第六章 实数
6．1 平方根(1)
掌握平方根的定义，会求平方根．
重点
平方根的概念及其符号表示．
难点
理解平方根的概念．
一、创设情境，引入新课
问题 学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴．想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
师：∵52＝25，
∴这个正方形画框的边长应取5 dm.
二、讲授新课
师：请同学们填表：
正方形面积
1
9
16
36
边长
1
3
4
6
师：上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题．
师：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记作，读作“根号a”，a叫做被开方数．
规定：0的算术平方根是0.
师：我们一起来做题．
展示课件：
【例】 求下列各数的算术平方根：
(1)100； (2)； (3)0.0001.
学生活动：尝试独立完成．
教师活动：巡视、指导，派一生上黑板板演．
师生共同完成．
解：(1)∵102＝100，
∴100的算术平方根是10.
即＝10.
(2)∵()2＝，
∴的算术平方根是，即＝.
(3)∵0.012＝0.0001，
∴0.0001的算术平方根是0.01，
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即＝0.01.
三、随堂练习
课本第41页练习．
四、课堂小结
本节课你学到了哪些知识？与同伴交流．
师生共同归纳算术平方根的定义及其表示方法．
教师首先利用例子提出问题：请你说出上面等式右边各数的平方根，通过学生动脑动口加深对算术平方根概念的初步理解；然后在上面叙述的基础上提出算术平方根概念的符号表示方法，同时用练习巩固所学新知，由量变到质变，使学生能牢固掌握本节内容．
6．1 平方根(2)
能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值，会用计算器．
重点
夹值法估计一个数的算术平方根的大小．
难点
夹值法估计一个数的算术平方根的大小．
一、创设情境，引入新课
师：怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
运用多媒体，展示课件：
怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
学生活动：小组合作操作、观察、交流．
二、讲授新课
师：将两个小正方形沿对角线剪开，得到几个直角三角形？
生：4个．
师：大正方形的面积多大？
生：面积为2的大正方形．
师：这个大正方形的边长如何求？
学生活动：尝试独立完成．
教师活动：启发，适时点拨．
师生共同归纳：设大正方形的边长为x，则x2＝2，由算术平方根的意义可知：x＝.
∴大正方形的边长为.
师：小正方形的对角线的长为多少？
生：对角线长为.
师：很好，有多大呢？
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学生活动：小组合作交流．
教师活动：适时启发，点拨．
师生共同归纳：
∵12＝1，22＝4，
∴1＜＜2.
∵1.42＝1.96，1.52＝2.25，
∴1.4＜＜1.5.
∵1.412＝1.9881，1.422＝2.0164，
∴1.41＜＜1.42.
∵1.4142＝1.999396，1.4152＝2.002225，
∴1.414＜＜1.415.
……
如此进行下去，可以得到的更精确的近似值．
其实，＝1.41421356……它是一个无限不循环小数，无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数．
师：你能举出几个例子吗？
生：能，如：、、等．
师：如何用计算器求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值)．
学生活动：尝试独立完成例2.
师：请同学们用计算器求出引言中的第一宇宙速度、第二宇宙速度．
学生活动：用计算器小组合作完成．
第一宇宙速度：v1≈7.9×103 m/s；
第二宇宙速度：v2≈1.1×104 m/s.
展示课件：
1．利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？你能说出其中的道理吗？
…
…
…
…
2.用计算器计算(精确到0.001)，并利用你发现的规律说出，，的近似值，你能根据的值说出是多少吗？
师：你能说出其中的规律吗？
学生活动：小组讨论交流．
师生共同归纳：
求算术平方根时，被开方数的小数点要两位两位地移动，当被开方数向左(右)每移动两位时，它的算术平方根相应地向左(右)移动一位．
新知应用：
师：我们一起来做题：
展示课件．运用多媒体：
【例】 小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm.
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根据边长与面积的关系得
3x·2x＝300，
6x2＝300，
x2＝50，
x＝.
因此长方形纸片的长为3 cm.
因为50＞49，所以＞7.
由上可知3＞21，即长方形纸片的长应该大于21 cm.
因为＝20，所以正方形纸片的边长只有20 cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长．
【答】 不能同意小明的说法．小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．
三、随堂练习
课本第44页练习．
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？与同伴交流．
1．使每个学生都参与用计算器求一个正有理数的算术平方根，由于有的同学没有带计算器，所以没有很好地理解所学的知识．
2．平方根移动的规律，须让学生通过查表、探索、发现、总结，最好是自己找出其中所蕴含的规律．
6．1 平方根(3)
数的开方意义、平方根的意义、平方根的表示法．
重点
平方根．
难点
正确理解平方根的意义．
一、创设情境，引入新课
师：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
学生思考、讨论．
生：3.
师：除此之外，还有没有别的数的平方也等于9呢？
生：－3.
师：所以，若一个数的平方等于9，这个数是3或－3.
二、讲授新课
师：请同学们填表．
展示课件：
x2
1
16
36
49
11
x
±1
±4
±6
±7
±
师：通过填表，我们不难得出：
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．用字母表示为：
如果x2＝a，则x叫做a的平方根．
例：3和－3是9的平方根，简记为±3是9的平方根．
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
师：请同学们看图．
展示课件：
师：平方与开平方有何联系？
生：平方与开平方互为逆运算．
师：我们可以根据这种运算关系，来求一个数的平方根．请同学们做题：
【例】 求下列各数的平方根：
(1)100；(2)；(3)0.25.
解：(1)因为(±10)2＝100，所以100的平方根是±10；
(2)因为(±)2＝，所以的平方根是±；
(3)因为(±0.5)2＝0.25，所以0.25的平方根是±0.5.
师：正数、负数、0的平方根有何特点？
生讨论、交流．
师生共同分析：
正数的平方根有两个，它们互为相反数，正的平方根是这个数的算术平方根．
∵负数的平方是正数，
∴在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数．
∴负数没有平方根．
∵02＝0，∴0的平方根是0.
归纳：
①正数有两个平方根，它们互为相反数；
②负数没有平方根；
③0的平方根是0.
师：正数a的平方根表示为±，读作“正、负根号a”．
如：±＝±3，±＝±5.
师：只有当a≥0时有意义，a＜0时无意义，为什么？
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生：负数没有平方根．
师：请大家做题．
求下列各式的值：
(1)；(2)－；(3)±.
学生活动：尝试独立完成，一生上黑板板演．
教师活动：巡视、指导、纠正．
师生共同完成：
(1)∵122＝144，∴＝12.
(2)∵0.92＝0.81，∴－＝－0.9.
(3)∵(±)2＝，∴±＝±.
三、随堂练习
课本第46页、第47页第1、2、3、4题．
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？请与同伴交流．
1．提供足够的时间，让学生理解平方根的意义．掌握正数、0、负数的平方根的特点．
2．多提供适量的有代表性的习题，随堂练习．
3．易出错的题目随堂订正．
6．2 立方根
掌握立方根的定义；正数、负数、0的立方根的特点；用计算器求立方根．
重点
掌握立方根的定义．
难点
运用所学知识解决问题．
一、创设情境，引入新课
要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
师：设这种包装箱的边长为x m，则
x3＝27
这就是要求一个数，使它的立方等于27.
∵33 ＝27，
∴x＝3.
即这种包装箱的边长为3 m.
师：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．
即：如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．
∵33＝27，
∴3是27的立方根．
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师：什么是开立方？
生：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
师：正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算，据此我们可以求一个数的立方根．
师：请看大屏幕．
根据立方根的意义填空，看看正数、0和负数的立方根各有什么特点？
∵23 ＝8，∴8的立方根是(2)；
∵(0. 5)3＝0. 125，∴0.125的立方根是(0.5)；
∵(0)3＝0，∴0的立方根是(0)；
∵(－2)3＝－8，∴－8的立方根是(－2)；
∵(－)3＝－，∴－的立方根是(－)．
师生共同归纳：
正数的立方根是正数．
负数的立方根是负数．
0的立方根是0.
师：你能说说数的平方根与数的立方根有什么不同吗？
生：每一个数均有一个立方根，而负数没有平方根．
师：一个数a的立方根表示法：，读作“三次根号a”．
其中a是被开方数，3是根指数．
如表示8的立方根，即＝2.
表示－8的立方根，即＝－2.
中的根指数3不能省略．
注：算术平方根的符号，实际上省略了中的根指数2，因此也可读作“二次根号a”．
师：请同学们填空：
∵＝________，－＝________．
∴________－.
∵＝________，－＝________．
∴________－.
一般地，________－.
师：请同学们做题：
【例】 求下列各式的值：
(1)；(2)－；(3).
解：(1)＝4；
(2)－＝－；
(3)＝－.
其实，很多有理数的立方根是无限不循环小数．
如、等都是无限不循环小数，可以用有理数、近似数表示它们．
师：请同学们用计算器求出一个数的立方根．
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学生活动：用计算器求一些数的立方根．
师：请同学们观看大屏幕．
用计算器计算…，，，，，…，你能发现什么规律？用计算器计算(精确到0.001)，并利用你发现的规律求，，的近似值．
师：同学们发现了什么规律？
学生讨论、交流并发言．
师生共同归纳：
被开方数的小数点向左(右)每移动三位，其立方根的小数点相应地向左(右)移动一位．
二、随堂练习
课本第51页练习．
三、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？请与同伴交流．
教学设计着重于把立方根与开立方进行类比教学，注重概念的形成过程，让学生在新概念的形成过程中，逐步理解新概念，通过设置问题，组织思考讨论来帮助学生理解立方根和开立方的概念．让学生通过实例和抽象类比来理解立方根与平方根概念的联系与区别．
6．3 实数
第1课时 实数
了解无理数和实数的意义，会对实数进行分类，了解实数的绝对值和相反数的意义．
重点
理解实数的概念．
难点
运用所学知识解决问题．
一、创设情境，引入新课
师：请同学们使用计算器，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3，－，，，，
生1：3＝3.0 －＝－0.6 ＝5.875
＝0.81 ＝0.12 ＝0.5
生2：这些有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数．
二、讲授新课
师：很好，其实，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．
师：很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数叫做无理数．
例如：、－、、等都是无理数．
π＝3. 14159265……也是无理数．
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师：有理数和无理数统称实数．
实数
师：像有理数一样，无理数也有正负之分．
无理数
师：由于非0有理数和无理数都有正、负之分，所以实数可以这样分类：
实数
师：每个有理数都可以用数轴上的点来表示，无理数也可以用数轴上的点来表示．
请大家观看大屏幕：
如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？
师：从图中可以看出，OO′的长是多少？
生1：这个圆的周长为π.
师：O′的坐标是多少？
生2：O′的坐标是π.
师：所以无理数π可以用数轴上的点表示出来．
师：如何在数轴上表示±呢？
学生活动：小组合作交流．
教师活动：巡视、检查，适时点拨．
师生共同完成：
归纳：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来．
即数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数．
师：实数与数轴上的点有何关系？
师：实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示．反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
师：平面直角坐标系中的点与有序实数对之间也是一一对应的．
右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合实数．
师：请同学们做题：
的相反数是________，
－π的相反数是________，
0的相反数是________，
||＝________，|－π|＝________，
11
|0|＝________．
师：同学们有什么发现？
生：与有理数一样．
师生共同归纳：
数a的相反数是－a(a表示任意一个实数)．
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
【例】 (1)分别写出－，π－3.14的相反数；
(2)指出－，1－分别是什么数的相反数；
(3)求的绝对值；
(4)已知一个数的绝对值是，求这个数．
解：(1)因为－(－)＝，－(π－3.14)＝3.14－π，所以，－，π－3.14的相反数分别为，3.14－π.
(2)因为－()＝－，－(－1)＝1－，所以，－，1－分别是，－1的相反数．
(3)因为＝－＝－4，所以||＝|－4|＝4.
(4)因为||＝，|－|＝，所以绝对值为的数是或－.
三、随堂练习
课本第56页第1、2、3题．
四、课堂小结
通过本节课的学习，同学们有哪些收获？请与同伴交流．
本节课通过对无理数的学习，使学生对数的认识又提升到一个新的层次．通过举一些数让学生对其进行分类，即按有理数和无理数归类，使他们对这两类数进行区分，更深入地认识这两类数的区别．
第2课时 实数的运算法则
实数的运算法则．
重点
掌握实数的运算法则．
难点
实数运算法则的正确应用．
一、创设情境，引入新课
师：有理数的运算法则是什么？
生：先算高级运算，同级运算从左至右，遇有括号的先算括号内．
二、讲授新课
师：很好．有理数运算法则仍适用于实数，请大家看几个题目：
展示课件：
【例1】 计算下列各式的值：
(1)(＋)－； (2)3＋2.
11
学生活动：尝试独立完成，两名学生上黑板板演，其余学生在位上做．
教师活动：巡视、指导．
师生共同完成：
(1)(＋)－＝＋(－)(加法结合律)
＝＋0
＝
(2)3＋2
＝(3＋2) 分配律
＝5
师：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．
【例2】 计算(结果保留小数点后两位)：
(1)＋π； (2)·.
学生尝试独立计算，一学生上黑板板演．
教师巡视、纠正．
师生共同完成：
(1)＋π
≈2.236＋3.142
≈5.38
(2)·
≈1.732×1.414
≈2.45
三、随堂练习
课本第56页第4题，第57页第4、5、6题．
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
首先通过课本引例问题，旨在使学生通过自己的探究活动，经过老师的引导，感受并经历实数的运算、化简；让学生根据实例进行探索，通过学生互相交流合作，得出两个化简的公式，培养他们的合作精神和探索能力，也让他们获得成功的体验，充分调动、发挥学生主动性的多样化学习方式，促进学生在老师指导下主动地、富有个性地学习．
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