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双峰一中高一数学必修三教案
课题
§1.3.2 秦九邵算法
课型
新课
教学目标
（一）了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。（二）模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。
（三）通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。充分认识信息技术对数学的促进。
教学过程
教学内容
备注
一、
自主学习
阅读教材P37-P39思考以下问题：
(1)秦九邵算法的运算原理
(2) 秦九邵算法的程序框图和程序
二、
质疑提问
1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学与现代信息技术的完美结合. 2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算法，我们将对这个算法作些了解和探究.
三、
问题探究
知识探究：秦九邵算法
思考1 21325算法1：需要(5+4+3+2)=14次乘法，5次加法算法2：需要5次乘法，5次加法 秦九韶算法思考2 18556
思考3:利用后一种算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值，这个多项式应写成哪种形式？
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0
=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0=…
=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？
第一步，计算v1=anx+an-1.
第二步，计算v2=v1x+an-2.
第三步，计算v3=v2x+an-3.
…
第n步，计算vn=vn-1x+a0.
思考5:上述求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值的方法称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？
思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么第k步的算式是什么？
vk=vk-1x+an-k (k=1，2，…，n)
例1 阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？
例2 求多项式，在x=a时的值.
四、
课堂检测
1、如果执行右面的程序框图，那么输出的 （ ）
否
是
A．22 B．46 C． D．190
答案 C
2、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的
值是 （ ）
A． B． C． D．
【解析】对于，而对于，则
，后面是，不
符合条件时输出的．
答案 A
3、阅读上（右）图的程序框图，则输出的S= ( )
A 26 B 35 C 40 D 57
【解析】当时，；当时，；当
时，；当时，；当时，
；当时，，故选择C。
答案 Ｃ
4、程序框图上（右）（即算法流程图）如图所示，其输入结果是_______。
【解析】根据流程图可得的取值依次为1、3、7、15、31、63……
答案 127
点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。直接法乘法运算的次数最多可到达，加法最多n次。秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次。
5、已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5
时的函数的值。
解析：把多项式变形为：f(x)= 2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7
=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7
计算的过程可以列表表示为：
多项式x系数
2
－5
－4
3
－6
7
运算
运算所得的值
10
25
105
540
2670
+
变形后x的"系数"
2
5
21
108
534
2677
*5
最后的系数2677即为所求的值
算法过程：
v0=2
v1=2×5－5=5
v2=5×5－4=21
v3=21×5+3=108
v4=108×5－6=534
v5=534×5+7=2677
五、
小结评价
一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法.
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