第三章 图形的平移与旋转
1.通过具体实例认识平移,探索它的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.
2.认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用.
3.在直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系.
4.在直角坐标系中,探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系,体会图形顶点坐标的变化.
5.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转,探索它的基本性质:一个图形和它经过旋转所得的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;对应线段相等,对应角相等.
6.了解中心对称、中心对称图形的概念,探索它的基本性质:成中心对称的两个图形中,对应点所连线段经过对称中心,且被对称中心平分.
7.认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.
8.运用图形的平移、旋转、轴对称进行图案设计.
1.经历有关平移与旋转的观察、操作、欣赏和设计的过程,进一步积累数学活动经验,增强动手实践能力,发展空间观念.
2.经历借助图形思考问题的过程,初步建立几何直观.
3.通过具体实例认识平移与旋转,探索它们的基本性质,会进行简单的平移、旋转画图.
4.在直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系.
5.在直角坐标系中,探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系,体会图形顶点坐标的变化.
6.了解中心对称、中心对称图形的概念,探索它的基本性质.
1.在研究平移与旋转的过程中,进一步发展空间观念.
2.认识并欣赏平移、旋转在自然界和现实生活中的应用,认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.
在前面的学习中学生已对诸如翻折、平移、旋转、轴对称等知识有了一定的认识与理解,只是平移和旋转的知识没有正式出现罢了,但这些变换的意识学生已经有了.学生学习了本章知识后对平移与旋转以及轴对称这三种常用的全等变换有了系统的认识,但学生把握这些全等变换的能力有待提升,特别是对组合图案的形成过程的分析是学生把握不好的地方,应加强训练.
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立足于学生已有的生活经验和初步的数学活动经验,首先从观察生活中的平移、旋转现象开始,直观的认识平移、旋转,并在此基础上,分析生活中的平移现象和旋转现象各自的规律,得到平移和旋转的基本性质;然后利用平移和旋转的基本性质进行简单的平移作图、旋转作图,通过分析简单平面图形的平移、旋转等变化关系,进一步体会平移、旋转的应用价值和丰富内涵;最后,通过简单的图案设计,将图形的平移、旋转、轴对称融合在图案的欣赏和设计活动中.
具体地,教科书设计了4节内容:第1节“图形的平移”,立足于学生小学阶段的学习基础和已有的生活经验,通过分析各种平移现象的共性,直观地认识平移,探索平面图形平移的基本性质,利用平移的基本特征研究简单的平移画图.在此基础上,进一步研究沿坐标轴方向平移后的图形与原图形对应点坐标之间的关系,探索依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来图形之间的关系.第2节“图形的旋转”,通过具体活动认识平面图形的旋转,探索平面图形旋转的基本性质,利用旋转的基本特征研究简单的旋转画图.第3节“中心对称”,认识中心对称,探索成中心对称的基本性质,利用中心对称的基本特征研究中心对称的画图,认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.第4节“简单的图案设计”,将图形的平移、旋转、轴对称融合在图案的欣赏和设计活动之中.
应当指出的是,本章不同于变换几何中的平移、旋转变换,而是先通过观察具体的平移、旋转现象,分析、归纳并概括出平移、旋转的整体规律和基本性质,然后在平移和旋转的图案设计、欣赏、简单应用中,进一步深化对图形的三种基本变换的理解和认识.
【重点】
1.平移的定义.
2.平移的性质及应用.
3.简单的平移作图.
4.旋转的定义.
5.旋转的性质及应用.
6.简单的旋转作图.
7.中心对称和中心对称图形.
【难点】
1.平移作图.
2.旋转作图.
3.中心对称和中心对称图形的区别和联系.
4.利用平移、旋转、轴对称进行简单的图案设计.
1.着眼于发展学生的空间观念.
使学生具备良好的空间观念是义务教育阶段数学教育的一个重要目标,培养学生的空间观念必须使学生经历、体验图形运动变化的过程,本章所研究的平移、旋转及中心对称是反映空间观念的重要内容.为此,教科书设计了一系列的实验、探索活动,如“探索平移基本性质的实验活动”“探索旋转基本性质的实验活动”“探索中心对称基本性质的实验活动”及“图形平移与坐标变化的关系的探索活动”“简单的图案设计活动”等.
在这些活动中,学生将会想象物体与物体之间的位置关系,描述图形的运动和变化,依据语言的描述画出图形等,所有这些都是空间观念的重要表现.因此,教师应想方设法鼓励学生积极参与这些活动,通过观察、操作、归纳、猜想、交流等获得结论,并运用自己的语言描述探索过程和所得到的结论,发展空间观念.
需要指出的是,培养空间观念是一种个人体验,需要大量的实践活动,以被动听讲和练习为主的方式,是难以形成空间观念的.学生要有充分的时间和空间观察、动手操作,对周围环境和实物产生直接感知,这些都不仅需要自主探索、亲身实践,更离不开大家一起动手、共同参与.观察、操作、归纳、类比、猜想、直观思考等对形成空间观念具有重要作用,只有在学生共同探讨、合作解决问题的过程中才能不断生成和发展,并得到提升.
2.重视学生的观察、操作、探索和交流活动.
教师创设情境、设计问题,引导学生自主探索、合作交流,让学生经历观察、操作、探索和交流的过程,能有效地激发学生的思考,有助于真正落实学生在学习活动中的主体地位,
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有助于学生理解和掌握基本知识和基本技能,同时也有助于学生感悟数学思想,积累数学活动经验.
本章有许多内容需要学生对图形进行观察、操作、探索和交流,教学时不宜用教师的课堂讲解和演示代替学生的动手操作、主动探究与讨论交流.例如,有关平移、旋转的性质,教科书都设计了相应的实验过程,力图让学生通过动手操作,配合直观的观察和理性的思考探索相关的结论.教学时可以让学生分组进行,每组选用的图形形状可以不同,每次变化的方式也可以不同.学生的这些实验结果为接下来进行的抽象概括提供了很好的素材.在此基础上,全班交流,概括出图形变化(平移、旋转)的基本性质.在这一过程中,学生的手、眼、脑等多种感官都能得到较为充分的运用,既有助于学生理解和掌握相关知识的内涵,也可以使学生在做的过程和思考的过程中积累一定的数学活动经验,并逐步感悟其中所蕴含的数学思想.
3.创造性地利用与图形平移、旋转有关的资源进行教学.
在教学中,教师应根据学生实际、教学实际和当地实际,充分挖掘和利用现实生活中大量存在的平移、旋转及中心对称现象,尤其是具有地方特色的素材(如北方地区的雪橇、辘轳,农村地区的水车、石碾、风车,城市里的缆车、电梯等),并引导学生对其中的一些共同特征加以分析、总结.
4.合理运用现代信息技术,注重教学手段的多样化.
本章主要研究图形的变化,对图形的动态展示的要求更为强烈.因此,在条件允许的情况下,教学中都应合理运用现代信息技术,注重信息技术与本章内容的整合,以便有效地改变教与学的方式,提高课堂教学的效率.
需要说明的是,现代信息技术真正的价值在于实现原有的教学手段难以达到的甚至达不到的效果,它不应、也不可能完全替代常规的教学手段.例如,教师可以在学生动手实践的基础上,借助计算机、多媒体向学生展示更加丰富的几何图形的运动变化过程,这样不仅为学生理解和掌握相关知识提供形象的支持,有利于增强学生的空间观念,同时也可以让学生获得视觉上的愉悦,增强好奇心,激发学习兴趣.但不能用计算机、多媒体的演示完全取代学生的动手操作活动.
5.关注学生情感态度的发展.
教师要把落实情感态度的目标作为自己的责任和义务,努力把情感态度目标有机地融合在本章教学过程之中.例如,在设计教学方案、进行课堂教学活动时,应当经常考虑如下问题:如何引导学生积极参与教学过程?如何组织学生观察、操作、探索、归纳?如何使学生愿意学、喜欢学,对本章内容感兴趣?如何让学生体验成功的喜悦,从而增强学好本章内容的自信心?如何引导学生善于与同伴合作交流,既能理解、尊重他人的意见,又能独立思考、大胆质疑?如何培养学生良好的学习习惯?
1 图形的平移
3课时
2 图形的旋转
2课时
3 中心对称
1课时
4 简单的图案设计
1课时
回顾与思考
1课时
1 图形的平移
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1.通过具体实例认识平移,理解平移的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.
2.通过“变化的鱼”探究横向(或纵向)平移一次,其坐标变化的规律,认识图形变换与坐标之间的内在联系.
1.经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程,探索图形平移的基本性质.
2.经历沿x轴、y轴方向和综合方向平移时位置和数量的关系,通过观察、分析以及抽象、概括等过程,发现平移时坐标变化的特点.
通过收集自己身边“平移”的实例,感受“生活处处有数学”,激发学生学习数学的兴趣;通过欣赏生活中图形平移的现象与学生自己设计的平移图案,使学生感受数学的美.
【重点】 探索和理解平移的基本性质.
【难点】 坐标变换和图形平移的关系.
第课时
1.认识平移,说出平移的定义,理解平移的基本内涵.
2.理解并能说出平移的性质,即一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.
1.经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程,探索图形平移的基本性质.
2.感悟平移前后图形的变化,从点、线、角、位置、大小等不同角度说出平移前后图形的变化关系.
通过探究,归纳平移的定义、特征、性质,积累数学活动经验,进一步发展空间观念,增强空间想象力.
【重点】
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1.认识平移在现实生活中的广泛应用.
2.探索和理解平移的基本性质.
【难点】 平移基本性质的探索和理解.
【教师准备】 实际生活中的平移图片.
【学生准备】 复习翻折、平移、旋转、轴对称等知识.
导入一:
1.同学们,你们小时候去过游乐园吗?在游乐园中你们玩过哪些游乐项目?在玩这些游乐项目时你们想过什么?你们想过它里面蕴含着数学知识吗?
2.找一找这些项目中,哪些项目的运动形式是一样的,观看游乐园内的一些项目,引出第三章内容,并进行初步分类,引出本节课研究内容:板书课题——图形的平移.
[设计意图] 由学生喜闻乐见的游乐场引入课题,容易激发学生的学习兴趣.
导入二:
请你判断: 小明跟着妈妈乘观光电梯上楼,一会儿,小明兴奋地大叫起来:“妈妈!妈妈!你看我长高了!我比对面的大楼还要高!”小明说的对吗?为什么?
[设计意图] 较好地发挥了“情景导入”的作用,却又找不到足够的理由说服持有不同观点的同学.此情此景,在好奇心的驱动之下,学生欲罢不能,很容易就产生了继续学习、探索新知识的欲望.
导入三:
请大家仔细观察如图所示的图案,你觉得漂亮吗?这个图案的特点是由一个“基本图案”通过平移得到的,你能找到这个“基本图案”吗?这节内容我们就来研究一种几何变换——平移.
一、平移的定义
[过渡语] (针对导入三)刚才我们看到的美丽图案,它是由12个完全一样的图形组成的,这个图案可以看成是由一个基本图形按照一定方式移动得到的.这样的图形运动称作什么呢?这就是我们本课时要研究的——图形的平移.
思路一
(1)我们再来感受一下平移.
上面我们提到的游乐场中的滑梯等,你们在上面玩耍的时候,哪些方面是不变的?哪些方面是变化的?
(2)什么是平移呢?
引导学生探讨并在班内交流,达成共识后,得出平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小.
[设计意图] 引导学生通过观察,发现图形间的变化规律,得出平移的定义.
思路二
教师通过多媒体展示(展示画面)现实生活中平移的具体实例:
(1)箱子在传送带上移动的过程.
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(2)手扶电梯上人移动的过程.
教师提问:
① 你能发现传送带上的箱子、手扶电梯上的人在移动前后什么没有改变,什么发生了改变吗?
② 在传送带上,如果箱子的某一部分向前移动了80 cm,那么箱子的其他部位向什么方向移动?移动了多少距离?
学生自由发言,各抒己见.
平移前后两个图形的形状和大小没有改变,位置发生了改变.
根据上述分析,你能说明什么样的图形运动称为平移吗?
平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小.
平移三要素: 基本图形,平移方向,平移距离.
[设计意图] 数学来源于实际生活,使学生感受到生活中处处有数学.利用课本上的两个实例,进一步感受平移的实质,渗透平移的三要素,即“基本图形、平移方向、平移距离”.
如图所示,△ABC经过平移得到△A'B'C'.
我们把点A与点A'叫做对应点,线段AB与线段A'B'叫做对应线段,∠A与∠A'叫做对应角.
此时:
点B的对应点是点 B' ;
点C的对应点是点 C' ;
线段AC的对应线段是线段 A'C' ;
线段BC的对应线段是线段 B'C' ;
∠B的对应角是 ∠B' ;
∠C的对应角是 ∠C' .
△ABC平移的方向就是由点B到点B'的方向,平移的距离就是线段BB'的长度.
二、平移的性质
[过渡语] 一个图形和它经过平移所得到的图形中,对应点所连的线段有什么关系,对应线段和对应角有什么关系?
用多媒体演示图形的平移过程,让学生通过对图形平移现象的观察,探索其中的性质.
同学们通过刚才的观察,总结出一个结论,即:“图形的位置改变了,但形状和大小没有改变”.现在我们一起来探索:平移前后对应点、对应线段以及对应角之间在做怎样的变化.
教师提出问题:
想一想,将左图的四边形硬纸片按某一方向平移一定的距离,右图画出了平移前的四边形ABCD和平移后的四边形EFGH.
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问题:(1)在上图中,线段AE,BF,CG,DH有怎样的关系?
(2)图中每对对应线段之间有怎样的关系?
(3)图中有哪些相等的线段、相等的角?
学生分成四人一组,共同探讨平移的性质.
讨论分析:
①变换前后对应点所连线段平行(或在一条直线上)且相等.平移变换是图形的每一个点的变换,一个图形沿某个方向移动一定距离,那么每一个点也沿着这个方向移动相同距离,所以对应点所连线段平行(或在一条直线上)且相等.
②变换前后的图形全等.平移变换是由一个图形沿着某个方向移动一定距离,所以平移前后的图形是全等的.
③变换前后对应角相等.
④变换前后对应线段平行(或在一条直线上)且相等.
学生归纳总结,教师板书平移的性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.
[设计意图] 这个活动是探索平移的性质,对学生有点难度,通过设置问题的回答,使学生直接观察得出性质.操作性强又富有挑战性的数学活动,激发了学生学习的兴趣,对平移的基本内涵和基本性质这两个重点,学生能掌握得更好.
三、例题讲解
[过渡语] 刚才我们了解了平移的相关概念和平移的基本性质,我们能用学到的知识解答一些问题吗?
(补充例题)如图(1)所示,经过平移,△ABC的顶点A移到了点D.
(1)指出平移的方向和平移的距离;
(2)画出平移后的三角形;
(3)请在图(2)中找出平行且相等的线段,以及相等的角(找出对应角即可).
解:(1)如图(2)所示,连接AD,平移的方向是点A到点D的方向,平移的距离是线段AD的长度.
(2)如图(2)所示,分别过点B,C按射线AD的方向作线段BE,CF,使得它们与线段AD平行且相等,连接DE,DF,EF,△DEF就是△ABC平移后的图形.
(3)图中平行且相等的线段有:AB与DE,BC与EF,AC与DF,AD与BE,AD与CF,BE与CF;相等的角有:∠BAC与∠EDF, ∠ABC与∠DEF, ∠ACB与∠DFE.
[设计意图] 让学生进一步体会确定平移的两个要素:平移的方向和平移的距离,加深对平移性质的理解和应用.
[知识拓展] 平移作图.
平移作图是平移基本性质的应用,利用平移可以得到许多美丽的图案.在具体作图时,应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连.
(1)定:确定平移的方向和距离;
(2)找:找出表示图形的关键点;
(3)移:过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点;
(4)连:按原图形顺序连接对应点.
说明:平移作图实际上是平移基本性质的实际应用.
注意:
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(1)平移作图的方法是由平移的性质而来,但必须注意两个条件,一是平移的方向,二是平移的距离.
(2)平移的作图要抓住以下几个特征:①平移前后对应点连线平行(或共线)且相等.②对应线段平行(或共线)且相等.③对应角相等.
1.平移是运动的一种形式,是图形变换的一种.
2.图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向;二是图形平移的距离.这两个要素是图形平移的依据.
3.图形的平移是指图形整体的平移.经过平移后的图形与原图形相比,只改变了位置,而不改变图形的形状和大小,这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.
1.下列运动属于平移的是 ( )
A.急刹车时汽车在地面上的滑动
B.冷水加热中,小气泡上升为大气泡
C.随风飘动的风筝在空中的运动
D.随手抛出的彩球的运动
解析:A中汽车向前滑动,方向和大小都没有改变,属于平移;B中气泡大小发生了变化,不属于平移;C中风筝在空气中运动方向不断变化,不属于平移;D中彩球运动方向不能确定.故选A.
2.如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,下列图形中可由三角形OBC平移得到的是 ( )
A.三角形OCD B.三角形OAB
C.三角形FAO D.以上都不对
解析:根据平移的定义与特征知,平移后图形的形状、大小不改变,对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等,三角形OBC是等边三角形,与其他五个三角形的形状、大小相同,关键是看其他三角形的对应边是否符合平移的特征.故选C.
3.如图所示的四个小三角形都是等边三角形,边长都为1 cm,能通过平移三角形ABC得到三角形FAE和三角形ECD吗?若能,请指出平移的方向和平移的距离.
解析:三角形FAE与三角形ABC都是等边三角形,则有AF=BA=BC=AE=FE=AC,满足平移后图形的大小和形状不变.平移的方向为点A到点F的方向,平移的距离为AF的长度(1 cm).同理可得△ABC与△ECD的关系.
解:能.三角形ABC平移到三角形FAE的平移方向为点A到点F的方向,平移的距离为1 cm;
三角形ABC平移到三角形ECD的平移方向为点A到点E的方向,平移的距离为1 cm.
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4.如图所示,图形ABCD平移到图形EFGH,试根据该图,回答下列问题.
(1)在图中,线段AE与BF,CG与DH有怎样的位置关系?
(2)图中线段AB与EF,AD与EH有怎样的位置关系?
(3)说出图中相等的角(说出对应角即可).
解析:AE,BF,CG,DH是对应点所连的线段,AB与EF,AD与EH是对应线段,由平移的特征可知它们的位置关系是平行.对应角相等.
解:(1)平行.
(2)平行.
(3)∠BAD=∠FEH,∠ADC=∠EHG,∠DCB=∠HGF,∠ABC=∠EFG.
5.经过平移,三角形ABC的边AB移到了A'B',作出平移后的三角形A'B'C'.
解析:本题已知原图形和平移后的一条线段,就相当于已知原图形和平移的方向、平移的距离,所以根据平移前后两三角形全等可以作出平移后的三角形,具体的作法有很多种.
解法1:如图(1)所示,分别过点A',B',作出与AC,BC平行且相等的线段A'C',B'C',两条线段相交于点C',三角形A'B'C'即为所求.
解法2:如图(2)所示,分别以A',B'为圆心,以线段AC,BC的长为半径画弧,交于点C',连接A'C',B'C'即得△A'B'C'.
解法3:如图(3)所示,连接AA',过点C按照射线AA'的方向作射线CC',使CC'∥AA'并截取CC'=AA',则连接A'C',B'C'所得的三角形A'B'C'即为所求作的三角形.
第1课时
一、平移的定义
二、平移的性质
三、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第67页习题3.1的1,2题.
【选做题】
教材第68页习题3.1的3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法正确的是 ( )
A.两个全等的图形可看做其中一个是由另一个平移得到的
B.由平移得到的两个图形对应点连线互相平行(或共线)
C.由平移得到的两个等腰三角形周长一定相等,但面积未必相等
D.边长相等的两个正方形一定可以通过平移得到
2.如图所示,下列每组图形中的两个三角形不是通过平移得到的是 ( )
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3.下列现象:①电风扇的转动;②打气筒打气时,活塞的运动;③钟摆的摆动;④传送带上瓶装饮料的移动.其中属于平移的是 .
【能力提升】
4.如图所示,一张白色正方形纸片的边长是10 cm,被两张宽为2 cm的阴影纸条分为四个白色的长方形部分,请你利用平移的知识求出图中白色部分的面积.
5.如图所示,AD∥BC,∠ABC=80°,∠BCD=50°,利用平移的知识讨论BC与AD+AB的数量关系.
6.如图所示,将Rt△ABC沿直角边AB的方向向右平移2个单位长度得到△DEF,如果BG=CG,AB=4,∠ABC=90°,且△ABC的面积为6,求图中阴影部分的面积.
7.如图所示,△ABC沿射线MN方向平移一定距离后成为△A'B'C'.找出图中相等的线段以及全等的三角形.
8.A,B两点间有一条传输速度为每分钟5米的传送带,由A点向B点传送货物.一只蚂蚁不小心爬到了传送带上,它以每分钟1.5米的速度从A点爬向B点,3分钟后,蚂蚁爬到了B点,你能求出A,B两点间的距离吗?
【拓展探究】
9.如图所示,∠BAC=30°,∠B'A'C'=45°,且AB∥A'B',直线AC与直线A'C'相交于点O,求∠COC''的度数.
10.如图所示,有一条光滑曲线,画出将它沿数轴向左平移2个单位长度后的图形.
【答案与解析】
1.B(解析:全等的图形不一定能通过平移得到,故A错;由平移的性质知平移得到的两个图形对应点连线互相平行(或共线),故B正确;由平移得到的两个等腰三角形周长一定相等,面积也相等,故C错;边长相等的两个正方形不一定能通过平移得到,故D错.)
2.B(解析:由平移的性质可知,A,C,D均可通过平移得到,B不能通过平移得到.故选B.)
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3.②④(解析:根据平移的定义,②打气筒打气时,活塞的运动,④传送带上瓶装饮料的移动属于平移,
而①电风扇的转动,③钟摆的摆动属于旋转.)
4.解:把图中的阴影部分平移到正方形纸片相邻的两边上,这时图中的四个白色长方形变成了一个正方形,边长为10-2=8(cm),所以面积为82=64(cm2),故图中白色部分的面积为64 cm2.
5.解:如图所示,由于AD∥BC,所以可平移AB到DE的位置(即过点D作DE∥AB交BC于点E),则AD=BE,∠DEC=∠ABC=80°,在△DEC中,由于∠BCD=50°,所以∠CDE=∠BCD=50°,因此DE=EC,所以BC=BE+EC=AD+DE=AD+AB.
6.解:因为S△ABC=AB·BC=6,且AB=4,所以BC=3,所以BG=,所以S△BDG=BD·BG=×2×=.即阴影部分的面积为.
7.解:由平移的性质可知,对应点所连的线段相等,即AA'=BB'=CC';对应边相等,即AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'.平移不改变图形的形状和大小,故△ABC≌△A'B'C'.
8.解:能.(5+1.5)×3=19.5(米).答:A,B两点间的距离为19.5米.
9.解:如图所示,沿直线CO方向平移∠CAB,使点A与点O重合,平移后得到的角为∠COD.又AB∥A'B',所以A'B'∥OD,故也可以看做∠B'A'C'平移为∠DOC',由图形平移的特征知∠COD=∠CAB,∠DOC'=∠B'A'C',所以∠COC'=∠COD+∠DOC'=∠CAB+∠B'A'C'=30°+45°=75°.
10.解:①确定曲线上的五个特殊点,其中A,C,E是曲线与数轴的交点,B,D分别是曲线的最高点和最低点;②将五个特殊点沿数轴向左平移2个单位长度;③用光滑的曲线连接五个特殊点,如图所示.
本节课以观看游乐园内的一些项目,创设了在学生已有的知识经验基础上的情境,引出第三章内容,激起学生的求知欲,再以学生熟悉的几个事例引出本节课的研究内容:图形的平移.学生分小组讨论,教师通过课件演示,学生在观察、探索的基础上归纳出平移的定义、特征、性质.这既给学生提供了一个充分从事数学活动的机会,又体现了学生是数学学习的主体的理念.
在小组讨论之前,没有留给学生充分的独立思考的时间,让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.
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教师应对小组讨论给予适当的指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等,使小组合作学习更具实效性.
随堂练习(教材第67页)
解:平移线段AB能够与CD重合;平移线段AB不能与EF重合.
习题3.1(教材第67页)
1.解:给出以下两种画法:①依据平移后的图形与原来的图形的对应线段平行,作ED∥AC,FD∥BC,ED与FD交于点D,则△EFD即为所求作的三角形,如图(1)所示.②根据平移后对应点所连的
图(1)
线段平行(或在一条直线上)且相等,连接AE,作CD∥AE,且CD=AE,连接DE,则△DEF即为所求作的三角形,如图(2)所示.
图(2)
2.解:所作图形如图所示.
3.解:所作图形如图所示.
4.解:不是平移,因为10.8≠11.1=11.1≠11.2,移动的距离不相等,所以不是平移.
5.解:如图所示,从A,B两点延长△ABC的另外两边,交点即是点C的位置.对于E点,连接AD,过B作线段BEAD,即可确定点E的位置,再连接D,E,F即可得到△DEF.
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下图是由一个正方形向右平移若干次得到的图案,那么第n个图案中正方形的个数是多少?
解:当n=1时,正方形向右平移一次,正方形的个数为3;
当n=2时,正方形向右平移两次,其中第二次平移后比第一次平移多出了4个正方形,正方形的个数为3+4=7;
当n=3时,正方形向右平移三次,后两次平移中每一次都要比前一次多出4个正方形,正方形的个数为3+2×4=11……
由此可得,第n个图案中正方形的个数为3+4(n-1)=4n-1.
[解题策略] 根据图形找规律,要学会运用“由特殊到一般,由一般到特殊”的数学思想.
如图所示,图形的相邻两边均互相垂直,则这个图形的周长是 ( )
A.21 B.26 C.37 D.42
〔解析〕 若要求此不规则图形的周长,感觉有些难度,但若考虑将图形中的阶梯线条向外围平移,就可以得到一个长为16,宽为5的长方形,则此图形的周长是(16+5)×2=42.故选D.
[解题策略] 本题若分步计算根本无法求出其周长,但采用“平移”的手段从整体上把握,问题便迅速获解.
易错点 对平移的概念理解不透导致错误
下列运动:①海浪的运动;②屏幕上一串移动的字幕;③被投掷出去的铅球的运动;④沿圆形跑道跑步的运动员.其中属于平移的有 .(填写序号)
错解:①②③④
错因分析:本题之所以出错,是因为忽略了平移需具备的两个基本条件:①在同一个平面内;②沿某个方向.①③④没有按同一方向运动.
正解:②
思路分析:决定平移的条件是平移的方向和距离,不能忽略其中任何一点.
易错点 对平移的距离理解出错
请你在如图所示的方格纸中将箭头图形向右平移4格,画出平移后的图形.
错解:如图所示.
80
错因分析:平移的距离是指平移前后的两个图形任意两个对应点之间的距离,错解误认为平移前后两个图形相距4个格,而实际上是平移前后对应点相距4个格.
正解:分别平移几个关键点,然后将对应的关键点进行连线,如图所示.
思路分析:平移4个格是指对应点之间的距离为4个格的长度,而不是两个图形之间相距4个格.
易错点 找错基本图形导致出错
下图中,可看做由基本图形平移得到的是 ( )
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
错解:D
错因分析:平移常与其他的位置变换(如旋转、对称等)放在一起,不能认为只要图形的形状、大小没有变化,就是平移.除了形状、大小以外,还要考虑平移的方向.
正解:C
思路分析:图形在平移过程中,除了形状、大小不变以外,图形各个部分所在的方位也始终不变.
第课时
1.进一步理解平移的意义和平移的性质.
2.通过“变化的鱼”探究横向(或纵向)平移一次,其坐标变化的规律,认识图形变换与坐标之间的内在联系.
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3.理解并掌握图形平移在平面直角坐标系中的坐标变化规律,即:向右平移几,就是横坐标加几;向左平移几,就是横坐标减几;向上平移几,就是纵坐标加几;向下平移几,就是纵坐标减几.
1.经历探究图形平移在平面直角坐标系中的坐标的变化规律.
2.在活动过程中,提高学生的探究能力.
1.感悟图形的平移在平面直角坐标系中研究起来更加的方便和直观.
2.通过收集自己身边“平移”的实例,感受“生活处处有数学”,激发学生学习数学的兴趣.
【重点】 理解和掌握直角坐标系中图形的坐标变化规律,即:向右平移几,就是横坐标加几;向左平移几,就是横坐标减几;向上平移几,就是纵坐标加几;向下平移几,就是纵坐标减几.
【难点】 对图形平移在平面直角坐标系中的坐标变化规律的探究.
【教师准备】 网格纸.
【学生准备】 复习平移的定义和性质.
导入一:
1.什么是平移?
2.平移的性质又是什么?
[设计意图] 用提问的方式检查学生上节课学习的效果,同时引出本节课.
导入二:
如图所示的“鱼”是将坐标为(0,0),(5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0)的点用线段依次连接而成的.将这条“鱼”向右平移5个单位长度.
(1)画出平移后的新“鱼”.
80
(2)在图中尽量多选取几组对应点,并将它们的坐标填入下表:
原来的“鱼”
( , )
( , )
( , )
…
向右平移5个单位长度后的新“鱼”
( , )
( , )
( , )
…
(3)你发现对应点的坐标之间有什么关系?
如果将原来的“鱼”向左平移4个单位长度呢?请你先想一想,然后再具体做一做.
分析:本例采用“鱼”作为研究对象,主要考虑:①它是直线型;②相对于三角形、四边形等,它具有一般性.问题(2)采用列表的方式,可以使学生更清楚地看出其中的规律.
解答:(1)画图略.
(2)填表如下:
原来的“鱼”
(0,0)
(3,0)
(5,4)
…
向右平移5个单位长度后的新“鱼”
(5,0)
(8,0)
(10,4)
…
(3)平移后的点与平移前的对应点相比,纵坐标没变,横坐标分别增加了5.
如果将原来的“鱼”向左平移4个单位长度,那么平移后的点与平移前的对应点相比,纵坐标没变,横坐标分别减少了4.
教学时还可以改变平移距离,让学生多试一试,以丰富其感性认识.
[设计意图] 通过一条“鱼”的平移,探究“鱼”横向或纵向平移一次的坐标变化,进一步感受平移的实质,渗透平移的三要素,即“基本图形、平移方向、平移距离”.
坐标系中的平移变换
[过渡语] 刚才我们借助平面直角坐标系内一条“鱼”的平移,初步研究了平移后对应点坐标变化的规律.是不是这条“鱼”平移后所有的对应点坐标变化规律都是一样的?是不是任意一个图形在直角坐标系内平移后,所有的对应点坐标变化规律都是一样的?
1.想一想
如果将上题中的“鱼”向上平移3个单位长度,那么平移前后的两条“鱼”中,对应点的坐标之间有什么关系?如果将上题中的“鱼”向下平移2个单位长度呢?
分析:“想一想”呈现了“鱼”上下平移的情形,对此,多数学生应该可以类比左右平移的情形猜测出相关的结论.
如果将上题中的“鱼”向上平移3个单位长度,那么平移前后的对应点相比,横坐标没变,纵坐标分别增加了3;如果将上题中的“鱼”向下平移2个单位长度,横坐标没变,纵坐标分别减少了2.
2.做一做
(1)将上题中的“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变,横坐标分别加3,再将得到的点用线段依次连接起来,从而画出一条新“鱼”.这条新“鱼”与原来的“鱼”相比有什么变化?如果纵坐标保持不变,横坐标分别减2呢?
(2)将上题中的“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变,纵坐标分别加3,所得到的新“鱼”与原来的“鱼”相比又有什么变化?如果横坐标保持不变,纵坐标分别减2呢?
分析:反过来,研究坐标变化引起的图形变化规律.问题(1)研究横坐标增减引起图形变化的规律,问题(2)则研究纵坐标增减引起图形变化的规律.
(1)新“鱼”与原来的“鱼”相比,形状、大小相同,只是位置发生了变化:向右平移了3个单位长度.如果纵坐标保持不变,横坐标分别减2,那么新“鱼”与原来的“鱼”相比,形状、大小相同,只是位置发生了变化:向左平移了2个单位长度.
(2)新“鱼”与原来的“鱼”相比,形状、大小相同,只是位置发生了变化:向上平移了3个单位长度.如果横坐标保持不变,纵坐标分别减2,那么新“鱼”与原来的“鱼”相比,形状、大小相同,只是位置发生了变化:向下平移了2个单位长度.
3.议一议
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在平面直角坐标系中,一个图形沿x轴方向平移a(a>0)个单位长度后的图形与原图形对应点的坐标之间有什么关系?如果图形沿y轴方向平移a(a>0)个单位长度呢?与同伴交流.
分析:通过“议一议”让学生梳理一下前面的研究成果,归纳出沿坐标轴方向平移后的图形与原图形对应点之间的关系.
归纳总结如下:
设(x,y)是原图形上的一点,经过平移后,这个点与其对应点的坐标之间有如下关系:
平移方向
平移距离
对应点的坐标
沿x轴方向
向右平移
a个单位长
度(a>0)
(x+a,y)
向左平移
(x-a,y)
沿y轴方向
向上平移
(x,y+a)
向下平移
(x,y-a)
[设计意图] 这一环节继续探索平移的坐标特征,由于涉及一般情况,含有字母表示,对学生有点难度,可通过设置问题的回答,使学生直接观察得出结果,开发学生利用已有知识,主动进行新知探究.
[知识拓展] 利用平移计算面积.
如图所示,长方形ABCD中,横向阴影部分是长方形,另一阴影部分是平行四边形.依照图中标注的数据,计算空白部分的面积.
我们最容易想到的办法可能是:先算出图中阴影部分的面积,再用总的面积减去它;但是如果我们将四个空白部分集中到一起,组成一个新的图形,就可以直接计算其面积.
怎样将空白部分集中到一起呢?
将四块空白部分向中间拼拢(即平移),这样就形成了一个长为a-c,宽为b-c的长方形,如图所示.
于是S空白= (a-c)×(b-c)=ab-ac-bc+c2.
用这个方法还可以解决下面的问题:
如图所示,三个长方形的水平方向的边长均为a,竖直方向的边长均为b.在图(1)中,将线段A1A2向右平移1个单位长度得到B1B2,得到封闭图形
A1A2B2B1;在图(2)中,将折线A1A2A3向右平移1个单位长度得到B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B3B2B1.
(1)求出这两个图形中阴影部分的面积;
(2)在一块长方形草地上,有一条弯曲的小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度),如图(3)所示,求出阴影部分的面积,并说明理由.
本题除阴影部分外的两个部分可以经过平移组成一个新的长方形,面积是(a-1)b,所以即使是弯曲的小路,阴影部分的面积也是b.
80
通过变化的“鱼”掌握图形平移引起的坐标变化规律,以及坐标的变化引起的图形变化规律.
1. 如果一个图案沿x轴负方向平移3个单位长度,那么这个图案上的点的坐标变化为 ( )
A.横坐标不变,纵坐标减少3个单位长度
B.纵坐标不变,横坐标减少3个单位长度
C.横纵坐标都没有变化
D.横纵坐标都减少3个单位长度
解析:图案沿x轴负方向平移3个单位长度,横坐标减少3个单位长度,纵坐标不变.故选B.
2.在平面直角坐标系中,三角形ABC的三个顶点坐标分别是A(4,5),B(1,2),C(4,2),将三角形ABC向左平移5个单位长度后,A点的对应点A'的坐标是 ( )
A.(0,5) B.(-1,5) C.(9,5) D.(-1,0)
解析:三角形ABC向左平移5个单位长度后, A点横坐标减少5,纵坐标不变.故选B.
3.点M(-2,5)是由点N向上平移3个单位长度得到的,则点N的坐标为 ( )
A.(-2,2) B.(-5,5)
C.(-2,8) D.(1,5)
解析:点N向上平移3个单位长度得到点M(-2,5),即纵坐标加3后得5.故选A.
4.如图所示,经过平移,小船上的点A移到了点B,作出平移后的小船.
解析:小船为梯形,观察点A的平移过程可知点A先向上平移2格,再向左平移4格,则梯形的各个顶点平移的方向与距离和点A相同.方格纸中的平移除按一般的平移方法作图外,还可根据各关键点在方格纸上平移的方向和距离确定它们的对应点.
解:如图所示.
第2课时
坐标系中的平移变换:
(1)图形向右(向左)平移a(a>0)个单位长度时,纵坐标不变,横坐标分别增加(减少)a;
(2)图形向上(向下)平移a(a>0)个单位长度时,横坐标不变,纵坐标分别增加(减少)a;
(3)纵坐标不变,横坐标分别增加(减少)a(a>0)时,图形向右(向左)平移 a个单位长度;
(4)横坐标不变,纵坐标分别增加(减少) a(a>0)时,图形向上(向下)平移a个单位长度.
80
一、教材作业
【必做题】
教材第70页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第71页习题3.2的3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一个三角形最初的一个顶点为A,把它先向下平移4个单位长度时的位置记为B,再向左平移3个单位长度时的位置记为C,则由A,B,C三点所组成的三角形的周长为 ( )
A.7 B.14 C.12 D.15
2.在平面直角坐标系中,三角形ABC的三个顶点坐标分别是A(4,5),B(1,2),C(4,2),将三角形ABC向左平移5个单位长度后,A点的对应点A'的坐标是 ( )
A.(0,5) B.(-1,5)
C.(9,5) D.(-1,0)
3.(2014·宜宾中考)在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B关于x轴的对称点C的坐标是 .
4.(2014·厦门中考)在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(1,3),将线段OA向右平移3个单位长度,得到线段O1A1,则点O1的坐标是 ,A1的坐标是 .
5.如图所示,在直角坐标系中,点A的坐标为(-1,2),点C的坐标为(-3,0),将线段AC沿x轴向右平移3个单位长度,此时点A的对应点的坐标为 .
【能力提升】
6.如图所示,△OAB的顶点B的坐标为(4,0),把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE.如果CB=1,那么OE的长为 .
7.如图所示,在直角坐标系中,右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左、右眼睛的坐标分别是(-4,2),(-2,2),右图案中左眼睛的坐标是(3,2),则右图案中右眼睛的坐标是 .
8.已知△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的,它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示:
80
△ABC
A(a,0)
B(3,0)
C(5,5)
△A'B'C'
A'(4,0)
B'(7,b)
C'(c,5)
(1)观察表中各对应点坐标的变化,并填空:a= ,b= ,c= ;
(2)在平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A'B'C';
(3)△A'B'C'的面积是 .
【拓展探究】
9.如图所示,在直角坐标系中,线段AB的两个端点的坐标分别为A(-3,0),B(0,4).画出线段AB向右平移3个单位长度后得到的线段CD,并写出A的对应点C的坐标,B的对应点D的坐标.
10.△A1B1C1在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示.
(1)将△A1B1C1向右平移4个单位长度,作出平移后的△A2B2C2.
(2)在x轴上求作一点P,使PA1+PC2的值最小,并写出点P的坐标(不写解答过程,直接写出结果).
【答案与解析】
1.C(解析:由题意可知,△ABC为直角三角形,边长为3,4,5,故周长为3+4+5=12.故选C.)
2.B(解析:三角形ABC向左平移5个单位长度后,A点的纵坐标不变,横坐标减5.故选B.)
3.(2,-2)(解析:点A(-1,2)向右平移3个单位长度得到点B(2,2),点B关于x轴的对称点C的坐标为(2,-2).)
4.(3,0) (4,3)(解析:线段OA向右平移3个单位长度,横坐标增加3,则点O1的坐标是(3,0),A1的坐标是(4,3).)
5.(2,2)(解析:点A的坐标为(-1,2),将线段向右平移3个单位长度,即点A向右平移3个单位长度,此时点A的对应点的坐标为(2,2).)
6.7(解析:把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE.如果CB=1,则向右平移3个单位长度,所以BE=3.所以OE=4+3=7.)
7. (5,2)(解析:左图案中左眼睛的坐标是(-4,2),右图案中左眼睛的坐标是(3,2),所以横坐标增加7,纵坐标不变,左图案中右眼睛的坐标是(-2,2),则右图案中右眼睛的坐标是(5,2).)
8.解:(1)0 0 9 (2)如图所示. (3)
80
9.解:如图所示,CD即为所求作的线段.C(0,0),D(3,4).
10.解:(1)如图所示. (2)如图所示:作出A1关于x轴的对称点A',连接A'C2,交x轴于点P,可得P点坐标为.
这一节主要是在上一节学习图形平移的定义和图形平移的性质的基础上,继续研究图形平移的性质,但却是把图形放在了平面直角坐标系中,这就充分体现了直角坐标系这个研究数形结合的工具的优越性和好处.在平面直角坐标系中,图形平移的变化,就是图形上各点的坐标的变化.在这里研究图形平移的时候,图形上各点的坐标的变化,学生并不感到难,这从学生课堂上的表现和学生做题来看就明显地表现出来.
在研究沿x轴或y轴平移时,个别学生对坐标变化的理解不够.
设计不同的情形让学生体会坐标变化和图形平移的关系.
80
在教材的引例教学过程中,可以把平移后的“鱼”再进行平移,让同学们观察和思考平移后对应点的坐标变化规律是否发生变化.
随堂练习(教材第70页)
1.解:(1)A1(6,3),B1(3,0),C1(6,-3),D1(9,0). (2)A2(6,9),B2(3,6),C2(6,3),D2(9,6).
2.解:(1)四边形A3B3C3D3可看做是由四边形A2B2C2D2向左平移4个单位长度得到的. (2)四边形A4B4C4D4可看做是由四边形A3B3C3D3向下平移4个单位长度得到的.
习题3.2(教材第70页)
1.解:纵坐标不变,横坐标分别加3得到的图形可看做原图形向右平移了3个单位长度.横坐标不变,纵坐标分别加3得到的图形可看做原图形向上平移了3个单位长度.
2.解:向下平移3个单位长度后的坐标为(0,0),(1,-2),(3,-3),(1,-4),(0,-6),(-1,-4),(-3,-3),(-1,-2),(0,0);向左平移3个单位长度后的坐标为(-3,3),(-2,1),(0,0),(-2,-1),(-3,-3),(-4,-1),(-6,0),(-4,1),(-3,3).
3.解:(1)(7,-2),(6,-2),(6,-4),(2,-4),(2,-2),(1,-2). (2)图(1)到图(2)的横坐标不变,纵坐标分别减5;图(2)可以由图(1)向下平移5个单位长度得到. (3)图(1)到图(3)的纵坐标不变,横坐标分别减8;图(3)可以由图(1)向左平移8个单位长度得到.
4.解:可能是A'(1,5),B'(0,3),C'(3,1),D'(3,4);不可能是A'(8,8),B'(7,6),C'(9,4),D'(3,7).
有趣的轮回——发现平移
操作 在三角形内任意取一点M,先沿着平行于某条边的直线运动,碰到三角形的边界时则沿着平行于另一条边的直线“返回”,如此继续,你一定会发现一个奇妙的现象.
发现 下面是一个具体的示意图,先从M点出发,沿着平行于AC的直线运动到BC边上的D点,再沿着平行于AB的直线运动到AC边上的E点,又沿着平行于BC的直线运动到AB边上的F点,…,依次到达G,H,K,可以发现从K返回后必然经过M点,也就是说,点M最后回到了原来的出发点,下面的运动将是一个新的循环.
探源 你能借助平移解释其中的原因吗?
图中点的运动固然可以看成平移,每次转折后它的运动方向都发生了变化,因此,可以研究方向的变化.可以发现,三次碰“壁”,方向又相同了,可未必回到原来的位置;图中,6次碰“壁”后好像回到了原来的位置,那么,一般情况下,6次碰“壁”后是否都回到原来的位置呢?上图中,哪些图形是全等的?这些图形是否可以看成是平移而相互得到的?
可以发现,△BGF≌△DCE,△BGF可以看成△DCE向左平移而得到的;△BGF≌△KHA,△KHA可以由△BGF平移而得到.这样△KHA≌△DCE,△KHA可以由△DCE平移而得到.根据平移的性质:平移前后图形中每一对对应点的连线都平行(或共线)且相等,可知KD∥AC,又因为MD∥AC,所以K,M,D三点共线,即经过6次碰壁后回到了原来的位置.
延伸 1.是否有的情况下3次碰壁就回到原来的位置呢?试研究这种情况下,出发点M所满足的条件.
2.上图中,6次碰壁所形成的轨迹中,在三角形ABC的中间形成一个小三角形,是否能将这个小三角形收缩为一个点,也就是说图中EF,GH,KD 共点呢?如果可能,试研究这种情况下,出发点M所满足的条件.
80
观察图形,借助平移解决问题往往会收到意想不到的效果,出奇制胜.我们要有这样敏锐的眼光哟!
(1)对数轴上的点P进行如下操作:先把点P表示的数乘,再把所得数对应的点向右平移1个单位长度,得到点P的对应点P'.点A,B在数轴上,对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A'B',其中点A,B的对应点分别为A',B'.如图所示,若点A表示的数是-3,则点A'表示的数是 ;若点B'表示的数是2,则点B表示的数是 ;已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E'与点E重合,则点E表示的数是 .
(2)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作:把每个点的横、纵坐标都乘同一个实数a,将得到的点先向右平移m个单位长度,再向上平移n个单位长度(m>0,n>0),得到正方形A'B'C'D'及其内部的点,其中点A,B的对应点分别为A',B'.已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F'与点F重合,求点F的坐标.
〔解析〕 (1)点A':-3×+1=-1+1=0;设点B表示的数为a,则a+1=2,解得a=3;设点E表示的数为b,则b+1=b,解得b=.(2)根据
变换前后对应的坐标求出a,m,n的值,再进一步求解.
解:(1)0 3
(2)根据题意,得
解得
设点F的坐标为(x,y),
∵对应点F'与点F重合,
∴x+=x,y+2=y,
解得x=1,y=4,
∴点F的坐标为(1,4).
第课时
80
在上节课学习横向或纵向平移时坐标的变化特点的基础上,继续探究一次平移既有横向又有纵向时坐标的变化特点.
经历沿x轴、y轴方向和综合方向平移时位置和数量的关系,通过观察、分析以及抽象、概括等过程,发现平移时坐标变化的特点.
通过欣赏生活中的平移图形与学生自己设计的平移图案,使学生感受数学的美.
【重点】 沿x轴、y轴方向和综合方向平移时位置和数量的关系.
【难点】 坐标变化和图形平移的关系.
【教师准备】 网格纸.
【学生准备】 复习上一节的有关知识.
导入一:
回顾:在上一节中我们研究了“鱼”沿x轴和y轴方向平移时的坐标特征,总结一下,坐标如何变化?
【学生活动】 设(x,y)是原图形上的一点,经过平移后,这个点与其对应点的坐标之间有如下关系:
平移方向
平移距离
对应点的坐标
沿x轴方向
向右平移
a个单位长
度(a>0)
(x+a,y)
向左平移
(x-a,y)
沿y轴方向
向上平移
(x,y+a)
向下平移
(x,y-a)
在坐标系中,将坐标作如下变化时,图形将怎样变化?
(1)(x,y)(x,y+4);
(2) (x,y)(x,y-2);
(3) (x,y)(x-1,y);
(4) (x,y)(x+3,y).
【学生活动】 (1)向上平移4个单位长度.
(2)向下平移2个单位长度.
80
(3)向左平移1个单位长度.
(4)向右平移3个单位长度.
【思考】 (5) (x,y)(x-1,y+4).
【学生活动】 依据上面四个平移的结论,知向上平移4个单位长度,又向左平移1个单位长度.
[设计意图] 复习巩固前一节课学习的知识,即在坐标系中,图形一次平移(横向或纵向)坐标的变化规律;同时提出本节课的研究问题.给时间让学生回答,可能学生的语言并不规范,有待在后面的学习中教师逐步引导,在这里可以让学生各抒己见,用自己所学的知识合情推理自己的结论,养成一个好的数学思维习惯.
导入二:
如图所示,正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A(-2,4),B(-2,3),C(-1,3),D(-1,4),将正方形ABCD向下平移7个单位长度,再向右平移8个单位长度,两次平移后四个顶点相应变为点E,F,G,H.
(1)第一次平移后,正方形ABCD的四个顶点坐标分别是什么?
提示:(-2,-3),(-2,-4),(-1,-4),(-1,-3).
(2)第二次平移后,正方形的四个相应顶点E,F,G,H的坐标分别是什么?
提示:(6,-3),(6,-4),(7,-4),(7,-3).
(3)如果直接平移正方形ABCD,使点A移到点E,它和我们前面得到的正方形位置相同吗?
提示:相同.
[设计意图] 通过两次平移的过程,帮助学生发现两次平移后图形坐标的变化规律.
[过渡语] 刚才我们复习了在直角坐标系内图形一次平移坐标变化的规律,那么图形依次沿着坐标轴两次平移后,坐标的变化有什么规律呢?
一、探求“鱼”在坐标系中,既横向又纵向平移时坐标的变化情况
1.引例
先将下图中的“鱼”F向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,得到新“鱼”F'.
80
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出“鱼”F'.
(2)能否将“鱼”F'看成是“鱼”F经过一次平移得到的?如果能,请指出平移的方向和平移的距离,并与同伴交流.
(3)在“鱼”F和“鱼”F'中,对应点的坐标之间有什么关系?
改变“鱼”F最初的平移方向(仍沿坐标轴方向)和平移距离,再试一试,并与同伴交流.
分析:本例继续以“鱼”为素材,在具体背景中研究图形变换引起坐标变化的规律.
(1)画图略.
(2)可以将“鱼”F'看成是“鱼”F经过一次平移得到的,平移方向是点(0,0)到点(3,-2)的方向,平移距离为.
(3)“鱼”F'的点和“鱼”F的对应点相比,横坐标分别增加了3,纵坐标分别减少了2.
2.做一做
先将上图中“鱼”F的每个“顶点”的横坐标分别加2,纵坐标不变,得到“鱼”G;再将“鱼”G的每个“顶点”的纵坐标分别加3,横坐标不变,得到“鱼”H.“鱼”H与原来的“鱼”F相比有什么变化?能否将“鱼”H看成是原来的“鱼”F经过一次平移得到的?与同伴交流.
如果横坐标分别加2、纵坐标分别减3呢?
分析:反过来,研究坐标变化引起图形变换的规律.考虑到学生前面学习的经验,这里提出了两种情况让学生研究.教学时,也可以根据教学实际多给出几种情况让学生分组研究.
“鱼”H与“鱼”F相比,形状、大小相同,只是位置发生了改变:先向右平移了2个单位长度,再向上平移了3个单位长度;可以将“鱼”H看成是“鱼”F经过一次平移得到的,平移方向是点(0,0)到点(2,3)的方向,平移距离为.
如果横坐标分别加2,纵坐标分别减3,那么所得的“鱼”H与“鱼”F相比形状、大小相同,只是位置发生了变化:先向右平移了2个单位长度,再向下平移了3个单位长度;可以将“鱼”H看成是“鱼”F经过一次平移得到的,平移方向是点(0,0)到点(2,-3)的方向,平移距离为.
3.议一议
一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形与原来的图形相比,位置有什么变化?它们对应点的坐标之间有怎样的关系?
分析:通过讨论、交流让学生梳理一下前面的研究成果,归纳出依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原图形对应点之间的关系.
设(x,y)是原图形上的一点,当它沿x轴方向平移a(a>0)个单位长度,沿y轴方向平移b(b>0)个单位长度后,这个点与其对应点的坐标之间有如下关系:
平移方向和平移距离
对应点的坐标
向右平移a个单位长度,
向上平移b个单位长度
(x+a,y+b)
向右平移a个单位长度,
向下平移b个单位长度
(x+a,y-b)
向左平移a个单位长度,
向上平移b个单位长度
(x-a,y+b)
向左平移a个单位长度,
向下平移b个单位长度
(x-a,y-b)
归纳如下:
一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形,可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.
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[设计意图] 通过具体事例探究既有横向又有纵向的平移前后坐标的变化规律,通过交流活动归纳总结一般情况.
二、例题讲解
(教材例2)如图所示,四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(-3,5),B(-4,3),C(-1,1),D(-1,4),将四边形ABCD先向上平移3个单位长度,再向右平移4个单位长度,得到四边形A'B'C'D'.
(1)四边形A'B'C'D'与四边形ABCD对应点的横坐标有什么关系?纵坐标呢?分别写出点A',B',C',D'的坐标;
(2)如果将四边形A'B'C'D'看成是由四边形ABCD经过一次平移得到的,请指出这一平移的平移方向和平移距离.
〔解析〕 例2是前面研究成果的一个应用.教学时应首先鼓励学生独立解决,然后进行全班交流.在这一过程中教师要关注学生的理解水平、表达水平,以及可能出现的问题,并给予适当的指导.
解:(1)四边形A'B'C'D'与四边形ABCD相比,对应点的横坐标分别增加了4,纵坐标分别增加了3;A'(1,8),B'(0,6),C'(3,4),D'(3,7).
(2)如图所示,连接AA',由图可知,AA'==5.因此,如果将四边形A'B'C'D'看成是由四边形ABCD经过一次平移得到的,那么这一平移的平移方向是由A到A'的方向,平移距离是5个单位长度.
[设计意图] 对坐标系中的平移有进一步的认识,灵活运用所学知识解决相关问题.
[知识拓展] 将平面内的一个图形进行平移,这个图形上所有的点的坐标都要发生相应的变化;反之图形上的点的坐标的某种变化,也将导致图形的某种变化.
(1)图形的变化引起点的坐标的变化,点P(x,y)移动后为点P'(x',y'),其中a>0.
①向上平移a个单位长度:
②向下平移a个单位长度:
③向左平移a个单位长度:
④向右平移a个单位长度:
(2)点的坐标的变化引起图形的变化(其中a>0).
①如果点P(x,y)与点P' (x',y')有的关系,那么点P' (x',y')是由点P(x,y)向上平移a个单位长度得到的.
②如果点P(x,y)与点P' (x',y')有的关系,那么点P' (x',y')是由点P(x,y)向下平移a个单位长度得到的.
③如果点P(x,y)与点P' (x',y')有的关系,那么点P' (x',y')是由点P(x,y)向左平移 a个单位长度得到的.
④如果点P(x,y)与点P' (x',y')有的关系,那么点P' (x',y')是由点P(x,y)向右平移a个单位长度得到的.
80
一个图形平移前后大小、形状完全相同,只是位置变化而已,特别地,平移过程中,要注意平移的方向和距离.
1.点的平移:在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右或左平移a(a>0)个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)或(x-a,y);将点(x,y)向上或向下平移b(b>0)个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)或(x,y-b).
2.图形的平移:在平面直角坐标系中,如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把一个图形各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数b,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移b个单位长度.
1.如图所示,在10×6的网格中,每个小方格的边长都是1个单位.将三角形ABC平移到三角形DEF的位置,下面正确的平移步骤是 ( )
A.先把三角形ABC向左平移5个单位长度,再向下平移2个单位长度
B.先把三角形ABC向右平移5个单位长度,再向下平移2个单位长度
C.先把三角形ABC向左平移5个单位长度,再向上平移2个单位长度
D.先把三角形ABC向右平移5个单位长度,再向上平移2个单位长度
解析:根据网格结构,观察对应点A,D,点A向左平移5个单位长度,再向下平移2个单位长度即可到达点D的位置,所以平移步骤是:先把三角形ABC向左平移5个单位长度,再向下平移2个单位长度.故选A.
2.(1)将点A(-3,-3)向右平移5个单位长度,得到点A1,再把A1向上平移4个单位长度,得到点A2,则点A2的坐标为 ( )
A.(-2,-1) B.(2,1)
C.(-3,1) D.(3,1)
(2)将点A(-2,5)沿x轴负方向平移6个单位长度,再将横坐标乘-2,所得点的坐标为 .
解析:(1)在平面直角坐标系中,将点向右平移5个单位长度,即纵坐标不变,横坐标加5,所以点A1的坐标为(2,-3),再把A1向上平移4个单位长度,即横坐标不变,纵坐标加4,所以点A2的坐标为(2,1);(2)变化类似,只不过第二次纵坐标不变,横坐标乘-2.具体解答过程如下:(1)点A(-3,-3)A1(2,-3)A2(2,1).(2)点A(-2,5)点(-8,5)点(16,5).
答案:(1)B (2)(16,5)
3.在平面直角坐标系中,一青蛙从点A(-1,0)处向右跳2个单位长度,再向上跳2个单位长度到点A'处,则点A'的坐标为 .
解析:一青蛙从点A(-1,0)处向右跳2个单位长度,跳到点(1,0)处,再向上跳2个单位长度到点A'处,则点A'的坐标为(1,2).故填(1,2).
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4.将点P(1,-m)向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到点Q(n,3),则点K(m,n)的坐标为 .
解析:将点P(1,-m)向右平移两个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到点Q(n,3),则解得所以点K(m,n)的坐标为(-2,3).故填(-2,3).
5.已知点A(2,3),点B(-2,4),点C(-3,-3),请在平面直角坐标系中描出这三个点,并顺次连接三点得到三角形ABC,把三角形ABC向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,分别写出平移后的三点A',B',C'的坐标.
解:描点作图略,A'(3,5),B'(-1,6),C'(-2,-1).
6.在平面直角坐标系中,三角形ABC的三个顶点的位置如图所示,点A'的坐标是(-2,2),现将三角形ABC平移,使点A变换为点A',点B',C'分别是B,C的对应点.
(1)请画出平移后的三角形A'B'C'(不写画法),并直接写出点B',C'的坐标;
(2)若三角形ABC内部一点P的坐标(a,b),求点P的对应点P'的坐标.
解:(1)画图略,点B'(-4,1),C'(-1,-1).
(2)P'(a-5,b-2).
第3课时
一、探求“鱼”在坐标系中,即横向又纵向平移时坐标的变化情况
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第73页随堂练习.
【选做题】
教材第73页习题3.3的1,3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.把点M(1,3)先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的点是 ( )
A.(3,2) B.(-1,4)
C.(0,5) D.(2,1)
2.(2014·呼和浩特中考)已知线段CD是由线段AB平移得到的,点A(-1,4)的对应点为C(4,7),则点B(-4,-1)的对应点D的坐标为 ( )
A.(1,2) B.(2,9)
C.(5,3) D.(-9,-4)
3.如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC经过平移后点A的对应点为点A',则平移后点B的对应点B'的坐标为 .
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4.(2014·钦州中考)如图所示,△A'B'C'是△ABC经过某种变换后得到的图形,如果△ABC中有一点P的坐标为(a,2),那么变换后它的对应点Q的坐标为 .
5.如图所示的一小船,将其向左平移6个单位长度,再向下平移5个单位长度,试确定A,B,C,D,E,F,G平移后对应点的坐标,并画出平移后的图形.
【能力提升】
6.如图所示,A,B的坐标分别为(1,0),(0,2),若将线段AB平移到线段A1B1,A1,B1的坐标分别为(2,a),(b,3), 则a+b= .
7.已知长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,将长方形ABCD沿x轴向左平移到使点C与坐标原点重合后,再沿y轴向下平移到使点D与坐标原点重合,此时点B的坐标是 .
8.如图所示,小丽想把平面直角坐标系中的房子图案向左平移10个单位长度,已知房子图案的几个顶点坐标分别为(2,0),(8,0),(8,3),(9,3),(5,5),(1,3),(2,3).请你帮她作出相应的图案,并写出平移后7个点的坐标.
80
9.如图所示,按要求画出图形,并回答问题:
(1)先画出三角形ABC向下平移5个单位长度后的三角形A1B1C1,再画出三角形ABC沿y轴翻折后的三角形A2B2C2;
(2)在与同学交流时,你打算如何描述(1)中所画的三角形A2B2C2的位置?
(3)求四边形ABB2A2的面积.
【拓展探究】
10.(2015·咸宁中考)如图所示,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,6),将△OAB沿x轴向左平移得到△O'A'B',点A的对应点A'落在直线y=-x上,则点B与其对应点B'间的距离为 .
11.如图所示,在平面直角坐标系中,线段AB的两个端点的坐标分别为A(-3,0),B(0,4).
(1)画出线段AB先向右平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度后得到的线段CD,并写出A的对应点C的坐标,B的对应点D的坐标;
(2)线段AB和CD有怎样的关系?
【答案与解析】
1.A(解析: 把点M(1,3)先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,则横坐标加2,纵坐标减1.故选A.)
2.A(解析:因为线段CD是由线段AB平移得到的,点A(-1,4)的对应点为C(4,7),所以线段AB向右平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度得到线段CD,则点B(-4,-1)的对应点D的坐标为(1,2).故选A.)
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3.(-2,1)(解析:△ABC经过平移后点A(1,-1)的对应点为点A'(-3,3),横坐标减小4,纵坐标增加4,则平移后点B(2,-3)的对应点B'的坐标为(-2,1).)
4.(a+5,-2)(解析:△A'B'C'是△ABC经过某种变换后得到的图形,对应点A(-4,3)变为A'(1,-1),横坐标增加5,纵坐标减小4,故P(a,2)变换后它的对应点Q的坐标为(a+5,-2).)
5.解析:先确定关键点A,B,C,D,E,F,G,并把关键点分别向左平移6个单位长度,再向下平移5个单位长度.根据点的坐标的变化规律,由A(1,2),B(3,1),C(4,1),D(5,2),E(3,2),F(3,4),G(2,3),可确定平移后对应点的坐标.根据原图的连接方式连接即可得到平移后的图形.
解:对应点坐标分别为A'(-5,-3),B'(-3,-4),C'(-2,一4),D'(-1,-3),E'(-3,-3),F'(-3,-1),G'(-4,-2).描出这些对应点并按原来的顺序连接起来,可得平移后的图形,如图所示.
6.2(解析: 将线段AB平移到线段A1B1,A,B的坐标分别为(1,0),(0,2),A1,B1的坐标分别为(2,a),(b,3),则向右平移1个单位长度,向上平移1个单位长度,所以a=1,b=1,所以a+b=2.)
7.(-5,-3)(解析:长方形ABCD沿x轴向左平移到使点C与坐标原点重合,即向左平移5个单位长度,再沿y轴向下平移到使点D与坐标原点重合,即向下平移3个单位长度,此时点B的坐标是(-5,-3).)
8.解析:向左平移纵坐标不变,横坐标减去平移的长度.
解:如图所示,平移后7个点的坐标分别是(-8,0),(-2,0),(-2,3),(-1,3),(-5,5),(-9,3),(-8,3).
9.解析:第(1)小题可由三角形ABC的各顶点的坐标确定三角形A1B1C1和三角形A2B2C2各顶点的坐标;第(2)小题可由三角形A2B2C2的各顶点的坐标确定三角形A2B2C2的位置;第(3)小题的四边形ABB2A2为梯形,可由A,B,B2,A2的坐标求出其上底、下底和高.
解:(1)如图所示. (2)三角形A2B2C2中的点A2的坐标为(2,5),点B2的坐标为(4,1),点C2的坐标为(1,3). (3)由已知可得四边形ABB2A2为梯形,上底AA2=2-(-2)=4,下底BB2=4-(-4)=8,高=5-1=4.所以==24.
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10.8(解析:由题意可知,点A移动到点A'位置时,纵坐标不变,∴点A'的纵坐标为6,-x=6,解得x=-8,∴△OAB沿x轴向左平移8个单位长度得到△O'A'B',∴点B与其对应点B'间的距离为8.故填8.)
11.解:(1)∵线段AB先向右平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度后得到线段CD,∴横坐标加3,纵坐标减4,∴C(0,-4),D(3,0),如图所示. (2)∵图形经过平移后,形状和大小都不发生改变,对应点所连线段平行(或在同一条直线上)且相等,∴AB∥CD,AB=CD.
教师对小组讨论给予的适当指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等,使小组合作学习更具实效性,既加深了学生的理解,又提高了课堂的效率.
既沿x轴平移,又沿y轴平移,对于某些学生来说理解较难,可能掌握不好.在处理这个问题上留给学生思考的时间不多,演示的速度比较快.
在授课过程中,可适当增加不同数值的移动,并且在不同的坐标轴上练习,结合不同图形练习,加深学生对知识的理解.
随堂练习(教材第73页)
解:(1)略. (2)略. (3)沿着点A(6,0)到点A'(-6,5)的方向,平移的距离是13个单位长度.横坐标分别减12,纵坐标分别加5.
习题3.3(教材第73页)
1.解:(1)略. (2)略. (3)沿着点A(-8,7)到点A'(2,-3)的方向,平移的距离是=10个单位长度.横坐标分别加10,纵坐标分别减10.
2.提示:A'(3,4),B'(7,4),C'(5,1),D'(1,1).
3.提示:B'(7,1),C'(9,4),D'(11,4),E'(13,7).
4.解:由图(1)到图(2)“顶点”的横坐标分别减少5,纵坐标分别增加4;图(1)先向左平移5个单位长度,再向上平移4个单位长度可得到图(2).
5.解:(1)不正确. (2)A'(0,0),B'(-1,-3),C'(1,-3)或A'(-1,0),B'(-2,-3),C'(0,-3)或A'(1,0),B'(0,-3),C'(2,-3).
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最短路径问题
大家一定记得,教科书上有这样一个问题:一条河流(河流宽度处处相等)的两边有A,B两个村庄,现准备在河上建一座桥(当然,桥应与河岸垂直,这样可以减少造价),则桥应建在何处才能使由A到B的路程最短?作出图形,并说明理由.
探索 如果没有可行的思路,不妨在同一个图上随便画几个方案,观察并比较这些方案各自路程
的长短,也不难估计出一个大致的位置.如图所示, 通过测量不难发现,在C2D2位置建桥比在C1D1位置建桥路程短一些.
对精确度要求不高时,这倒也不失是一种方法.但一点点的误差,也会造成实际问题中的巨大浪费,因此,我们希望得到一个更精确的结果,到底桥应建在什么地方呢?
我们还是回到上面两个方案的比较.
不管哪个方案中,路程都包括3个部分,AC,CD,DB,可以发现所有的CD都是相等的(等于河流的宽),因此,只要考虑AC+DB取得最小值就可以了.可是,这两段线段分散着,能否将它们集中到一起呢?在前面的讲解中我们遇到过这样的问题,平移使得C,D重合就可以了,得到下面左图.在左图中更容易看出:在C2D2位置桥建,路程短一些,而要使得AC+DB最小,也不难发现,C,D应与A,B共线.把这个过程反过来,就得到了具体的方案设计思路,如下中图,在CD处建桥A到B的路程最短.
拓展1 如果A,B两个村庄中间有两条平行的河流(如上右图),准备在两条河上各建一座桥(桥仍然与河岸垂直),那么,要使由A到B的路程最短,两座桥又应建在何处呢?
两座桥,问题当然变复杂了,画图发现需要计算5条线段的长度和,当然其中有两条长度是固定的,我们也可以暂时不考虑这两条线段,通过平移,将其他三条线段集中起来,不难类似地得到下面的草图,只要在CD,EF处建桥即可.
拓展2 如果A,B两个村庄中间有两条不平行的河流,两座桥又应建在何处呢?
有了拓展1,不难得到拓展2的解答:如图所示,将点A沿与甲河河岸垂直的方向平移与甲河河宽相等的距离,得点A';将点B沿与乙河河岸垂直的方向平移与乙河河宽相等的距离,得点B';连接A'B',分别交甲河、乙河于M点,P点,MN,PQ即为所建桥.
小结 最短路径问题的实质是把路径中的固定部分(桥的长度)用平移的方法去除掉,再利用两点之间线段最短来解决.
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点A(4,3)经过如下平移后可到达点A'(2,6)的是 ( )
A.先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度
B.先向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度
C.先向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度
D.先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度
错解:D
错因分析:点向左或向右平移时,纵坐标不变,横坐标减去或加上相应的单位长度;而向上或向下平移时,横坐标不变,纵坐标加上或减去相应的单位长度,错解的原因是混淆了点左右平移的方向.
正解:B
思路分析:从点A(4,3)到点A'(2,6),横坐标的变化是减2,纵坐标的变化是加3,所以应该是先向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度.
2 图形的旋转
通过具体实例认识旋转,理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质.
经历对生活中与旋转现象有关的图形进行观察、分析、欣赏以及动手操作、画图等过程,掌握有关画图的操作技能,发展初步的审美能力,增强对图形欣赏的意识.
引导学生用数学的眼光看待有关问题,发展学生的数学观,学到活生生的数学.
【重点】 类比平移与旋转的异同,掌握旋转的定义和基本性质,并利用数学知识解释生活中的旋转现象.
【难点】 探索旋转的性质,并应用旋转的性质解决相关问题.
80
第课时
1.能说出旋转的意义,知道什么是旋转角、什么是旋转中心,知道旋转前后两个图形的形状和大小不变.
2.理解并能说出旋转的性质,即旋转前后两个图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;对应线段相等,对应角相等.
3.能够运用旋转的意义和旋转的性质分析判断一些简单的旋转现象.
1.体验生活中的旋转现象.
2.经历观察、分析、欣赏等过程,初步培养学生的审美情感,增强对图形的欣赏意识.
培养学生合作学习、探索学习的意识,追求成功的精神,增强学生自我价值感.
【重点】
1.认识旋转在现实生活中的广泛应用.
2.探索和理解旋转的基本性质.
【难点】 利用旋转的基本性质解决相关的问题.
【教师准备】 实际生活中的旋转图片.
【学生准备】 作图工具.
导入一:
(演示俄罗斯方块游戏)构成游戏的模块均是由一个小正方形平移变换而来的,通过学生的观察,发现除了平移运动之外还有旋转运动.引导学生列举出一些具有旋转现象的生活实例,引出课题:图形的旋转.
80
[设计意图] 由游戏入手,让学生既感到亲切,又从中得到数学知识,予教育于游戏中,学生易于接受.
导入二:
请同学们尝试用自己的语言来描述以下场景.
[设计意图] 用数学语言描述生活中的数学,借此引入旋转的概念.
一、建立旋转的概念
[过渡语] 研究生活中的数学问题,往往都是从建立数学概念开始的.你能从刚才的情景中领会旋转及其相关概念吗?
思路一
(1)请同学们尝试用自己的语言来描述以下场景.
如图所示,在同一平面内,点A绕着定点O旋转某一角度得到点B;
如图所示,在同一平面内,线段AB绕着定点O旋转某一角度得到线段CD;
如图所示,在同一平面内,三角形ABC绕着定点O旋转某一角度得到三角形DEF.
观察了上面图形的运动,引导学生归纳图形旋转的概念.
在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.旋转不改变图形的形状和大小
(2)情景问题:①请同学们观察上图,点A,线段AB,∠ABC分别转到了什么位置?
②请找出上图中其他的对应点、对应线段、对应角,并指出旋转中心和旋转角度.
80
[设计意图] 点明图形旋转中对应点、对应线段及对应角的概念;让学生及时巩固并理解旋转及其相关概念,并为下面探究旋转的性质做好准备.
思路二
向学生展示有关的图片:
(1)时钟上的秒针在不停地转动;(并介绍顺时针方向和逆时针方向)
(2)大风车的转动;
(3)飞速转动的电风扇叶片;
(4)汽车上的刮水器;
(5)由平面图形转动而产生的奇妙图案.
【师生活动】 上面现象中,有一个共同的特点,请同学们找出来.
【学生活动】 都是绕着一个定点按某个方向转动.
总结出旋转的概念:在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.旋转不改变图形的形状和大小
举例:
如图所示,△ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度,得到△DEF,点A,B,C分别旋转到了点D,E,F.点A与点D是一组对应点,线段AB与线段DE是一组对应线段,∠BAC与∠EDF是一组对应角.在这一旋转过程中,点O是旋转中心,∠AOD,∠BOE,∠COF都是旋转角.
二、探究旋转的性质
如图(1)所示,两张透明纸上的四边形ABCD和四边形EFGH完全重合,在纸上选取旋转中心O,并将其固定.把其中一张纸片绕点O旋转一定角度.(如图(2)所示).
(1)观察图(2)的两个四边形,你能发现有哪些相等的线段和相等的角?
(2)连接AO,BO,CO,DO,EO,FO,GO,HO,你又能发现有哪些相等的线段和相等的角?
(3)在图(2)中再取一些对应点,画出它们与旋转中心所连成的线段,你又能发现什么?
改变透明纸上所画图形的形状,再试一试,并与同伴交流.
【学生活动】 小组合作交流,在探究过程中发现旋转的性质.
【教师点评】 旋转的性质: 一个图形和它经过旋转所得的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;对应线段相等,对应角相等.
三、例题讲解
(补充例题)应用旋转的概念解决问题.
(这一环节让学生进行问题的研究与解答,培养应用数学知识的意识及解决数学问题的能力.)
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(1)如图所示,△ABO绕点O旋转得到△CDO,则:
点B的对应点是点 ;
线段OB的对应线段是线段 ;
线段AB的对应线段是线段 ;
∠A的对应角是 ;
∠B的对应角是 ;
旋转中心是点 ;
旋转角是 .
答案:D OD CD ∠C ∠D O ∠AOC或∠BOD
[设计意图] 及时巩固新知,使每个学生都有收获;感受成功的喜悦,肯定探索活动的意义.
(2) 如图所示,如果正方形CDEF与正方形ABCD是一边重合的两个正方形,那么正方形CDEF能否看成是由正方形ABCD旋转得到的?如果能,请指出旋转中心、旋转方向、旋转角度及对应点.
解:正方形CDEF能看成是由正方形ABCD旋转得到的.答案不唯一:如旋转中心点为C,旋转方向为逆时针,旋转角度为90度,则点C和C,F和D,E和A,D和B分别为对应点.
(3) 如图所示,香港特别行政区区旗中央的紫荆花图案由5个相同的花瓣组成,它是由其中的一瓣花经过几次旋转得到的?旋转角∠AOB等于多少度?你知道∠COD等于多少度吗?
解:它是由一瓣花经过4次旋转得到的,旋转角∠AOB为72度,∠COD等于72度.
[设计意图] 加深对旋转概念的理解,及时巩固新知识,对于第(2)题要注重引导学生多角度分析解决,第(3)题求∠AOB的度数,学生根据五等分周角容易得到,而学生在求∠COD的度数时,正好用到旋转的性质.
【想一想】 在下图的四个三角形中,哪个不能由△ABC经过平移或旋转得到?
分析:首先从平移考虑:图(1)可由△ABC平移得到;图(2)、图(3)、图(4)不能通过△ABC平移得到;其次从旋转角度考虑:无论△ABC以哪个点为旋转中心,都无法得到图(2),图(3)、图(4)可以由△ABC经过旋转得到.综合分析,只有图(2)无法通过△ABC平移或旋转得到.
[知识拓展] 旋转对称图形.
80
“旋转对称图形?没听说过!”
是的,你可能没听说过,但你一定听说过轴对称图形.所谓轴对称图形,就是沿着某条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合的图形,这样的图形我们知道很多,剪纸“红双喜”就是一个典型的例子.
随便拿一个轴对称图形,放到桌子上,你一定可以将它翻转过来,而得到的图形和原来一模一样,别人根本看不出你已经翻转了这个图形.这就是图形的轴对称性.
那么,是否有图形经过旋转后还和原来的图形一模一样呢?
还是从我们熟悉的图形入手吧.
将一个正方形纸片放在桌上,你一定能旋转该纸片,得到的图形和原来的一模一样,别人根本看不出你已经旋转了这张纸片.这就是旋转对称图形.显然正方形是旋转对称图形,绕着它的对角线交点(中心)旋转90°的整倍数后能与自身重合(如图所示).
一般地,如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度(小于360°)后,能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做旋转对称图形,这个点叫做它的对称中心.
【反思】 正方形是旋转对称图形,其他正多边形是否也具有这个性质呢?
做一个正三角形的纸片,试着旋转这个纸片使得它和原来重合,看看旋转中心是哪个、旋转角等于多少?
不难得出旋转中心是正三角形的中心,旋转角等于120°的倍数.(如图所示)
实际上,不难发现,正五边形绕中心旋转72°的整数倍后与原图形重合;正六边形绕中心旋转60°的整数倍后与原图形重合;正八边形绕中心旋转45°的整数倍后与原图形重合;…;正n边形绕中心旋转的整数倍后与原图形重合.圆绕圆心旋转任意角度与原图形重合.
【举一反三】
1.判断下列命题的真假.(在相应的括号内填上“真”或“假”)
(1)两腰相等的梯形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°. (假)
(2)长方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°. (真)
2.下列图形中是旋转对称图形,且有一个旋转角为120°的是 ①③ .(写出所有正确结论的序号)
①正三角形;②正方形;③正六边形;④正八边形.
3.写出两个多边形,它们都是旋转对称图形,都有一个旋转角为72°.
答案不唯一,如正五边形和正十边形.
旋转的定义:在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.旋转不改变图形的形状和大小.
旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;对应线段相等,对应角相等.
80
1.如图所示,如果把钟表的指针看做四边形AOBC,它绕O点旋转得到四边形DOEF.在这个旋转过程中:
(1)旋转中心是什么?
(2)经过旋转,点A,B分别移动到什么位置?
(3)旋转角是什么?
(4)AO与DO的长有什么关系?BO与EO呢?
(5)∠AOD与∠BOE有什么数量关系?
解:(1)旋转中心是点O.
(2)经过旋转,点A,B分别移动到点D和E.
(3)旋转角是∠AOD或∠BOE.
(4)AO与DO的长相等,BO与EO的长相等.
(5)∠AOD=∠BOE.
2.如图所示,正方形ABCD中,E是AD上一点,将△CDE逆时针旋转后得到△CBM.如果连接EM,那么△CEM是怎样的三角形?
解:由旋转的性质可得:CE=CM,∠ECM=∠DCB=90°,
所以△CEM是等腰直角三角形.
3.如图所示,P是等边三角形ABC内的一点,把△ABP通过旋转分别得到△CBQ和△ACR.
(1)分别指出旋转中心、旋转方向和旋转角度?
(2)△ACR是否可以直接通过△CBQ旋转得到?
解:(1)△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACR,△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBQ.(2) △ACR可以直接通过△CBQ旋转得到.
第1课时
一、建立旋转的概念
二、探究旋转的性质
三、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
80
教材第77页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第77页习题3.4的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.平面图形的旋转一般情况下改变图形的 ( )
A.位置 B.大小 C.形状 D.性质
2.9点钟时,钟表的时针和分针之间的夹角是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.将正方形ABCD旋转到正方形A'B'C'D'的位置,下列结论错误的是 ( )
A.AB=A'B' B.AB∥A'B'
C.∠A=∠A' D.△ABC≌△A'B'C'
4.如图所示,请仔细观察A,B,C,D四个图案,其中能通过E图案旋转得到的是 ( )
5.如图所示,把菱形ABOC(四条边都相等)绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE,则下列角中,不是旋转角的为 ( )
A.∠BOF B.∠AOD
C.∠COE D.∠AOF
【能力提升】
6.钟表上的指针随时间的变化而移动,这可以看做是数学上的 .
7.△ABC绕一点旋转到△A'B'C',则△ABC和△A'B'C'的关系是 .
8.钟表的时针经过20分钟,旋转了 度.
9.图形的旋转只改变图形的 ,而不改变图形的 .
10.等边三角形至少要旋转 度才能与自身重合.
11.下图中的两个正方形的边长相等,请你指出可以通过绕点O旋转而相互得到的图形并说明旋转的角度.(写出三对即可)
【拓展探究】
12.(2015·佛山中考)如图所示,△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上,其中点A的坐标是(-1,0).现将△ABC绕点A顺时针旋转90°,则旋转后点C的坐标是 .
13.如图所示,边长为4的正方形ABCD绕点D逆时针旋转30°后能与四边形A'B'C'D'重合.
80
(1)旋转中心是哪一点?
(2)四边形A'B'C'D'是怎样的图形?面积是多少?
(3)求∠C'DC和∠CDA'的度数.
(4)连接AA',求∠DAA'的度数.
【答案与解析】
1.A
2.D(解析:9点钟时,钟表的时针和分针之间有3个格,每个30°,故夹角是90°.)
3.B(解析:由旋转的性质可知,对应边相等但不一定平行.)
4.C(解析:把E图案绕着图形的中心逆时针旋转120°可以得到图案C.)
5.D(解析:点A和点F不是对应点,所以∠AOF不是旋转角.)
6.旋转(解析:钟表上的指针是绕着钟表的中心转动的.)
7.全等(解析:旋转前后的图形形状和大小不变,是全等图形.)
8.10(解析:时针每小时旋转30度.)
9.位置 形状和大小(解析:由图形旋转的定义可知.)
10.120(解析:等边三角形的三边相等,每个顶点和三角形的中心的连线的夹角为120°,故等边三角形至少要旋转120度才能与自身重合.)
11.解: 答案不唯一,如△OAE和△OBF,△OEB和△OFC,△OAB和△OBC,它们旋转的角度都是90°.
12.(2,1)(解析:如图所示,旋转后点C的对应点C1坐标是(2,1).)
13.解:(1)旋转中心是点D. (2)四边形A'B'C'D'是由正方形ABCD(其面积为16)旋转得来的,旋转不改变图形的形状和大小,所以四边形A'B'C'D'是正方形,其面积为16. (3)因为C与C'是对应点,而对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角,由题意知图形绕点D旋转30°,所以∠C'DC=30°.又因为四边形A'B'C'D'是正方形,所以∠C'DA'=90°,所以∠CDA'=∠C'DA'-∠C'DC=60°. (4)根据旋转的特征,对应点到旋转中心的距离相等,所以由点D,A,A'所确定的三角形是等腰三角形,AD=A'D,而∠ADA'=30°,所以∠DAA'=∠DA'A=75°.
首先列举学生熟悉的例子,从生活问题中抽象出数学本质,引导学生观察、分析后归纳,然后提出注意问题,帮助学生把握概念的本质特征,再引导学生运用概念并及时反馈.同时在概念的形成过程中,着重培养学生观察、分析、抽象、概括的能力,引导学生从运动、变化的角度看问题,向学生渗透辩证唯物主义的观点.
为了使抽象的概念具体化,通俗易懂,本节列举了大量生活中的例子,意在培养学生的发散思维,增强学生应用数学的意识,有部分学生理解不够.
80
给学生充足的生活实际例子,让学生有足够的时间来消化和接受.帮助学生提高想象能力,这样才能更好地理解旋转的定义和观察分析旋转后的图形.
随堂练习(教材第77页)
1.解:(1)旋转中心为点A;旋转角为∠BAD或∠CAE或∠DAF. (2)相等的线段:AB=AD=AF,AC=AE,BC=DE,CD=EF.相等的角:∠BAD=∠DAF=∠CAE,∠BAC=∠DAE,∠CAD=∠EAF,∠B=∠ADE,∠BCD=∠DEF,∠CDA=∠EFA等.
2.解:不能.理由略.
习题3.4(教材第77页)
1.解:旋转中心为点B,旋转角为40°.
2.解:(1)旋转中心为吊扇中间转盘的中心. (2)120°,240°. (3)没发生变化.
3.解:不一样,相同的时间内,离吊扇中心越远的点运动的路程越大.
5.解:(2)可以经过旋转得到,(3)可以经过平移得到.
如图所示,△ABC是等边三角形,D是BC上一点,△ABD经过逆时针旋转后到达△ACE的位置.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?
(3)如果M是AB的中点,那么经过上述旋转后,点M转到了什么位置?
解:(1) 旋转中心是点A.
(2)旋转了60°.
(3)点M转到了AC的中点位置上.
如图(1)所示,点M是线段AB上一点,将线段AB绕着点M顺时针方向旋转90°,旋转后的线段与原线段的位置有何关系?如果逆时针方向旋转 90°呢?
解:顺时针方向旋转90°,如图(2)所示,A'B'与AB互相垂直.
逆时针方向旋转90°,如图(3)所示,A″B″与AB互相垂直.
第课时
80
1.进一步理解掌握旋转的意义和旋转的性质.
2.能够根据旋转的性质作出一些简单的平面图形旋转后的图形.
3.能够综合运用平移和旋转分析解释一些简单图形的变换.
1.探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合).
2.对具有旋转特征的图形进行观察、分析、动手操作和画图等过程,掌握画图技能.
激发学生学习数学的兴趣,培养学生的观察能力和审美能力.
【重点】
1.根据旋转的性质作出一些简单的平面图形旋转后的图形.
2.图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合).
【难点】 能够综合运用平移和旋转分析解释一些简单图形的变换.
【教师准备】 所需图片.
【学生准备】 复习旋转的知识.
导入一:
大家来看一面小旗子(出示小旗子,然后一边演示一边叙述),把这面小旗子绕旗杆底端O顺时针旋转90°后,这时小旗子的位置发生了变化,形成了新的图案,你能把这时的图案画出来吗?
在原图上找了四个点,即O点,A点,B点,C点,这四个点是表示这面小旗子的关键点.旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等,根据已知:要把这面小旗子绕O点按顺时针方向旋转90°.我们在方格纸中找到点A,B,C的对应点A',B',C',然后连接,就得到了所求作的图形.
作图的一个要点:找图形的关键点.
80
这面小旗子是结构简单的平面图形,在方格纸上大家能画出它绕点旋转后的图形,那么在没有方格纸或旋转角不是特殊角的情况下,能否也画出简单平面图形旋转后的图形呢?
这节课我们就来研究:简单的旋转作图.
导入二:
通过前面的学习,我们可以按照要求画出一个图形旋转后的图形.那么能否反过来,根据旋转后的图形,我们能不能画出它旋转前的图形?如图所示,你能画出△ABO绕点O逆时针旋转90°前的图形吗?
[设计意图] 通过逆向思维的方式,提出本课时要学习的内容.
[过渡语] 我们了解了旋转的定义和性质,能不能根据旋转的要求画出旋转后的图形呢?
一、旋转作图
观察、操作、探索、归纳旋转的作图方法:
先利用多媒体逐一演示点、线段、多边形的旋转,再让学生观察、动手画图.
点的旋转:
(以单摆为模型,并将此抽象为“点的旋转”)
操作①:如图所示,试着找一找A点绕O点顺时针旋转30°后所得的点A'.
线段的旋转:
操作②:如图所示,试着画一画线段AB绕O点逆时针旋转90°后所得的线段A'B'.
多边形的旋转:
操作③:如图所示,试着画△ABC绕O点逆时针旋转60°后所得的△A'B'C'.
[设计意图] 由浅入深,通过自己动手,探索旋转作图.
二、例题讲解
[过渡语] 怎样画出一个图形旋转后的图形呢?通过下面的例题你能总结出一般方法吗?
(补充例题)如图所示,△ABC按逆时针方向绕点O旋转后,顶点A的对应点为点D,试确定顶点B,C对应点的位置,以及旋转后的三角形.
80
〔解析〕 一般作图题在分析如何求作时,都要先假设已经把所求作的图形作出来了,然后再根据性质,确定如何操作.假设顶点B,C的对应点分别为点E,F,则∠BOE,∠COF,∠AOD都是旋转角,△DEF就是△ABC绕点O旋转后的三角形.根据旋转的性质知道:经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,对应点到旋转中心的距离相等,则∠BOE=∠COF=∠AOD,OE=OB,OF=OC,这样即可作出旋转后的图形.
解:如图所示:
①连接OA,OD,OB,OC.
②分别以OB,OC为一边作∠BOE,∠COF,使得∠BOE=∠COF=∠AOD.
③分别在射线OE,OF上截取OE=OB,OF=OC.
④连接EF,ED,FD,则△DEF就是△ABC绕O点旋转后的图形.
本题还有没有其他方法可以作出△ABC绕O点旋转后的图形呢?
(1)可以先作出点B的对应点E,连接DE,然后以点D,E为圆心,分别以AC,BC长为半径画弧,两弧交于点F,连接DF,EF,则△DEF就是△ABC绕点O旋转后的图形.
(2)也可以先作出点C的对应点F,然后连接DF.因为△ABC与△DEF全等,所以既可以用两边夹角,也可以用两角夹边,找到点B的对应点E,即△DEF.
确定一个图形旋转后的位置,需要哪些条件?
总结:确定一个图形旋转后的位置的条件为:①图形原来的位置.②旋转中心.③旋转方向及角度.这三个条件缺一不可.只有这三个条件都具备,我们才能准确地找到一个图形绕点旋转后的位置,进而作出它旋转后的图形.
[知识拓展] 反射、平移、旋转之间的联系.
关于两条平行直线反射(轴对称)的复合(叠加)是一个平移,那么关于两条相交直线反射的复合将如何呢?
还是通过一个具体的例子感受一下吧!
如图所示,m,n是两条相交直线,交点是O,画出△ABC关于直线m的对称图形△A'B'C',及△A'B'C'关于直线n的对称图形△A″B″C″,观察△ABC与△A″B″C″有什么位置关系,能否通过某个变换而相互得到?
作出图形,不难发现,△ABC与△A″B″C″全等,这可以从图形上看出,也可以严格地证明.(因为,翻折前后的图形是全等形,经过两次翻折后的图形与原来的当然还是全等形)两个图形不可以通过平移而相互得到(因为平移前后图形中对应线段的方向相同,而右图中AB与A″B″方向显然不同),那么能否通过旋转而相互得到呢?旋转中心又是哪个点呢?
80
你可以凭感觉估计出这个点,也可以通过逻辑分析(根据旋转的概念,旋转中心到对应点的距离相等,因此,旋转中心在AA″与BB″的垂直平分线上,作出两条垂直平分线不难确定这个可能的旋转中心).
亲自做过后,惊讶地发现,这个点是O.
旋转中心真的是O吗?旋转角度等于多少呢?
假设旋转中心是O,看看是否所有对应点对O的张角都相同就可以了.
如图所示,可以发现:∠AOA″=∠AOA'+∠A'OA″=2∠MOA'+2∠A'ON=2∠MON,同理∠BOB″=∠COC″=2∠MON.因此,确实△A″B″C″可以由△ABC绕O点旋转而得到,旋转角为两条直线夹角的两倍.
结论:关于两条相交直线的反射的复合是一个旋转,旋转角等于两条反射轴夹角的2倍.
当然,有兴趣的你,还可以研究:任意一个旋转是否都可以看成两个反射的叠加?如果可以,这样的反射具有什么要求?这样的两个反射是否唯一?
反射、平移、旋转还有很多内在的联系,如经过平移、旋转、反射后的图形都和原来的图形全等,而且任意两个全等的图形都可以由上面的这三个变换叠加而成,正因为如此,数学上称这三个变换为最基本的全等变换.
不信,你随便画两个全等的图形,或者在桌面上放两个全等的图片,试着通过这三个变换将其中一个变为另一个.
做出来了吗?如果没有做出来,可以参考下面的方法:先平移,使某对对应点重合;然后绕这个重合的点旋转,使得某条对应边重合;这时如果两个图形还没有重合,则沿着刚才那条重合的边翻折其中一个图形就可以与另一个图形完全重合了.
本节课我们通过作平面图形旋转后的图形,进一步理解了旋转的性质,并且还知道要确定一个图形旋转后的位置,需要有:①图形原来的位置;②旋转中心;③旋转方向及角度这三个条件.
在作图时,要正确运用直尺和圆规,进而准确作出旋转后的图形.要注意语言的表达.
1.将一个直角三角板绕30°角的顶点顺时针旋转,使一直角边与原斜边在同一条直线上(如图所示).你知道旋转角是多少吗?连接BB',△ABB'有什么特征吗?
解:由旋转可知,旋转角为∠BAB',它的度数为180°-30°=150°;
连接BB',△ABB'为顶角为150°的等腰三角形.
2.如图所示,在五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°.求证DA平分∠CDE.
80
证明:连接AC,将△ABC绕点A旋转∠BAE的度数到△AEF的位置,因为AB=AE,所以AB与AE重合.因为∠ABC+∠AED=180°,且∠AEF=∠ABC,所以∠AEF+∠AED=180°.所以D,E,F三点在一条直线上,AC=AF,BC=EF.
在△ADC与△ADF中,DF=DE+EF=DE+BC=CD,AF=AC,AD=AD,
所以△ADC≌△ADF(SSS),所以∠ADC=∠ADF,
即DA平分∠CDE.
3.(2015·金华中考)在平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,3),点B在x轴上,将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF,点O,B对应点分别是E,F.
(1)若点B的坐标是(-4,0),请在图中画出△AEF,并写出点E,F的坐标;
(2)当点F落在x轴上方时,试写出一个符合条件的点B的坐标.
解析:(1)将线段AO,AB绕点A逆时针旋转90°得到AE,AF,连接EF,则△AEF就是所求作的三角形,从而根据图形得到点E,F的坐标.(2)由于旋转后EF⊥x轴,点E的坐标是(3,3),所以当点F落在x轴上方时,只要00)个单位长度,可以得到对应点(x +a,y)(或(x-a,y));将点(x,y)向上(或下)平移b(b>0)个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)(或(x,y-b)).
2.在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把一个图形各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.
【专题分析】
本专题主要考查图形在网格中的变化,题型有选择、填空和画图题,解题技巧是:掌握平移的坐标特征.图形的平移是中考的一个知识热点,经常有不同的创新题型出现.
如图所示,三角形A1B1C1是由三角形ABC经过平移得到的,则下列对平移描述正确的是 ( )
A.将三角形ABC先向下平移1个单位长度,再向左平移4个单位长度
B.将三角形ABC先向上平移1个单位长度,再向左平移4个单位长度
C.将三角形ABC先向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.将三角形ABC先向左平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度
〔解析〕 图形的平移,实质上就是图形上对应点的平移,因此,抓住其中的一对对应点的坐标的变化,即可确定图形的变化情况.故选B.
[规律方法] 在对三角形进行平移时,每个顶点都进行相应的平移,培养学生的动手操作能力和分析判断能力,体现数形结合的思想方法.
【针对训练1】 夏季荷花盛开,为了便于游客领略“人从桥上过,如在河中行”的美好意境,某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥.若荷塘周长为280 m,且桥宽忽略不计,则小桥总长为 .
〔解析〕 利用平移的性质,小桥可以平移到长方形的边上,得出小桥的长等于长方形周长的一半.故小桥总长为280÷2=140(m).故填140 m.
专题二 关于原点对称的点的坐标
原点在坐标系中是个关键点,关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数.
【专题分析】
由于原点是特殊点,中考命题中考查越来越多.
如图所示,四边形ABCD在平面直角坐标系中(每个小方格的边长均为1).
(1)分别写出A,B,C,D各点的坐标;
(2)四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于原点O对称,写出点A',B',C',D'的坐标.
80
〔解析〕 (1)直接写出即可.(2)关于原点O对称实质是以原点为对称中心.
解:(1)A(-2,0),B(2,-2),C(1,0),D(1,3).
(2)A'(2,0),B' (-2,2),C' (-1,0),D' (-1,-3).
【针对训练2】 如图所示,已知四边形ABCD是中心对称图形,对称中心是坐标原点O,A(-2,1),B(-3,-2).求点C及点D的坐标.
解:由题意知,点A和C,B和D关于原点对称,
∴C(2,-1),D(3,2).
【针对训练3】 若点A的坐标是(a,b),且a,b满足+b2+4b+4=0,求点A关于原点的对称点A'的坐标.
〔解析〕 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的关系以及非负数的性质,解题的关键在于求出a,b的值.
解:∵+b2+4b+4=0,
∴+(b+2)2=0,
∵≥0,≥0
∴a=3,b=-2,∴点A坐标为(3,-2).
又∵点A和点A'关于原点对称,
∴A'的坐标为(-3,2).
专题三 中心对称问题
如果把一个图形绕着某一点旋转180°它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.
成中心对称的两个图形中,对应点所连线段经过对称中心,且被对称中心平分.
【专题分析】
近年涉及中心对称的题目越来越多,掌握性质是关键.经常结合旋转、平移等知识综合考查.
如图(1)所示,AB⊥BC,AB=BC=2 cm,弧OA与弧OC关于点O成中心对称,则AB,BC,弧OC,弧OA所围成图形的面积是 .
〔解析〕 如图(2)所示,由弧OA与弧OC关于点O成中心对称,根据中心对称的定义,若连接AC,则点O为AC的中点,则题中所求面积等于△ABC的面积,即2 cm2.故填2 cm2.
80
【针对训练4】 如图所示,△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称,下列说法:①∠BAC=∠B1A1C1;②AC=A1C1;③OA=OA1;④△ABC与△A1B1C1的面积相等.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
〔解析〕 根据成中心对称的两个图形全等,得①②④正确;由对应点所连线段经过对称中心且被对称中心平分,得③正确.故选D.
【针对训练5】 在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,BC=2 cm.以AC的中点O为旋转中心,把这个三角形旋转180°,点B旋转至B'处,求B'与B之间的距离.
〔解析〕 画出符合题意的图形后,由勾股定理可求出OB的长,根据中心对称图形的性质可求出OB',则BB'=BO+OB'.
解:如图所示.
∵AC=BC=2 cm,O为AC的中点,
∴OC=1 cm.
在Rt△BOC中,OB===(cm),
∴OB'=OB= cm,∴BB'=2 cm.
专题四 数形结合思想
平面直角坐标系的建立,使平面内的点与有序数对之间建立起一一对应的关系,可以实现数与形的结合,由点找坐标,由坐标确定点的位置.通过坐标变化呈现图形变换,也促进了数形之间互相转化.
【专题分析】
数与形结合,直观形象,为分析问题和解决问题提供全新的方法,成为历年中考命题的热点.
如图所示,在六边形ABCDEF中,已知AB∥DE,AF∥CD,BC∥FE,AB=DE,AF=CD,BC=FE,FD⊥BD,FD=24 cm,BD=18 cm,你能求出六边形ABCDEF的面积吗?
〔解析〕 仔细观察发现,已知条件中平行且相等的线段有三组,即AB∥DE,AF∥CD,BC∥FE,且AB=DE,AF=CD,BC=FE,又知FD⊥BD,于是将六边形ABCDEF剪成△BCD,△DEF和四边形AFDB,并将△DEF平移到△BAG的位置,将△BCD平移到△GAF的位置,如图所示.则六边形ABCDEF的面积就等于四边形BDFG的面积.
解:能.如图所示,将△DEF竖直向上平移,使点D与点B重合,点E与点A重合,得到△BAG,
将△BCD水平向左平移,使点D与点F重合,点C与点A重合,得到△GAF,
80
则△DEF≌△BAG,△BCD≌△GAF,GB∥FD,GF∥BD,
∴S△DEF=S△BAG,S△BCD=S△GAF,又FD⊥BD,
∴S六边形ABCDEF=S△DEF+S△BCD+S四边形BDFA=S△BAG+S△GAF+S四边形BDFA=FD·BD=24×18=432(cm2).
[解题策略] 平移体现了图形与图形之间的一种变换关系,有时为了把分散的条件集中起来,常利用图形的平移变换.平移变换可以开阔思路,化难为易.
【方法点拨】
图形的运动在中考试题中屡见不鲜,将静态的几何图形动态化,有利于培养学生用动态的观点去看待问题,有利于培养学生空间想象能力和动手操作能力,这类问题的解题关键在于如何“静中求动”或“动中取静”.
在图形的平移、翻折与旋转运动变化中寻找不变的量:对应边相等,对应角相等,把握规律,探究关系,要学会把图形的对称性与分类讨论的数学思想结合在一起.
翻折与旋转在三大图形运动中是比较重要的,考查得较多.另外,从运动变化的图形的特殊位置,探索出一般的结论或者从中获得解题启示,这种由特殊到一般的思想,对我们解决运动变化问题是极为重要的,值得大家留意.
【针对训练6】 等边三角形ABC的边长为6,P为BC上一点,含30°,60°的直角三角板的60°角的顶点落在点P上,使三角板绕P点旋转.
(1)如图①所示,当P为BC的三等分点,且PE⊥AB时,判断△EPF的形状;
(2)在(1)问的条件下,FE,PB的延长线交于点G,如图②所示,求△EGB的面积.
解:(1)如图①所示,∵PE⊥AB,∠B=60°,
∴直角三角形PEB中,BE=BP=×BC=PC,
∵∠BPE=30°,∠EPF=60°,
∴FP⊥BC,
∵∠B=∠C=60°,BE=PC,∠PEB=∠FPC=90°,
∴△BEP≌△CPF (ASA),∴EP=PF,
∵∠EPF=60°,∴△EPF是等边三角形.
(2)如图②所示,过E作EH⊥BC于H,
由(1)可知:FP⊥BC,FC=BP=BC=4,BE=CP=BC=2,∠PFE=60°,∠EBP=60°,
在△FCP中,∠PFC=90°-∠C=30°,
∵∠PFE=60°,∴∠GFC=90°,
在Rt△FGC中,∠C=60°,CF=4,
∴GC=2CF=8,
∴GB=GC-BC=2,
在Rt△BEP中,∠EBP=60°,BP=4,
∴PE=2,BE=2,
∴EH=BE·PE÷BP=,
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∴S△GBE=BG·EH=.
本章质量评估
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1. 以下现象:①荡秋千;②呼啦圈;③跳绳;④ 转陀螺.其中是旋转的有 ( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
2.下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
3.如图所示的所有小三角形均是全等的等边三角形,其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心 ( )
A.顺时针旋转60°得到的
B.逆时针旋转60°得到的
C.顺时针旋转120°得到的
D.逆时针旋转120°得到的
4.下列图形中,绕某个点旋转180°能与自身重合的图形有 ( )
①正方形;②等边三角形;③长方形;④梯形;⑤平行四边形;⑥圆.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
5.如图所示,Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移得到Rt△DEF,则下列结论中,错误的是 ( )
A.BE=EC B.BC=EF
C.AC=DF D.△ABC≌△DEF
6.如图所示的图形可以看成是由一个菱形按一定旋转角度经过几次旋转得到的,则旋转的次数和每次旋转的角度分别是 ( )
A.3,60° B.2,120°
C.6,60° D.6,120°
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7.如图所示,P是正三角形ABC内的一点,若将△PBC绕点B旋转到△P'BA,则∠PBP'的度数是 ( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
8.如图所示,8×8方格纸的两条对称轴EF,MN相较于点O,对图a分别作如下变换:①以直线MN为对称轴作轴对称图形,再向上平移4格;②以点O为对称中心旋转180°,再向右平移1格;③以直线EF为对称轴做轴对称图形,再向右平移4格.其中能将图a变化成图b的是 ( )
A.①② B.①③ C.②③ D.③
9.(2015·潜江中考)在下面的网格图中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点都是网格线的交点,已知B,C两点的坐标分别为(-1,-1),(1,-2),将△ABC绕点C顺时针旋转90°,则点A的对应点的坐标为 ( )
A.(4,1) B.(4,-1)
C.(5,1) D.(5,-1)
10. 如图所示,已知△ABC与△CDA关于点O对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,下面的结论:①E和F,B和D是关于中心O的对称点;②直线BD必经过点O;③四边形ABFO与四边形DEOC的面积必然相等;④△AOE与△COF成中心对称.其中正确的个数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.在旋转的过程中,要确定一个图形旋转后的位置,除了知道原来图形的位置和旋转方向外,还需要知道 和 .
12.如图所示,已知面积为1的正方形ABCD的对角线相交于点O,过点O任作一条直线分别交AD,BC于E,F,则阴影部分的面积是 .
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13.如图所示,在平面内将Rt△ABC绕直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC.若AB=,BC=1,则线段BE的长为 .
14.如图所示,P是正方形ABCD内一点,将△ABP绕点B按顺时针方向旋转一定的角度后能与△CBP'重合.若PB=3,则PP'= .
15.聪聪和亮亮玩一种游戏,他们要将图(1)和图(2)中的三角形通过水平或竖直平移的方法得到图(3),平移的过程中,每次水平或竖直平移一格,先拼完的为胜, 聪聪选择了图(1),亮亮选择了图(2),那么 获胜.
16.观察下列图象,与图①中的鱼相比,图②中的鱼发生了一些变化,若图①中鱼上点P的坐标为(4,3.2), 则这个点在图②中的对应点P1的坐标为 .
17.如图所示的是阳光广告公司为某种商品制作的商标图案,若每个小长方形的面积都是1,则阴影部分的面积是 .
18.在平面直角坐标系中,已知3个点的坐标分别为A1(1,1),A2(0,2),A3(-1,1),一只电子蛙位于坐标原点处,第1次电子蛙由原点跳到以A1为对称中心的对称点P1,第2次电子蛙由P1跳到以A2为对称中心的对称点P2,第3次电子蛙由P2跳到以A3为对称中心的对称点
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P3……按此规律,电子蛙分别以A2,A3为对称中心继续跳下去,则当电子蛙跳了2009次后,电子蛙落点的坐标是P2009 .
三、解答题(共58分)
19.(9分)如图所示,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,P为△ABC内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP'重合,如果AP=3,那么线段PP'的长是多少?
20.(9分)△ABC在平面直角坐标系中,A(-1,0),B(-4,0),C(-3,2).
(1)将△ABC绕点M(0,1)顺时针旋转90°得到△A1B1C1,画图并直接写出C1的坐标.
(2)作出△ABC关于N(0,-1)中心对称的图形△A2B2C2,并接写出C2的坐标.
(3)观察并直接回答线段B1C1与B2C2大小与位置的关系.
21.(9分)在等腰三角形ABC中,AB=AC,边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD.
(1)如图①所示,若∠BAC=30°,30°
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