第一章 三角形的证明
1.经历探索、猜想、证明的过程,进一步体会证明的必要性,提高推理能力.
2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容,掌握基本的证明方法,结合实例体会反证法的含义.
3.能够证明等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质定理及判定定理.
4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
5.结合具体例子了解原命题及逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并明确原命题成立其逆命题不一定成立.
6.已知底边及底边上的高线,能用尺规作出等腰三角形;已知一条直角边和斜边,能用尺规作出直角三角形;能用尺规过一点作已知直线的垂线.
经历探索、猜测、证明的过程,进一步体会证明的必要性,培养学生的推理论证能力.
发展勇于质疑、严谨求实的科学态度.
“三角形的证明”是新旧教材转换中变化比较大的一部分内容,无论是《标准》对证明的要求上,还是对“证明”在数学教学中价值的重新定位,以及证明在整套教材中的编排顺序,都和我们传统几何教学中的证明大有不同.
本章是平行线的证明的继续,首先给出作为继续进行证明基础的几条公理,并与平行线的证明中给出的几条公理一起展开这一章对命题的逻辑证明.
本章中所涉及的很多命题(如等腰三角形的性质、直角三角形全等的条件、勾股定理及其逆定理等)在前几册教材中学生们已经通过一些直观的方法进行了探索,所以学生们对这些结论已经有所了解.对于这些命题,教材力争将证明的思路展现出来.
教材中首先利用提问题的方式使学生们回忆这些结论,并回忆用来探索这些结论的方法和过程,因为这些方法和过程往往会对证明的思路有所启发,然后再利用公理和已有的定理去证明.上述过程将抽象的证明与直观的探索联系起来,
本章中还涉及一些以前没有探索过的命题,这些命题的获得,有些是直接通过证明得到的,而对于有些命题,教材则尽可能地创设一些问题的情境,为学生提供自主探索发现的空间,然后再进行证明,从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展,使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用.
此外,教材还注意渗透数学思想方法,如由特殊结论到一般结论的归纳思想、类比思想、转化思想等.一方面为学生设置了可将结论进行推广和一般化的空间,
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将探索发现和证明有机地结合起来.另一方面教材还注意引导学生探索证明的不同思路和方法,并进行适当的比较和讨论,开阔学生的视野,提高学生的思维能力.
【重点】
1.等腰三角形的性质.
2.等腰三角形的判定.
3.直角三角形的性质.
4.直角三角形的判定.
5.线段的垂直平分线的性质定理.
6.线段的垂直平分线的性质定理的逆定理.
7.角平分线的性质定理.
8.角平分线的性质定理的逆定理.
【难点】
1.等腰三角形的性质的证明.
2.添加辅助线的方法.
3.勾股定理的证明.
4.勾股定理的逆定理的证明.
5.三线共点的证明方法.
6.用尺规作等腰三角形.
7.应用本章的知识证明或者解决有关的问题.
推理与论证的学习方法是在不同层次中展开的,在探索图形性质的活动中,学习合情推理;在交流的过程中,学习有条理思考;在积累了一定的活动经验与掌握一些图形的性质的基础上,从几个基本事实出发,证明一些有关三角形、四边形的基本性质,从而体会证明的必要性,理解证明的基本过程,掌握演绎推理的基本格式.这些内容有利于学生主动地进行观察、试验、猜测、验证、推理、交流与反思等数学活动.
因此在前几册的学习中,学生们已经经历了探索图形性质的过程,并且发现了图形的很多性质,但没有给出严格的证明.从平行线的证明开始,逐渐地开始证明已探索过的图形的性质,同时也证明一些新的结论.在本章的教学中应重点注意在证明思路和方法上对学生的引导,帮助学生分析如何添加辅助线、如何构造辅助图形.在这个过程中,原来在进行图形的折叠、拼剪等探索图形性质时所使用的方法对证明的思路也是很重要的,应注意引导和启发.
很多图形的性质及结论的证明方法和途径都不是唯一的,辅助线的添加方法也是多样的,因此,在教学时要注意引导学生探索证明的不同方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同,发散逻辑思维.另外,通过一定数量的推理证明的训练,逐步使学生掌握证明方法和思路.具体建议如下:
1.等腰三角形:教材直截了当地提出等腰三角形的性质,进而去探讨证明的思路,我认为创设问题的情境不足,学生准备不充分.我采用先折纸,再复习等腰三角形的性质,而后提出证明,并分析证明的思路,让学生在循序渐进的过程中学习.
2.直角三角形:利用图形割补的方法可以证明勾股定理,但证明有一定的难度,因此在“读一读”中介绍了两种方法,可供有兴趣的学生阅读,而不作为对所有学生的要求.
3.勾股定理的逆定理的证明方法新颖,对学生来说有一定难度,教学中只要学生能接受证明的方法和过程即可,不必做更多要求.
4.线段的垂直平分线:对于作图学生没有困难,但要求学生会写已知、求证、及说明作图的理由,学生就会感到困难,在教学中,应注意引导学生会说明理由,学生的思路可能较多,应鼓励学生多种思维发展;应让学生在作图的基础上,学会用尺规作已知直线的垂线(过直线上一点或直线外一点)、已知底边和底边上的高作等腰三角形,
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作三角形三边的垂直平分线.注意利用线段的垂直平分线的性质及判定定理解决有关的实际问题及简单的证明与计算.
5.角平分线:学生已经探索过角平分线上的点的性质,此处可先让学生回顾其性质和探索过程,并尝试证明.在前面的学习中,学生已经了解了如何构造一个命题的逆命题.学习线段的垂直平分线时,也经历了构造其逆命题的过程,因此,学生会类比构造角平分线性质定理的逆命题.在叙述其逆命题时,可不加什么条件,但验证其真假时,教师应引导学生注意角平分线是在角的内部的射线,所以就要附加“在角的内部”这个条件.
1 等腰三角形
4课时
2 直角三角形
2课时
3 线段的垂直平分线
2课时
4 角平分线
2课时
回顾与思考
1课时
1 等腰三角形
1.理解并能说出全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质.
2.能够证明判定三角形全等的“角角边”定理和等腰三角形的性质,掌握证明的基本步骤和书写格式.
3.能用三角形全等的判定定理和等腰三角形的性质证明或解决有关的问题.
4.理解并能说出等腰三角形的判定定理,且能用其判定一个三角形是否为等腰三角形.
5.能说出并能够证明等边三角形的性质和判定方法,且能够用其证明或解决有关的问题.
6.能说出并能够证明在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,且能够应用其证明或解决有关的问题.
7.了解反证法的思想和方法.
1.经历“角角边”定理、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定的探索证明过程,感受数学的严谨性.
2.在探索和证明中,提高学生的数学语言表达能力.
在探索证明中,培养学生严谨求学的态度和尊重理论事实的正确价值观.
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【重点】
1.等腰三角形的性质定理及判定定理的证明及其应用.
2.等边三角形的性质定理和判定定理的证明及其应用.
【难点】
1.对本节定理的证明方法和辅助线的添加方法的探索.
2.对反证法的认识和了解.
第课时
1.了解作为证明基础的几条公理的内容.
2.使学生经历“探索—— 发现——猜想——证明”的过程,学会用综合法证明等腰三角形的有关性质定理.
让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.
经历作辅助线的证明过程,进一步发展学生的合情推理意识,培养主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.
【重点】 等腰三角形的性质及推论.
【难点】 命题的书写格式.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习三角形全等的判定方法.
导入一:
请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条:
1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
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2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;
3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS);
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA);
5.三边对应相等的两个三角形全等(SSS).
在此基础上回忆三角形全等的另一个判别条件:
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS),并要求学生利用前面所提到的公理进行证明.
已知:如图所示,在△ABC和△DEF中,有∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证△ABC≌△DEF.
证明:∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知),
又∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和等于180°),
∴∠C=180°-(∠A+∠B),∠F=180°-(∠D+∠E),
∴∠C=∠F(等量代换).
又∵BC=EF(已知),
∴△ABC≌△DEF(ASA).
[设计意图] 经过一个假期,学生对上学期所学知识难免有所遗忘,因此,在第一课时,回顾有关内容,既是对前面学习内容的一个简单梳理,也为后续有关证明做足了知识准备.
导入二:
我们已经证明了有关平行线的一些结论,运用下面的公理和已经证明的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论.
我们已学过的部分基本事实:
1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;
3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS);
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA);
5.三边对应相等的两个三角形全等 (SSS).
通过上面的这些结论,我们能否证明等腰三角形的底角相等呢?
[设计意图] 帮助学生理解公理在证明定理过程中的作用,同时通过设问引入本课时的学习内容.
一、等腰三角形的两底角相等
[过渡语] 等腰三角形有哪些性质?以前是如何探索这些性质的,你能再次通过折纸活动验证这些性质吗?并根据折纸过程,得到这些性质的证明吗?
让学生按图示的方法先独自折纸观察,再探索并写出等腰三角形的性质.
定理:等腰三角形的两底角相等.
这一定理可以简述为:等边对等角.
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已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC.
求证∠B=∠C.
〔解析〕 我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们,可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等.
证明:取BC的中点D,连接AD.(如图所示)
∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,
∴△ABD△≌△ACD(SSS).
∴∠B=∠C (全等三角形的对应角相等).
[设计意图] 通过折纸活动,获得有关命题的证明思路,并通过进一步的整理,再次感受证明是探索的自然延伸,熟悉证明的基本步骤和书写格式.
二、三线合一
[过渡语] 在上图中,线段AD还具有怎样的性质?为什么?由此你能得到什么结论?
让学生回顾前面的证明过程,思考线段AD具有的性质,讨论图中存在哪些相等的线段和相等的角,发现等腰三角形性质定理的推论,这一结论通常简述为“三线合一”.
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
证明:过顶点A作∠BAC的平分线AD,交BC于点D,
∵AD是△ABC中的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SAS),
∴BD=CD(全等三角形的对应边相等),
∠ADB=∠ADC(全等三角形的对应角相等).
∴AD是BC边上的中线,
∠BDA=90°,
∴AD是BC边上的高,
∴等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
[设计意图] 教师和学生一起完成证明,可以让学生经历自主命题的证明过程.同时,对学生书写格式的规范起到引领作用.
[知识拓展] “等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”的定理是将“等腰三角形”作为一个前提条件得到的三个真命题,在学习等腰三角形的性质定理后,可将该定理作如下的延伸.
如图所示,已知△ABC,①AB=AC,②∠1=∠2,③AD⊥BC,④BD=DC中,若其中任意两组成立,可推出其余两组成立.
已知: ;
求证: ;
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证明: .
例如:已知②∠1=∠2,④BD=DC,求证①AB=AC,③AD⊥BC.根据等腰三角形的“三线合一”定理即可得证.
证明:延长AD至E,使DE=AD,连接CE.(如图所示)
在△ABD和△ECD中,
∴△ABD≌△ECD(SAS).
∴AB=EC,∠1=∠E.
∵∠1=∠2,
∴∠E=∠2,
∴CE=AC,∴AC=AB.
∴AD⊥BC.
1.定理:等腰三角形的两底角相等.
2.推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
1.一个等腰非等边三角形中,它的角平分线、中线及高线的条数共为(重合的算一条) ( )
A.9 B.7 C.6 D.5
解析:等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的平分线是一条.故选B.
2.在△ABC中,如果AB=AC,那么在这个三角形中,重合的线段是 ( )
A.∠A的平分线,AB边上的中线,AB边上的高线
B.∠A的平分线,BC边上的中线,BC边上的高线
C.∠B的平分线,AC边上的中线,AC边上的高线
D.∠C的平分线,AB边上的中线,AB边上的高线
解析:本题主要考查等腰三角形三线合一的性质.故选B.
3.若等腰三角形中有一个角为110°,则其余两角分别为 .
解析:因为110°的角只能是顶角,所以其余两角均为35°.故填35°,35°.
4.如果等腰三角形的一边长为6 cm,周长为14 cm,那么另外两边的长分别为 .
解析:边长为6 cm的边有可能是腰也有可能是底.
答案:6 cm,2 cm或4 cm,4 cm
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是AC上一点,且AD=BD=BC.求∠A的度数.
解:设∠A=x°,
∵AD=BD,∴∠1=∠A.
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∴∠2=∠1+∠A=2x°.
∵BD=BC,∴∠C=∠2=2x°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=2x°.
由三角形内角和定理可知∠A+∠ABC+∠C=180°,即5x=180, 解得x=36.∴∠A的度数为36°.
6.(2015·佛山中考)如图所示,△ABC是等腰三角形,AB=AC.请你用尺规作图将△ABC分成两个全等三角形,并说明这两个三角形全等的
理由.(保留作图痕迹,不写作法)
解:由作图可知∠BAD=∠CAD,又AB=AC,AD=AD,则△ABD≌△ACD(SAS).
第1课时
一、等腰三角形的两底角相等
二、三线合一
一、教材作业
【必做题】
教材第3页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第4页习题1.1的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在△ABC中,若AB=AC,∠A=44°,则∠B= 度.
2.已知等腰三角形两条边的长分别是3和6,则它的周长等于 .
3.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,延长BC到D,使CD=AC,则∠CDA= 度.
4.如图所示,已知AB=AC,FD⊥BC于D,DE⊥AB于E,若∠AFD=145°,则∠EDF= 度.
5.等腰直角三角形中,若斜边长为16,则直角边的长为 .
【能力提升】
6.一个等边三角形的边长为a,它的高是 ( )
A.a B.a C.a D.a
7.至少有两边相等的三角形是 ( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形
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8.如图所示,△ABC中,AC=BC,直线l经过点C,则 ( )
A.l垂直AB
B.l平分AB
C.l垂直平分AB
D.l与AB的位置关系不能确定
9.(2015·宜昌中考)如图所示,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°,则这个三角形是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【拓展探究】
11.如图所示,点D是△ABC内一点,AB=AC,∠1=∠2.求证AD平分∠BAC.
12.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15 cm和11 cm两部分,求此三角形的底边长.
【答案与解析】
1.68(提示:等腰三角形的两底角相等.)
2.15(解析:腰长是6,底边长是3,故周长为6+6+3=15.)
3.15
4.55(解析:易求出∠CFD=35°,因为AB=AC,所以∠B=∠C=55°,从而求出∠A=70°,再根据四边形内角和是360°可求出∠EDF=55°.)
5.8(解析:由勾股定理可求.)
6.B
7.B
8.D
9.C(解析:要使△ABP与△ABC全等,点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离,故点P1,P3,P4均符合条件,共3个.故选C.)
10.D(解析:有一个底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形.)
11.证明:∵∠1=∠2,∴BD=DC.∵AB=AC,AD=AD,∴△ADB≌△ADC.∴∠BAD=∠CAD.即AD平分∠BAC.
12.提示:分两种情况,底边长为6 cm或 cm.
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本节通过学生对已学知识的回顾,经历了 “探索——发现——猜想——证明”的活动过程,关注了学生自主探究过程,学生发挥了主体作用,取得了较好的教学效果.注重在学期初对以往知识的整合和串联,从整册教材的角度构想本课时的教学.
在具体活动中,如何在学生活动与结论总结之间建立一个恰当的衔接,各部分时间比例的分配需要根据班级学生具体状况进行适度地调整.
在等腰三角形的性质定理的运用上,让学生猜想、实践、探索、反思,提出自己的见解,在教学中鼓励学生积极合作,充分交流,感受学生在学习活动中获得成功的喜悦,促使学生学习方式的改变.
随堂练习(教材第3页)
1.提示:(1)70°. (2)36°.
2.(1)证明:∵BC=CD,AC=AC,∠ACB=∠ACD=90°,∴△ACB≌△ACD(SAS),∴AB=AD,即△ABD是等腰三角形. (2)提示:90°.
习题1.1(教材第4页)
1.已知 已知 公共边 SSS 全等三角形对应角相等
2.证明:∵BE=CF,∴BC=EF,在△ABC和△DEF中,AB=DE,AC=DF,BC=EF,∴△ABC≌△DEF.∴∠A=∠D.
3.解:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD.∵∠BAC=108°,∴∠BAD=×108°=54°.
4.解:∠BAD=∠CAD,∠BEA=∠CEA,∠ABE=∠ACE, ∠BED=∠CED, ∠EBD=∠ECD, ∠BDE=∠CDE, ∠ABC=∠ACB.由图中易得△ABD≌△ACD, △ABE≌△ACE, △BED≌△CED,继而得到以上各组相等的角.
5.已知:如图所示,在等腰三角形ABC和等腰三角形DEF中,∠A=∠D,BC=EF.求证△ABC≌△DEF.证明:∵△ABC和△DEF都是等腰三角形,∠A=∠D,∴∠B=∠E,∠C=∠F,∵BC=EF,∴△ABC≌△DEF(AAS或ASA).
6.解:BD=CE,证明如下:如图所示,过点A作AF⊥BC于点F,∵AB=AC,∴BF=CF,∵AD=AE,∴DF=EF,∴BD=CE..
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在“八年级上册第七章平行线的证明”中,学生已经感受了证明的必要性,并通过平行线有关命题的证明过程,得出了一些基本的证明方法并积累了一定的证明经验;在七年级下册的学习中,学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题,这些都为证明本节有关命题做了铺垫.
本节回顾了判定三角形全等的有关定理,并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的性质定理.由于具备了上面所说的活动经验和认知基础,本节可以让学生在回顾的基础上,自主地寻求命题的证明.
如图所示,已知∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,求∠DEF的度数.
解:∵∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,
∴∠CBD=∠BAC+∠BCA=30°,
∴∠BCD=120°,
∴∠DCE=∠CED=180°-15°-120°=45°,
∴∠EDF=∠A+∠AED=15°+45°=60°,
∴∠DEF=60°.
如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AE∥BC.求证AE平分∠DAC.
证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵AE∥BC,
∴∠C=∠EAC,∠B=∠DAE.
∴∠DAE=∠EAC,
∴AE平分∠DAC.
第课时
使学生能用多种方法证明等腰三角形两底角的平分线相等.
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引导学生分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和规范的书写格式.
经历作辅助线的证明过程,进一步增强学生的合情推理意识,培养主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.
【重点】 等腰三角形的性质.
【难点】 命题书写的格式.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习等腰三角形的性质.
导入一:
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗?能证明你的结论吗?
试作图,写出已知、求证和证明过程.
还可以有哪些证明方法?
通过学生的自主探究和同伴的交流后得出:
等腰三角形两底角的平分线相等;
等腰三角形两腰上的高相等;
等腰三角形两腰上的中线相等.
并对这些命题给出多种方法的证明.
[设计意图] 让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,进一步体会证明的必要性,感受证明方法的多样性.
导入二:
在回忆上节课学习的等腰三角形性质的基础上,在等腰三角形中作出一些线段(利用多媒体课件演示),观察后解答下列问题:
(1)你能从图中发现一些相等的线段吗?
(2)你能用一句话概括你所得到的结论吗?
(3)你能结合图形分别写出已知、求证和证明过程吗?
[设计意图] 通过知识的回顾,直接提出新的问题,过渡自然,引入本课研究内容,而新的问题是原有性质的一个自然拓广,有助于培养学生自主提出问题的能力.
一、等腰三角形的性质
[过渡语] 同学们对于“等腰三角形两底角的平分线相等”我们如何来证明呢?
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(教材例1)证明:等腰三角形两底角的平分线相等.
已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线.
求证:BD=CE.
证法1:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,
∴∠1=∠2.
在△BDC和△CEB中,
∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,
∴△BDC≌△CEB(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
证法2:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠3=∠ABC,∠4=∠ACB,
∴∠3=∠4.
在△ABD和△ACE中,
∵∠3=∠4,AB=AC,∠A=∠A,
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
在证明过程中,学生的思路一般还较为清楚,但严格证明表述经验尚显不足,因此,教师应注意对证明过程提出一定的要求,可以让学生板书其中部分证明过程或借助多媒体课件展示部分证明过程.同时注意对证明有困难的学生给予帮助和指导.
如何证明等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高线也分别相等呢?同学们可以自己来证明.
(补充例题)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC.
(1)如果∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB呢?由此,你能得到一个什么结论?
(2)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?如果AD=AC,AE=AB呢?由此,你能得到什么结论?
解:(1)BD=CE.这和证明等腰三角形两底角的平分线相等类似.证明如下:
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,
∴∠ABD=∠ACE.
在△BDA和△CEA中,
∵∠ABD=∠ACE,BA=CA,∠A=∠A,
∴△BDA≌△CEA(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
由此我们可以发现:
在△ABC中,AB=AC,∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,就一定有BD=CE成立(n≥1).
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(2) 在△ABC中,AB=AC,如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE;如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE.由此我们得到了一个结论:在△ABC中,AB=AC,AD=AC,AE=AB,那么BD=CE(n≥1).证明如下:
∵AB=AC,AD=AC,AE=AB,
∴AD=AE.
在△ADB和△AEC中,
∵AB=AC,∠A=∠A,AD=AE,
∴△ADB≌△AEC(SAS).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
[设计意图] 提高学生解决变式问题的能力,并培养学生学习的自主性.
二、等边三角形的性质
[过渡语] 同学们还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?请同学们在等腰三角形性质定理的基础上,思考等边三角形的特殊性质.
定理:等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.
已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC=BC.
求证:∠A=∠B=∠C=60°.
证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C(等边对等角).
又∵AC=BC(已知),
∴∠A=∠B(等边对等角).
∴∠A=∠B =∠C.
在△ABC中,
∵∠A+∠B +∠C=180°,
∴ ∠A=∠B=∠C=60°.
[设计意图] 让学生规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等,并且每个角都等于60°”的证明过程.
1.等腰三角形两底角的平分线相等.
2.等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.
1.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是 ( )
A.80° B.80°或20°
C.80°或50° D.20°
解析:这个角可能是顶角也可能是底角.故选B.
2.(2015·衡阳中考)已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为 ( )
A.11 B.16 C.17 D.16或17
解析:分两种情况:当三边长为5,5,6时,周长为16;当三边长为5,6,6时,周长为17.故选D.
3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,若∠ADE=48°,则下列结论中不正确的是 ( )
98
A.∠B=48° B.∠AED=66°
C.∠A=84° D.∠B+∠C=96°
答案:B
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外角∠DAC=130°,则∠B= .
解析:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠DAC=130°,∴∠BAC=50°,∴∠C=∠B=65°.故填65°.
5.如图所示,在△PBQ中,BP=6,点A,C,D分别在BP,BQ,PQ上,且CD∥PB,AD∥BQ,∠QDC=∠PDA,则四边形ABCD的周长为 .
答案:12
6.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD⊥AC于点D,则∠CBD= .
解析:根据已知求得底角∠ABC=72°,再根据三角形内角和定理求得∠ABD=54°,从而求得∠DBC=18°.故填18°.
第2课时
一、等腰三角形的性质.
二、等边三角形的性质.
一、教材作业
【必做题】
教材第6页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第7页习题1.2的2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于 ( )
A.顶角 B.顶角的一半
C.顶角的2倍 D.底角的一半
98
2.已知一等腰三角形的两边长x,y满足方程组则此等腰三角形的周长为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.5或4
3.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20 cm,则AB边的取值范围是 ( )
A.1 cmb>0),则AD=a+b,根据三角形全等可得AE=HT=HD=b,HM=HA=a,∴TM=HM-HT= a-b.∵∠A=90°,∴EH2=AH2+AE2=a2+b2=22 =4.∴S1+S2+S3=AD2+EH2+TM2= (a+b)2 +(a2 +b2)+ (a-b)2 =3 (a2 +b2)=3×4=12.故填12.
8.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的中线,分别过点C,B作AD及其延长线的垂线,垂足分别为点F,E.求证BE=CF.
证明:在△ABC中,
∵AD是中线,
∴BD=CD.
∵CF⊥AD,BE⊥AD,
∴∠CFD=∠BED=90°.
∵∠BDE=∠CDF,
∴△BED≌△CFD(AAS),∴BE=CF.
第2课时
一、求作直角三角形
二、斜边、直角边定理
三、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第20页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第21页习题1.6的1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列命题中,是真命题的是 ( )
A.相等的角是对顶角
B.两直线平行,同位角互补
C.等腰三角形的两底角相等
D.直角三角形中两锐角互补
2.若三角形三边长之比为1∶∶2,则这个三角形中的最大角的度数是 ( )
98
A.60° B.90° C.120° D.150°
3.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶1∶2,则其各角所对边长之比等于 ( )
A.∶1∶2 B.1∶2∶
C.1∶∶2 D.2∶1∶
4.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等,那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是 ( )
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.相等或互余
5.具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是 ( )
A.一边和这边上的高对应相等
B.两边和第三边上的高对应相等
C.两边和其中一边的对角对应相等
D.两个直角三角形中的斜边对应相等
【能力提升】
6.在等腰三角形中,腰长是a,一腰上的高与另一腰的夹角是30°,则此等腰三角形的底边上的高是 .
7.已知△ABC中,边长a,b,c满足a2=b2=c2,那么∠B= .
8.如图所示,一艘轮船位于灯塔P的东北方向距离灯塔40海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则轮船行驶的路程AB为 海里(结果保留根号).
9.已知等腰三角形ABC中,AB=AC=cm,底边BC=cm,求底边上的高AD的长.
【拓展探究】
10.如图所示,把长方形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点F处,若AB=12 cm,BC=16 cm.
(1)求AE的长;
(2)求重合部分的面积.
11.三个牧童A,B,C在一块正方形的牧场上看守一群牛,为保证公平合理,他们商量将牧场划分为三块分别看守,划分的原则是:①每个人看守的牧场面积相等;②在每个区域内,各选定一个看守点,并保证在有情况时,他们所需走的最大距离(看守点到本区域内最远处的距离)相等.按照这一原则,他们先设计了一种如图(1)所示的划分方案,把正方形牧场分成三个相等的长方形,大家分头守在这三个长方形的中心(对角线交点),看守自己的一块牧场.过了一段时间,牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案.牧童B的划分方案如图(2)所示,三个长方形的面积相等,牧童的位置在三个小长方形的中心.牧童C的划分方案如图(3)所示,把正方形的牧场分成三个长方形,牧童的位置在三个小长方形的中心,并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等.
98
(1)牧童B的划分方案中,牧童 (填“A”“B”或“C”)在有情况时所需走的最大距离较远.
(2)牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则?为什么?(提示:在计算时可取正方形边长为2)
【答案与解析】
1.C
2.B (解析:设三边长分别为a, a,2a,则a2+(a)2=(2a)2,此三角形为直角三角形,最大角的度数为90°.)
3.D(解析:∵∠A∶∠B∶∠C=3∶1∶2,∴∠A=90°,∠B=30°,∠C=60°,∴各角所对边长之比为2∶1∶.)
4.C(解析:如图(1)所示,已知AB=A'B',BC=B'C',
AD⊥BC于点D,A'D'⊥B'C'于点D',且AD=A'D',根据“HL”可判定Rt△ABD≌Rt△A'B'D',从而证得∠B=∠B'.如图(2)所示,此时两角互补.)
5.B
6.a或a(解析:由题意可以画出如图所示的两种情况.)
7.60°(解析:∵a2=b2=c2,∴b2=3a2,c2=4a2 ,∴c2=a2+b2,∴△ABC为直角三角形,∴∠B=60°. )
8.(40+40) (解析:在Rt△ACP中,∠APC=45°,AP=40 ,∴AC=PC=40.在Rt△PCB中,∠PBC=30°,BC=40 ,∴AB=AC+BC=40+40.)
9.解:∵AD为等腰三角形ABC底边BC上的高,∴BD=CD=BC=×= (cm).在Rt△ABD中,
由勾股定理,得AD=== =2(cm).
10.解:(1) ∵∠CBD= ∠ FBD(轴对称图形的性质),∠CBD=∠ADB(两直线平行,内错角相等),∴∠FBD=∠ADB(等量代换).∴EB=ED(等角对等边).设AE=x cm,则DE=(16-x)cm,即EB=(16-
98
x)cm.在Rt△ABE中,AB2=BE2-AE2,即122=(16-x)2-x2,解得x=3.5.即AE的长为3.5 cm. (2)∵BA⊥AD,∴S△BDE=DE·BA=×(1 6-3.5)×12=75(cm2).
11.解:(1)C (解析:认真观察,用圆规或直尺进行比较,此方法适用于标准作图.) (2)牧童C的划分方案不符合他们商量的划分原则.理由如下:如图所示,在正方形DEFG中,四边形HENM,MNFP,DHPG都是长方形,且HN=NP=HG,则EN=NF, S长方形HENM=S长方形MNFP,取正方形边长为2.设HD=x,则HE=2-x,在Rt△HEN和Rt△DHG中,由HN=HG,得EH2+EN2=DH2+DG2,即(2-x)2+12=x2+22,解得x =,∴HE=2- x =,∴S长方形HENM=S长方形MNFP=1×=,∴S长方形DHPG≠S长方形HENM,∴牧童C的划分方案不符合他们商量的原则.
本节课通过由浅入深的练习和灵活的变式,引导学生善于抓住图形的基本特征和题目的内在联系,达到了触类旁通的效果,提高了学生的逻辑推理能力.
学生合作意识不强,讨论气氛不够活跃,计算不熟练,书写不规范.
本节“HL”定理的证明,学生掌握得比较好,定理的应用方面,尤其是“根据已知条件,求作直角三角形”中的题灵活性较强,给教师和学生发挥的余地较大,该题是一个开放题,结论和方法并不唯一,可以调动学生的积极性,教师要充分利用好这个资源,可以达到一题多解,举一反三的效果.
随堂练习(教材第20页)
1.解:(1)假命题.理由如下:两个锐角分别相等的两个直角三角形还可能是形状相同,大小不同的两个三角形. (2)真命题.理由如下:可通过“AAS”或“ASA”来证明两个三角形全等. (3)真命题.理由如下:满足“SAS”,可证两个三角形全等. (4)真命题.理由如下:先利用“HL”得到一组直角三角形全等,从而得到另一条直角边相等,再根据“SAS”可证明两个三角形全等.
2.解:相等.理由如下:∵AB=AC,AO⊥BC,∴根据等腰三角形“三线合一”的性质,可得BO=CO.
习题1.6(教材第21页)
1.证明:∵DE⊥AC,DF⊥AB,∴∠BFD=∠DEC=90°.∵D是BC边中点,∴BD=DC,又DF=DE,∴△FBD≌△ECD(HL),∴∠B=∠C,∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
2.证明:(1)∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴在Rt△DEC和Rt△BFA中,由已知条件DE=BF,CD=AB,可得△DEC≌△BFA(HL),∴EC=AF,∴EC-EF=AF-EF,即AE=CF. (2)由(1)知△DEC≌△BFA,∴∠C=∠A,∴AB∥CD.
98
3.证明:∵PM⊥OA,PN⊥OB,∴在Rt△PMO和Rt△PNO中,由已知条件OM=ON,OP=OP,可得△OMP≌△ONP(HL),∴∠MOP=∠NOP,即OP是∠AOB的平分线.
4.解:(1)真命题.理由如下:两边可能是两条直角边或者是一条直角边和一条斜边,都能证明两个直角三角形全等. (2)真命题.理由如下:一个锐角和一条直角边分别相等,可用“ASA”或“AAS”来证明全等关系,或者是一个锐角和一条斜边分别相等,可用“AAS”来证明全等关系.
5.(1)解:BD=AD,AE=EB,∠B=∠DAB,∠AED=∠BED,∠ADE=∠BDE. (2)证明:由折叠关系可知△DEB≌△DEA,∴DE⊥AB,∠DAE=∠B=30°,又∵在Rt△ABC中,∠B=30°,∠C=90°,∴∠CAB=60°,∴∠CAD=∠CAB-∠DAE=60°-30°=30°.又∵AD=AD,∴△ACD≌△AED(AAS). (3)解:不能.
如图所示,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角尺ADE按如图所示放置,使三角尺斜边的两个端点分别与A,D重合,连接BE,EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.
解:BE=EC,BE⊥EC.证明如下:
∵AC=2AB,点D是AC的中点,
∴AB=AD=CD.
∵∠EAD=∠EDA=45°,
∴∠EAB=∠EDC=135°.
∵EA=ED,∴△EAB≌△EDC,
∴∠AEB=∠DEC,EB=EC.
∵∠AEB+∠BED=90°,
∴∠DEC+∠BED=90°.
∴∠BEC=90°.
∴△BEC是等腰直角三角形.
∴BE=EC,BE⊥EC.
如图所示,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD,CE相交于点F.
求证∠BAF=∠CAF.
证明:∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,
∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS),
∴AD=AE.
在△ADF和△AEF中,AD=AE,AF=AF, ∠ADF=∠AEF=90°,
98
∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL).
∴∠BAF=∠CAF(全等三角形的对应角相等).
3 线段的垂直平分线
1.理解并能说出线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.
2.能够应用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理证明或解决有关的问题.
3.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线;已知底边及底边上的高,能利用尺规作出等腰三角形.
1.经历线段垂直平分线的性质的探索过程,初步掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理,体会辨证思想.
2.经历折纸和作图、猜想、证明的过程,能够证明三角形三条边的垂直平分线交于一点.
3.经历猜想、探索,能够作出以a为底边,b为高的等腰三角形.
1.体验解决问题的方法,培养实践能力和创新意识.
2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
【重点】
1.线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明与应用.
2.已知底边和底边上的高,能利用尺规作出等腰三角形.
【难点】 三线共点证明方法的认识理解.
第课时
1.要求学生掌握线段的垂直平分线的性质定理及判定定理,能够利用这两个定理解决一些问题.
2.能够证明线段的垂直平分线的性质定理及判定定理.
98
让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.
通过探索、猜测、证明的过程,进一步提高学生的推理能力.
【重点】 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.
【难点】 线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用和证明.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习直角三角形的有关知识,长方形纸片.
导入一:
教师用多媒体课件演示:
如图所示,A,B表示两个仓库,要在A,B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置?
我们知道,线段是一个轴对称图形,其中线段的垂直平分线就是它的对称轴.我们曾经用折纸的方法,得到线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.所以在这个问题中,要在“A,B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等”,利用此性质就能完成.
[设计意图] 通过一个实际应用问题的提出,不仅复习了已有知识,而且自然过渡到本课时的教学.
导入二:
1.让学生把准备好的长方形的纸拿出来,按照下图的样子进行对折,并比较对折之后的折痕EB和E'B',FB和F'B'的数量关系.
2.让学生说出他们观察、猜测的结果,并引导学生思考:这样一个结论是比较直观和明显的,我们可以说出两组边分别是相等的,但是,我们可以用观察说服别人吗?
[设计意图] 通过学生动手操作,不仅锻炼了学生的动手能力,也加深了学生对知识的理解,同时也非常自然地引入课题.
98
一、线段垂直平分线的性质定理及其判定定理
思路一
[过渡语] 同学们你能用公理或学过的定理证明“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”这一结论吗?
定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
已知:如图所示,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的任意一点.
求证PA=PB.
〔解析〕 要想证明PA=PB,可以考虑这两条线段所在的两个三角形全等.
证明:∵MN⊥AB,
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∵AC=BC,PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS).
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
教师用多媒体课件完整演示证明过程.
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 这个命题不是“如果……那么……”的形式,要写出它的逆命题,需将原命题写成“如果……那么……”的形式,再分析原命题的条件和结论.
原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”,结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”.
逆命题为“如果有一个点到线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上.”
逆命题写出后,要判断它的真假.如果是真命题,则需要证明;如果是假命题,则需要用反例说明.
引导学生分析证明过程,有如下几种证法:
已知:线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.
求证:点P在线段AB的垂直平分线上.
证法1:如图所示,过点P作已知线段AB的垂线交AB于点C.
∵PA=PB,PC=PC,
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).
∴AC=BC,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
证法2:如图所示,取线段AB的中点C,连接PC.
∵AP=BP,PC=PC,AC=CB,
∴△APC≌△BPC(SSS).
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等).
98
∵∠PCA+∠PCB=180°,
∴∠PCA=∠PCB=∠90°,即PC⊥AB.
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
证法3:如图所示,作∠APB的平分线,交AB于点C.
∵AP=BP,∠1=∠2,PC=PC,
∴△APC≌△BPC(SAS).
∴AC=BC,∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应边相等,对应角相等).
∵∠PCA+∠PCB=180°,
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题,我们把它称为线段的垂直平分线的判定定理.
定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
[设计意图] 让学生理解线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的证明过程,加深学生对逆命题和逆定理定义的理解.
思路二
[过渡语] 同学们,刚刚我们总结出线段的垂直平分线的性质定理,你能证明吗?
(1)给学生留出时间和空间思考如何把猜想变成事实.学生可以采用讨论、交流的方法.提示学生在证明之前,要把文字语言变成数学语言,根据图形写出已知、求证.
(2)选取完成得较好和较差的两位同学到黑板上板演自己的证明过程,其他同学在练习本上完成.
(3)针对两位同学的板书讲解证法,规范学生的书写格式,培养学生的逻辑思维能力.
(4)加强学生对几何的认识:由证明过程可以看出,两组对应线段分别相等,那么这个事实的几何意义是什么呢?
(5)让学生总结出线段的垂直平分线的性质定理,进而告诉学生:命题中说线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离都相等,但是在证明过程中,我们只是随机地选了几种情况来证明,这并不影响命题的正确性,因为我们所选的点是任意的.
(6)引导学生回忆前面学过的关于互逆命题和互逆定理的知识,让学生说出自己整理的互逆命题和互逆定理.
(7)总结和完善学生的发言,运用转化归纳的思想,让学生先找到原命题的条件和结论,把命题写成“如果……那么……”的形式,然后再写出它的逆命题,最后再对命题的形式进行整理.
(8)让学生类比原命题画出图形、写出已知、求证,并证明逆定理,解释几何意义.
(9)整理布置学生收集生活中应用线段的垂直平分线的例子,让学生在体会这个定理的应用中加深理解.
[设计意图] 通过师生间的互动,锻炼了学生解决问题的能力,规范学生的证明过程,培养学生的逻辑思维能力.
二、例题讲解
[过渡语] 同学们,我们已经学习了线段的垂直平分线的性质定理及其判定定理,下面这个例题,你能不能自己做出来?
(教材例1)已知:如图所示,在△ABC 中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC.
98
求证:直线AO垂直平分线段BC.
证明:∵ AB=AC,
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
同理,点O在线段BC的垂直平分线上.
∴ 直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线).
【注意】 学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线,因此,老师要引导学生理清证明的思路和方法,并给出完整的证明过程.
[设计意图] 通过例题的讲解,让学生理解线段的垂直平分线的性质定理及其判定定理,并且规范证明的书写格式.
[知识拓展] 用尺规作线段的垂直平分线.
已知:线段AB(如图所示).
求作:线段AB的垂直平分线.
作法:1. 分别以点A,B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点C和D.
2.作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线.
线段的垂直平分线在计算、证明、作图中都有着重要作用.在前面学习中,有一些用三角形全等的知识来解决的问题,现在可用线段的垂直平分线的定理及其逆定理来解决会更方便些.
1.如图所示,已知直线MN是线段AB的垂直平分线,垂足为D,点P是MN上一点,若AB=10 cm,则BD= cm;若PA=10 cm,则PB= cm.
解析:∵直线MN是线段AB的垂直平分线,若AB=10 cm,则BD=AB=×10=5(cm),若PA=10 cm,则PB=PA=10 cm.
答案:5 10
2.如图所示,在△ABC中,AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D,△ABD的周长是12 cm,AC=5 cm,则AB+BD+AD= cm;AB+BD+DC= cm;△ABC的周长是 cm.
答案:12 12 17
98
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的垂直平分线,垂足为D,交BC于E,BE=5,则AE= ,∠AEC= ,AC= .
答案:5 30° 2.5
4.已知线段AB及一点P,若PA=PB=3 cm,则点P在 上.
答案:线段AB的垂直平分线
5.下列各图形中,是轴对称图形的有 ( )
①等腰三角形;②等边三角形;③点;④角;⑤两个全等三角形
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案:D
6.(2015·丽水中考)如图所示,已知△ABC,∠C=90°,ACDE B.AB+DB
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