第三章 圆
1.经历探索圆及其相关结论的过程,进一步认识和理解研究图形性质的各种方法,发展几何直观和推理能力.
2.认识圆的轴对称性和中心对称性.
3.探索并认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理,探索并证明垂径定理.
4.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,了解并证明圆周角定理及其推论.
5.探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系.
6.掌握切线的概念,探索切线与过切线的半径之间的关系,会过圆上一点画圆的切线.
7.探索并证明切线长定理.
8.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
9.会计算圆的弧长、扇形的面积.
10.会利用基本尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和正六边形.
1.通过探索,使学生经历“观察——测量——平移——旋转——推理证明”的过程,帮助学生有意识地积累活动经验,体会分类讨论、数形结合和演绎归纳的数学思想的应用,发展有条理的思考及表达能力.
2.通过折纸、对称、平移、旋转、推理证明的方式,使学生利用多种方法认识圆的有关性质,在探究活动中去发现问题和提出问题,并在合作交流中解决问题.
1.经历探索圆及其相关结论的过程,发展学生的数学思维能力.
2.通过积极引导,帮助学生有意识地积累活动经验,获得成功的体验.
3.利用现实生活和数学中的素材,设计具有挑战性的情境,激发学生求知、探索的欲望.
本章是在学习了直线型图形的有关性质的基础上,进一步来探索一种特殊的曲线型图形——圆的有关性质.学生在学习本章之前,已通过折叠、对称、平移、旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质,积累了大量的空间与图形的经验.本章充分体现了已有经验的作用:利用折叠、旋转的方法探索圆的对称性;用轴对称变换的方法探索垂径定理及其逆定理,并利用推理证明的方法进行证明;用旋转变换的方法探索圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理并证明;用推理证明的方法研究圆周角和圆心角的关系;用对称变换及反证法探究切线的性质;用图形运动的方法研究直线与圆的位置关系等.通过本章的学习,
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对学生今后继续学习数学,尤其是逐步树立分类讨论、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用.同时本章的学习也是高中的数学学习的基础.
【重点】 利用圆的对称性、垂径定理、圆周角和圆心角定理、切线的性质及判定定理和弧长及扇形的面积公式解决与圆有关的问题.
【难点】 运用圆的有关性质及推论并结合解直角三角形、相似三角形的知识解决相关问题.
1.学生在前面的学习中,已经掌握了很多研究图形的手段和方法,积累了大量研究图形问题的经验.在本章的教学中,教师要有意识地引导、鼓励学生利用他们所掌握的观察、测量、轴对称、平移、旋转、推理、证明等多种手段和方法,开展有关的研究活动,从而发现关系,获得结论.在这一过程中,鼓励学生动手、动口、动脑,帮助他们有意识地积累活动经验,获得成功的体验.
2.学生在前面的学习中,已经积累了大量研究图形问题的经验,感受到了很多研究图形问题的基本思想.在本章的教学中,教师应继续有意识地引导学生在相关的数学活动中感悟基本的数学思想.比如,在点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系这些内容中,蕴含着分类的思想;在探索圆周角与圆心角之间的关系时,也涉及分类的思想.又如,推理的思想也是本章内容中蕴含的重要数学思想,其中既有合情推理,也有演绎推理.此外,本章是图形与几何内容的最后一章,教学中还要有意识地引导学生对有关的数学思想进行归纳、总结或反思,以提升学生对基本数学思想的领悟水平.
3.与圆有关的证明,《标准》只要求证明垂径定理、圆周角定理及其推论,而且其中的垂径定理和切线长定理还是选学内容,不作考试要求.因此,教学中要以《标准》和教科书为依据,准确把握证明的深度与广度.
1 圆
1课时
2 圆的对称性
1课时
*3 垂径定理
1课时
4 圆周角和圆心角的关系
2课时
5 确定圆的条件
1课时
6 直线和圆的位置关系
2课时
*7 切线长定理
1课时
8 圆内接正多边形
1课时
9 弧长及扇形的面积
1课时
回顾与思考
1课时
1 圆
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1.经历形成圆的概念的过程,经历探索点和圆位置关系的过程.
2.理解圆的概念,理解弦和弧的概念,了解点与圆的位置关系,并能根据条件画出符合条件的点或图形,初步形成集合的观点.
1.经历探索圆的概念和点与圆的位置关系的过程,发展学生的实践探索能力.
2.了解点与圆的位置关系后,会在简单条件下判断点与圆的位置关系,训练学生的数学应用能力,培养学生分析问题和解决问题的能力.
1.用生活和生产中的实例激发学生的学习兴趣,唤起学生尊重知识的意识,更加热爱生活.
2.通过操作、讨论、归纳等活动,培养学生的观察想象能力,同时训练他们的语言表达能力,使学生获得学习数学的经验.
【重点】 理解圆、弦和弧的概念,会判断点与圆的位置关系.
【难点】 能根据条件画出符合条件的点或图形,初步形成集合的观念.
【教师准备】 多媒体课件和教学圆规.
【学生准备】
1.复习以前所了解的圆的相关知识.
2.直尺和圆规.
导入一:
观察下面的图形,你能发现它们有哪些共同特点吗?
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【学生活动】 学生观察图片后,会发现图中都有圆,让学生再举出一些生活中类似的图形.
【老师引入】 在我们生活中,大家经常可以看到圆这个图形“靓丽”的身影,古希腊数学家毕达哥拉斯曾经说过:“一切立体图形中最美的是球形,一切平面图形中最美的是圆形.”让我们一起来感受生活中最美的图形——圆.
[设计意图] 通过多媒体展示现实生活中有关圆的物体图片和名人名言引起学生的注意,使他们感受数学与现实生活的密切联系,增强学生的数学应用意识,激起学生学习的兴趣,从而引入课题.
导入二:
篝火晚会,是草原人民一种传统的欢庆形式.在用火烤熟食物的过程中,便互相拉手围着火堆跳舞以表达自己喜悦愉快的心情,这种欢庆的形式一直延续到今天,就形成了现在的篝火晚会.如图所示.
【问题】 你能说明篝火晚会中人们互相拉手围着火堆跳舞时,为什么习惯上围成一个圆圈吗?
[设计意图] 通过篝火晚会引出问题,学生既在了解课外知识的同时,又产生了疑问,为下面圆的概念的得出埋下了伏笔.
[过渡语] 我们在七年级已经初步了解了圆的概念和相关知识,实际上圆的概念还有另外的一种定义方法,你想了解吗?
一、圆的概念
【问题】 同学们玩过投圈游戏吗?如图所示,一些学生正在做投圈游戏,他们的投圈目标都是图中的花瓶.如果他们呈“一”字排开,这样的队形对每个人都公平吗?你认为他们应当排成什么样的队形才公平?
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老师引导学生分析并回答下面的问题:
1.这样的队形对每个人来说显然不公平,因为他们到花瓶的距离不相等.
2.他们应该怎样排才是公平的?
3.上面的“花瓶”和导入中的“火堆”可以看做什么?所有人到它们的距离有什么关系?
【学生活动】 学生观察后并思考,大胆猜测,得出结论:
1.这样的队形对每个人来说显然不公平,因为他们到花瓶的距离不相等.
2.他们可以围成一个圆形,使每个同学到花瓶的距离相等,才能对每个同学都公平.
3.“花瓶”和“火堆”可以看做是一个定点,所有人到它们的距离都相等,可以看成是定长.
【老师点评】 圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,定点就是圆心,定长就是半径.以点O为圆心的圆记作☉O,读作“圆O”.
【画一画】 请同学们利用圆规画一个圆.
大部分学生产生了疑惑:在哪画圆?画多大的圆?
【师生活动】 师借机引导学生发现问题:要确定一个圆,需要满足什么条件呢?
【学生小结】 确定一个圆的要素:(1)圆心;(2)半径.
【老师强调】 确定一个圆需要两个要素,一是位置,二是大小;圆心确定其位置,半径确定其大小.只有圆心没有半径,虽圆的位置固定,但大小不定,因而圆不确定;只有半径而没有圆心,虽圆的大小固定,但圆心的位置不定,因而圆也不确定.只有圆心和半径都固定,圆才被唯一确定.
[设计意图] 在七年级圆的概念的基础上,又利用集合的观点对圆进行定义,提高了学生对集合思想的初步认识.
[过渡语] 通过上面的探究,我们已经了解了圆的定义,下面我们来探究和圆有关的一些概念.
二、弦和弧的概念
课件出示:
如图所示:
(1)圆中的线段AB是 ,线段CD是 .
(2)线段AB和线段CD有什么关系?
(3)点A,B之间的部分是什么?点C,D之间的部分是什么?
(4)弧有几种类型?怎么样区分呢?
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(5)如何理解等圆和等弧的概念?
【学生活动】 学生通过自学的方式,逐一完成题目的回答,然后小组互相交流,代表发言.
【老师点评】
1.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.
2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧.
3.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.
4.弧包括优弧和劣弧,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.
5.能够重合的两个圆叫做等圆.
6.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
【老师强调】 等弧的前提条件是在同圆或等圆中.
[设计意图] 通过两个探究活动引出圆及其相关的概念,明确确定圆的两个要素的作用,为下面的点和圆的位置关系的探究打下了良好的基础.
[知识拓展]
1.弧的表示法:如图所示,以B,C为端点的弧有两条:优弧BDC,记作,劣弧BAC,记作或.
2.弧的分类:弧
[过渡语] 平面上,点与圆的位置关系有几种?我们如何判断它们之间的关系呢?
三、点与圆的位置关系
课件出示:
【想一想】 如图所示,☉O是一个半径为r的圆.在圆内、圆外、圆上分别取一点,点到圆心的距离为d,你能用r与d的大小关系刻画它们的位置特征吗?
【师生活动】 学生动手操作画图,师巡视,观察学生画的图,教师在黑板上演示出所有的作图类型:
【问题】
1.在画图的过程中你认为点与圆有几种位置关系?
2.我们如何确定点与圆有几种位置关系?
【学生活动】 学生独立思考后小组讨论,代表发言.
【教师点评】
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1.点与圆的位置关系有三种:点在圆外、点在圆上、点在圆内.
2.点在圆外,即d>r;点在圆上,即d=r;点在圆内,即dr;②点在圆上⇔d=r;③点在圆内⇔d
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