2t+1是二次函数,故C正确;D,y=x2+不是二次函数,故D错误.故选C.
2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则其二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是 ( )
A.a=1,b=-3,c=5 B.a=1,b=3,c=5
C.a=5,b=3,c=1 D.a=5,b=-3,c=1
解析:∵函数y=1-3x+5x2是二次函数,∴a=5,b=-3,c=1.故选D.
3.已知二次函数y=x2+3x-5,当x=2时,y= .
解析:当x=2时,y=22+3×2-5=4+6-5=10-5=5.故填5.
4.(2014·安徽中考)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y= .
解析:∵一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,∴二月份研发资金为a×(1+x),∴三月份的研发资金y=a×(1+x)×(1+x)=a(1+x)2.故填a(1+x)2.
1 二次函数
二次函数的定义:一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第30页随堂练习第1,2题.
2.教材第30页习题2.1第1,2题.
【选做题】
教材第31页习题2.1第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知函数:①y=3x-1;②y=3x2-1;③y=3x3+2x2;④y=2x2-2x+1.其中二次函数的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.二次函数y=x2+2x-7的函数值是8,那么对应的x的值是 ( )
A.3 B.5
C.-3或5 D.3或-5
3.已知y=(a+1)x2+ax是二次函数,那么a的取值范围是 .
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4.一个边长为2 cm的正方形,将它的边长增加x cm后,增加的面积为y cm2,写出y与x的函数关系式: .
5.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元.为了扩大销售,增加赢利,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利y元,每件衬衫降价x元,请你写出y与x之间的关系式.
【能力提升】
6.某工厂一种产品的年产量是20件,如果每一年都比上一年的产品增加x倍,两年后产品的年产量y与x的函数关系是 ( )
A.y=20(1-x)2
B.y=20+2x
C.y=20(1+x)2
D.y=20+20x2+20x
7.已知y=(m-1)是关于x的二次函数,则m的值是 .
8.已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1.
(1)若这个函数是一次函数,求m的值;
(2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样?
【拓展探究】
9.在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子.镜子的长与宽的比是2∶1.已知镜面玻璃的价格是每平方米120元,边框的价格是每米30元,另外制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y元,镜子的宽度是x m.(边框厚度忽略不计)
(1)求y与x之间的关系式;
(2)如果制作这面镜子共花了195元,求这面镜子的长和宽.
【答案与解析】
1.B(解析:①y=3x-1为一次函数;②y=3x2-1为二次函数;③y=3x3+2x2自变量最高次数为3,不是二次函数;④y=2x2-2x+1为二次函数.故是二次函数的有2个.)
2.D(解析:根据题意,得x2+2x-7=8,即x2+2x-15=0,解得x=3或x=-5.)
3.a≠-1(解析:根据二次函数的定义可得a+1≠0,即a≠-1.)
4.y=x2+4x(解析:原边长为2 cm的正方形面积为2×2=4(cm2),边长增加x cm后边长变为(x+2)cm,则面积变为(x+2)2 cm2,故y=(x+2)2-4=x2+4x.)
5.解:降价x元后的销量为(20+2x)件,单件的利润为(40-x)元,故可得利润y=(40-x)(20+2x)=2(40-x)(10+x)=-2x2+60x+800(0
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