六年级上册概念汇总
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第一单元 长方体和正方体
1．两个面相交的线叫做棱，三条棱相交的点叫做顶点。
2．
形体
相同点
不同点
关系
面
棱
顶点
面的形状
面的大小
棱长
长方体
6
12
8
一般都是长方形，有时也有两个相对的面是正方形。
相对的面的面积相等
平行的四条棱长度
相等
正方体是特殊的长
方体
正方体
6
12
8
六个面都是正方形
六个面的面积相等
六条棱长都相等
长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫做它的长、宽、高。
长方体的12条棱有3组，每组的四条棱长度相等。
长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4
长方体放桌面上，最多只能看到3个面。
3．正方体的展开(不能出现田字格)
1）．“141型”，中间一行4个图：作侧面，
上下两个各作为上下底面，共有6种基本图形。
2）．“231型”，中间3个作侧面，共3种基本图形。见上图
3）．“222”型，两行只能有1个正方形相连。
4）．“33”型，两行只能有1个正方形相连。
4．长方体的表面积就是长方体六个面的总面积。由于相对的面完全相同，所以可以先求出前面、后面和下面三个面的面积，再乘以2，就可以求出表面积了。
长方体的表面积 = 长×宽×2+长×高×2+宽×高×2 =（长×宽+长×高+宽×高）×2
正方体的六个面完全相同，所以计算时只要算出其中的一个面，再乘6就可以了。
正方体的表面积 = 棱长×棱长×6
5．在解决一些问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面。在解答时，可以把这几个面的面积分别算出来，再相加，也可以先算出六个面的面积总和，再减去不需要的那个（些）面。
一个抽屉有5个面，分别是前面、后面、左面、右面、底面。所以做这样一个抽屉所需要的木板，只要算出这5个面的面积就可以了。
通风管顾名思义是通风用的，没有底面。所以只要算四个侧面就可以了。（注意：一般是最小的口通风）
（1）具有六个面的长方体、正方体物品：油箱、罐头盒、纸箱子等；
（2）具有五个面的长方体、正方体物品：水池、鱼缸等；
（3）具有四个面的长方体、正方体物品：水管、烟囱等。
6．体积和容积。
（1）体积：物体所占空间的大小
（2）容积：容器所能容纳物体的体积
像这个长方体木箱的体积除了里面能容纳物体的体积外，还有做成木箱的木板的体积。一个物体的体积要比一个物体的容积大，因为体积还包括自身材料的体积。
7．体积（容积）单位。
（1）用列表的形式来表述体积单位的大小，以利于记忆。
单位名称
意义
相当的实物
1立方厘米
棱长是1厘米的正方体，体积是1立方厘米
约为一个手指尖的大小
1立方分米
棱长是1分米的正方体，体积是1立方分米
约为一个粉笔盒的大小
1立方米
棱长是1米的正方体，体积是1立方米
用3根1米长的木条做成互相垂直的架子放在墙角所圈定的空间的大小
体积与容积单位之间的关系：1立方厘米=1毫升 1立方分米=1升
升和毫升之间的进率是1000，因为1升是1立方分米，1毫升是1立方厘米。升和毫升相比，升是高级单位，毫升是低级单位，把高级单位的数量换算成低级单位的数量，都要乘相应的进率。
8．因为长方体的体积都是由它的长、宽、高决定的，它的体积=长×宽×高。正方体是特殊的长方体，长=宽=高，因而它的体积是由棱长决定的，体积=棱长×棱长×棱长。因为长方体和正方体的底面积是两条棱长决定的，即长方体底面积=长×宽；正方体的底面积=棱长×棱长；所以长方体和正方体的体积又可以说是由底面积和高决定的，它们的体积=底面积×高。
（1）长方体的体积=长×宽×高
（2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长
（3）长方体的体积=底面积×高
9．求这根长方体木料的体积要用“底面积×高”，从中间截成两段，表面积实质上增加了两个底面，如图。两个面的面积和是12平方分米，一个面的面积是6平方分米。
本题求体积用的公式是“底面积×高”，也可以说用的是“横截面积×长”。另外对于把一个长方体截成两段，截了一次，增加了两个面，如果是截成三段，就是截了两次，增加了四个面。也就是说每截一次，增加两个面。
10．综合运用体积单位、长度单位的知识。将一个大的形体分成一个小的形体。将小正方体紧紧地排成一排，能排多少米，实际上就是将这些小正方体的棱长加起来，看有多长。
棱长是1米的正方体，它的体积是1立方米，棱长是1分米的正方体，它的体积是1立方分米，1立方米 = 1000立方分米，所以能分成1000个。顺次紧紧地排成一排，那么就能排成1000分米，1000分米 = 100米。
11、正方体的棱长扩大n倍，表面积就扩大n²倍，体积就扩大n³倍。
12、表面涂色的正方体
把一个涂色正方体的每条棱n等分，切成同样大的小正方体
（1）三面涂色的正方体有8个，都在大正方体顶点位置；
（2）两面涂色的正方体有12（n-2），都在大正方体棱的位置，所以个数一定是12的倍数
（3）一面涂色的正方体有6（n-2）2,都在大正方体面的位置，所以个数一定是6的倍数
（4）没有涂色的正方体有（n-2）3，都在大正方体的内部。
（5）在大正方体顶点处挖去小正方体，表面积不变
（6）在大正方体棱上挖去小正方体，表面积变大，每挖去一个小正方体就比原来多2个面。
（7）在大正方体面上挖去小正方体，表面积变大，每挖去一个小正方体就比原来多4个面
第二单元 分数乘法
1．分数和整数相乘，可以表示求几个几分之几相加的和。
2．求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算。
3．分数和整数相乘，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。如果整数能与分数的分母约分，要先约分，再计算。
4．在解答有关分数乘法的实际问题时要找准单位“1”的量。数量关系式是：单位“1” ×分率 = 分率对应的量
5．求一个数的几分之几（几倍）是多少的分数应用题的解题思路和解答方法完全相同：用一个数乘几分之几。解题思路中是把一个数看作单位“1”，这也就提示我们解答分数应用题时先要找准单位“1”。同样，我们在画线段图时，也应该先画出单位“1”的量。
在解答分数应用题的过程中，不仅仅要找准单位“1”的量，还要知道分率对应的量是什么？一般来讲，题目中分率如果是多（少）的分率，那么分率对应的量就是多的部分（少）。
6．根据“实际产量比计划节约了”，写出一个数量关系式 计划产量× = 实际产量比计划节约的产量
7．分数和分数相乘，表示求一个数的几分之几相加的和，分数和分数相乘，用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。
8．因为整数可以看成分母是1的假分数，所以分数和分数相乘的计算方法适用于分数和整数相乘。
9．三个数相乘，先把前两个数相乘，得出的积再和第三个数相乘。但为了简便，可以先把所有分数的分子和分母约分，再把约分后的分子和分母相乘。
10．一个数和真分数相乘，所得的积小于这个数；一个数和假分数相乘，所得的积大于或等于这个数。
11．解答分数乘法应用题时，可以借助于线段图来分析数量关系。在画线段图时，先画单位“1”的量。数量关系式是：单位“1” ×分率 = 分率对应的量。
12．乘积为1的两个数互为倒数，求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。
13．1的倒数是1，0没有倒数，真分数的倒数都大于1，自然数的倒数都是分子为1的真分数，假分数的倒数小于或等于1。
14．典型例题 例1、下面的长方形代表1公顷，请你在图中表示出公顷的，结果是多少公顷？
分析与解：这个题目要分层次思考，一步一步展开。（1）公顷是1公顷的（1公顷的一半）；（2）公顷的，就是将公顷部分平均分成3份，表示出2份。
第一种解法 公顷
第二种解法： 第三种解法：
公顷 公顷的 公顷
公顷的
公顷的是大长方形的，× = （公顷）或× = （公顷）
例2、一袋大米重25千克，先吃去这袋大米的，又吃去千克，两次一共吃去多少千克？
分析与解：求两次共吃去多少千克，要用第一次吃的千克数加上第二次吃的千克数；第一次吃了这袋大米的，是把这袋大米看作单位“1”，即吃去25千克的；第二次吃去千克。先求出第一次吃去多少千克。
25 × = 5（千克） 5 + = 5（千克） 答：两次一共吃去5千克。
点评：这一题的关键就是正确理解题目中两个所表示的不同含义，第一个表示是一个数的几分之几，是分率；而第二个表示的是千克，是具体的量。要先求出第一天的所对应的量再直接加上第二天吃的千克就可以了。在解题过程中，一定要注意区分，并作出正确的判断，再进行解答。
例3、填空。 （ ）× = 7 × （ ）= （ ）× 1 = 0.8 × （ ）
分析与解：这是一道连等式填空。从题中可以看出，四道乘法算式的积都要相等，但是都等于几呢？题目中没有明确的要求，说明有多种填法。但是要解答得又对又快，可以从倒数的意义入手，即考虑每个算式的积都是1，这样，在相应的括号里只填上与之相乘的那个数的倒数就可以了。
如果题目中明确给出了一个确定的数值作为积，那么解答此题时就只能一道一道地去思考解答了。
（ ）× = 7 × （ ）= （ ）× 1 = 0.8 × （ ）
已知a×3=×b=×c，并且a、b、c都不等于0，把a、b、c这三个数按从小到大的顺序排列，
并说明理由。假设a×3=×b=×c = 1 那么a = 、b= 、c= 1 那么 a＜c＜b
例4、（1）一根钢管截成两段，第一段占，第二段长米。哪一根长？
分析与解：可以用画图的方法，把题意表示出来。线段图如下：
第一段占 第二段长米
通过线段图可以看出，第一段占，第二段占 1 - = ， > 。答：第一段长一些。
（2）两根一样长的钢管，第一根截去，第二根截去米。哪一根剩下的长？（无法比较）
（3）两根1米长的钢管，第一根截去，第二根截去米。哪一根剩下的长？（一样长）
第三单元 分数除法
1．分数除以整数可以用分数的分子除以整数，但不能总得到整数的商，所以通常把分数除以整数转化成分数乘这个整数的倒数。
2．分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。
3．一个数除以分数，等于乘这个分数的倒数。
4．甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
5．一个数除以真分数所得的商大于这个数；一个数除以假分数，所得的商小于或等于这个数。
÷2表示的意义是（ 已知两个因数的积是，与其中一个因数是2，求另一个因数是多少？
一台榨油机小时榨油吨，平均每小时榨油多少吨？榨1吨油要多少小时？
÷ = （吨） 1 ÷ = （小时）答：平均每小时榨油吨，榨1吨油要小时。
例5、如果b=80。那么a=（ 45 ）。
6．在分数连除或分数乘除混合运算中，遇到除以一个数时，只要乘这个数的倒数就可以了。在计算过程中除以一个数，只要转化为乘这个数的倒数，而乘一个数是不要变化的。所以，当乘、除法放在一起的时候，往往容易混肴。计算过程中一定要做好判断。
7．在解答分数除法应用题时要找准单位“1”的量，而简单的分数除法应用题就是要求单位“1”的量。
8．分数除法应用题的数量关系式是： 单位“1” ×分率 = 分率对应的量
在具体解答时，用方程做，设单位“1”的量为ⅹ。
9．解答分数除法应用题时，可以借助于线段图来分析数量关系。在画线段图时，先画单位“1”的量。
可以发现：分析的思路与乘法应用题是一致的，也是根据题里叙述的条件，明确把哪个数量看作单位“1”。但是单位“1”的数量是未知的，所以先根据一个数和分数相乘的意义列出等量关系式，然后设未知数，列出相应的方程并解答。解答应用题时最关键的就是对应用题的数量关系进行分析，而不能套用解题思路。可以进行这样的小结：当应用题中单位“1”已经知道时，就用乘法解；当单位“1”不知道，要求单位“1”时，要用除法解或列方程解。
第四单元 认识比
1．两个数相除又叫做两个数的比。如：3÷2也就是3:2。比的前项除以后项所得的商叫做比值。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可以是整数。3:2的比值是1.5。（比值没有单位）
2．同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；同分数比较，比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。
3．比的基本性质相当于除法中的商不变性质和分数中的基本性质。因此应用比的基本性质可以将比进行化简。比的前项和后项为互质数时，这个比就是最简整数比。
在化简过程中，如果比的前项和后项都是整数，那就同时除以它们的最大公约数；如果前项和后项是小数或是分数，先将它们同时乘一个数化成整数，再化简。要注意：最后化简到比的前项和后项是互质数的比是最简整数比。
4．求比值和化简比的核心区别在于结果的表达形式不同，求比值的结果一定要是一个数，化简比的结果一定要是一个比。
5．把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配的方法叫做按比例分配。
比与除法、分数之间有着密切的联系。但不是说，它们之间是等同的。它们之间的区别是：比是两个量之间的关系，除法是一种运算，而分数是一个数。在理解意义的时候要注意区分。
比与除法、分数之间的联系
比（2:5）
前项
比号（:）
后项
比值
分数（）
分子
分数线（-）
分母
分数值
除法（2÷5）
被除数
除号（÷）
除数
商
第五单元 分数四则混合运算
1．分数四则混合运算的运算顺序，与我们已经学过的整数四则混合运算顺序相同。
2．整数运算定律和性质同样适用于分数四则混合运算。
3、典型例题
101×- 101×
5.3÷4+2.7×25% 3.8×9.9+38%
第六单元 认识百分数
1．表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫做百分率或百分比。
2．百分数通常不写成分数的形式，而在原来的分子后面加上“﹪”来表示。
3．百分数只能表示一个数是另一个数的百分之几，而不能表示具体的量，也就是说百分数后面不能加单位。
4．把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时添上百分号。
5．把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，一般保留三位小数），再把小数化成百分数。
6．百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100的分数，能约分的要约成最简分数。
7．把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
百分数和分数之间有联系，但也有明显的区别。百分数只表示两个数量之间的关系，不表示一个数量的值。分数既可以表示两个数量之间的关系，也可以表示一个数量的值。新- 课-标- 第-一-网
分母是100的分数可以有两种意义：一种是一个数量的值，一种是两个数量之间的关系。其中只有表示两个数量之间的关系时才是百分数。如果表示一个数量的值时，这个分母是100的分数就不是百分数了。
百分数的分母确实是100，但这和分母是100的分数还是有所区别的。前面一种说法是在描述百分数分母的特点，而后一种说法则是在说百分数的意义。比如说和吨，它们都是分母是100的分数，但吨却不是百分数。
8．一个数是另一个数的百分之几，直接用一个数除以另一个数。
9．生活中常见的一些百分率的计算方法；
合格率 = 合格产品数÷生产总个数 种子的发芽率 = 发芽种子数÷试验种子总数
小麦的出粉率 = 面粉重量÷小麦重量 职工的出勤率 = 实际出勤人数÷应出勤人数
营业额×税率=营业税 利息=本金×利率×时间 原价×折扣率=现价
利润=定价-成本
利润率=（定价-成本）÷成本
定价=成本×（1+利润率）
成本=定价÷（1+利润率）
分数乘法应用题中的最基本的数量关系式：单位“1”×分率 = 分率对应的量，如果和百分数应用题结合起来，求一种量是另一种量的百分之几，实际上就是求分率。它的解题思路与分数乘法应用题一样，区别在于结果要用百分数表示。
10、分数和百分数应用题类型
（1）、求一个数是另一个数的几分之几（百分之几）
数量关系：
比较量÷标准量（单位“1”的量）=几分之几（百分之几）
对 应
（2）、求一个数的几分之几（百分之几）是多少？/已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数
数量关系：
单位“1”的量×分率=与分率对应的量
对应
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