第十七章 勾股定理
1.掌握勾股定理,能应用勾股定理进行简单的计算和实际应用.
2.掌握勾股定理的逆定理(直角三角形的判定方法),会运用勾股定理逆定理解决相关问题.
体验勾股定理的探索过程,经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.
1.经历由情境引出问题,探索掌握有关数学知识,再运用于实践的过程,培养学数学、用数学的意识与能力.
2.感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情.
本章的主要内容是勾股定理及勾股定理的应用,教材从实践探索入手,给学生创设学习情境,接着研究直角三角形的勾股定理,介绍勾股定理的逆定理(直角三角形的判定方法),最后介绍勾股定理及勾股定理逆定理的广泛应用.勾股定理是安排在学生学习了三角形、全等三角形、等腰三角形等有关知识之后,它反映了直角三角形三边之间一种美妙的数量关系,将数与形密切联系起来,在几何学中占有非常重要的位置,在理论和实践上都有广泛的应用.勾股定理逆定理是判定一个三角形是不是直角三角形的一种古老而实用的方法.在“四边形”和“解直角三角形”相关章节中,勾股定理知识将得到更重要的应用.
【重点】 会灵活运用勾股定理进行计算及解决一些实际问题,掌握勾股定理的逆定理的内容及其证明过程,并会应用其解决一些实际问题.
【难点】 掌握勾股定理的探索过程及适用范围,理解勾股定理及其逆定理.
1.注重使学生经历探索勾股定理等过程.本章从实践探索入手,创设学习情境,研究勾股定理及它的逆定理,并运用于解决一些简单的数学问题与实际问题.在整个学习过程中应注意培养学生的自主探索精神,提高合作交流能力和解决实际问题的能力.
2.注重创设丰富的现实情境,体现勾股定理及其逆定理的广泛应用.本章对勾股定理的探索就来源于生活,勾股定理的应用又直接应用于生活.因此,
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在探索、验证、应用等各阶段都应更多地设置与生活密切联系的现实情境,使学生能根据生活经验比较好地进行勾股定理应用的建模过程.教学时可更多地利用多媒体辅助教学手段,以丰富课堂教学.
3.尽可能地介绍有关勾股定理的历史,体现其文化价值.与勾股定理有关的背景知识丰富,在教学中,应注意展现与勾股定理有关的背景知识,使学生对勾股定理的发展过程有所了解,感受勾股定理的丰富文化内涵,激发学生的学习兴趣.特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就,激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情,培养他们的民族自豪感,同时教育学生发奋图强,努力学习,为将来担负起振兴中华的重任打下基础.
4.注意渗透数形结合的思想.数形结合是重要的数学思想方法,本章内容又恰是进行数形结合思想方法教学的较为理想的材料,因此,应强调通过图形找出直角三角形三边之间的关系,从而解决有关问题.
17.1勾股定理
3课时
17.2勾股定理的逆定理
1课时
单元概括整合
1课时
17.1 勾股定理
1.掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理.
2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用.
1.经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程.
2.发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想,树立数形结合、分类讨论的意识.
通过对勾股定理历史的了解和实例应用,体会勾股定理的文化价值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激发学生的民族自豪感和爱国情怀.
【重点】 知道勾股定理的内容,并能应用其进行简单的计算和实际运用.
【难点】 勾股定理的灵活运用.
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第课时
1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼图验证勾股定理的方法.
2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算.
1.在勾股定理的探索过程中,经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程.
2.发展合情推理的能力,体会数形结合思想、由特殊到一般的数学思想、分类讨论思想.
通过对勾股定理历史的了解和实例应用,体会勾股定理的文化价值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激发学生的民族自豪感和爱国情怀.
【重点】 探索和验证勾股定理,并能应用其进行简单的计算.
【难点】 用拼图的方法验证勾股定理.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 三角板、方格纸、三角形模型.
导入一:
国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议,被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开了第24届国际数学家大会.此图案就是大会会徽的图案.
大会的会徽图案有什么特殊含义呢?这个图案与数学中的勾股定理有着密切的关系.中国古代人把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”,较长的直角边叫做“股”,斜边叫做“弦”.上述图案就揭示了“勾”“股”“弦”之间的特殊关系.
我们学习过等腰三角形,知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形,它有许多特殊的性质.研究特例是数学研究的一个方法,直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形,
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等腰直角三角形又是特殊的直角三角形,直角三角形的三边之间存在怎样的关系呢?我们的探究活动就从等腰直角三角形开始吧.
[设计意图] 勾股定理揭示的是特殊三角形的三边关系,从探索等腰直角三角形三边关系入手,揭示直角三角形的三边关系,体现了由特殊到一般的数学研究方法.
导入二:
请同学们认真观察课本封面和本章章前彩图,说一说封面和章前彩图中的图形表示什么意思?它们之间有联系吗?
封面是我国公元3世纪汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的“弦图”,章前彩图是2002年世界数学家大会的会徽,大会的会徽使用的主体图案就是“赵爽弦图”.
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前,是非常了不起的成就.
你知道为什么把这个图案作为这次大会的会徽吗?本节课,我们一起来解读图中的奥秘.
[设计意图] 以生活课本中的图案、故事导入,增强了趣味性,拉近了数学与生活的距离,激发了学生的民族自豪感和爱国情怀.
导入三:
如图所示,一座城墙高11.7 m,城墙外有一条宽为9 m的护城河,那么一架长为15 m的云梯能否达到城墙的顶端?
这就是我们今天所要学习的内容,一个非常重要的定理——“勾股定理”.
[设计意图] 以学生熟悉的生活情境作为教学活动的切入点,使学生对问题产生兴趣.让学生主动去分析,发现,亲身体验,产生学习“勾股定理”的主观愿望.
1.探索勾股定理
(1)探索等腰直角三角形三边之间的关系.
[过渡语] (如教材第22页图)相传2500多年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时,发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.
师:这个地面图案中有大大小小、各种“姿势”的正方形.毕达哥拉斯在这些正方形中发现了什么呢?(出示教材图17.1 - 2)
(1)问题提出:在图17.1 - 2中,是以等腰直角三角形三边为边长的三个正方形.这三个正方形面积之间存在怎样的关系?三个正方形之间的面积关系说明了什么?
(2)学生活动:质疑、猜测、探索、交流三个正方形面积之间的关系.
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学生的探索方法可能是:通过数正方形内等腰直角三角形个数的办法,得出两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.
(3)教师总结:通过直接数等腰直角三角形的个数,或者用割补的方法将小正方形中的等腰直角三角形补成一个大正方形,得出结论:小正方形的面积之和等于大正方形的面积,也就是等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
追问:在图17.1 - 2中,如果选取更大的等腰直角三角形,按照同样的方法作三个正方形,这三个正方形的面积关系还一样吗?如图所示.
[设计意图] 这个探索活动是学习、探索勾股定理的基础.借助三个正方形面积之间的关系,探索等腰直角三角形三边的数量关系,这是本活动的出发点.提出追问的问题,有助于学生的认识上升到整个直角三角形的一般性的高度,也为学生有个性的创意活动搭建了平台.
(2)探索具体边长的非等腰直角三角形三边之间的关系.
思路一
[过渡语] 除了等腰直角三角形之外,一些特殊边长的直角三角形,还有斜边的平方等于两条直角边的平方和的规律吗?
(出示教材图17.1 - 3)
提出问题:(结合带提示的下图)
1.正方形A,B,C的面积分别是多少?它们之间的数量关系说明了什么?
2.正方形A',B',C'的面积分别是多少?它们之间的数量关系说明了什么?
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学生活动:依据教材探究的提示,根据直角三角形的边长,分别计算出正方形A,B,A',B'的面积;再通过建立一个大正方形计算出正方形C,C'的面积.
探究提示:正方形A,B的面积分别为4和9,通过建立边长为5的正方形,计算出正方形C的面积为25减去四个小直角三角形面积和,也就是正方形C的面积为13.
同理,正方形A',B'的面积分别为9和25,通过建立边长为8的正方形,计算出正方形C'的面积为64减去四个小直角三角形面积和,也就是正方形C'的面积为34.
活动总结:直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
[设计意图] 由特殊到一般,借助网格,利用面积割补法计算正方形的面积,探索直角三角形三边之间的关系,为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础,提供方法.
思路二
1.画一个两直角边长分别为3 cm和4 cm的直角三角形ABC,用刻度尺量出AB的长.再画一个两直角边长分别为5和12的直角三角形ABC,用刻度尺量AB的长.
你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系?
学生计算后发现:32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2.
学生讨论:对于任意的直角三角形,也有这个性质吗?
2.如图所示,每个小方格的面积均为1,请分别算出图中正方形A,B,C的面积,看看能得出什么结论.
A的面积
B的面积
C的面积
左上图
16
9
25
右下图
4
9
13
探究提示:右下图正方形C的面积为25减去四个小直角三角形面积和12,也就是正方形C的面积为13.左上图亦是同样的思考方法.
学生计算后发现:小正方形A,B的面积之和等于大正方形C的面积.
追问:由以上你能得出什么结论?若直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,则a,b,c有什么关系?
教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出:直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.数学表达式为:a2+b2=c2.
[设计意图] 通过学生画、量、算等形式,让学生在探究中发现结论,借助网格,利用面积割补法计算正方形的面积,探索直角三角形三边之间的关系,为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础,提供方法.
2.勾股定理的证明
教师提问:对于任意直角三角形三边之间应该有什么关系?
教师引导学生猜想:如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
追问:以上直角三角形的边长都是具体的数值,一般情况下,如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,我们的猜想仍然成立吗?
思路一
(出示教材图17.1 - 5)让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图所示的图形,利用面积证明.
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图中大正方形的面积是c2,直角三角形的面积是ab,中间正方形的面积为(b-a)2,则有c2=ab×4+(b-a)2,即a2+b2=c2.
教师适时介绍:这个图案是公元3世纪汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.赵爽根据此图指出:四个全等的直角三角形(朱实)可以按如图所示围成一个大正方形,中间部分是一个小正方形(黄实).我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形.
教师在学生归纳基础上总结:直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.中国人称它为“勾股定理”,外国人称它为“毕达哥拉斯定理”.
[设计意图] 通过拼图活动,调动学生思维的积极性,为学生提供从事数学活动的机会,发展学生的形象思维,使学生对定理的理解更加深刻,体会数学中数形结合的思想.通过对赵爽弦图的介绍,了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献,增强民族自豪感.通过了解勾股定理的证明方法,增强学生学习数学的自信心.
思路二
学生利用拼图游戏验证定理,并思考:能用右图证明这个结论吗?
已知:在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC,∠ABC,∠ACB的对边分别为a,b,c.
求证:a2+b2=c2.
(1)让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的纸,让学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明.
(2)拼成如图所示,其等量关系为4×ab+(b-a)=c2,化简可证.
(3)发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明.
利用下面这些图也能证明这个结论吗?
教师指导学生验证.
我们证明了以上结论的正确性,我们就可称之为定理,这就是著名的“勾股定理”.
请同学们用不同的表达方式(文字语言、符号语言)表述这一定理.
勾股定理的名称介绍:3000多年前,我国古代有一个叫商高的人说:“把一根直尺折成直角,两端连接得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5.因为勾股定理内容最早出现在商高的话中,所以又称“商高定理”.一千多年后,西方的毕达哥拉斯证明了此定理,因此又叫“毕达哥拉斯定理”,当时毕达哥拉斯学派为了纪念这一发现,杀了一百头牛庆功,故而还叫“百牛定理”.一个定理有如此多的“头衔”,可见勾股定理的不凡.
[设计意图] 通过拼图活动,充分调动学生的积极性,进一步激发学生的求知欲;通过借助不同图形探索证明,提高学生思维的活跃性;通过对赵爽弦图的介绍,了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献,增强民族自豪感.
思路三
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[过渡语] 以上猜想经过古今中外的人多次证明都是成立的.我国人称它为“勾股定理”,在西方,它被称作“毕达哥拉斯定理”.目前世界上可以查到证明勾股定理的方法不下500种.
1876年,美国总统伽菲尔德利用下图验证了勾股定理.你也能完成证明过程吗?
证明:以a,b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab.把这两个直角三角形拼成如图所示的形状,使A,E,B三点在一条直线上.
∵Rt△EAD≌Rt△CBE,
∴∠ADE=∠BEC.
∵∠AED+∠ADE=90°,
∴∠AED+∠BEC=90°.
∴∠DEC=180°-90°=90°.
∴△DEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于c2.
又∵∠DAE=90°,∠EBC=90°,
∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是一个直角梯形,它的面积等于(a+b)2.
∴(a+b)2=2×ab+c2.
∴a2+b2=c2.
学生思考后,教师再展示证明过程.
[设计意图] 通过了解勾股定理的不同证明方法,丰富自己的知识;通过了解到古今中外无数人进行证明,激发学生学习数学的热情.
[知识拓展] 解决直角三角形有关计算和证明的问题时,要注意:(1)求直角三角形斜边上的高常运用勾股定理和面积关系式联合求解.(2)要证明线段的平方关系,首先考虑使用勾股定理,从图中寻找或构造包含所证线段的直角三角形,利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证.(3)由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b),b2=c2-a2=(c+a)(c-a)等.(4)在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有a2+b2c2.
3.例题讲解
(补充)在直角三角形中,各边的长如图,求出未知边的长度.
引导分析:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.通过对等式变形,可以得出直角三角形三边之间的关系:c=,b=,a=.
解:(1)根据勾股定理,得AB===.
(2)根据勾股定理,得AB===2.
[解题策略] 在直角三角形中,已知两边长,求第三边长,应用勾股定理求解,也可建立方程解决问题.
(补充)有两边长分别为3 cm,4 cm的直角三角形,其第三边长为 cm.
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〔解析〕 分情况讨论:当4 cm为直角边长时,当4 cm为斜边长时,依次求出答案即可.①当4 cm是直角边长时,斜边==5(cm),此时第三边长为5 cm;②当4 cm为斜边长时,第三边==(cm).综上可得第三边的长度为5 cm或 cm.故填5或.
[解题策略] 注意掌握勾股定理的表达式,分类讨论是解决此题的关键,难点在于容易漏解.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
1.如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.
2.注意事项:
(1)注意勾股定理的使用条件:只对直角三角形适用,而不适用于锐角三角形和钝角三角形.
(2)注意分清斜边和直角边,避免盲目代入公式致错.
(3)注意勾股定理公式的变形:在直角三角形中,已知任意两边长,可求第三边长,即c=,b=,a=.
1.如图所示,字母B所代表的正方形的面积是 ( )
A.12 B.13
C.144 D.194
解析:根据勾股定理知,斜边长的平方等于两直角边长的平方和,则字母B所代表的正方形的面积等于以三角形斜边长为边长的正方形的面积减去以另一直角边长为边长的正方形的面积,即169-25=144.故选C.
2.如图所示,若∠A=60°,AC=20 m,则BC大约是(结果精确到0.1 m) ( )
A.34.64 m B.34.6 m
C.28.3 m D.17.3 m
解析:∵∠A=60°,∠C=90°,∴∠B=30°,∴AB=2AC,∵AC=20,∴AB=40,∴BC====20≈34.6(m).故选B.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)若a=3,b=4,则c= ;
(2)若b=6,c=10,则a= ;
(3)若a=5,c=13,则b= ;
(4)若a=1.5,b=2,则c= .
解析::根据勾股定理计算即可.(1)c===5;(2)a===8;(3)b===12;(4)c===2.5.
答案:(1)5 (2)8 (3)12 (4)2.5
4.如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.
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(1)求DE的长;
(2)求△ADB的面积.
解:(1)∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE,∵CD=3,∴DE=3. (2)在Rt△ABC中,由勾股定理得AB===10,∴S△ADB=AB·DE=×10×3=15.
第1课时
1.探索勾股定理
2.勾股定理的证明
3.例题讲解
例1 例2
一、教材作业
【必做题】
教材第24页练习第1,2题;教材第28页习题17.1第1题.
【选做题】
完成教材第30页勾股定理的几种证法的证明过程.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是 ( )
A. B. C. D.
2.如图所示,有一张直角三角形纸片,两直角边长分别为AC=6 cm,BC=8 cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于 ( )
A.2 cm B.3 cm
C.4 cm D.5 cm
3.(2015·黑龙江中考)△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是 ( )
A.4.8 B.4.8或3.8
C.3.8 D.5
4.如图所示,由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形,连接小正方形的三个顶点,可得到△ABC,则△ABC中BC边上的高是 .
【能力提升】
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5.若直角三角形的两直角边长为a,b,且满足+=0,则该直角三角形的斜边长为 .
6.如图所示,在△ABD中,∠D=90°,C是BD上一点,已知CB=9,AB=17,AC=10,求AD的长.
7.在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,求△ABC的周长.
8.(2014·温州中考)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形按图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明.
下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程:
将两个全等的直角三角形按如图(1)所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.
证明:连接DB,过点D作DF⊥BC于F,则DF=EC=b-a.
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab,
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),
∴b2+ab=c2+a(b-a).
∴a2+b2=c2.
请参照上述证法,利用图(2)完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按如图(2)所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.
证明:连接 .
∵S五边形ACBED= ,
又∵S五边形ACBED= ,
∴ .
∴a2+b2=c2.
【拓展探究】
9.如图所示,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B的坐标为(3,).点C的坐标为,点P为斜边OB上的一个动点,求PA+PC的最小值.
【答案与解析】
1.A(解析:如图所示,∵AC=9,BC=12,∠ACB=90°,∴由勾股定理可得AB=15,再由等面积法可得×9×12=×15×CD,∴CD=.故选A.)
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2.B(解析:由题意可知△ACD和△AED关于直线AD对称,因而有△ACD≌△AED,所以AE=AC=6 cm,CD=ED,∠AED=∠ACD=90°.在Rt△ABC中,由勾股定理可得AB===10(cm).若设CD=ED=x cm,则在Rt△BDE中,由勾股定理可得DE2+BE2=BD2,即x2+(10-6)2=(8-x)2,解得x=3.所以CD=3 cm.)
3.A(解析:过A点作AF⊥BC于F,连接AP,∵△ABC中,AB=AC=5,BC=8,∴BF=4,∴在△ABF中,AF==3,∴×8×3=×5×PD+×5×PE,即12=×5×(PD+PE),∴PD+PE=4.8.故选A.)
4.(解析:由题意知S△ABC=S正方形AEFD-S△AEB-S△BFC-S△CDA=2×2-×1×2-×1×1-×1×2=.∵BC==,∴△ABC中BC边上的高是×2÷=.)
5.5(解析:∵+=0,∴a2-6a+9=0,b-4=0,解得a=3,b=4,∵直角三角形的两直角边长分别为a,b,∴该直角三角形的斜边长===5.)
6.解:设CD=x.在Rt△ACD中,由AD2=AC2-CD2,可得AD2=102-x2.在Rt△ABD中,由AD2=AB2-BD2,可得AD2=172-(x+9)2,所以102-x2=172-(x+9)2,解得x=6.∴AD===8.
7.解:当△ABC的高在三角形内时,如图(1)所示,由题意可知BD2=AB2-AD2=152-122, ∴BD=9,CD2=AC2-AD2=132-122,∴CD=5,∴BC=9+5=14,因此△ABC的周长为14+15+13=42. 当△ABC的高在三角形外时,如图(2)所示,由题意可知BD2=AB2-AD2=152-122,∴BD=9,CD2=AC2-AD2=132-122,∴CD=5,∴BC=9-5=4,因此△ABC的周长为4+15+13=32.综上所述,△ABC的周长为32或42.
8.证明:如图所示,连接BD,过点B作BF⊥DE于F,则BF=b-a.∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△AED=ab+b2+ab,又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a),∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a).∴a2+b2=c2.
9.解:如图所示,作A关于OB的对称点D,AD交OB于点M,连接CD交OB于P,连接AP,过D作DN⊥OA于N,则此时PA+PC的值最小,由作图知DP=PA,∴PA+PC=PD+PC=CD.∵B(3,),∴AB=,OA=3,由勾股定理得OB=2,易得在Rt△OAB中,∠AOB=30°.由三角形面积公式得×OA×AB=×OB×AM,∴AM=,∴AD=2×=3.∵∠AMB=90°,∠B=60°,∴∠BAM=30°,∵∠BAO=90°,∴∠OAM=60°,∵DN⊥OA,∴∠NDA=30°,∴AN=AD=,由勾股定理得DN=.∵C,∴CN=3--=1,在Rt△DNC中,由勾股定理得DC==,即PA+PC的最小值是.
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本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境——分析探究——得出猜想——实践验证——总结升华”为主线,使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.
在教学过程中,高估了学生证明勾股定理的能力,主要困难在于一些学生不能对图形进行正确的割补.对图形的割补过程没有给学生详细的呈现.
适当增加学生拼图的时间,通过实践操作,画图分析,独立分析证明思路,正确完成证明过程.
练习(教材第24页)
1.解:(1)根据勾股定理a2+b2=c2,得b===8. (2)根据勾股定理a2+b2=c2,得c===13. (3)根据勾股定理a2+b2=c2,得a===20.
2.解:如图所示,在Rt△FHG中,FG2=SA+SB=122+162=400,HG2=SC+SD=92+122=225,∴大正方形的面积SE=FH2=FG2+HG2=400+225=625.
挖掘勾股定理的科学文化价值
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系.在直角三角形中,已知任意两边长,就可以求出第三边长.勾股定理常用来求解线段长度或距离问题.
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勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发,到网格中的直角三角形,再到一般的直角三角形,体现了从特殊到一般的探索、发现和证明的过程.证明勾股定理的关键是利用割补法求以三角形的斜边长为边长的正方形的面积,教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质,提出一般的猜想,并获得定理的证明.
我国古代在数学方面有许多杰出的研究成果,对于勾股定理的研究就是一个突出的例子.教学中可以介绍我国古代在勾股定理的证明和应用方面取得的成就和作出的贡献,以培养学生的民族自豪感.围绕证明勾股定理的过程,培养学生学习数学的热情和信心.
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=10,则S2的值是 .
〔解析〕 解题的关键在于理解如何拼接成“弦图”,并运用弦图中隐含的结论寻找新的等量关系.设直角三角形的两直角边长分别为a,b(b>a).∵S1=(a+b)2,S2=a2+b2,S3=(b-a)2,∴(a+b)2+(a2+b2)+(b-a)2=10,得a2+b2=,即S2=.故填.
[解题策略] 本题运用数形结合思想,先表示出S1,S2,S3,灵活用勾股定理方可解决问题.
第课时
能说出勾股定理,能运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.
1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型,强化转化思想,培养学生解决现实问题的意识和能力.
2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,进一步体会勾股定理的应用方法.
在例题分析和解决过程中,让学生感受勾股定理在实际生活中的应用.同时在学习过程中体会获得成功的喜悦,提高学生学习数学的兴趣和信心.
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【重点】 运用勾股定理解决实际问题.
【难点】 勾股定理的灵活运用.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 三角板、三角形模型.
导入一:
电视的尺寸是屏幕对角线的长度.小华的爸爸买了一台29英寸(74 cm)的电视机,小华量电视机的屏幕后,发现屏幕只有58 cm长和46 cm宽.他觉得一定是售货员搞错了,你同意他的想法吗?你能解释是为什么吗?
引导学生回忆勾股定理的内容,学生再尝试解决上面的问题.
[设计意图] 让学生回忆勾股定理的内容,并注意文字语言、图形语言、符号语言的规范统一,尝试解决生活中的实际问题,以激发学生学习的兴趣和探究的欲望.
导入二:
上节课,我们学习了勾股定理,它的具体内容是什么呢?它有什么作用呢?
教师出示问题:求出下列直角三角形中未知的边.
提出问题后让一位学生板演,剩下的学生在课堂作业本上完成.
教师巡视指导答疑,在活动中重点关注:
(1)学生能否正确应用勾股定理进行计算;
(2)在解决直角三角形的问题时,需知道直角三角形的两个条件且至少有一个条件是边;
(3)让学生了解在直角三角形中斜边最长.
[设计意图] 通过简单的提问帮助学生回顾勾股定理,加深定理的记忆理解,为学习新课做好准备.
[过渡语] 勾股定理应用比较广泛,我们一起来看看下面几个问题.
1.木板进门问题
思路一
(1)分析导入一提出的问题.
教师在学生讨论基础上明确解决问题的方法:计算电视机对角线的长度,看是否为74 cm.
解:根据勾股定理,得≈74(cm).
因此,这台电视机符合规格.
(2)自学教材第25页例1.
教师提问:门框能通过薄木板的最大宽度是多少?
学生带着问题阅读题目,试写解答过程.
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(3)变式练习:长方体盒内长、宽、高分别为3 cm,2.4 cm和1.8 cm,盒内可放的棍子最长为 cm.
本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长,为=(cm).这根最长的棍子和长方体的高,以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形,则棍子最长为=3(cm).
教师引导学生小结:遇到求木板进门或将物体放入立体图形内的问题,常常需要找到能通过(放入)物体的最大长度,与物体的长度比较大小,从而判断是否可以通过(放入).
[设计意图] 通过讲练结合,引导学生独立分析,自主学习,提高学生运用勾股定理解决简单问题的能力.
思路二
(教材例1)一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m,宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
逐步引导提问:
(1)木板的短边比门的高还要长,是否一定不能通过?还可以分析比较哪两个长度?
(2)这两个长度一个是木板的短边长,另一个是长方形的对角线的长,能求吗?如何求?
学生先尝试后发现:木板横着进,竖着进,都不能从门框内通过.再试一试斜着能否通过.门框对角线 AC的长度是斜着能通过的最大长度.求出AC,再与木板的宽比较,就能知道木板能否通过.
解:如图所示,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
得AC2=AB2+BC2=12+22=5.
AC=≈2.24.
因为AC大于木板的宽2.2 m,所以木板能从门框内通过.
[解题策略] 在遇到木板进门或将物体放入立体图形内的问题,常常需要找到能通过(放入)物体的最大长度,与物体的长度比较大小,从而判断是否可以通过(放入).
[设计意图] 运用转化思想,将求门框的对角线的长转化为已知两直角边长求斜边长,从而用勾股定理解决.
2.梯子靠墙问题
如图所示,一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m,那么梯子底端B也外移0.5 m吗?
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引导学生分析:利用勾股定理算出梯子底端B外移多少即可,转化为BD=OD-OB,需要根据勾股定理先计算OD,OB的长度.
解:可以看出,BD=OD-OB.
在Rt△AOB中,根据勾股定理,
得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1,
OB==1.
在Rt△COD中,根据勾股定理,
得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,
OD=≈1.77.
BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5 m时,梯子底端并不是也外移0.5 m,而是外移约0.77 m.
[解题策略] 已知直角三角形的两边长,可以根据勾股定理求出第三边长.已知直角三角形的一边长及两边之间的关系,也可以求出各边长.在求锐角三角形或钝角三角形的边长时,可以将其转化为直角三角形,应用勾股定理求解.
[设计意图] 巩固性练习,本题涉及已知斜边长和一直角边长求另一直角边长,也用勾股定理解决.
3.表面距离最短问题
(补充)如图所示,一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为 ( )
A.a B.(1+)a
C.3a D.a
解析:将正方体侧面展开,部分展开图如图所示.由图知AC=2a,BC=a.根据勾股定理,得AB===a.故选D.
[解题策略] 平面图中,可以直接用勾股定理求两点之间的距离,而在求表面距离最短的问题时,需要将立体图形展开后,将实际问题转化成可以用勾股定理进行计算的问题.
[设计意图] 通过例题分析解决,建立数学模型,提高学生分析问题和解决问题的能力.
[知识拓展] 勾股定理应用的条件必须是直角三角形,所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.常见的应用类型为:①化非直角三角形为直角三角形;②将实际问题转化为直角三角形模型.
用勾股定理计算时,要先画好图形,并标好图形,理清各边之间的关系,再灵活运用勾股定理计算.在利用勾股定理进行有关计算和证明时,要注意运用方程的思想;求直角三角形有关线段的长,有时还要运用转化的数学思想,或利用添加辅助线的方法构造直角三角形,再运用勾股定理求解.
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1.小明用火柴棒摆直角三角形,已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒,他摆完这个直角三角形共用火柴棒 ( )
A.20根 B.14根 C.24根 D.30根
解析:∵摆两直角边分别用了6根、8根长度相同的火柴棒,∴由勾股定理,得摆斜边需用火柴棒=10(根),∴他摆完这个直角三角形共用火柴棒6+8+10=24(根).故选C.
2.为迎接新年的到来,同学们做了许多花布置教室,准备召开新年晚会.小刘搬来一架高2.5米的木梯,木梯放好后,顶端与地面的距离为2.4米,则梯脚与墙脚的距离应为 ( )
A.0.7米 B.0.8米 C.0.9米 D.1.0米
解析:仔细分析题意得:梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形,梯高为斜边,利用勾股定理解即可.梯脚与墙脚距离为=0.7(米).故选A.
3.(2015·厦门中考节选)已知A,B,C三地的位置如图所示,∠C=90°,A,C两地相距4 km,B,C两地相距3 km,则A,B两地的距离是 km.
解析:∵∠C=90°,A,C两地的距离是4 km,B,C两地的距离是3 km,∴AB===5(km).故填5.
4.(2014·潍坊中考)我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是 尺.
解析:将圆柱平均分成五段,将最下边一段圆柱的侧面展开,并连接其对角线,即为每段的最短长度,为=5,所以葛藤的最短长度为5×5=25(尺).故填25.
5.如图(1)所示,两点A,B都与平面镜CD相距4米,且A,B两点相距6米,一束光由A点射向平面镜,反射之后恰好经过B点,求B点与入射点间的距离.
解:如图(2)所示,作出B点关于CD的对称点B',连接AB',交CD于点O,则O点就是光的入射点,连接OB.因为AC=BD,∠ACO=∠BDO=90°,∠AOC=∠BOD,所以△AOC≌△BOD.所以OC=OD=AB=3米.在Rt△ODB中,OD2+BD2=OB2,所以OB2=32+42=25,所以OB=5米.
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第2课时
1.木板进门问题
例1
2.梯子靠墙问题
例2
3.表面距离最短问题
例3
一、教材作业
【必做题】
教材第26页练习第1,2题;教材第28页习题17.1第2,3,4,5题.
【选做题】
教材第29页习题17.1第9,10,11题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行 ( )
A.8 m B.10 m C.12 m D.14 m
2.如图所示的是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是 ( )
A.12≤a≤13 B.12≤a≤15
C.5≤a≤12 D.5≤a≤13
3.如图所示,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.
4.如图所示,在长方形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在对角线BD上的点A'处,则AE的长为 .
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【能力提升】
5.(2014·龙东中考)一圆锥体形状的水晶饰品,母线长是10 cm,底面圆的直径是5 cm,点A为圆锥底面圆周上一点,从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点,则彩带最少用(接头处重合部分忽略不计) ( )
A.10π cm B.10 cm
C.5π cm D.5 cm
6.如图所示,某会展中心准备在高5 m,长13 m,宽2 m的楼梯上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼梯至少需要 元钱.
7.如图所示,要制作底边BC的长为44 cm,顶点A到BC的距离与BC长的比为1∶4的等腰三角形木衣架,则腰AB的长至少需要 cm.(结果保留根号的形式)
8.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不至于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:00,甲、乙两人相距多远?还能保持联系吗?
9.如图所示,有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6 m,8 m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8 m为直角边长的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.
【拓展探究】
10.△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠C=90°,如图(1)所示,根据勾股定理,则a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如图(2)和图(3)所示,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.
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【答案与解析】
1.B(解析:如图所示,设大树AB高为10 m,小树CD高为4 m,过C点作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是长方形,连接AC,则EB=4 m,EC=8 m,AE=AB-EB=10-4=6(m).在Rt△AEC中,AC==10 m.)
2.A(解析:a的最小长度显然是圆柱的高12,根据勾股定理,得=13.故a的取值范围是12≤a≤13.故选A.)
3.4(解析:在Rt△ABC中,AB==5(m).再进一步求得少走的路的米数,即(AC+BC)-AB=3+4-5=2(米),也就是少走了4步.)
4.(解析:由勾股定理得BD=13,由题意知DA=DA'=BC=5,∠DA'E=∠DAE=90°.设AE=x,则A'E=x,BE=12-x,BA'=13-5=8,在Rt△EA'B中,(12-x)2=x2+82.解得x=,即AE的长为.)
5.B(解析:由题意,圆锥的侧面展开图为扇形,如图所示,连接AA',AA'的长即为最小值.由圆锥的底面周长等于展开图扇形的弧长,设展开图扇形圆心角为n°,则5π=,解得n=90,故AA'==10(cm).故选B.)
6.612(解析:根据勾股定理可得楼梯的水平宽度为=12(m),所以地毯的总长为5+12=17(m),所以地毯的面积为17×2=34(m2),因此地毯总价为34×18=612(元).)
7.11(解析:如图所示,作AD⊥BC于D,由题意知AD∶BC=1∶4,且BC=44 cm,又∵AB=AC,∴在Rt△ABD中,AD=11 cm,BD=BC=22 cm,∴AB==11(cm),即AB的长至少为11 cm.)
8.解:如图所示,甲从上午8:00到上午10:00一共走了2小时,走了12千米,即OA=12千米.乙从上午9:00到上午10:00一共走了1小时,走了5千米,即OB=5千米.在Rt△OAB中,AB===13(千米).因此,上午10:00时,甲、乙两人相距13千米.∵15>13,∴甲、乙两人还能保持联系.
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9.解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8 m,BC=6 m,由勾股定理得AB=10 m,扩充部分为Rt△ACD,扩充成等腰三角形ABD,应分以下三种情况:(1)如图(1)所示,当AB=AD=10 m时,∵AC⊥BD,∴CD=CB=6 m,∴△ABD的周长=10+10+2×6=32(m).
(2)如图(2)所示,当AB=BD=10 m时,∵BC=6 m,∴CD=10-6=4(m),∴AD===4(m),∴△ABD的周长=10+10+4=20+4(m).
(3)如图(3)所示,当AB为底时,设AD=BD=x m,则CD=(x-6)m,由勾股定理得AD2=AC2+CD2,即x2=82+(x-6)2,解得x=.∴△ABD的周长为++10=(m).答:扩充后的等腰三角形绿地的周长是32 m或(20+4)m或 m.
10.解:若△ABC是锐角三角形,则有a2+b2>c2;若△ABC是钝角三角形,∠C为钝角,则有a2+b20),则BD=a-x,根据勾股定理,得b2-x2=AD2=c2-(a-x)2,即b2-x2=c2-a2+2ax-x2.∴a2+b2=c2+2ax,∵a>0,x>0,∴2ax>0.∴a2+b2>c2.当△ABC是钝角三角形时,证明如下:如图(2)所示,过B作BD⊥AC,交AC的延长线于D.设CD=y(y>0),则BD2=a2-y2.根据勾股定理,得(b+y)2+a2-y2=c2,即a2+b2+2by=c2.∵b>0,y>0,∴2by>0,∴a2+b21).现计划在河岸l上建一抽水站P,用输水管向两个村庄供水.
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图(1)是方案一的示意图,设该方案中管道长度为d1,且d1=PB+BA(其中BP⊥l于点P);图(2)是方案二的示意图,设该方案中管道长度为d2,且d2=PA+PB(其中点A'与点A关于l对称,A'B与l交于点P.
观察计算:
(1)在方案一中,d1= km(用含a的式子表示);
(2)在方案二中,组长小宇为了计算d2的长,作了如图(3)所示的辅助线,请你按小宇同学的思路计算,d2= km(用含a的式子表示).
探索归纳:
(1)①当a=4时,比较大小:d1 d2(填“>”“=”或“”“=”或“1时)的所有取值情况进行分析,要使铺设的管道长度较短,应选择方案一还是方案二?
〔解析〕 要比较d1与d2 的大小,只需要比较与的大小,即比较- 与0的大小,结合观察计算知-=(a+2)2-()2=4a-20,再分别根据其大于0、等于0和小于0确定a,进而选择方案.
解:观察计算:
(1)d1=PB+BA=(a+2)km.
(2)因为BK2=a2-1,
A'B2=BK2+A'K2=a2-1+52=a2+24,
所以d2= km.
探索归纳:
(1)①当a=4时,d1=6 km,d2= km,d1d2.
(2)-=(a+2)2-()2=4a-20.
①当4a-20>0,即a>5时,->0,
∴d1-d2>0,∴d1>d2.
②当4a-20=0,即a=5时,-=0,
∴d1-d2=0,∴d1=d2.
③当4a-20n>0)的三角形;③三边长的比为3∶4∶5的三角形;④三个内角的度数比是1∶2∶3的三角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.把三边分别为BC=3,AC=4,AB=5的三角形ABC沿最长边AB翻折成△ABC',则CC'的长为 ( )
A. B. C. D.
3.下列定理中,没有逆定理的是 ( )
A.等腰三角形的两个底角相等
B.对顶角相等
C.三边对应相等的两个三角形全等
D.直角三角形两个锐角的和等于90°
4.把一根30米长的细绳折成3段,围成一个三角形,其中一条边的长度比较短边长7米,比较长边短1米,则这个三角形是 三角形.
【能力提升】
5.已知:如图所示,CD⊥AB于D,且有AC2=AD·AB.求证:△ACB为直角三角形.
6.如图所示的是一个四边形的边角料,韦三通过测量,获得了如下数据:AB=3 cm,BC=12 cm,CD=13 cm,AD=4 cm,韦三由此认为这个四边形中∠A恰好是直角,你认为韦三的判断正确吗?如果你认为他的判断正确,请说明其中的理由;如果你认为他的判断不正确,那你认为需要什么条件,才可以判断∠A是直角?
7.如图所示,已知等腰三角形ABC的底边BC=20 cm,D是腰AB上一点,且CD=16 cm,BD=12 cm,求△ABC的周长.
8.如图所示,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A,B两个基地前去拦截,6分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西22.62°,求甲巡逻艇的航向.
【拓展探究】
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9.冬冬准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为a米,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.
(1)请用a表示第三条边长.
(2)第一条边长可以为7米吗?为什么?请说明理由,并求出a的取值范围.
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说明你的围法;若不能,请说明理由.
【答案与解析】
1.D(解析:有两个内角互余的三角形,第三个内角为直角;(m2-n2)2=m4+n4-2m2n2,(2mn)2=4m2n2,(m2+n2)2=m4+n4+2m2n2,因此可得(m2+n2)2=(m2-n2)2+(2mn)2,所以能构成一个直角三角形;三边长的比为3∶4∶5的三角形,设一边长为3x,则另外两边长分别为4x,5x,因为(3x)2+(4x)2=25x2=(5x)2,所以可以构成一个直角三角形;三个内角的度数比为1∶2∶3的三角形,最大的角为×180°=90°,所以这个三角形也为直角三角形.故选D.)
2.C(解析:先画出图形如图所示,∵32+42=52,即BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,斜边是AB,由对称的性质可知:AB垂直且平分CC',设AB交CC'于D,则D是垂足,∴CD=C'D,CC'=2CD,∵AC·BC=AB·CD,∴CD===,∴CC'=2CD=2×=.)
3.B(解析:A.等腰三角形的两个底角相等的逆命题为:有两个角相等的三角形为等腰三角形,此逆命题为真命题,所以A选项有逆定理;B.对顶角相等的逆命题为:相等的角为对顶角,此命题为假命题,所以B选项没有逆定理;C.三边对应相等的两个三角形全等的逆命题为:全等三角形的三边对应相等,此逆命题为真命题,所以C选项有逆定理;D.直角三角形的两个锐角的和等于90°的逆命题为:两个锐角的和等于90°的三角形为直角三角形,此逆命题为真命题,所以D选项有逆定理.故选B.)
4.直角(解析:设一条边长为x米,则另外两边长分别为(x-7)米、(x+1)米,根据题意得x+x-7+x+1=30,解得x=12,所以三边长分别为12米、5米、13米,因为122+52=132,所以这个三角形为直角三角形.)
5.证明:∵CD⊥AB,∴CD2=AC2-AD2=AD·AB-AD2=AD·BD,BC2=CD2+BD2=AD·BD+BD2=BD·AB,∴AC2+BC2=AD·AB+BD·AB=AB2.∴△ABC为直角三角形.
6.解:韦三的判断不正确.可添加DB⊥BC或DB=5 cm.理由如下:∵四边形具有不稳定性,∠A可以是锐角,可以是直角,也可以是钝角,∴韦三的判断不正确.如果添加DB⊥BC或DB=5 cm,那么∠A恰好是直角.当BD⊥BC时,∵BC=12 cm,CD=13 cm,∴BD=5 cm,在△ABD中,AB=3 cm,AD=4 cm,BD=5 cm,∴AB2+AD2=BD2,∴△ABD是直角三角形,且∠A=90°.当DB=5 cm时,在△ABD中,AB=3 cm,AD=4 cm,BD=5 cm,∴AB2+AD2=BD2,∴△ABD是直角三角形,且∠A=90°.
7.解:∵BD2+CD2=122+162=202=BC2,∴△BDC为直角三角形,∠BDC=90°,则△ADC也为直角三角形.设AC=x cm,则AB=x cm,AD=(x-12)cm.根据勾股定理得AD2+CD2=AC2,∴(x-12)2+162=x2,解得x=,则△ABC的周长为AB+AC+BC=++20=53(cm).
8.解:AC=120×0.1=12(海里),BC=50×0.1=5(海里).又因为AB=13海里,所以AB2=BC2+AC2,即∠ACB=90°.因为∠CBA=90°-22.62°=67.38°,所以∠CAB=22.62°,所以甲巡逻艇的航向为北偏东67.38°.
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9.解:(1)由题意知第二条边长为(2a+2)米,∴第三条边长为30-a-(2a+2)=28-3a(米). (2)当a=7时,三边长分别为7米、16米、7米.由于7+70),则在Rt△ABD中,AB2-BD2=AD2,即(2k)2-k2=h2, ∴3k2=h2,∴k=h,∴AB=2k=h.
9.解:(1)四边形ABCD的面积为:5×5-×1×5-×2×4-×2×1-1-×1×4=25--4-1-1-2=14.5.由勾股定理得AB2=12+52=26,所以AB=.BC2=42+22=20,所以BC=2.CD2=22+12=5,所以CD=.DA2=42+12=17,所以DA=.所以四边形ABCD的周长为:AB+BC+CD+DA=+2++=+3+. (2)连接BD,由勾股定理得BD2=32+42=25.又因为BC=2,CD=,所以BC2+CD2=(2)2+()2=20+5=25,所以BC2+CD2=BD2,所以△BCD是直角三角形,且∠BCD=90°,即∠BCD是直角.
10.解:如图所示,∠AOB=90°,OB=3尺,设OA=x尺,则AB=(10-x)尺.由勾股定理得OA2+OB2=AB2,∴x2+32=(10-x)2,∴x=4.55.答:折断处离地面的高度为4.55尺.
11.解:结论对.∵m表示大于1的整数,∴a,b,c都是大于1的整数,且a2+b2=(2m)2+(m2-1)2=4m2+m4-2m2+1=m4+2m2+1,c2=(m2+1)2=m4+2m2+1,∴a2+b2=c2,∴a,b,c为勾股数.当m=2时,可得到勾股数3,4,5;当m=3时,可得到勾股数6,8,10;当m=4时,可得到勾股数8,15,17;当m=5时,可得到勾股数10,24,26;当m=6时,可得到勾股数12,35,37.
12.解:将该圆柱侧面沿母线展开,不难发现A,B之间的最短距离是长为底面圆的半圆的弧长,宽为圆柱的高的长方形的对角线的长,如图所示,AB==≈21.3(cm).
13.解:如图所示,连接AC,AC1,只要计算出对角线AC1的长与木棒的长比较即可. 由题意知△ABC和△ACC1都是直角三角形,∴AC= ==,∴AC1=== ,而>=70,即对角线AC1的长大于木棒的长,∴70 cm长的木棒能放进该木箱.
14.解:如图所示,∵S△ABC=ab=AB·h,∴ab=AB·h,而在Rt△ABC中,a2+b2=AB2,∴+===.
本节课是在学习“勾股定理”之后,继续学习的一个直角三角形的判定定理,它是前面知识的继续和深化,勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一,是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一.在以后的解题中,将有十分广泛的应用,同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想,为将来学习解析几何埋下了伏笔.
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教学中,立足于创新,把教学内容分解为一系列富有探究性的问题,让学生在解决问题的过程中经历知识的发生、发展、形成的过程,把知识的发现权交给学生,让他们在获取知识的过程中,体验成功的喜悦,真正体现学生是学习的主人,教师只是学习的参与者、合作者、引导者.在重视基础知识和基本技能的同时,更关注知识的形成过程及应用数学的意识.
勾股数有规律吗?
我们知道,像15,8,17这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数.勾股数有什么规律吗?
(1)最短边的长度为奇数.
观察下表中的勾股数:
a
b
c
3=1+2
4=2×1×2
5=2×1×2+1
5=2+3
12=2×2×3
13=2×2×3+1
7=3+4
24=2×3×4
25=2×3×4+1
9=4+5
40=2×4×5
41=2×4×5+1
…
…
…
根据上面的表格,我们可以发现以上勾股数(a,b,c无公约数)具备一定的特征,很显然,当a=2n+1(n≥1)时,b=2n(n+1),c=2n(n+1)+1.同时我们容易验证:(2n+1)2+[2n(n+1)]2=[2n(n+1)+1]2,即当最短边的长度为奇数时,勾股数有此规律.
(2)最短边的长度为偶数.
最短边的长度为偶数时,没有公约数的勾股数又有什么规律呢?
首先,最短边长为偶数时,其他两边长不可能再是偶数,否则就有了公约数2,所以另外两个数必为奇数,而且这两个奇数的平方差是8的倍数.这是因为两个奇数可以表示为2m+1和2n+1,这里的m,n都是正整数,不妨设m>n,则:
(2m+1)2-(2n+1)2=4m2+4m+1-(4n2+4n+1)
=4(m2-n2)+4(m-n)
=4(m-n)(m+n+1).
因为m,n都为正整数,而任意两个正整数的和与差具有同奇同偶性,所以m-n与m+n+1这两个数中,有且只有一个偶数,所以4(m-n)(m+n+1)必定能被8整除.这说明,一组无公约数的勾股数中,如果最小的数为偶数,那么它的平方必为8的倍数,而另外两数必为奇数.
观察下表中的没有公约数的勾股数:
a
b
c
n=1
8
15
17
n=2
16
63
65
n=3
24
143
145
n=4
32
255
257
…
…
…
…
由此表格中的数据可以得出,该表格中的无公约数的勾股数具备这样的特征:当a=8n(n≥1)时,b=16n2-1,c=16n2+1,同时我们容易验证:(8n)2+(16n2-1)2=(16n2+1)2.
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1.会运用勾股定理解决简单问题.
2.会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
3.通过具体的例子,了解逆命题、逆定理的概念,知道原命题成立其逆命题不一定成立.
通过整理与复习直角三角形的有关知识,形成直角三角形的性质与判定方法的知识体系.
能灵活运用分类讨论思想和数形结合思想,提高运用勾股定理及其逆定理解决问题的能力.
【重点】 运用勾股定理及其逆定理解决问题.
【难点】 会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
专题一 用勾股定理计算线段的长
【专题分析】
用勾股定理计算线段的长这类问题,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这一个知识点的情况较少,一般与其他知识点综合考查.
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(2014·淮安中考)如图(1)所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.25
〔解析〕 如图(2)所示,在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,由勾股定理得AB===5.故选A.
[方法归纳] 在解决此类问题时,应善于挖掘图中的隐含条件,即将所求的边放进直角三角形中,并根据图示,求出直角三角形的两边长,最后就容易根据勾股定理来求第三边了.同时在用勾股定理运算时注意常用的勾股数,如:3,4,5;6,8,10;9,12,15;8,15,17;7,24,25;9,40,41等等.
【针对训练1】 如图(1)所示,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为 .
〔解析〕 由题意,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况:(1)如图(2)所示,PD=OD=5,点P在点D的左侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理得DE===3,∴OE=OD-DE=5-3=2,此时点P坐标为(2,4).(2)如图(3)所示,OP=OD=5.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△POE中,由勾股定理得OE===3,此时点P坐标为(3,4).(3)如图(4)所示,PD=OD=5,点P在点D的右侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理得DE===3,∴OE=OD+DE=5+3=8,此时点P坐标为(8,4).综上所述,点P的坐标为(2,4)或(3,4)或(8,4).故填(2,4)或(3,4)或(8,4).
[易错提示] 如果一个三角形是等腰三角形,在已知条件中没有说明哪条边为腰时,要注意分类讨论思想在几何图形中的应用,符合题意的等腰三角形有三种情形,注意不要遗漏.
专题二 应用勾股定理建立方程
【专题分析】
应用勾股定理建立方程多见于解决折叠类问题,大多以填空题或选择题的形式出现,有时也以解答题的形式出现,单独出现时分值在3分左右.
(2014·安徽中考)如图所示,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为 ( )
A. B. C.4 D.5
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〔解析〕 设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9-x,∵D是BC的中点,∴BD=3,在Rt△BDN中,x2+32=(9-x)2,解得x=4.故线段BN的长为4.故选C.
[方法归纳] 折叠类问题中一定存在相等的线段或角,要充分挖掘折叠中隐含的数量关系.利用勾股定理建立方程也是一种常用的方法.
【针对训练2】 (2014·青岛中考)如图所示,将长方形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C'处,若AB=6,BC=9,则BF的长为 ( )
A.4 B.3
C.4.5 D.5
〔解析〕 ∵折叠前后两个图形的对应线段相等,∴CF=C'F,设BF=x.∵BC=9,∴CF=9-x,∴C'F=9-x,又BC'=3,在Rt△C'BF中,根据勾股定理可得C'F2=BF2+C'B2,即(9-x)2=x2+32,解得x=4,因此BF的长是4.故选A.
专题三 实际问题中应用勾股定理
【专题分析】
勾股定理应用广泛,题目形式不限,既可以有单独考查该知识点的题目出现,又可与其他知识点综合进行考查.
(2014·东营中考)如图(1)所示,有两棵树,一棵高12米,另一棵高7米,两树相距12米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行 米.
〔解析〕 如图(2)所示,过点B作BC⊥AC于C,依题意有AC=5,BC=12,则AB==13(米).故填13.
[方法归纳] 勾股定理的实际应用时遇到求线段长度类问题,通常可以通过构造直角三角形,从而利用勾股定理求解.
【针对训练3】 (2014·湘潭中考)如图所示,修公路遇到一座山,于是要修一条隧道.为了加快施工进度,想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上,设想过C点作直线AB的垂线l,过点B作一直线(在山的旁边经过),与l相交于D点,经测量∠ABD=135°,BD=800米,求在直线l上距离D点多远的C处开挖?(≈1.414,精确到1米)
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解:∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°,
∵∠ABD=135°,∴∠DBC=45°,
∴∠D=45°,∴CB=CD,
在Rt△DCB中,CD2+BC2=BD2,即2CD2=8002,
∴CD=400≈566(米).
答:在直线l上距离D点566米的C处开挖.
专题四 用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形
【专题分析】
一般以选择题的形式考查,题目较为基础.有时给出含有a,b,c三个字母的等式,以解答题形式出现时难度较大一些,主要是学生对等式变形较难,或对问题考虑不全面.
(2014·滨州中考)下列长度的四组线段中,可以构成直角三角形的是 ( )
A.4,5,6 B.1.5,2,2.5
C.2,3,4 D.1,,3
〔解析〕 ∵42=16,52=25,62=36,∴42+52≠62,∴长为4,5,6的线段不能构成直角三角形;∵1.52=2.25,22=4,2.52=6.25,∴1.52+22=2.52,∴长为1.5,2,2.5的线段能构成直角三角形.故选B.
[方法归纳] 给出三条线段的长度,判定能否构成直角三角形的步骤:(1)分别计算三条线段长的平方;(2)看是否满足两线段长的平方和等于第三条线段长的平方;(3)做出判断.
【针对训练4】 已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判定△ABC的形状.
解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,
∴(a4-b4)-(a2c2-b2c2)=0,
∴(a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0,
∴(a2+b2-c2)(a2-b2)=0.
得a2+b2=c2或a=b或a2+b2=c2且a=b,
即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.
专题五 勾股定理与勾股定理的逆定理的综合应用
【专题分析】
勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用题目,难度较大.一般以解答题的形式出现,常常与其他知识点综合起来考查.
如图(1)所示,三块正方形形状的土地面积分别是74英亩、116英亩、370英亩,三个正方形恰好围着一个池塘.现要将这560英亩的土地拍卖,如果有人能计算出池塘的面积,则池塘不计入土地面积白白奉送,英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题,你能解决吗?
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〔解析〕 利用三个正方形的面积可得出相应三角形三边的平方,进而利用74=52+72,116=42+102,370=92+172,利用勾股定理的逆定理求出即可.
解:如图(2)所示,∵74=52+72,∴AB是两直角边长分别为5和7的直角三角形的斜边,作出这个直角三角形,得Rt△ABE.同理,作出Rt△BCF,其中BF=4,FC=10.延长AE,CF交于D,则AD=9,CD=17,
而AC2=370=92+172=AD2+CD2,
∴△ACD是直角三角形,∠ADC=90°.
∴S△ABC=S△ADC-S△AEB-S△BCF-S长方形EDFB
=×17×9-×7×5-×10×4-4×7
=11(英亩).
即池塘的面积为11英亩.
[解题关键] 解决本题的关键是运用勾股定理和它的逆定理构造新图形.用构造法解题,有助于提高运用数学知识解决实际问题的能力.巴尔教授解决这个问题时首先发现三个正方形的面积74,116,370相当于池塘的三条边长的平方,因而联想到勾股定理,得74=52+72,116=42+102,370=92+172.于是作出图,运用勾股定理的逆定理,问题就得以解决.
【针对训练5】 已知△ABC中,AB=13 cm,BC=10 cm,BC边上的中线AD=12 cm,求证AB=AC.
证明:∵AD为中线,∴BD=DC=5 cm.
在△ABD中,∵AD2+BD2=169,AB2=169,
∴AD2+BD2=AB2,
∴∠ADB=90°,
∴AC2=AD2+DC2=169,∴AC=13 cm,
∴AB=AC.
专题六 用勾股定理计算最短路径
【专题分析】
此类题目常以选择题或填空题的形式出现,几何体多以正方体、长方体、圆柱体出现,题目的分值一般在3分左右.
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如图所示,圆柱形玻璃杯高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.
〔解析〕 将圆柱侧面展开,将A,C两点放在同一平面内,然后利用勾股定理进行计算.如图所示,将圆柱侧面展开(沿点A竖直剖开)后,侧面是一个长18 cm,宽12 cm的长方形,作A关于MN的对称点B,连接BC交MN于点P,过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D.由对称性和三角形的三边关系知AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,且AP=BP.由已知和长方形的性质,得DC=9,BD=12.在Rt△BCD中,由勾股定理得BC===15,∴AP+PC=BP+PC=BC=15,即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15 cm.故填15.
[方法归纳] 在曲面上求两点之间的最短距离,根据“两点之间线段最短”和“化曲面为平面”两种思想,利用勾股定理解决.解决本题时要注意展开后有一直角边长为9 cm,而不是18 cm.
【针对训练6】 (2014·枣庄中考)如图(1)所示的正方体木块棱长为6 cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图(2)所示的几何体,一只蚂蚁沿着图(2)的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm.
〔解析〕 要求蚂蚁爬行的最短距离,需将图(2)的几何体表面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.部分展开图如图所示,△BCD是等腰直角三角形,△ACD是等边三角形,连接AB,交CD于E,则AB⊥CD.在Rt△BCD中,CD==6 cm,∴BE=CD=3 cm.在Rt△ACE中,AE==3 cm,∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为(3+3)cm.故填(3+3).
专题七 数形结合思想
【专题分析】
勾股定理是已知三角形是直角三角形(形),得到三角形三边的数量关系(数);勾股定理的逆定理是由三角形三边的数量关系(数),得到这个三角形是直角三角形(形).二者相互结合,能使抽象的数量关系直观化,有效地分析问题和解决问题.
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如图所示,已知四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13.则四边形ABCD的面积是 .
〔解析〕 由题意联想勾股数,可连接AC,把四边形的问题转化为三角形的问题.连接AC,在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=32+42=25,∴AC=5.在△ACD中,∵AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169,∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°.∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=×3×4+×5×12=6+30=36.故填36.
[方法归纳] 勾股定理及其逆定理是沟通代数、几何知识的桥梁,在计算中往往会多次运用这两个定理.
【针对训练7】 有一直立标杆,它的上部被风吹折,杆顶着地,离杆脚20 cm,修好后又被风吹断,且新断处比前次低了5 cm,标杆顶着地处比前次远10 cm,求标杆的高.
解:如图所示,设第一次吹断后下段AB的长为x cm,上段BC的长为y cm,则第二次断后下段AD的长为(x-5)cm,上段DE的长为(y+5)cm.
依题意得
②-①得10(x+y)=500,
∴x+y=50,
故标杆的高为50 cm.
专题八 分类讨论思想
【专题分析】
在研究三角形的高时,应分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情况去考虑;在计算中遇到直角边和斜边不能确定的时候,要考虑分类讨论.常以解答题的形式出现,解决这些问题时,容易遗忘另外的情况,一定要根据题目分类讨论,讨论要全面,不能重复和遗漏.
已知Rt△ABC中,两边的长分别是3,5,求第三边的长.
〔解析〕 已知的两边可能是直角边,也可能一条是直角边而另一条是斜边,因此需要分类讨论.
解:当已知两条边是直角边时,由勾股定理得第三条边的长为=;
当已知两条边中有一条是直角边而另一条是斜边时,第三边长为=4.
∴第三边的长为或4.
[易错提示] 在利用勾股定理时不可盲目,需要明确哪条边是斜边,否则会遗漏情况,造成丢解的错误.
【针对训练8】 如图所示的是一块长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米的长方体木块.一只蚂蚁要从木块上的一定点A处,沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是 ( )
A.(3+2)厘米 B.厘米
C. 厘米 D.9厘米
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〔解析〕 这个问题是个空间问题,应该把其平面化.所以将长方体展开是解决本题的关键.分三种情况:(1)如图(1)所示,可得AB2=102+32=109.(2)如图(2)所示,可得AB2=72+62=85.(3)如图(3)所示,可得AB2=42+92=97.比较可以发现沿图(2)的爬行路径路程最短,为厘米.故选C.
专题九 建模思想
【专题分析】
能运用勾股定理解决简单的实际问题,建立直角三角形的模型,将其转化为数学问题.勾股定理中的直角三角形三边满足a2+b2=c2(c为斜边长),这本身就是一个等量关系,所以在有关的计算中设未知数列方程是我们解决问题的一种方法.以解答题的形式出现较多,常常找到或构建直角三角形,根据勾股定理直接计算或建立方程计算.
如图所示,AB为一棵大树,在树上距地面10米的D处有两只猴子,它们同时发现C处有一筐苹果,一只猴子从D往上爬到树顶A又沿滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D滑到B,再由B跑到C.已知两只猴子所经路程都是15米.试求大树AB的高度.
〔解析〕 由题意不妨设AD=x米,则AC=(15-x)米,又BD=10米,∴BC=15-10=5(米),Rt△ABC的三边满足勾股定理,因此可列方程解得AD,进而求AB的长.
解:设AD=x米,则AC=(15-x)米,
又BD=10米,∴BC=15-10=5(米),
在Rt△ABC中,根据勾股定理得AB2+BC2=AC2,
∴(10+x)2+52=(15-x)2,解得x=2.
∴大树AB的高度为10+2=12(米).
【针对训练9】 如图所示的是长为40 cm,宽为16 cm的长方形纸片,M点为一边上的中点,沿过M的直线翻折.若中点M所在边的一个顶点不能落在对边上,那么M点在 (填“长”或“宽”)上,若M点所在边的一个顶点能落在对边上,那么折痕长度为 cm.
〔解析〕 若中点M所在边的一个顶点不能落在对边上,通过折叠就可发现答案.过M作ME⊥AD于E,可得出四边形ABME为长方形,利用长方形的性质得到AE=BM,AB=EM.分两种情况考虑:(1)如图(1)所示,过M作ME⊥AD于E,G在AB上,B'落在AE上,可得四边形ABME
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为长方形,∴EM=AB=16,AE=BM,又∵BC=40,M为BC的中点,∴由折叠可得B'M=BM=MC=20.在Rt△EMB'中,根据勾股定理得B'E==12,∴AB'=AE-B'E=20-12=8.设AG=x,则GB'=GB=16-x.在Rt△AGB'中,根据勾股定理得GB'2=AG2+AB'2,即(16-x)2=x2+82,解得x=6,∴GB=16-6=10,在Rt△GBM中,根据勾股定理得GM==10(cm).(2)如图(2)所示,过M作ME⊥AD于E,G在AE上,B'落在ED上,可得四边形ABME为长方形,∴EM=AB=16,AE=BM,又BC=40,M为BC的中点,∴由折叠可得B'M=BM=MC=20.在Rt△EMB'中,根据勾股定理得B'E==12,∴AB'=AE+B'E=20+12=32.设AG=A'G=y,则GB'=AB'-AG=32-y,A'B'=AB=16.在Rt△A'B'G中,根据勾股定理得A'G2+A'B'2=GB'2,即y2+162=(32-y)2,解得y=12,∴AG=12,∴GE=AE-AG=20-12=8,在Rt△GEM中,根据勾股定理得GM==8(cm).综上,折痕MG=10 cm或8 cm.
〔答案〕 宽 10或8
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(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.若一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2=144,b2=25,则c等于 ( )
A.169 B.13
C.169或119 D.13或
2.如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10 cm,正方形A的边长为6 cm,B的边长为5 cm,C的边长为5 cm,则正方形D的边长为 ( )
A. cm B.4 cm C. cm D.3 cm
3.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是 ( )
A.∠A=∠B-∠C
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
C.a∶b∶c=1∶2∶2
D.b2=a2-c2
4.下列说法正确的是 ( )
A.每个命题都有逆命题
B.每个定理都有逆定理
C.真命题的逆命题也是真命题
D.假命题的逆命题也是假命题
5.如图所示,点A所表示的数是 ( )
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A.1.5 B. C.2 D.
6.D是△ABC中BC边上一点,若AC2-CD2=AD2,那么下列各式中正确的是 ( )
A.AB2-BD2=AC2-CD2
B.AB2=AD2-BD2
C.AB2+BC2=AC2
D.AB2+BC2=BC2+AD2
7.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且a+b=4,ab=1,c=,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.无法确定
8.已知一个三角形的三条边长分别是15 cm,20 cm,25 cm,则这个三角形最长边上的高是 ( )
A.12 cm B.11 cm
C.10 cm D.9 cm
9.如图所示,将边长为8 cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为NM,则线段CN的长是 ( )
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
10.(2014·钦州中考)如图所示,6个边长为1的小正方形及其部分对角线所构成的图形中,如果从A点到B点只能沿图中的线段走,那么从A点到B点的最短距离的走法共有 ( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.小明将一副三角板按如图所示摆放在一起,发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长,若已知CD=2,则AC的长为 .
12.如图所示的是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段 条.
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13.如图所示,三个村庄A,B,C之间的距离分别是AB=5 km,BC=12 km,AC=13 km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km,则修这条公路的最低造价是 元.
14.如图所示,在四边形ABCD中,已知四条边的比为AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1,且∠B=90°,则∠DAB的度数为 .
15.(2014·甘孜中考)如图所示,我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的大正方形.若小正方形与大正方形的面积之比为1∶13,则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为 .
16.如图所示,已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰直角三角形ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰直角三角形ADE,…,依此类推,则第2013个等腰直角三角形的斜边长是 .
17.如图所示,已知圆柱底面的周长为4 dm,圆柱高为2 dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,那么这圈金属丝的周长最小为 dm.
18.(2014·黄冈中考)如图所示,在一张长为8 cm,宽为6 cm的长方形纸片上,现要剪下一个腰长为5 cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其余的两个顶点在长方形的边上),则剪下的等腰三角形的面积为 cm2.
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三、解答题(共58分)
19.(8分)(2015·天津中考节选)在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C,D均在格点上,点E,F分别为线段BC,DB上的动点,且BE=DF.如图所示,当BE=时,计算AE+AF的值.
20.(8分)如图所示,四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,AC与BD相交于O,且AC⊥BD,则a,b,c,d之间一定有关系式:a2+c2=b2+d2,请说明理由.
21.(10分)如图所示,一个工人师傅要将一块正方形ABCD的余料修剪成四边形ABEF的零件,其中CE=BC,F是CD的中点.
(1)若正方形的边长为a,试用含a的代数式表示AF2+EF2的值;
(2)连接AE,则△AEF是直角三角形吗?为什么?
22.(10分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于D,将△ADE沿DE所在直线折叠,使点A恰好与点B重合,若CD=2,求AB的长.
23.(10分)若△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状.
24.(12分)如图(1)所示,一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上,梯子与地面的倾斜角α为60°.
(1)求AO与BO的长.
(2)若梯子顶端A沿NO下滑,同时底端B沿OM向右滑行.如图(2)所示,设A点下滑到C点,B点向右滑行到D点,并且AC∶BD=2∶3,试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米.
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【答案与解析】
1.D(解析:由于已知条件中没有说明哪条边是斜边,因此c的取值可能有两种情形:①c==13;②c==.)
2.A(解析:根据勾股定理的几何意义,得SA+SB+SC+SD=S最大正方形,设正方形D的边长为x cm.则6×6+5×5+5×5+x2=100,解得x=.故选A.)
3.C(解析:A.∠A=∠B-∠C,△ABC是直角三角形;B.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2,△ABC是直角三角形;C.a∶b∶c=1∶2∶2,△ABC不是直角三角形;D.由b2=a2-c2得b2+c2=a2,△ABC是直角三角形.故选C.)
4.A(解析:每一个命题都有逆命题,A选项正确;每个定理的逆命题不一定成立,所以每个定理不一定有逆定理,B选项错误;真命题的逆命题有可能是假命题,C选项错误;假命题的逆命题有可能是真命题,D选项错误.故选A.)
5.D(解析:由图知两直角边长为1,2,根据勾股定理,得=,以原点为圆心, 为半径画弧,与数轴正半轴的交点所表示的数为.故选D.)
6.A(解析:∵AC2-CD2=AD2,∴△ACD是直角三角形,∴AD⊥BC,∴△ABD是直角三角形,∴AB2-BD2=AC2-CD2.故选A.)
7.B(解析:由a+b=4,ab=1可得a2+b2=(a+b)2-2ab=14=c2,所以△ABC是直角三角形.)
8.A(解析:因为152+202=625=252,所以这个三角形是直角三角形,25 cm长的边为斜边,运用等面积法可得斜边上的高为=12(cm).)
9.A(解析:对折问题即对称问题,设CN=x cm,则DN=NE=(8-x)cm.在Rt△CEN中,(8-x)2=42+x2,解得x=3.故选A.)
10.C(解析:从A点到B点,若只走小正方形的边,则最短距离为5;若走一条对角线,其余走边,则最短距离为3+;若走两条对角线,其余走边,则最短距离为1+2.∵1+20),a2+b2=13k2,即a2+b2-2ab=k2,a2+b2=13k2,所以ab=6k2.可得(a+b)2=25k2,所以b-a=k,a+b=5k,解得a=2k,b=3k,所以直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为.)
16.()2013(解析:等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍,第一个三角形(也就是Rt△ABC)的斜边长为1×=;第二个三角形的直角边长是第一个三角形的斜边长,所以它的斜边长为×=()2;…;第n个三角形的直角边长是第(n-1)个三角形的斜边长,所以其斜边长为()n.则第2013个等腰直角三角形的斜边长是()2013.)
17.4(解析:根据题意得AB=2 dm,BC=×4=2(dm),由勾股定理,得AC=2 dm,∴这圈金属丝的周长最小为4 dm.)
18.或5或10(解析:有三种可能图形.(1)如图(1)所示,面积=×5×5=(cm2).(2)如图(2)所示,面积=×5×4=10(cm2).(3)如图(3)所示,面积=×5×2=5(cm2).)
19.解:当BE=时,AE= =,又DF=BE=,由勾股定理得BD==5,所以BF==AF,所以AE+AF=+=.
20.解:∵AC⊥BD,∴a2=OA2+OB2,b2=OB2+OC2,c2=OD2+OC2,d2=OA2+OD2,∴a2+c2=OA2+OB2+OC2+OD2,b2+d2=OA2+OB2+OC2+OD2,∴a2+c2=b2+d2.
21.解:(1)AF2+EF2=a2+a2=a2. (2)△AEF是直角三角形.理由如下:∵AE2=AB2+BE2=a2=AF2+EF2,∴△AEF是直角三角形.
22.解:∵将△ADE沿DE所在直线折叠得到△BDE,∴△ADE≌△BDE,∴AD=BD,AE=BE,∠AED=∠BED=90°,∠ADE=∠BDE.又∵BD平分∠ABC,∠C=90°,∴CD=ED=2,易证Rt△BDC≌Rt△BDE,∴BC=BE,∠BDC=∠BDE,∴∠ADE=∠BDE=∠BDC=60°,∴∠CBD=30°,∴在Rt△BDC中,BD=2CD=4,则BC==2,∴AB=2BE=2BC=4.
23.解:原式可变形为(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0.因为平方具有非负性,所以可得a=5,b=12,c=13.又因为52+122=132,所以△ABC是一个直角三角形.
24.解:(1)Rt△AOB中,∠O=90°,α=60°,∴∠OAB=30°,又AB=4米,∴OB=AB=2米,由勾股定理得OA====2(米). (2)设AC=2x米,则BD=3x米.在Rt△COD中,OC=(2-2x)
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米,OD=(2+3x)米,CD=4米.根据勾股定理得OC2+OD2=CD2,∴(2-2x)2+(2+3x)2=42,∴13x2+(12-8)x=0,∵x≠0,∴13x+12-8=0,∴x=,∴AC=米.即梯子顶端A沿NO下滑米.
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