第十六章 二次根式
1.理解二次根式的概念.
2.理解(a≥0)是一个非负数,()2=a(a≥0),=a(a≥0).
3.掌握·=(a≥0,b≥0),=·(a≥0,b≥0),= (a≥0,b>0), =(a≥0,b>0).
4.了解最简二次根式的概念,并能灵活运用其对二次根式进行加减.
1.通过先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳得出概念,再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.
2.让学生用具体数据探究规律,采用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法法则,并运用法则进行计算.
3.让学生利用逆向思维,得出二次根式的乘(除)法法则的逆向等式,并运用它们进行化简.
4.通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,让学生对被开方数相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的.
1.培养学生利用二次根式的性质和重要结论进行准确计算的能力,培养学生一丝不苟的科学精神.
2.经过探索二次根式的重要结论和二次根式的乘除法法则,发展学生观察、分析、发现问题的能力.
二次根式是新课标中数与代数领域的重要内容,它是在前面平方根、立方根的基础上进行学习的,是对代数式及实数等内容的延伸与补充.同时,也是后继学习勾股定理、一元二次方程的求根公式及三角形的边角关系等内容的学习基础.因此,本章的相关知识对于整个初中阶段学习数与代数有着承前启后的重要意义.
本章内容分为三节,第一节主要学习二次根式的概念和性质;第二节是二次根式的乘法和除法运算,主要研究二次根式的乘除法运算法则和二次根式的化简;第三节是二次根式的加法和减法运算,主要研究二次根式的加减法运算法则和二次根式的化简.
【重点】
1.对(a≥0)是一个非负数的理解和对()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及应用.
2.二次根式乘除法的法则及其运用.
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3.最简二次根式的概念.
4.二次根式的加减运算.
【难点】
1.对(a≥0)是一个非负数的理解和对等式()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及应用.
2.二次根式的乘法、除法的条件限制.
3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.
1.通过前面的学习,我们已经知道了平方根、立方根的概念和求法,实数的有关概念和运算,对数的认识已经由有理数的范围扩大到实数范围,并对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受.因此,本章应充分注意与已有经验的联系.同时,本章内容与整式也有着密切的联系.由于数式通性,当将二次根式中的实数看成字母时,二次根式的运算实际上就是整式的运算,所以整式的运算法则和公式在二次根式的运算中仍然适用.因此本章强调了与整式相关内容的联系.
2.对于一些重要结论,要注意经历观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论的过程.例如,对于二次根式的乘法法则,首先利用二次根式的概念和性质进行具体的计算,并观察所得结果发现二次根式相乘与积的算术平方根之间的关系,并利用发现的规律进行计算,再归纳得出二次根式的乘法运算法则.这个过程实际上就是反映了一个由特殊到一般的认识过程.要通过这样的探究活动来发展我们的思维能力,有效改变学生的学习方式.
3.熟练掌握二次根式的概念和运算需要一定的训练,可以适当增加练习,以便较好地理解二次根式的意义,较好地掌握二次根式的性质和运算,为后续学习打下良好的基础.
16.1二次根式
2课时
16.2二次根式的乘除
2课时
16.3二次根式的加减
2课时
单元概括整合
1课时
16.1 二次根式
1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.
2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.
3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.
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经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.
经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.
【重点】 会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.
【难点】 运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.
第课时
使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.
经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.
经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.
【重点】 了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.
【难点】 会求二次根式中字母的取值范围.
【教师准备】 教学所需的习题资料.
【学生准备】 复习平方根和立方根的有关知识.
导入一:
唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,
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在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗?
要解决这个问题,我们得从二次根式说起.
[设计意图] 将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.
导入二:
1.教师出示复习题:
(1)4的平方根是 ;0的平方根是 ;-16的平方根是 .
(2)5的平方根是 ;5的算术平方根是 .
学生口答:(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16没有平方根.
(2)5的平方根是±;5的算术平方根是.
2.教师出示教材第2页“思考”题:
用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:
(1)面积为3的正方形的边长为 ,面积为S的正方形的边长为 .
(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为 m.
(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为 .
学生思考后回答,教师补充得出答案:(1),;(2);(3) .
[设计意图] 以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课.
1.二次根式的概念
思路一
[过渡语] (针对导入二)让我们一起来看下面的问题:上面得到的式子,,, 分别表示什么意义?它们有什么共同特征?
教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.
讨论:你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?
学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:
一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.
追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”?
教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数.
[设计意图] 让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a≥0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解.
思路二
像,,, 这样的式子有什么共同特点呢?
学生观察,交流发现:一是从形式上看,都含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数必须是非负数.
教师进一步明确:形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
引导学生说一说对二次根式的认识:
(1)表示a的算术平方根;(2)a可以是数,也可以是代数式;(3)从形式上看,含有二次根号;(4)a≥0,≥0.
[设计意图] 加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性.
2.例题讲解
[过渡语] 二次根式的定义怎样理解?让我们一起来学习几个例题.
下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被开方数.
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,,,(x≥3),(y>-1),,, (xy>0).
引导学生观察根指数和被开方数分析发现:显然不是二次根式(因为它的根指数是4,含有四次根号),其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义.
解:,(x≥3),, (xy>0)是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2,.
[解题策略] ①当被开方数形式是含有字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为(-3)2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2.
【变式训练】 下列各式中,一定是二次根式的是 ( )
A. B.
C. D.(其中a.故选C.
3.当x= 时,二次根式有最小值,其最小值是 .
解析:∵二次根式有意义,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3.
答案:-3 0
4.求下列各式中字母a的取值范围:
(1);(2) ;(3);(4).
解:(1)由a+1≥0,得a≥-1.∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数. (2)由>0,得1-2a>0,即a0,所以字母a的取值范围是全体实数.
第1课时
1.二次根式的概念
2.例题讲解
例1 例2
一、教材作业
【必做题】
教材第3页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第1题.
【选做题】
教材第5页习题16.1第7题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若 是二次根式,则下列结论正确的是 ( )
A.x≥0,y≥0 B.x>0,y>0
C.x,y同号 D.≥0
2.已知实数x,y,m满足+=0,且y为负数,则m的取值范围是 ( )
A.m>6 B.m-6 D.m0,b>0.故选A.)
4.x≥(解析:要使二次根式有意义,则需满足5x-2≥0,∴x≥.)
5.≥-且x≠-1(解析:要使+在实数范围内有意义,必须同时满足的被开方数2x+3≥0和的分母x+1≠0,即 由①得x≥-,由②得x≠-1.∴当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.)
6.9(解析:由题意得x-3≥0,3-x≥0,得x=3,故y=2,∴xy=9.)
7.解:∵-(y-1)=0,∴+(1-y)=0.∴x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.∴x2016-y2016=(-1)2016-12016=1-1=0.
8.解:由a-2015≥0,得a≥2015,故已知式子可化为a-2014+=a.∴=2014.两边平方并整理,得a-20142=2015.
9.解:由等式的右边,根据二次根式有意义的条件得x-2013+y≥0且2013-x-y≥0,得x+y≥2013且x+y≤2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以①-②,得x+2y=2.又x+y=2013,两式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015.
我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课努力做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.
在教学中,我适当增加了有拓展性的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高,但受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位.
根据教学时间多少调整例题教学,适当增加对二次根式非负性的例题的讲解,注重变式练习,以加深对二次根式具有双重非负性的理解.
练习(教材第3页)
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1.解:设长方形的长和宽分别为3a cm,2a cm.由题意,得3a·2a=18,∴a2=3,a=(舍去a=-),∴3a=3,2a=2.故长方形的长取3 cm,宽取2 cm.
2.解:(1)当a-1≥0,即a≥1时,有意义. (2)当2a+3≥0,即a≥-时,有意义. (3)当-a≥0,即a≤0时,有意义. (4)当5-a≥0时,即a≤5时,有意义.
若x,y为实数,且满足y=+-3,求x+2y的值.
〔解析〕 根据二次根式的被开方数不小于0,求得x,y的值,然后将其代入所求的代数式并计算.
解:由二次根式有意义的条件得即x2-4=0,所以x=±2.
当x=±2时,y=-3.
①当x=2,y=-3时,x+2y=2+2×(-3)=-4;
②当x=-2,y=-3时,x+2y=-2+2×(-3)=-8.
所以x+2y的值是-4或-8.
[解题策略] 根据已知得出并得到x=±2是解决本题的关键.
已知(3a-6)2+=0,求ba的值.
〔解析〕 根据非负数的性质:若两个非负数的和为0,则这两个非负数的值都为0,解出a,b的值,再代入原式中计算.
解:因为(3a-6)2与都是非负数,且它们的和为0,
所以3a-6=0,b-3=0,即a=2,b=3.
此时ba=32=9.
[解题策略] 本题考查了非负数的性质,初中阶段有三种类型的非负数:(1)绝对值;(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们的和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类问题.
第课时
1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.
2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.
3.了解代数式的概念.
在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.
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通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.
【重点】 掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.
【难点】 能运用二次根式的性质化简.
【教师准备】 教学所需的习题资料.
【学生准备】 自学教材第3~4页的内容.
导入一:
教师出示问题:
先化简再求值:当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:
甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢?
本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.
[设计意图] 以问题设疑,发挥问题导向作用,激发学生的求知欲,为本节课学习打下基础.
导入二:
1.什么叫二次根式?
2.当a≥0时,叫什么?当a
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