第十八章 平行四边形
1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念,了解它们之间的关系.
2.探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理,并能运用它们进行证明和计算.
3.了解两条平行线之间距离的意义,能度量两条平行线之间的距离.
4.探索并证明中位线定理.
1.通过经历平行四边形与各特殊平行四边形之间的联系与区别,使学生进一步认识一般与特殊的关系.
2.通过经历平行四边形和特殊的平行四边形的性质和判定的探索、证明及相关计算的过程,以及相关问题证明和计算的过程,进一步培养和发展学生合情推理、演绎推理的能力.
1.通过几何问题的证明和计算,体验证法和解法的多样性,渗透转化思想.
2.通过动手实践,积极参与数学活动,对数学有好奇心和求知欲.
平行四边形是特殊的四边形,它与三角形一样,既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域主要的研究对象.本章内容也是在已经学过的多边形、平行线、三角形的基础上学习的,也可以说是在已有知识的基础上做出的进一步较系统的整理和研究,它是以后我们继续学习其他几何知识的基础.本章内容主要包括:平行四边形、特殊的平行四边形.其中平行四边形主要探索平行四边形的性质和判定,特殊的平行四边形主要介绍了矩形、菱形、正方形,并根据定义探索它们的性质和判定.
【重点】 理解和掌握平行四边形、特殊的平行四边形的定义、性质和判定,掌握三角形的中位线定理,会应用平行四边形和特殊的平行四边形的相关知识以及三角形中位线定理解决一些简单的实际问题.
【难点】 分清平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系和区别,能够灵活运用平行四边形、特殊平行四边形的定义、性质和判定方法进行推理论证.
1.关于平行四边形及特殊的平行四边形概念之间从属、种差、内涵与外延之间的关系.
本章概念比较多,概念之间联系非常密切,关系复杂.由于平行四边形和各种特殊平行四边形的概念之间重叠交错,容易混淆,因此弄清它们的共性、特性及其从属关系非常重要.实际上,有时学生掌握了它们的特殊性质,而忽略了共同性质.
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如有的学生不知道正方形既是矩形,又是菱形,也是平行四边形,应用时常犯多用或少用条件的错误.教学时,不仅要讲清矩形、菱形、正方形的特殊性质,还要强调它们与平行四边形的从属关系和共同性质.也就是在讲清每个概念特征的同时,强调它们的属概念,弄清这些概念之间的关系.在原有属概念基础上附加一些条件(种差),通过扩大概念的内涵、减少概念的外延的方式引出新的种概念;同时在原有属概念的性质和判定方法的基础上,来研究种概念的性质和判定方法.弄清这些关系,最好是用图示的办法.在弄清这些图形之间关系的基础上,还要进一步向学生说明概念的内涵与外延之间的反变关系,即内涵越小,外延越大;反之外延越小,内涵越大.例如,正方形的性质中,包含四边形、平行四边形、矩形、菱形所有的特征,它的外延很小,而平行四边形的外延很大.弄清了各种特殊平行四边形的概念,各种平行四边形之间的从属关系也就清楚了,它们的性质定理、判定定理也就不会用错了.
2.进一步培养学生的合情推理能力和演绎推理能力.
从培养学生的推理论证能力的角度来说,本章处于学生初步掌握了推理论证方法的基础上,进一步巩固和提高的阶段.本章内容比较简单,证明方法相对比较单一,学生前面已经进行了一些推理证明的训练.但这种训练只是初步,要进一步巩固和提高.教学中同样要重视推理论证的教学,进一步提高学生的合情推理能力和演绎推理能力.在推理与证明的要求方面,除了要求学生对经过观察、实验、探究得出的结论进行证明以外,还要求学生直接由已有的结论对有些图形的性质通过推理论证得出.另外,为了巩固并提高学生的推理论证能力,本章定理证明中,除了采用严格规范的证明方法外,还有一些采用了探索式的证明方法.这种方法不是先有了定理再去证明它,而是根据题设和已有知识,经过推理,得出结论.另外也有一些文字叙述的证明题,要求学生自己写出已知、求证,再进行证明.这些对学生的推理能力要求较高,难度也有增加,但能激发学生的学习兴趣,活跃学生的思维,对发展学生的思维能力有好处.教学中要注意启发和引导,使学生在熟悉“规范证明”的基础上,推理论证能力有所提高和发展.
18.1 平行四边形
18.1.1平行四边形的性质(2课时)
18.1.2平行四边形的判定(3课时)
5课时
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1矩形(2课时)
18.2.2菱形(2课时)
18.2.3正方形(1课时)
5课时
单元概括整合
1课时
18.1 平行四边形
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1.理解平行四边形的概念,探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.
2.理解并掌握平行四边形的判定条件,能利用平行四边形的判定条件证明四边形是平行四边形.
3.掌握三角形的中位线的概念和定理.
1.在运用平行四边形的性质和平行四边形的判定方法及三角形的中位线定理的过程中,进一步培养和发展学生自主学习能力及应用数学的意识,通过对平行四边形判定方法的探究,提高学生解决问题的能力.
2.通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动,进一步培养学生动手能力及合情推理能力,使学生会将平行四边形的问题转化成三角形的问题,渗透转化与化归意识.
通过观察、猜测、归纳、证明,培养学生类比、转化的数学思想方法,锻炼学生的简单推理能力和逻辑思维能力,渗透“转化”的数学思想.
让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.
【重点】 平行四边形的性质与判定方法的探究和运用,以及三角形中位线定理的理解和应用.
【难点】 平行四边形的判定与性质定理的综合运用.
18.1.1 平行四边形的性质
1.理解平行四边形的概念.
2.探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.
3.利用平行四边形的性质来解决简单的实际问题.
通过观察、猜测、归纳、证明,培养学生类比、转化的数学思想方法,锻炼学生的简单推理能力和逻辑思维能力,渗透“转化”的数学思想.
让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.
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【重点】 平行四边形的概念和性质的探索.
【难点】 平行四边形性质的运用.
第课时
1.理解平行四边形的定义及有关概念.
2.探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质,利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.
3.了解平行线间距离的概念.
1.经历利用平行四边形描述、观察世界的过程,发展学生的形象思维和抽象思维.
2.在进行性质探索的活动过程中,发展学生的探究能力.
3.在性质应用的过程中,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,培养学生的推理能力和逻辑思维能力.
在性质应用过程中培养独立思考的习惯,让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.
【重点】 平行四边形边、角的性质探索和证明.
【难点】 如何添加辅助线将平行四边形问题转化成三角形问题解决的思想方法.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题的投影图片.
【学生准备】 方格纸,量角器,刻度尺.
导入一:
[过渡语] 前面我们已经学习了许多图形与几何知识,掌握了一些探索和证明几何图形性质的方法,本节开始,我们继续研究生活中的常见图形.
我们一起来观察下图中的小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏,它们是什么几何图形的形象?
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学生观察,积极踊跃发言,教师从实物中抽象出平行四边形.
本节课我们主要研究平行四边形的定义及有关概念,探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质,利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.
[设计意图] 通过图片展示,让学生真切感受生活中存在大量平行四边形的原型,进而从实际背景中抽象出平行四边形,让学生经历将实物抽象为图形的过程.
导入二:
(出示本章农田鸟瞰图)
观察章前图,你能从图中找出我们熟悉的几何图形吗?
学生自由说出图中的几何图形,教师结合学生说到的图中包含长方形、正方形等,明确本章主要研究对象——平行四边形.
[过渡语] 下面我们来认识特殊的四边形——平行四边形.
[设计意图] 以农田鸟瞰图作为本章的章前图,学生可以见识各种四边形的形状,通过查找长方形、正方形、平行四边形等,为进一步比较系统地学习这些图形做准备,并明确本章的学习任务.
1.平行四边形的定义
思路一
提问:你知道什么样的图形叫做平行四边形吗?
教师引导学生回顾小学学习过的平行四边形的概念:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.说明定义的两方面作用:既可以作为性质,又可以作为判定平行四边形的依据.
追问:平行四边形如何好记好读呢?
画出图形,教师示范后,学生结合图练习,并提醒学生注意字母的顺序要按照顶点的顺序记.
平行四边形用“▱”表示,平行四边形ABCD,记作“▱ABCD”.
如右图所示,引导学生找出图中的对边,对角.
对边:AD与BC,AB与DC;对角:∠A与∠C,∠B与∠D.
进一步引导学生总结:四边形中不相邻的边,也就是没有公共顶点的边叫做对边;没有公共边的角,叫做对角.
[设计意图] 给出定义,强调定义的作用,让学生结合图形认识“对角”“对边”,为学习性质做好准备.
思路二
请举出你身边存在的平行四边形的例子.
学生举出生活中常见的例子.如小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏……
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教师点评,画出图形,如右图所示.
提问:(1)你能说出平行四边形的定义吗?
(2)你能表示平行四边形吗?
(3)你能用符号语言来描述平行四边形的定义吗?
学生阅读教材第41页,点名学生回答以上问题,教师进一步讲解:
(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.概念中有两个条件:①是一个四边形;②两组对边分别平行.
(2)指出表示平行四边形错误的情况,如▱ACDB.
(3)作为性质:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD.
作为判定:∵AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
[设计意图] 学生结合实例和教材中的图片,师引导学生归纳这些四边形的共同特征,即:两组对边分别平行.
2.平行四边形边、角的性质
思路一
[过渡语] 同学们回忆我们的学习经历,研究几何图形的一般思路是什么?
一起回顾全等三角形的学习过程,得出研究的一般过程:先给出定义,再研究性质和判定.教师进一步指出:性质的研究,其实就是对边、角等基本要素的研究.
提问:平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外,还有什么特殊的性质呢?
教师画出图形,如右图所示,引导学生通过观察、度量,提出猜想.
猜想1:四边形ABCD是平行四边形,那么AB=CD,AD=BC.
猜想2:四边形ABCD是平行四边形,那么∠A=∠C,∠B=∠D.
追问:你能证明这些结论吗?
学生讨论,发现不添加辅助线可以证明猜想2.
∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,
∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,
∴∠B=∠D.
同理可得∠A=∠C.
在学生遇到困难时,教师引导学生构造全等三角形进行证明.
[过渡语] 我们知道,利用全等三角形的对应边、对应角都相等是证明线段相等、角相等的一种重要方法.
学生尝试,连接平行四边形的对角线,并证明猜想,如右图所示.
证明:连接AC.
∵AD∥BC,AB∥CD,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
又AC是△ABC和△CDA的公共边,
∴△ABC≌△CDA.
∴AD=CB,AB=CD.
∠B=∠D.
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∵∠BAD=∠1+∠4,∠DCB=∠2+∠3,
∠1+∠4=∠2+∠3,
∴∠BAD=∠DCB.
引导学生归纳平行四边形的性质:
平行四边形的对边相等;
平行四边形的对角相等.
追问:通过证明,发现上述两个猜想正确.这样得到平行四边形的两个重要性质.你能说出这两个命题的题设与结论,并运用这两个性质进行推理吗?
教师引导学生辨析定理的题设和结论,明确应用性质进行推理的基本模式:
∵四边形ABCD是平行四边形(已知),
∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等),
∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对角相等).
[设计意图] 让学生领悟证明线段相等或角相等通常采用证明三角形全等的方法,而图形中没有三角形,只有四边形,我们需要添加辅助线,构造全等三角形,将四边形问题转化为三角形问题来解决,突破难点.进而总结、提炼出将四边形问题化为三角形问题的基本思路.
[知识拓展] (1)运用平行四边形的这两条性质可以直接证明线段相等和角相等.(2)四边形的问题,常常通过连接对角线转化成三角形的问题解决.
(教材例1)如图所示,在▱ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.求证AE=CF.
引导学生分析:要证明线段AE=CF,它不是平行四边形的对边,无法直接用平行四边形的性质证明,考虑证明△ADE≌△CBF.由题意容易得到∠AED=∠CFB=90°,再根据平行四边形的性质可以得出∠A=∠C,AD=CB.在此基础上,引导学生写出证明过程,并组织学生进行点评.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AD=CB.
又∠AED=∠CFB=90°,
∴△ADE≌△CBF.
∴AE=CF.
[设计意图] 应用性质进行推理,体会得到证明思路的方法.
思路二
1.提问:根据定义画一个平行四边形ABCD,并观察这个四边形除了“两组对边分别平行”外,它的边、角之间还有哪些关系?度量一下,是不是和你的猜想一致?
AB=
BC=
CD=
AD=
猜想:
∠A=
∠B=
∠C=
∠D=
猜想:
小组合作完成,交流自己的猜想.
教师强调平行四边形的对边、邻边、对角、邻角等概念,再引导学生归纳:
平行四边形的对边相等;
平行四边形的对角相等.
2.你能证明你发现的上述结论吗?
已知:如图(1)所示,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.
求证:(1)AD=BC,AB=CD;
(2)∠B=∠D,∠BAD=∠DCB.
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小组讨论,发现:需要连接对角线,将平行四边形的问题转化成两个三角形全等的问题来解决.
证明:(1)连接AC,如图(2)所示.
∵AD∥BC,AB∥CD,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
又AC是△ABC和△CDA的公共边,
∴△ABC≌△CDA.
∴AD=CB,AB=CD.
(2)∵△ABC≌△CDA(已证),
∴∠B=∠D.
∵∠BAD=∠1+∠4,∠DCB=∠2+∠3,
∠1+∠4=∠2+∠3,
∴∠BAD=∠DCB.
一组代表发言后,另一小组补充,我们发现不作辅助线也可以证明平行四边形的对角相等.
∵AB∥CD,∴∠BAD+∠D=180°,
∵AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°,
∴∠B=∠D.
同理可得∠BAD=∠DCB.
教师根据学生的证明情况进行评价、总结.
证明线段相等或角相等时,通常证明三角形全等,图中没有三角形怎么办?一般是连接对角线将四边形的问题转化为三角形的问题.
引导学生将文字语言转化为符号语言表述,并进行笔记.
∵四边形ABCD是平行四边形(已知),
∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等),
∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对角相等).
(补充)如图,在▱ABCD中,AC是平行四边形ABCD的对角线.
(1)请你说出图中的相等的角、相等的线段;
(2)对角线AC需添加一个什么条件,能使平行四边形ABCD的四条边相等?
学生认真读题、思考、分析、讨论,得出有关结论.
因为平行四边形的对边相等,对角相等.所以AB=CD,AD=BC,∠DAB=∠BCD,∠B=∠D,又因为平行四边形的两组对边分别平行,所以∠DAC=∠BCA,∠DCA=∠BAC.
教师根据学生回答,板书有关正确的结论.
解决第(2)个问题时,学生思考、交流、讨论得出:只要添加AC平分∠DAB即可.
说明理由:因为平行四边形的两组对边分别平行,所以∠DCA=∠BAC,而∠DAC=∠BAC,所以∠DCA=∠DAC,所以AD=DC,又因为平行四边形的对边相等,所以AB=DC=AD=BC.
[设计意图] 学生通过亲自动手,提出猜想,验证猜想,得出结论,并初步应用.
3.平行线间的距离
[过渡语] 距离是几何中的重要度量之一.前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离,那么平行线间的距离又是怎样的呢?
思路一
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提问:在教材的例1中,DE=BF吗?
学生思考,都容易发现:由△ADE≌△CBF,容易得到DE=BF.
追问:如图所示,直线a∥b,A,D为直线a上任意两点,点A到直线b的距离AB和点D到直线b的距离DC相等吗?为什么?
学生讨论,发现容易证明AB∥CD,由已知得AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD.
教师引导归纳:如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.
两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离,平行线间的距离相等.
学生结合图指出:a∥b,点A是a上的任意一点,AB⊥b,B是垂足,线段AB的长就是a,b之间的距离.
教师点评,并强调:任意两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的,都是夹在两条平行线之间的最短的线段的长度.
[设计意图] 结合例1的进一步追问,自然引出平行线间距离的概念.
思路二
请同学们拿出方格纸,在方格纸上画两条互相平行的直线,在其中一条直线上任取若干点,过这些点作另一条直线的垂线.
老师边看边指导学生画图.
追问:请同学们用刻度尺量一下方格纸上两平行线间的所有垂线段的长度,你发现了什么现象?
学生发现:平行线间的所有垂线段的长度相等.
教师引导归纳:如果两条直线平行,那么一条直线上所有点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.
两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离,平行线间的距离相等.
如右图所示,用符号语言表述为:
∵l1 ∥l2,AB⊥l2,CD⊥l2,
∴AB=CD.
教师进一步强调:两平行线l1 ,l2之间的距离是指什么? 指在一条直线l1上任取一点A,过A 作AB⊥l2于点B,线段AB的长度叫做两平行线l1 ,l2间的距离.
引导学生归纳:两平行线之间的距离、点与直线的距离、点与点之间的距离的区别与联系.
两平行线间的距离⇒点到直线的距离⇒点与点之间的距离.
l1,l2间的距离转化为点A到l2间的距离,再转化为点A到点B的距离.
追问:如果AB,CD是夹在两平行线l1,l2之间的两条平行线段,那么AB和CD仍相等吗?
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教师引导学生思考:(出示教材第43页图18.1-5)如图所示,a∥b,c∥d,c,d与a,b分别相交于A,B,C,D四点.由平行四边形的概念和性质可知,四边形ABDC是平行四边形,AB=CD.说明:两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
[设计意图] 借助学生熟悉的方格纸引出平行线间距离的概念,浅显易懂,并注重两平行线间的距离、点到直线的距离、点与点间的距离之间的知识整合.
[知识拓展] (1)当两条平行线确定后,两条平行线之间的距离是一定值,不随垂线段位置的变化而改变.(2)平行线之间的距离处处相等,因此在作平行四边形的高时,可以灵活选择位置.
4.例题讲解
(补充)在▱ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2,试求▱ABCD的周长.
引导学生根据题意作图分析,教师根据学生考虑不周全的问题进行引导,明确思路后学生写解答过程.
〔解析〕 本题考查了平行四边形的性质及勾股定理的应用,解题的关键是分别画出符合题意的图形.设BC边上的高为AE,分AE在▱ABCD的内部和AE在▱ABCD的外部两种情况计算.
解:在▱ABCD中,AB=CD=5,AD=BC.
设BC边上的高为AE.
(1)若AE在▱ABCD的内部,如图①所示,
在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,
根据勾股定理,得:
BE====3;
在Rt△ACE中,AC=2,AE=4,
根据勾股定理,得:
CE== ==2.
∴BC=BE+CE=3+2=5.
∴▱ABCD的周长为2×(5+5)=20.
(2)若AE在▱ABCD的外部,如图②所示,
同理可得BE=3,CE=2,
∴BC=BE-CE=3-2=1,
∴▱ABCD的周长为2×(5+1)=12.
综上,▱ABCD的周长为20或12.
[解题策略] 本题相当于已知一个三角形的两条边以及第三条边上的高,求第三条边的长度,因为三角形的高可能在三角形的内部、也可能在三角形的外部,所以作图时应分两种情况讨论,如下图所示.
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本节课我们主要学习了平行四边形的定义,探索了平行四边形的两个特征,同时还学习了平行线间的距离,平行线的一些特征.
平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.
平行线间的距离:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.
平行线间的距离相等,两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
1.已知▱ABCD中,∠A+∠C=200°,则∠B的度数是 ( )
A.100° B.160° C.80° D.60°
解析:∵∠A+∠C=200°,∠A=∠C,∴∠A=100°,又AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=180°-∠A=80°.故选C.
2.如图所示,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH相交于点O,则图中共有平行四边形的个数为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
解析:图中的平行四边形有:平行四边形AEOG、平行四边形BHOE、平行四边形CHOF、平行四边形OFDG、平行四边形ABHG、平行四边形CHGD、平行四边形AEFD、平行四边形BEFC、平行四边形ABCD.故选D.
3.如图所示,在▱ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为 ( )
A.4 B.3 C. D.2
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE,∵CE平分∠DCB,∴∠DCE=∠BCE,∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=AB,∵AD=2AB=2CD,CD=DE,∴AD=2DE,∴AE=DE=3,∴DC=AB=DE=3.故选B.
4.如图所示,在▱ABCD中,△ABC和△DBC的面积的大小关系是 .
解析:∵两平行线AD,BC间的距离相等,∴△ABC与△DBC是同底等高的两个三角形,∴它们的面积相等.故填相等.
5.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,∠C=60°,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F.
(1)求∠EDF的度数;
(2)若AE=4,CF=7,求平行四边形ABCD的周长.
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠A=∠C=60°,∴∠C+∠B=180°.∵∠C=60°,∴∠B=180°-∠C=120°.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEB=∠DFB=90°,∴∠EDF=360°-
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∠DEB-∠DFB-∠B=60°. (2)在Rt△ADE和Rt△CDF中,∠A=∠C=60°,∴∠ADE=∠CDF=30°,∴AD=2AE=8,CD=2CF=14,∴平行四边形ABCD的周长为2×(8+14)=44.
第1课时
1.平行四边形的定义
2.平行四边形边、角的性质
例1 例2
3.平行线间的距离
4.例题讲解
例3
一、教材作业
【必做题】
教材第43页练习第1,2题;教材第49页习题18.1第1,2题.
【选做题】
教材第50页习题18.1第8题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在平行四边形ABCD中,∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F等于 ( )
A.110° B.30° C.50° D.70°
2.如图所示,l1 ∥l2,BE∥CF,BA⊥l1 于点A,DC⊥l2于点C,有下面的四个结论;(1)AB=DC;(2)BE=CF;(3)S△ABE=S△DCF;(4)S四边形ABCD=S四边形BCFE.其中正确的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.如图所示,点E是▱ABCD的边CD的中点,AD,BE的延长线相交于点F,DF=3,DE=2,则▱ABCD的周长为 ( )
A.5 B.7 C.10 D.14
4.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=4,∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DG⊥AE,垂足为G,若DG=1,则AE的长为 ( )
A.2 B.4 C.4 D.8
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5.如图所示,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为 .
【能力提升】
6.如图所示,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(4,2),则顶点D的坐标为 .
7.如图所示,在▱ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则▱ABCD的周长是 .
8.(2015·自贡中考)在▱ABCD中,∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E,BH⊥EC于点H.求证CH=EH.
9.如图所示,四边形ABCD是一个平行四边形,BE⊥CD于点E,BF⊥AD于点F.
(1)请用图中的字母表示出平行线AD与BC之间的距离;
(2)若BE=2 cm,求平行线AB与CD之间的距离.
10.如图所示,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,交其延长线于点E,AF⊥CD于点F,∠EAF=30°,AE=4 cm,AF=3 cm,求平行四边形ABCD的周长.
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11.如图所示,已知四边形ABDE是平行四边形,C为边BD延长线上一点,连接AC,CE,AB=AC.
(1)求证△BAD≌△ACE;
(2)若∠B=30°,∠ADC=45°,BD=10,求平行四边形ABDE的面积.
【拓展探究】
12.如图所示,点E,F分别在平行四边形ABCD的边DC,CB上,且AE=AF,DG⊥AF,BH⊥AE,G,H是垂足.求证DG=BH.
【答案与解析】
1.D(解析:由平行四边形的对角相等可得∠ADC=110°,再由邻补角的性质得出∠FDC=70°,所以 ∠E+∠F=∠FDC=70°.)
2.A(解析:∵l1∥l2,BA⊥l1 于点A,DC⊥l2于点C,∴AB=CD,故(1)正确;∵l1 ∥l2,BE∥CF,∴BE=CF,故(2)正确;根据HL可以证明Rt△ABE≌Rt△DCF,因此,S△ABE=S△DCF,故(3)正确;四边形ABCD与四边形BCFE是同底等高的两个平行四边形,∴S四边形ABCD=S四边形BCFE,故(4)正确.故选A.)
3.D(解析:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴∠F=∠CBF,∠FDE=∠C.∵E为CD的中点,∴DE=CE,∴△FDE≌△BCE(AAS),∴BC=AD=FD,∵DF=3,DE=2,∴AD=3,AB=DC=4,∴▱ABCD的周长为2(AD+AB)=14.故选D.)
4.B(解析:∵AE为∠DAB的平分线,∴∠DAE=∠BAE.由题意知DC∥AB,∴∠BAE=∠DFA,∴∠DAE=∠DFA,∴AD=FD.又F为DC的中点,∴DF=CF,∴AD=DF=DC=AB=2,在Rt△ADG中,根据勾股定理得AG=,则AF=2AG=2,由题意知AD∥BC,∴∠DAF=∠E,在△ADF和△ECF中, ∴△ADF≌△ECF(AAS),∴AF=EF,则AE=2AF=4.故选B.)
5.25°(解析:∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且CD=CD,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA,∵∠BAD=60°,∠F=110°,∴∠ADC=120°,∠CDE=∠F=110°,∴∠ADE=360°-120°-110°=130°,∴∠DAE==25°.故填25°.)
6.(1,2)(解析:A,B的坐标分别是(0,0),(3,0),则AB=3,根据平行四边形对边相等,得CD=AB=3,∵点C的坐标为(4,2),∴点D的坐标为(1,2).)
7.20(解析:在▱ABCD中,AB=CD,AD∥BC,且AD=BC=6.∵BE=2,∴CE=BC-BE=6-2=4.如图所示,∵AD∥BC,∴∠1=∠3,又由题意知∠1=∠2,∴∠2=∠3,∴CD=CE=4,∴▱ABCD的周长为2(AD+CD)=2×(6+4)=2×10=20.故填 20.)
8.证明:如图所示,∵在▱ABCD中,BE∥CD,∴∠E=∠2.∵CE平分∠BCD,∴∠1=∠2.∴∠1=∠E.∴BE=BC.又∵BH⊥EC,∴CH=EH.
134
9.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∵BF⊥AD,∴ BF⊥BC,∴平行线AD与BC之间的距离是线段BF的长度. (2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∵BE⊥CD,∴ BE⊥AB,∴平行线AB与CD之间的距离是线段BE的长度,是2 cm.
10.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠B=∠D.∵AE⊥BC,AF⊥CD,∠EAF=30°,∴∠ECD=∠B=∠D=30°.∵ AE=4 cm,AF=3 cm,∴AB=8 cm,AD=6 cm,∴平行四边形ABCD的周长为8+8+6+6=28(cm).
11.(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.又∵四边形ABDE是平行四边形,∴AE∥BD,AE=BD,∴∠ACB=∠CAE=∠B.在△DBA和△AEC中, ∴△DBA≌△EAC(SAS).(2)解:过A作AG⊥BC,垂足为G,如图所示.设AG=x, 在Rt△AGD中,∵∠ADC=45°,∴AG=DG=x.在Rt△AGB中,由∠B=30°,易得BG=x .又∵BD=10,∴BG-DG=BD=10,即x-x=10,解得x==5+5,∴S平行四边形ABDE=BD·AG=10×(5+5)=50+50.
12.证明:连接BE,DF.设平行四边形ABCD的面积为S,AB,AD边上的高分别为a和b,依题意:S=AB×a=AD×b,∵S△ABE=×AB×a=S,S△ADF=×AD×b=S,∴S△ABE=S△ADF.∵DG⊥AF,BH⊥AE,∴S△ABE=×AE×BH,S△ADF=×AF×DG,∴AE×BH=AF×DG,∵AE=AF,∴DG=BH.
本节以探究活动的形式,让学生通过自主探索、合作交流去发现和体验新知识.整个过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性与挑战性活动.改变了以例题、示范、讲解为主的教学方式,引导学生投入到探索与交流的学习活动中去.这一节课学生已通过画图,测量,猜想的探究方式发现“平行四边形的对边相等,对角相等”等特征.学生参与度高,提高学生的学习兴趣和实际操作能力,取得较好的学习效果.
引导学生进行思考的语言不够精练,时间把握得不够好,课堂不够紧凑.由于性质探索部分花了较多时间,导致练习的时间不够多.应该让学生在练习的时候有更多的时间讨论,说得更多.
134
最后的小结部分留足时间,由学生自己归纳本节课的内容,把性质按边、角进行归纳,配以图表方便记忆.补充的例题在教学中侧重对学生思路的引导,开阔学生的视野.
练习(教材第43页)
1.解:(1)在▱ABCD中,AB=CD=5,BC=AD=3,∴▱ABCD的周长=AB+CD+BC+AD=16. (2)在▱ABCD中,∠A=∠C=38°,∠B=∠D=180°-38°=142°.
2.解:AD=BC.理由如下:∵AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC.
本课时教材设计理念
平行四边形是生活中常见的几何图形,是基本的几何图形之一,它具有丰富的几何性质.对于平行四边形,按照图形概念的从属关系,平行四边形首先是四边形,具有四边形的一般性质,又是两组对边分别平行的特殊四边形,是四边形中的一类特殊图形,有它特殊的性质,同时它又包括矩形、菱形、正方形,具有它们的共性.
平行四边形性质的探究,经历了感知(观察)、猜想、证明等过程,本节主要研究边、角的性质.平行四边形性质的证明,应用了四边形问题转化为三角形问题的思想,是平行线的性质、全等三角形等知识的延续和深化,对于培养学生演绎推理,训练学生思维,体验数学思维规律等方面起着重要的作用.平行四边形的性质也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的基础,在教材中起着承上启下的作用.平行四边形的性质还为证明两条线段相等、两角相等、两直线平行提供了新的方法和依据.
在研究了平行四边形的性质后,教材引进了平行线间距离的概念,距离是几何中的重要概念,是几何学习的重要起点.点与点之间的距离是点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础.它们在本质上都是点与点之间的距离.任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的,都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.两条平行线之间距离的给出,是平行四边形概念和性质的综合应用.
如何分田地面积相等
从前,一位农场主有一大块田地,其形状是一个平行四边形(图中的▱ABCD).田地内有一口井,位于图中的点O处.井所占的面积非常有限,与整片田地比起来简直可以看成“一点”(面积可忽略不计),农场主临死前留下了遗嘱,把两块三角形的田地(图中的△AOD和△BOC)给大儿子,剩下的(△AOB和△COD)全部给小儿子,至于这口井,两家可以共用.由于平行四边形不比正方形或菱形,相邻两边AD,AB不相等(AD>AB),所以遗嘱公布之后,亲友们七嘴八舌,议论纷纷.有人埋怨农场主偏心,分配不公平;也有人替小儿子抱不平.同学们,你们觉得呢?我们可以利用什么数学知识进行验证呢?
134
我们不妨设大儿子得到的田地(△AOD和△BOC)面积之和为S,过点O作EF⊥AD,交AD于F,交BC于E,由题意易得AD∥BC,∴EF⊥BC.S=S△AOD+S△BOC=AD·OF+BC·OE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC ∴S=AD·(OF+OE)=AD·EF=S平行四边形ABCD.
由此可以看出,无论井在什么位置,甚至是在这块地的边上,两个儿子分得的土地大小都是一样的.我们不得不佩服这位农场主的智慧过人.
第课时
1.理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题.
在观察、操作、推理、归纳的探索活动中,进一步培养学生的数学说理能力与习惯.
通过小组合作探究学习,促进同学间的情感交流,体验学习的乐趣,在自我评价中学会自我肯定,增强学习的自信心.
【重点】 平行四边形对角线互相平分的性质,以及性质的应用.
【难点】 综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 两张方格纸,铅笔,图钉.
导入一:
一位饱经沧桑的老人,经过一辈子的辛勤劳动,到晚年的时候,终于拥有了一块平行四边形的土地,由于年迈体弱,
他决定把这块土地分给他的四个孩子,他是这样分的:(如右图所示)
当四个孩子看到时,争论不休,都认为自己的地少,同学们,你认为老人这样分合理吗?为什么?
134
本节课,我们将继续学习与平行四边形的对角线有关的性质,你将会明白老人的分法是否合理.
[设计意图] 把知识融入到故事情境中,提高学生的学习兴趣.
导入二:
1.复习提问:
(1)什么样的四边形是平行四边形?
(2)前面我们学习过平行四边形的什么性质?
学生自由说,教师根据学生回顾情况梳理知识.
①具有一般四边形的性质(内角和是360°).
②角:平行四边形的对角相等,邻角互补.
边:平行四边形的对边平行且相等.
2.回顾思考:
(1)平行四边形ABCD中,∠A比∠B大20°,则∠C的度数为 ( )
A.60° B.80° C.100° D.120°
(2)平行四边形ABCD的周长为40 cm,三角形ABC的周长为25 cm,则对角线AC的长为 ( )
A.5 cm B.15 cm C.6 cm D.16 cm
(3)平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于O,则全等三角形的对数有 .
学生独自思考,交流解答情况.教师适当点评.
(1)C (2)A (3)4对
画出图形,针对(3)小题学生的错误提问:为什么(3)小题中全等三角形的对数不是2对,而是4对呢?通过今天的学习,你会明白其中的原因.
[设计意图] 以问题串形式回顾平行四边形的概念和平行四边形的性质,温故知新.通过(1)~(3)的问题串,反馈学生对平行四边形的对边、对角性质的理解和简单应用.希望真实、客观地反馈学生对上节“平行四边形性质”的掌握情况,并有针对性地在本节补救强化.
[过渡语] 上节课我们研究了平行四边形的边和角的关系,平行四边形中还有一种重要的线段,这就是对角线,平行四边形对角线之间有什么关系呢?
1.平行四边形的对角线互相平分
思路一
【探究】 请大家在方格纸上画两个全等的▱ABCD和▱HGFE,并连接对角线AC,BD和EG,HF,设它们分别交于点O.把这两个平行四边形放在一起,让它们重合,在点O处钉一个图钉,将▱ABCD绕点O旋转180°,观察它还和▱HGFE重合吗?你能从中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗?进一步,你还能发现平行四边形的什么性质吗?
学生按照要求操作,围绕问题讨论,发现:
是否重合
边
角
对角线
134
旋转前
▱ABCD和▱HGFE重合
AB与GH,CD与EF互相重合;AD与HE,BC与GF互相重合
∠ABC与∠HGF,∠ADC与∠HEF,∠BAD与∠GHE,∠BCD与∠GFE互相重合
OA=OH,
OC=OF,
OB=OG,
OD=OE
旋转后
▱ABCD和▱HGFE仍然重合
AB与FE,CD与HG互相重合;AD与FG,BC与EH互相重合
∠ABC与∠HEF,∠ADC与∠HGF,∠BAD与∠GFE,∠BCD与∠GHE互相重合
OA=OF,
OC=OH,
OB=OE,
OD=OG
结论
GH=EF,EH=GF
∠HGF=∠HEF,∠GFE=∠GHE
OH=OF,OG=OE
教师引导学生交流:旋转后,▱ABCD与▱HGFE还是完全重合的.平行四边形的对边相等,对角也是相等的,对角线互相平分.
[过渡语] 上节课我们证明了平行四边形的对边相等,对角也相等.你能尝试证明平行四边形的对角线互相平分这一结论吗?
已知:如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.
求证:OA=OC,OB=OD.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥DC,
∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO,
∴△AOB≌△COD,
∴OA=OC,OB=OD.
你还有其他的证明方法吗?与同伴交流.
教师引导学生总结,并板书:平行四边形的对角线互相平分.
用符号语言表述为:
∵平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴OA=OC,OB=OD.
引导学生思考:平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于O,则全等三角形的对数有几对?
学生相互补充说出:△AOB与△COD,△BOC与△DOA,△ABC与△CDA,△ABD与△CDB分别全等,共有4对.
[设计意图] 利用活动的形式,让学生在活动中提炼出平行四边形的对角线的性质,并加以验证.
思路二
[过渡语] 在上节课中,我们发现平行四边形边、角有特殊的关系,那么平行四边形的对角线有怎样的特殊关系呢?
【探究】 如图所示,在▱ABCD中,连接对角线AC,BD,相交于点O,OB与OD有什么关系?OA与OC呢?
学生画图,测量后填表,交流.
OA=
OC=
关系为:
OB=
OD=
关系为:
学生思考、交流得出:平行四边形的对角线互相平分.
追问:互相平分如何理解?
一生回答,其余补充.AC与BD互相平分,指AC平分BD,即OB=OD,BD平分AC,即OA=OC.
134
(出示问题)已知▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,图中有哪些三角形全等?哪些线段相等?请同学们用多种方法加以验证.
学生互相讨论自己的思维,并交流不同的验证思路.
用“AAS”或“ASA”可以证明图中共有四对三角形全等,分别是△AOB≌△COD,△BOC≌△DOA,△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB.相等的线段有:OA=OC,OB=OD,AB=CD,AD=CB.
师生归纳:平行四边形的对角线互相平分.
学生说出定理的题设和结论,用符号语言表述为:
∵平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴OA=OC,OB=OD.
教师提醒:定理的证明只是让学生进一步理解定理,而在定理的运用时则没必要这么麻烦,直接由四边形是平行四边形得出其对角线互相平分,这是证明线段相等的常用方法.
[设计意图] 学生通过操作感知,辅以三角形全等知识的应用,发现、验证了所要学习的内容,解决了重点,突破了难点.
2.例题讲解
(补充)如图所示,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O与AB,CD分别相交于点E,F.
求证OE=OF,AE=CF,BE=DF.
学生讨论:由刚刚得出的结论“平行四边形的对角线互相平分”,得到OA=OC,继而得到△AOE≌△COF(AAS),从而得证.
证明:在▱ABCD中,AB∥CD,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
又 OA=OC(平行四边形的对角线互相平分),
∴ △AOE≌△COF(AAS).
∴OE=OF,AE=CF(全等三角形对应边相等).
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB=CD(平行四边形对边相等).
∴ AB-AE=CD-CF,
即 BE=FD.
引申提问:若例1中的条件都不变,将EF转动到如图①所示的位置,那么例1中的结论是否成立?若将EF向两方延长,与平行四边形的两对边的延长线分别相交(如图②和图③所示),例1中的结论是否成立?说明你的理由.
分别由一名学生说说自己分析的结果,证明过程留在课后完成.
134
(教材例2)如图所示,在▱ABCD中,AB=10,AD=8,AC⊥BC,求BC,CD,AC,OA的长,以及▱ABCD的面积.
引导学生读题,强调“底”是对应着高说的,平行四边形中,任一边都可以作为“底”,“底”确定后,高也就随之确定了.
学生共同分析:由平行四边形的对边相等,可得BC,CD的长,在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC的长.再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长,根据平行四边形的面积计算公式:平行四边形的面积=底×高(高为此底上的高),可求得▱ABCD的面积.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=8,CD=AB=10.
∵AC⊥BC,
∴△ABC是直角三角形.
根据勾股定理,
AC===6.
又OA=OC,
∴OA=AC=3,
S▱ABCD=BC·AC=8×6=48.
师生共同完成解答过程,并说明用S表示面积时,常在它的下脚注上图形标记,例如S▱ABCD表示▱ABCD的面积.
[设计意图] 本节课安排了两个例题,例1是一道补充题,它是平行四边形对角线的性质的直接运用,然后对例1进行了引申,可以根据学生的实际情况选讲,并归纳结论:过平行四边形对角线的交点作直线,交对边或对边的延长线,所得的对应线段相等.例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形,熟悉本节的性质对解答复杂问题是很有帮助的.例2是教材第44页的例2,这是复习、巩固小学学过的平行四边形面积的计算.这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步,需要应用勾股定理,先求得平行四边形一边上的高,然后才能应用公式计算.在以后的解题中,还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题,在教学中要注意使学生掌握其方法.
[知识拓展] (1)利用平行四边形的对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题,在解答时应联系“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”来解决.(2)若一条直线过平行四边形的两条对角线的交点,则这条直线被一组对边所截线段以对角线的交点为中点,且这条直线平分该平行四边形的面积.(3)在平行四边形中,被对角线所分成的四个小三角形,相邻两个小三角形的周长之差等于邻边长之差.
师生共同整理平行四边形性质等知识.
名称
平行四边形
图形
定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
性质
边
角
对角线
平行四边形的对边平行;对边相等
对角相等;邻角互补
对角线互相平分
134
1.判断对错.
(1)在▱ABCD中,AC交BD于O,则AO=OB=OC=OD. ( )
(2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等. ( )
(3)平行四边形的两组对边分别平行且相等. ( )
(4)平行四边形是轴对称图形. ( )
解析:(1)在▱ABCD中,AC交BD于O,AC和BD不一定相等,故AO=OB=OC=OD是错误的.(2)由全等三角形的性质可以证明平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.(3)由平行四边形的性质,可知平行四边形的两组对边分别平行且相等.(4)平行四边形只是中心对称图形,不是轴对称图形.
答案:(1)✕ (2)√ (3)√ (4)✕
2.如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是 ( )
A.18 B.28 C.36 D.46
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=5,∵△OCD的周长为23,∴OD+OC=23-5=18,∵BD=2DO,AC=2OC,∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(DO+OC)=36.故选C.
3.如图所示,在平行四边形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,则与△AOD全等的是 .
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAO=∠BCO,∠ADO=∠CBO,OA=OC,∴△AOD≌△COB.故填△COB.
4.如图所示,▱ABCD的两条对角线相交于O,OA,OB,AB的长度分别为3 cm,4 cm,5 cm,求其他各边以及两条对角线的长度.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,OB=OD,又∵OA=3 cm,OB=4 cm,AB=5 cm,∴AC=6 cm,BD=8 cm,CD=5 cm,∵△AOB中,32+42=52,即AO2+BO2=AB2,∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD,∴在Rt△AOD中,OA2+OD2=AD2,∴AD=5 cm,BC=5 cm.答:这个平行四边形的其他各边都是5 cm,两条对角线长分别为6 cm和8 cm.
第2课时
1.平行四边形的对角线互相平分.
2.例题讲解
例1 例2
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一、教材作业
【必做题】
教材第44页练习第1,2题.
【选做题】
教材第49页习题18.1第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.平行四边形一边长为10,一条对角线长为6,则它的另一条对角线长a的取值范围为 ( )
A.490°,∴四边形DBCE不可能是矩形,
134
故本选项正确;C.∵∠ADB=90°,∴∠EDB=90°,∴平行四边形DBCE为矩形,故本选项错误;D.∵CE⊥DE,∴∠CED=90°,∴平行四边形DBCE为矩形,故本选项错误.故选B.
2.工人师傅在做门框或矩形零件时,常用测量平行四边形两条对角线是否相等来检测直角的精度,工人师傅依据的几何道理是 .
解析:工人师傅根据“对角线相等的平行四边形是矩形”,通过测量平行四边形两条对角线是否相等可判断做的门框或零件是否为矩形,进而判断直角的精度.故填对角线相等的平行四边形是矩形.
3.(2014·娄底中考)如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,应添加的条件是 (只填一个).
解析:∵有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,∴可填∠ABC=90°(或其余三个内角中的一个为90°);又∵对角线相等的平行四边形是矩形,∴可填“AC=BD”.故可填∠ABC=90°(答案不唯一).
4.如图所示,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于O,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点.
求证四边形EFGH是矩形.
证明:∵矩形ABCD的对角线AC,BD相交于O,∴AO=BO=CO=DO.又∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,∴EO=FO=GO=HO.∴四边形EFGH为平行四边形,EG=HF,∴四边形EFGH是矩形.
第2课时
1.矩形的判定:
①有一个角是直角的平行四边形是矩形.
②对角线相等的平行四边形是矩形.
③三个角都是直角的四边形是矩形.
2.例题讲解
例1 例2
一、教材作业
【必做题】
教材第55页练习第1,2题;教材第60页习题18.2第1,2,3题.
【选做题】
教材第61页习题18.2第8题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法错误的是 ( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.有一个角是直角的平行四边形是矩形
D.有三个角是直角的四边形是矩形
134
2.在四边形ABCD中,AC和BD的交点为O,则下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是 ( )
A.AB=CD,AD=BC,AC=BD
B.AO=CO,BO=DO,∠BAD=90°
C.∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠ADC=180°,∠AOB=∠BOC
D.AB∥CD,AB=CD,∠BAD=90°
3.如果平行四边形各内角的平分线能够围成一个四边形,则这个四边形是 ( )
A.正方形 B.矩形 C.梯形 D.平行四边形
4.如图所示,E,F,G,H分别是四边形ABCD的四边中点,要使四边形EFGH为矩形,则四边形ABCD应具备的条件是 ( )
A.一组对边平行而另一组对边不平行
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.对角线互相平分
5.要从一张长40 cm,宽20 cm的矩形纸片中剪出长为18 cm,宽为12 cm的矩形纸片,则最多能剪出 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【能力提升】
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的中线,延长CD到点E,使得 DE=CD.连接AE,BE,求证四边形ACBE为矩形.
7.(2015·内江中考)如图,将▱ABCD的边AB延长至点E,使AB=BE,连接DE,EC,BD,DE交BC于点O.
(1)求证△ABD≌△BEC;
(2)若∠BOD=2∠A,求证四边形BECD是矩形.
8.如图,直线MN经过线段AC的端点A,点B,D分别在∠NAC和∠MAC的平分线AE,AF上,BD交AC于点O,如果O是BD的中点,当点O在AC的什么位置时,四边形ABCD是矩形?并说明理由.
134
【拓展探究】
9.如图,△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F.
(1)求证OE=OF;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?说明理由.
【答案与解析】
1.A(解析:根据矩形的判定方法进行判断.)
2.C(解析:AB=CD,AD=BC,由两组对边分别相等的四边形是平行四边形,知四边形ABCD是平行四边形,又AC=BD,由对角线相等的平行四边形是矩形知▱ABCD是矩形,故A正确;AO=CO,BO=DO,故四边形ABCD是平行四边形,又∠BAD=90°,故平行四边形ABCD是矩形,故B正确;AB∥CD,AB=CD,故四边形ABCD是平行四边形,又∠BAD=90°,故平行四边形ABCD是矩形,故D正确.故选C.)
3.B(解析:平行四边形相邻两角的平分线相交成直角,根据有三个角是直角的四边形是矩形可判断.故选B.)
4.C(解析:由三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半知四边形EFGH是平行四边形,由四边形ABCD的对角线互相垂直可得∠EFG=90°,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可解答.故选C.)
5.C(解析:在矩形纸片的长上依次截取三个12 cm,再在纸片的宽上截取一个18 cm,可知共3个.故选C.)
6.证明:∵在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的中线,∴AD=BD.∵DE=CD,∴四边形ACBE为平行四边形,又∵∠ACB=90°,∴四边形ACBE为矩形.
7.证明:(1)在平行四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD,BE∥CD.又∵AB=BE,∴BE=DC,∴四边形BECD为平行四边形,∴BD=EC.在△ABD与△BEC中,∴△ABD≌△BEC(SSS). (2)由(1)知四边形BECD为平行四边形,则OD=OE,OC=OB.∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠A=∠BCD,即∠A=∠OCD.又∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC,∴∠OCD=∠ODC,∴OC=OD,∴OC+OB=OD+OE,即BC=ED,∴平行四边形BECD为矩形.
8.解:O是AC的中点时,四边形ABCD是矩形.理由如下:因为AO=CO,BO=DO,所以四边形ABCD是平行四边形,又∠FAC=∠MAC,∠CAE=∠CAN,所以∠FAE=∠FAC+∠CAE=(∠MAC+∠CAN)=×180°=90°,所以四边形ABCD是矩形.
9.(1)证明:∵MN∥BC,∴∠OEC=∠BCE.∵CE平分∠BCA,∴∠BCE=∠OCE,∴∠OEC=∠OCE.∴OC=OE.同理可证OC=OF.∴OE=OF. (2)解:当点O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:∵OA=OC,OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形,又∠ACF=∠ACD,∠ACE=∠ACB,所以∠ECF=∠ACF+∠ACE=(∠ACD+∠ACB)=×180°=90°.∴四边形AECF是矩形.
在课堂教学中,学生学习的积极性的高低,对课堂教学效率的高低有决定性的作用.因此教师不仅要在备课上下工夫,还要在课堂上特别关注学生对数学活动的参与程度,
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要将自己对学生的殷切期望,用恰到好处的激励评价表达出来,让学生把他们的聪明才智充分地发挥出来,并享受学习中的乐趣.
矩形的判定定理学生基本掌握,但综合运用时,仍有困难,要注意加强训练,促进能力的提升.
对于数学中的问题,教师不必有问必答.要做到三个“不”:学生能自己说出来的,教师不说;学生能自己学会的,教师不讲;学生能自己做到的,教师不教.尽可能地提供多种机会让学生去理解、感悟、体验,从而提高学生的数学认识,促进学生数学水平的提高.
练习(教材第55页)
1.解:如果一条对角线用了38盆红花,还需要从花房运来38盆红花,根据矩形的对角线相等,以及此时对角线的交点处不放花可得.如果一条对角线用了49盆红花,还需从花房运来48盆红花,因为在第一条对角线已放49盆,说明对角线的中点已放一盆,则另一对角线的中点就不需要,因此少用一盆.
2.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵△OAB是等边三角形,∴OA=OB=AB,∴OA=OB=OC=OD,∴AC=BD,∴▱ABCD是矩形.∵AB=4,∴AC=8,∴BC===4,∴S▱ABCD=AB·BC=4×4=16,即▱ABCD的面积为16.
教学设计思路
矩形的判定是矩形内容的延续,本节课要解决的问题是:矩形的定义可以作为矩形的判定方法.除此之外,还有没有其他判定方法呢?问题解决的关键是如何借助互逆命题来研究矩形的判定方法.
根据课标、教材,结合学生的实际,我采用的教学方法是启发式教学法.首先引导学生复习学过的矩形的定义、性质,为下面矩形的判定的探究奠定基础;接着用填空的形式,让学生从矩形性质定理的逆命题出发,进行猜想、证明,进一步理解互逆命题的意义,体会矩形的性质与判定的区别与联系,或者是从实际问题入手,让学生经历观察、分析、猜想、证明等过程,感受数学与生活实际的密切联系,进一步发展用数学意识;接下来通过典例示范说明矩形判定方法的运用.
本节教学的重点是矩形判定方法的运用,难点是矩形判定方法的理解及灵活应用.为突出重点,突破难点,本教案精心设计了系列数学活动,为学生的自主探究提供了机会;在教学活动中,注意鼓励学生积极参与,大胆尝试,让学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,积累数学活动经验,提高认知水平.
如图,平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证四边形EFGH是矩形.
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〔解析〕 要证明四边形EFGH是矩形,可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD∥BC.
∴∠DAB+∠ABC=180°.
又 AE平分∠DAB,BG平分∠ABC,
∴∠EAB+∠ABG=×180°=90°.
∴∠AFB=∠EFG=90°.
同理可证∠AED=∠BGC=∠CHD=∠EHG=90°.
∴四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).
18.2.2 菱 形
1.理解菱形的定义,掌握菱形的特殊性质.
2.能运用菱形的性质定理和判定定理进行计算和证明.
3.会利用对角线的长求菱形的面积.
1.经历菱形的性质定理和判定定理的探究、证明过程,丰富学生的数学活动经验和体验,进一步培养和发展学生的合情推理能力和表达能力.
2.通过菱形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算,进一步培养和发展学生的演绎推理能力.
1.在对菱形特殊性质的探索过程中,使学生感受到图形中的对称美,体会到数学来源于生活又应用于生活,从而增强学生学习数学的兴趣.
2.让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯.
【重点】 菱形的性质定理和判定定理的运用.
【难点】 运用菱形的性质定理和判定定理进行计算和证明.
第课时
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1.理解菱形的定义,掌握菱形的特殊性质.
2.能运用菱形的性质定理计算或证明,能根据菱形的性质解决简单的实际问题.
3.会利用对角线的长求菱形的面积.
1.经历菱形的性质定理的探究、证明过程,丰富学生的数学活动经验和体验,进一步培养和发展学生的合情推理能力和表达能力.
2.通过菱形的性质定理以及相关问题的证明和计算,进一步培养和发展学生的演绎推理能力.
1.由菱形的定义,能从数学的角度去探究菱形的特殊性质,并能运用菱形的性质进行有关的证明和计算,发展应用意识.
2.在应用菱形性质的过程中培养学生独立思考的习惯,在数学学习活动中获得成功的体验,通过菱形性质的探究学习,体会它的内在美和应用美.
【重点】 菱形性质定理的运用.
【难点】 菱形性质定理的理解及灵活应用.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 三角板等画图工具,复习平行四边形的定义及其性质,预习本节内容.
导入一:
我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形,其实还有另外的特殊平行四边形,请看演示:(可用事先按如图所示做成的一组对边可以活动的教具进行演示)
如图,改变平行四边形的边,使之一组邻边相等时,这又是一类特殊的平行四边形——菱形.那么什么样的图形是菱形?为什么说菱形是特殊的平行四边形?菱形具有怎样的性质?这些就是我们这节课要解决的问题.
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[设计意图] 借助教具导入新课,直观形象,运用设问激发学生的好奇心,同时指明菱形是特殊的平行四边形,为下面的学习做好铺垫.
导入二:
前面我们学习了平行四边形、矩形,请同学们回忆平行四边形、矩形有哪些性质.
引导学生从边、角、对角线、对称性四个方面考虑,思考后回答.
生1:平行四边形是中心对称图形.
生2:平行四边形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.
生3:矩形具有平行四边形的所有性质,此外矩形还具有一些一般平行四边形不具有的特性:矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等.
生4:矩形是轴对称图形,有两条对称轴.
在学生讨论的基础上,教师以表格的形式予以梳理.
图形
边
角
对角线
平行四边形
对边平行且相等
对角相等
互相平分
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
相等且互相平分
[设计意图] 温故知新.菱形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的所有性质,因此,引导学生复习、梳理平行四边形、矩形的性质,为本节菱形的学习奠定了扎实的基础.
1.菱形的定义
思路一
[过渡语] 下面我们先来看个动态演示,考虑什么样的图形是菱形.
几何画板演示:如图所示.
在平行四边形ABCD中,我们平移边CD,使BC'=AB,这时的图形是菱形.我们说菱形是特殊的平行四边形,特殊之处就是有一组邻边相等.
下面请一位同学给菱形下个定义.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形是我们生活中最常见的图形之一,你能举出一些例子吗?
学生纷纷说出菱形的例子,如窗户上的菱形窗格、美丽的中国结、伸缩的衣帽架等.
[设计意图] 让学生从动态的角度出发认识菱形,体会菱形与平行四边形的联系与区别,深刻认识特殊与一般的思想.
思路二
[过渡语] 下面我们先来看一些图片,考虑什么样的图形是菱形?
请同学们观察上面的图片,思考下面的问题:
(1)图片中给我们以哪些图形的形象?这些图形有哪些共同特点?
(2)什么样的图形是菱形?你能给菱形下个定义吗?
学生观察、思考、交流.
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学生观察发现:图片中所含的图形都是菱形.
提问:谁能说一说菱形是怎样定义的?
在学生尝试归纳的基础上,教师明确菱形的定义并板书.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
[设计意图] 让学生从观察图片入手,经历观察、发现、猜想、归纳的过程,从直观上加深对菱形的理解.
2.菱形的性质
[过渡语] 菱形是特殊的平行四边形,所以它具有平行四边形的所有性质.那么它是否具有一般平行四边形不具有的一些特性呢?接下来请同学们看下面的问题.
思路一
做一做:请拿出课前准备的菱形纸片,连续对折两次,回答下列问题:
(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有怎样的位置关系?
(2)菱形中有哪些相等的线段?相等的角?
(学生动手操作,思考、交流自己的发现)
通过上面的折纸活动,学生不难发现:
①菱形是轴对称图形,有2条互相垂直的对称轴,如图所示.
②菱形的四条边都相等.
③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
[过渡语] 观察、实验、归纳是人们认识事物的重要手段,一个数学结论是否正确,必须经过证明才能断定.下面我们一起来证明同学们的发现.
求证:(1)菱形的四条边都相等;
(2)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
教师解析:这是一道文字证明题.对于文字证明题,第一步:根据题意画出图形,分清条件、结论,结合图形写出已知、求证;第二步:从已知条件出发,根据学过的公理、定理、定义等寻找已知与未知之间的联系,即解题思路;第三步:写出证明过程.
师生共同完成证明过程.
已知:如图,在菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB=BC=CD=AD;
(2)AC⊥BD;
(3)∠CAB=∠CAD,∠ACB=∠ACD,∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB.
证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD,AD=BC(菱形的对边相等),
又∵AB=AD,
∴AB=BC=CD=AD.
(2)∵AB=AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴OB=OD(菱形的对角线互相平分).
∴AO⊥BD(等腰三角形的“三线合一”),
即AC⊥BD.
(3)∵AB=BC=CD=AD,AC是公共边,
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∴△BAC≌△DAC.
∴∠CAB=∠CAD,∠ACB=∠ACD.
同理可证∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB.
教师总结:通过折纸、观察、发现、证明,我们得到了菱形的两个性质定理.
性质定理1:菱形的四条边都相等.
性质定理2:菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
提问:你能用符号语言表述吗?
师生共同写出:
(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠CAB=∠CAD,∠ACB=∠ACD,∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB.
[设计意图] 通过折纸、观察、发现、证明菱形的特性,深化对菱形特性的理解,为性质的运用做好准备.
思路二
想一想:如图,菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC,BD相交于点O.
(1)图形中有哪些相等的线段?相等的角?
(2)对角线AC,BD有怎样的位置关系?
(3)菱形ABCD是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?
(学生观察,思考、交流自己的看法)
生1:菱形是特殊的平行四边形,∴AB=CD,AD=BC(菱形的对边相等),又∵AB=AD,∴AB=BC=CD=AD,即菱形的四条边都相等.
生2:菱形是特殊的平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.
生3:∵AB=AD,OB=OD,∴AO⊥BD(等腰三角形的“三线合一”),即菱形的对角线互相垂直.
生4:∵AB=CD,AD=BC,AC是公共边,∴△BAC≌△DAC.∴∠CAB=∠CAD,∠ACB=∠ACD.同理可证∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB,即菱形的每一条对角线平分一组对角.
生5:菱形ABCD是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是对角线所在的直线.
生6:菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.
教师总结:通过对上述问题的思考、讨论,大家对菱形有了进一步的认识,由此,我们得到了菱形的两个性质定理.
性质定理1:菱形的四条边都相等.
性质定理2:菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
教师用符号语言表述,并检查学生笔记情况.
(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠CAB=∠CAD,∠ACB=∠ACD,∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB.
[设计意图] 通过观察、思考、分析、证明、归纳等活动,让学生深刻理解菱形的特性,为性质定理的运用奠定基础.
3.菱形面积的计算
思路一
提问:怎样求菱形的面积?
学生回忆一般平行四边形的面积公式,面积=底×高.
明确菱形也可以这样求面积.
追问:你发现菱形被对角线分成的四个小三角形有什么特点吗?菱形是否还有其他的求面积的方法?
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学生充分讨论,达成共识.
菱形的面积还可以用被对角线分成的四个直角三角形的面积和来求.进一步推导,得到菱形的面积公式:如果菱形的两条对角线长分别为a,b,则菱形的面积为S=ab.
思路二
平行四边形的面积如何求呢?
学生容易说出:底×高.
追问:菱形的面积如何计算呢?
学生认为菱形是特殊的平行四边形,也可以用“底×高”计算菱形的面积.
有学生也想到:可以用四个小直角三角形的面积和来求.
教师充分利用学生的回答,引导学生得出菱形的面积可由两条对角线的长来求,即用两条对角线的乘积的一半求菱形的面积.
[知识拓展] (1)菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在的直线就是它的对称轴.(2)利用菱形的性质可以证明线段相等、角相等,它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形,由此可与勾股定理联系,得到对角线和边之间的关系.
4.例题讲解
[过渡语] 上面我们研究了菱形的定义、性质和面积的计算,下面我们举例说明它们的应用.
(教材例3)如图,菱形花坛ABCD的边长为20 m,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).
师生分析:第一问,根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”以及勾股定理,可求出菱形的两条对角线长,即两条小路的长.注意结果对精确度的要求.第二问,由S菱形ABCD=4×S△OAB可得菱形的面积,也可由菱形面积等于对角线乘积的一半来求.
让一个学生板书解题过程,其余学生在练习本上写.
解:∵花坛ABCD的形状是菱形,
∴AC⊥BD,∠ABO=∠ABC=×60°=30°.
在Rt△OAB中,
AO=AB=×20=10.
BO===10.
∴花坛的两条小路长:
AC=2AO=20(m),BD=2BO=20≈34.64(m).
花坛的面积S菱形ABCD=4×S△OAB=AC·BD=200≈346.4(m2).
总结:菱形的边和对角线有不同于一般的平行四边形的性质,有关菱形的几何计算问题可以化为特殊三角形(直角三角形、等腰三角形),利用特殊三角形的性质来计算.
(补充)如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.求证∠AFD=∠CBE.
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〔解析〕 结合图形证明△BCE≌△DCE可得∠CBE=∠CDE;由菱形的对边平行可得∠AFD=∠FDC,等量代换得∠AFD=∠CBE.
让一个学生板书解题过程,其余人在练习本上写.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴CB=CD,CA平分∠BCD.
∴∠BCE=∠DCE.又CE=CE,
∴△BCE≌△DCE(SAS).
∴∠CBE=∠CDE.
∵在菱形ABCD中,AB∥CD,
∴∠AFD=∠FDC,
∴∠AFD=∠CBE.
点评:解决菱形问题时,常常综合运用菱形的性质和全等三角形的知识证明两角相等.
[设计意图] 通过例题运用菱形性质解决有关的计算、证明问题,规范解题格式.
在学生归纳小结的基础上,教师补充.
1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质:
(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质.
(2)菱形的四条边都相等,菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
(3)菱形是轴对称图形,有两条对称轴.
3.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,也可利用平行四边形的面积公式求菱形的面积.
1.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°.已知△ABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是 ( )
A.25 B.20
C.15 D.10
解析:∵AC是菱形ABCD的对角线,∠BAD=120°,∴∠BAC=60°.∵AB=BC,∴△ABC是等边三角形.∵△ABC的周长是15,∴AB=5,∴菱形ABCD的周长为5×4=20.故选B.
2.(2015·吉林中考)如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为 .
解析:连接BD,AC交于点E,如图所示,根据点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2)可知BD∥x轴.因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,AE=CE=OD=2,DE=BE=OA=4,所以AC=4,故点C的坐标为(4,4).故填(4,4).
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3.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,求证∠DHO=∠DCO.
解析:要证明∠DHO=∠DCO,根据等角的余角相等,只要证明∠OHB=∠ODC即可.可根据菱形的性质,结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,等腰三角形中等边对等角,等角的余角相等来完成证明.
证明:∵四边形ABCD是菱形,∴OD=OB,∠COD=90°.∵DH⊥AB于H,∴∠DHB=90°,∴OH=BD=OB,∴∠OHB=∠OBH.又∵AB∥CD,∴∠OBH=∠ODC,∴∠OHB=∠ODC.在Rt△COD中,∠ODC+∠DCO=90°,在Rt△DHB中,∠DHO+∠OHB=90°,∴∠DHO=∠DCO.
4.已知菱形的两条对角线的长分别是6和8,求菱形的周长和面积.
解析:根据菱形对角线互相垂直可得出直角三角形,利用勾股定理求出边长,从而求出周长和面积.
解:如图,∵四边形ABCD是菱形,AC,BD交于点O,AC=8,BD=6,∴AB=BC=CD=DA,BD⊥AC,AO=AC=4,BO=BD=3.在Rt△AOB中,AB===5,∴菱形的周长=4AB=20,菱形的面积=AC×BD=24.
第1课时
1.菱形的定义
2.菱形的性质
3.菱形面积的计算
4.例题讲解
例1 例2
一、教材作业
【必做题】
教材第57页练习第1,2题;教材第60页习题18.2第5题.
【选做题】
教材第61页习题18.2第11题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.菱形具有而一般的平行四边形不具有的性质是 ( )
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等 D.对角线互相垂直
2.菱形的两条对角线把菱形分成的三角形中全等三角形一共有 ( )
A.2对 B.4对 C.6对 D.8对
3.已知菱形的两条对角线长分别为12 cm和6 cm,那么这个菱形的面积为 cm2.
4.菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边的正方形ACEF的周长为 .
5.已知菱形的边长是5 cm,一条对角线长为8 cm,则另一条对角线长为 cm.
6.四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,AB=12 cm,则∠ABD的度数为 ,∠DAB的度数为 ,对角线BD= cm,AC= cm,菱形ABCD的面积为 cm2.
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7.已知菱形ABCD中,AE⊥BC于E,若S菱形ABCD=24,且AE=6,则菱形的边长为 .
【能力提升】
8.(2015·天门中考)菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示,其中点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,).动点P从点A出发,沿A→B→C→D→A→B→…的路径,在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动.移动到第2015秒时,点P的坐标为 .
9.已知菱形ABCD的周长为20 cm,且相邻两内角度数之比是1∶2,求菱形的对角线的长和面积.
【拓展探究】
10.如图所示的是3个全等的菱形构成的活动衣帽架,顶点A,E,F,C,G,H是上、下两排挂钩,根据需要可以改变挂钩之间的距离(比如A,C两点可以自由上下活动),若菱形的边长为13 cm,要使两排挂钩之间的距离为24 cm,并在点B,M处固定,则B,M之间的距离是多少?
【答案与解析】
1.D(解析:根据菱形的特性可进行判断.)
2.D(解析:画出菱形,从不同角度观察可得.)
3.36(解析:根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半计算可得.)
4.16(解析:由已知条件可得△ABC是等边三角形,所以AC长为4,所以以AC为边的正方形ACEF的周长为16.)
5.6(解析:已知边长和一条对角线长,由菱形的对角线互相垂直和勾股定理可得另一条对角线的长.)
6.60° 60° 12 12 72
(解析:如图,由菱形的每一条对角线平分一组对角可得∠ABD的度数;由菱形的对边平行,及同旁内角互补可得∠DAB的度数;根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可证得△ABD是等边三角形,进而可得BD的长;由菱形的对角线互相垂直,运用勾股定理可计算得AO的长,进而可知AC的长;由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半计算可得所求面积.)
7.4(解析:菱形的面积等于底乘高,由S菱形ABCD=24,且AE=6,得BC=4.又菱形的四条边都相等,所以菱形的边长为4.)
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8.(解析:动点P从点A出发,经过16秒再回到点A,每16秒一个循环,而第2015秒是回到点A的前一秒,根据勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半,即可求得点P的坐标为.故填.)
9.解:如图,∵菱形ABCD的周长为20 cm,∴菱形ABCD的边长为5 cm.∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°.∵相邻两内角度数之比是1∶2,∴∠BAD=60°,∠ADC=120°.设AC与BD交于点O,∵对角线AC平分∠BAD,∴∠BAO=30°.∵AC⊥BD,∴OB=AB= cm,∴BD=5 cm.在Rt△AOB中,AO=== cm,∴AC=5 cm.∴菱形的面积=AC×BD= cm2.
10.解:连接AC,BD交于点O,如图,∵四边形ABCD是菱形,∴AO=AC=12 cm.∵ AC⊥BD,AB=13 cm,∴BO===5(cm),∴BD=10 cm,∴BM=30 cm,即B,M之间的距离是30 cm.
培养灵活思维的同时注意解题“通法”这一不变因素,强化学生用解直角三角形的方法解决几何计算问题,用解特殊直角三角形的方法解决特殊菱形问题.
对学生的情况个人估计过高.本节课设计的内容较多,知识点较复杂,导致预设的内容在本节课没有圆满完成,需要在课后进一步学习.涉及二次根式的计算、化简时,有的学生容易出错.
在合作交流的过程中,学生画图,写出已知和求证,再写出证明过程,这样很浪费时间,为了使课堂的容量增加.今后多采用让学生口述的方式.这样不仅节省了时间,也锻炼了学生的语言表达能力,就可以节省出时间多做练习.
练习(教材第57页)
1.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.又∵AB=5,AO=4,∴在Rt△AOB中,OB===3,∴BD=2OB=2×3=6.AC=2OA=2×4=8.
2.解:∵菱形的两条对角线长分别为6和8,∴S=6×8÷2=24.∵菱形的对角线互相垂直且平分,∴菱形的边长= =5,∴菱形周长为4×5=20.
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课时教学设想
菱形是在学生学习了三角形、平行四边形等知识的基础上学习的,本节课的要务是如何借鉴三角形及平行四边形的知识与经验来研究菱形及菱形的性质,解决与菱形相关的问题.
根据本节课的教学内容,结合本班学生的实际情况,我选择的教学方法是启发式教学法.首先引导学生复习平行四边形、矩形的性质,为本节菱形的学习埋下伏笔;接着通过动态演示,让学生从运动的角度出发认识菱形,体会菱形与平行四边形的联系,感受特殊与一般的关系;接下来重点讨论菱形的特性,利用折纸活动和合情推理深化对菱形特性的理解,为知识的运用做好铺垫;最后通过典例说明性质定理的运用,并归纳得出菱形的面积公式.
平行四边形、矩形、菱形性质的联系与区别
运用菱形性质进行计算时,常有错用现象出现,针对该现象要对学过的知识及时梳理,注意知识间的联系与区别.为此列表梳理如下.
图形
对称性
边
角
对角线
平行四边形
中心对称图形
对边平行且相等
对角相等
互相平分
矩形
既是轴对称图形又是中心对称图形
对边平行且相等
四个角都是直角
相等且互相平分
菱形
既是轴对称图形又是中心对称图形
四条边都相等,对边平行
对角相等
互相垂直、平分,并且每一条对角线平分一组对角
第课时
1.理解并运用菱形的定义和两个判定定理进行有关的推理论证和计算.
2.了解菱形的现实应用和常用判别条件.
1.从菱形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,进一步理解互逆命题的意义,体会菱形的性质与判定的区别与联系.
2.让学生经历探索菱形判定定理的过程,理解并掌握菱形的判定方法,积累几何学习的经验,培养学生的观察能力、动手能力,发展合情推理和演绎推理能力.
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1.让学生在探究过程中加深对菱形的理解,养成主动探索的学习习惯.
2.通过菱形与矩形判定方法的类比,进一步体会类比的思想方法的作用.
【重点】 菱形的定义和判定定理的运用.
【难点】 探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 复习菱形的定义及其性质.
导入一:
[过渡语] 上节我们研究了菱形的定义与性质,现在请同学们回忆学过的内容,回答下面的问题.
1.菱形有哪些性质?其中哪些是平行四边形所没有的?
学生思考、交流.
在学生讨论的基础上,教师以表格的形式予以梳理.
图形
边
角
对角线
平行四边形
对边平行且相等
对角相等
互相平分
菱形
四条边都相等,对边平行
对角相等
垂直且互相平分,并且每一条对角线平分一组对角
2.用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子,做成一个可转动的十字架,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形(如下图).
提问:任意转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗?继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形.
学生结合实验发现,橡皮筋围成的四边形始终是平行四边形,当两根木条互相垂直时,这个平行四边形是菱形.
[设计意图] 引导学生复习学过的菱形的定义、性质,再用实验演示,引导学生观察,分析,提出自己的猜想,为学习菱形的判定奠定基础.
导入二:
[过渡语] 前面我们研究了平行四边形,菱形的定义与性质,你能用学过的知识解决下面的问题吗?
计算下列各题:
(1)菱形周长为20,一条对角线的长为8,则另一条对角线的长为 .
(2)菱形的两条对角线分别为6,8,则这个菱形的面积为 ,边长为 .
(3)菱形的一个内角为120°,一条较长的对角线的长为10,则菱形的周长为 .
(4)上面的计算中,用到了菱形的哪些特性?
学生先独立完成,同桌交流,并检查.
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(1)由“菱形的四条边都相等”得边长为5,由“菱形的对角线互相垂直且平分”和勾股定理可得菱形的另一条对角线的长为6.
(2)由“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”得菱形的面积为24,由“菱形的对角线互相垂直且平分”和勾股定理可得菱形的边长为5.
(3)由“菱形的对角线互相垂直且平分”和勾股定理建立方程,计算可得菱形的边长为,周长为.
(4)上面的计算中,用到的菱形特性有:菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直且平分;菱形的每一条对角线平分一组对角.
提问:如果一个四边形是平行四边形,则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形?依据是什么?
根据菱形的定义可知:一组邻边相等的平行四边形是菱形.所以只要再有一组邻边相等的条件即可.
追问:要判定一个四边形是菱形,除根据定义判定外,还有其他的判定方法吗?
[设计意图] 通过计算引导学生复习学过的菱形的性质,为下面学习菱形的判定奠定基础.
[过渡语] 前面我们研究了菱形的性质,下面我们研究如何判定一个平行四边形或四边形是菱形.
1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
思路一
提问:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,你能证明这个命题的正确性吗?
学生思考:这个命题的条件是什么?结论是什么?先画出图形,写出已知和求证.
已知:在▱ABCD中,对角线AC⊥BD于点O,如图.
求证:▱ABCD是菱形.
小组讨论,交流:可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形,由平行四边形的性质得到BO=DO,由∠AOB=∠AOD=90°及AO=AO,得△AOB≌△AOD,可得到AB=AD(或根据线段垂直平分线的性质定理,得到AB=AD),最后证得▱ABCD是菱形.
学生整理证明过程.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,
∵AC⊥BD,
∴AB=AD,
∴▱ABCD是菱形.
通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的一个判定定理:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
提示:此定理包括两个条件:(1)是一个平行四边形;(2)两条对角线互相垂直.
用符号语言表述为:
∵在▱ABCD中,对角线AC⊥BD,
∴▱ABCD是菱形.
思路二
请指出下列命题的条件、结论及它的逆命题,判断该逆命题的真假,并说明理由.
(1)菱形的对角线互相垂直;
(2)菱形的四条边都相等.
师生交流、实验、猜想、证明.
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命题“菱形的对角线互相垂直”的条件是:四边形是菱形,结论是:对角线互相垂直.它的逆命题是:对角线互相垂直的四边形是菱形.该逆命题是假命题.如图,四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,显然它不是菱形.
追问:“对角线互相垂直的四边形是菱形”是假命题,那么“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”是真命题,还是假命题?请说明理由.
学生再分析发现:“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”是真命题.
理由如下:
已知:如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.
求证:▱ABCD是菱形.
〔解析〕 要证明▱ABCD是菱形,只要证明有一组邻边相等即可.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC(平行四边形的对角线互相平分).
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴ BA=BC(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).
∴▱ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
教师总结:通过大家猜想、证明,我们得到了菱形的一个判定定理.
定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
根据这个判定定理,以后要判定一个四边形是菱形,只需要满足两个条件:①对角线互相垂直;②平行四边形.
用符号语言表述为:
∵在▱ABCD中,对角线AC⊥BD,
∴▱ABCD是菱形.
[设计意图] 从菱形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,让学生进一步理解互逆命题的意义,体会菱形的性质与判定的区别与联系.
2.四条边相等的四边形是菱形
思路一
[过渡语] 接下来,我们一起来探究菱形的另外一种判定定理.
已知线段AC,分别以A,C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两条弧分别相交于点B,D,依次连接A,B,C,D.所得四边形ABCD是菱形,你知道其中的道理吗?
学生跟着老师一起画图,各抒己见.
一生介绍自己的想法:
由作法知四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义).
教师引导学生经过猜想、证明,得出菱形的一个判定定理.
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定理:四条边相等的四边形是菱形.
用符号语言表述为:
∵四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD是菱形.
[设计意图] 通过画图,让学生从直观操作的角度去发现问题,使探究问题形象化、具体化,培养学生的形象思维,利用平行四边形的判定和菱形的定义,判定该四边形是菱形,进一步培养学生的抽象思维,本活动进一步体现了实验几何和论证几何的有机结合.
思路二
[过渡语] 接下来请继续讨论上页思路二中的(2).
学生讨论,交流.
命题“菱形的四条边都相等”的条件是:四边形是菱形,结论是:四条边都相等.它的逆命题是:四条边都相等的四边形是菱形.该逆命题是真命题.
理由如下:
已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证:四边形ABCD是菱形.
〔解析〕 根据菱形的定义,只需证四边形ABCD是平行四边形即可.
证明:∵AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD的两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义).
师:通过大家猜想、证明,我们又得到了菱形的一个判定定理.
定理:四条边相等的四边形是菱形.
用符号语言表述为:
∵四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD是菱形.
至此,我们得到了菱形的三种判定方法:一个定义和两个判定定理.以后同学们可以直接应用菱形的定义、定理来解决问题.
[设计意图] 从菱形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,让学生进一步理解互逆命题的意义,体会菱形的性质与判定的区别与联系.
[知识拓展] (1)无论是定义还是判定定理,运用时一定要分清它的条件与结论.(2)用边来判定:①先说明四边形是平行四边形,再说明有一组邻边相等;②说明四边形的四条边相等.(3)用对角线进行判定:①先说明四边形是平行四边形,再说明四边形的对角线互相垂直;②说明四边形的对角线互相垂直平分.
3.例题讲解
[过渡语] 接下来,我们运用菱形的判定解决一些相关的问题.
(补充)如图,在▱ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD,AC,BC相交于点E,O,F.
求证四边形AFCE是菱形.
学生讨论,明确思路:已知EF⊥AC,根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”,该题只需证四边形AFCE是平行四边形即可.
学生规范板书解题过程.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,AE∥FC.
∴∠EAO=∠FCO.
又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,
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∴△AOE≌△COF.
∴EO=FO.
又∵AO=CO,
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC,
∴▱AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
[解题策略] 当已知对角线互相垂直时,我们可以考虑先证明四边形是平行四边形,进而证得四边形是菱形.
(教材例4)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AB=5,AO=4,BO=3.
求证:▱ABCD是菱形.
师生分析:由勾股定理的逆定理可证△AOB是直角三角形,得出对角线互相垂直,从而证明▱ABCD是菱形.
证明:∵AB=5,AO=4,BO=3,
∴AB2=AO2+BO2.
∴△OAB是直角三角形,AC⊥BD.
∴▱ABCD是菱形.
[解题策略] 菱形与直角三角形的知识常常结合起来运用.涉及求线段长度时,常常用到勾股定理;遇到求直角时,可用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形.
本节课你有哪些收获?
学生归纳小结菱形的判定方法:
(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
(2)菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(3)菱形的判定定理:四条边相等的四边形是菱形.
1.(2014·崇左中考)下列说法正确的是 ( )
A.对角线相等的平行四边形是菱形
B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.有一个角是直角的平行四边形是菱形
解析:根据菱形的定义与判定定理直接辨别各选项正确与否.由菱形的定义,可知一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,因此,选项B正确.故选B.
2.已知平行四边形ABCD,下列条件:①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.其中能使平行四边形ABCD是菱形的有 ( )
A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③
解析:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,一组邻边相等的平行四边形是菱形,因此①③都可以判定平行四边形ABCD是菱形.故选A.
3.用直尺和圆规作一个菱形,如图,能得到四边形ABCD是菱形的依据是 ( )
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
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D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
解析:根据菱形的判定定理(四条边相等的四边形是菱形)即可判定,由题中图的作法可知AD=AB=DC=BC,∴四边形ABCD是菱形.故选B.
4.一个平行四边形的一条边长是3,两条对角线的长分别是4和2,这是一个特殊的平行四边形吗?为什么?求出它的面积
解析:先根据题意画出相应的图形,如图.根据平行四边形的对角线互相平分,可求出OB及OA的长,由勾股定理的逆定理可得∠BOA为直角,进而得AC⊥BD.根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得平行四边形ABCD为菱形.根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得菱形ABCD的面积.
解:这是一个菱形.理由如下:如图,▱ABCD中,AC=4,BD=2,AB=3,∴OA=AC=2,OB=BD=.∵OA2+OB2=22+()2=9,而AB2=32=9,∴OA2+OB2=AB2.∴△AOB是直角三角形,∠AOB=90°.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).S菱形ABCD=AC·BD=×4×2=4.
第2课时
1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
2.四条边相等的四边形是菱形.
3.例题讲解
例1 例2
一、教材作业
【必做题】
教材第58页练习第1,2,3题;教材第60页习题18.2第6题.
【选做题】
教材第61页习题18.2第10题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列条件中,能判定四边形是菱形的是 ( )
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线相等且互相垂直
D.对角线互相垂直且平分
2.下列图形中,不一定为菱形的是 ( )
A.四条边相等的四边形
B.用两个能完全重合的等边三角形拼成的四边形
C.一组邻边相等的平行四边形
D.有一个角为60度的平行四边形
3.如图所示,△ABC中,E,F,D分别是AB,AC,BC上的点,且DE∥AC,DF∥AB.要使AEDF是一个菱形,在不改变图形的前提下,你需添加的一个条件是 .
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4.木工师傅在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你能说出其中的道理吗?
【能力提升】
5.已知菱形的周长为24,一条对角线长为8,求菱形的面积.
6.(2015·长春中考)如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD于点G.求证四边形ACGF是菱形.
7.如图所示,DE是▱ABCD中∠ADC的平分线,EF∥AD交DC于F,∠1,∠2在图中已标注.
(1)求证四边形AEFD是菱形;
(2)如果∠A=60°,AD=5,求菱形AEFD的面积.
【拓展探究】
8.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE,AF分别是∠ABC,∠DAC的平分线,BE和AD交于G,试说明四边形AGFE的形状.
9.(2015·甘南中考)如图(1),在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=DC,∠ACB=∠DCE=90°,AB与CE交于F,ED与AB,BC分别交于M,H.
(1)求证CF=CH;
(2)如图(2),△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形,并证明你的结论.
【答案与解析】
1.D(解析:根据菱形的判定定理即可作出判断.)
2.D(解析:根据菱形的判定定理作答即可.)
3.AE=AF(解析:(答案不唯一)添加AE=AF或DE=DF或AD是∠BAC的平分线或AE=ED,AF=FD等都可以.)
4.解:四条边相等的四边形是菱形.
5.解:由题意知菱形的边长为6,故另一条对角线长为4,故菱形的面积为×8×4=16.
6.证明:∵AF∥CD,FG∥AC,∴四边形ACGF为平行四边形,∵CE是△ABC外角∠ACD的平分线,∴∠ACF=∠FCG,∵AF∥CG,∴∠AFC=∠FCG,∴∠ACF=∠AFC,∴AF=AC,∴▱ACGF为菱形.
7.(1)证明:由题意知DF∥AE,EF∥AD,∴四边形DAEF是平行四边形.由题意知∠2=∠AED,∠1=∠2,∴∠AED=∠1.∴AD=AE,∴四边形AEFD是菱形. (2)解:由于∠A=60°,因此△AED为等边三角形,∴DE=AE=5.连接AF与DE相交于O,则EO=,∴OA== =.∴AF=5.∴S菱形AEFD=AF·DE=×5×5=.
8.解:四边形AGFE是菱形.理由如下:由∠BAC=90°,AD⊥BC,易得∠BAD=∠C,∵∠AGE=∠ABG+∠BAG,∠AEB=∠EBD+∠C,又∵∠ABG=∠EBC,∴∠AGE=∠AEG.∴AE=AG.由AF是∠DAC
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的平分线,易知AF⊥GE且AF平分GE.同理可得BE⊥AF且BE平分AF.∴AF与GE垂直且互相平分,从而可知四边形AGFE是菱形.
9.(1)证明:∵△ABC和△EDC都是等腰直角三角形,且AC=CE=CB=CD,∴∠A=∠D=45°.∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB-∠ECB=∠DCE-∠ECH,即∠ACF=∠DCH,在△AFC和△DHC中, ∴△AFC≌△DHC(ASA),∴CF=CH. (2)解:菱形,证明如下:∵∠BCE=45°,∴∠ACF=∠BCE=∠DCH=45°,即∠ACD=135°,又∠A=∠D=45°,∴在四边形ACDM中,∠AMD=360°-∠ACD-∠A-∠D=135°,∴∠ACD=∠AMD,∴四边形ACDM是平行四边形.又AC=CD,∴四边形ACDM是菱形.
1.本教案设计重点突出,设计合理,符合学生的心理接受能力.
2.本教案重点突出了学生的探究新知的过程,让学生在观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程中,真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,积累数学活动经验.
菱形的判定定理学生基本掌握,但综合运用时,仍有困难,还需要一定的训练.
“自主探索,合作交流”的学习方式,有助于学生思维能力的培养,今后的教学中,仍要注意学生学习方式的培养,重视学生学习的全过程,让学生真正成为课堂的主人,学习的主人.
练习(教材第58页)
1.(1)已知:如图(1)所示,在▱ABCD中,对角线AC⊥BD于点O.求证:▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,又AC⊥BD,∴直线AC是线段BD的垂直平分线,∴AB=AD,∴▱ABCD是菱形. (2)已知:如图(2)所示,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证:四边形ABCD是菱形.证明:∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∴AB=CD,BC=DA,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.
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2.解:这个平行四边形是菱形.理由如下:在▱ABCD中,AB=9,BD=12,AC=6,∴OB=OD=6,OA=OC=3.∵62+(3)2=92,即OB2+OA2=AB2,∴△AOB是直角三角形,∴AO⊥BO,即AC⊥BD,∴▱ABCD是菱形,S菱形ABCD=AC·BD=×6×12=36.
3.解:四边形ABCD是菱形.理由如下:如图所示,作AE⊥BC于点E,CF⊥AB于点F.∵纸条等宽,∴AE=CF.∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.∵S▱ABCD=AB·CF=BC·AE,而AE=CF,∴AB=BC,∴▱ABCD是菱形.
重难点突破建议
菱形的判定是菱形性质的延续,本节课要解决的问题是:除菱形的定义外,还有没有其他判定方法呢?问题解决的关键是如何借助互逆命题来研究菱形的判定方法.
根据课标、教材,结合学生的实际,我采用的教学方法是启发式教学法.首先引导学生复习学过的菱形的定义、性质,为下面菱形的判定的探究奠定基础;接着让学生从菱形性质的逆命题出发,进行猜想、证明,得出菱形的判定方法,体会菱形的性质与判定的区别与联系,或者是从实际问题入手,让学生经历观察、分析、猜想、证明等,感受数学与生活实际的密切联系,进一步发展用数学意识;最后通过典例示范说明菱形判定的运用.
本节教学的重点是菱形判定的理解和运用,难点是菱形判定的理解及灵活应用.为突出重点,突破难点,本教案精心设计了系列数学活动,为学生的自主探究提供了机会;在教学活动中,注意鼓励学生积极参与,大胆尝试,让学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,积累数学活动经验,提高认知水平.
如图,△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,CD⊥AB于D,EH⊥AB于H,CD交BE于F.求证四边形CEHF为菱形.
〔解析〕 由题意得CF=EH,CF∥EH,利用平行四边形的判定可得四边形CEHF为平行四边形.由角平分线的定义可得CE=EH,利用菱形的定义可得四边形CEHF为菱形.
证明:∵CD⊥AB于D,EH⊥AB于H,
∴CF∥EH.由BE平分∠ABC,∠ACB=90°,易知△BCE≌△BHE,
∴CE=EH.
在Rt△BCE中,∠CBE+∠CEB=90°,
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在Rt△BDF中,∠DBF+∠DFB=90°,
∵∠CBE=∠DBF,∠CFE=∠DFB,
∴∠CEB=∠CFE,∴CE=CF.
∴CF=CE=EH,∵CF∥EH,
∴四边形CEHF为平行四边形.
∵CE=EH,∴▱CEHF为菱形.
点评:这是一道几何综合题,涉及的知识点有平行四边形的判定,角平分线的定义,菱形的判定等.
18.2.3 正方形
1.理解并运用正方形的定义计算和证明.
2.理解并运用正方形的性质、判定进行计算和证明.
3.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系,理解一般与特殊的关系.
经历正方形的定义及其性质和判定定理的探究过程,丰富认识图形的经验,进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力.
让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯.
【重点】 正方形性质和判定定理的应用.
【难点】 正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.
【教师准备】 教学中出示的教学插图、问题和例题.
【学生准备】 复习平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定.
导入一:
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[过渡语] 前面我们研究了平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定,现在请同学们回忆学过的内容,回答下面的问题.
(1)教具(几何画板)演示:
如图所示,改变∠B的大小,平行四边形ABC'D'的形状随之发生变化.当∠B为直角时,这时的图形是 形;我们平移边CD,改变BC的大小,矩形ABCD的形状随之发生变化.当BC'=C'D'时,图形是 形.
(2)如图所示,我们平移边CD,改变BC的大小,平行四边形ABCD的形状随之发生变化.当BC'=C'D'时,图形是 形;改变∠B的大小,菱形ABC'D'的形状随之发生变化.当∠B为直角时,图形是 形.
学生观察教具变化情况,结合所学菱形、矩形知识,回答上面的问题.
[设计意图] 正方形是学生熟悉的几何图形,小学已经学过,这里让学生从动态的角度出发认识正方形,体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别,感受特殊与一般的关系.
导入二:
八年级(2)班的简兰同学想买一条方纱巾.有一天她在商店里看到一块漂亮的纱巾,非常想买,但她拿起来看时感觉纱巾不太方,商店老板看她犹豫不决的样子,马上过来拉起一组对角,让她看另一组对角是否对齐,她还有些疑惑,老板又拉起另一组对角让她检验,她终于买下这块纱巾,你认为她买的这块纱巾是正方形的吗?当时采用什么方法可以检验出来?
学了这节后,你就会做出准确的判断了.
[设计意图] 将数学问题融入生活情境,拉近了学生与数学之间的距离,激发学生研究正方形的积极性.
1.正方形的认识
思路一
[过渡语] 结合上面的演示,请同学们回答下面的问题:
(1)什么样的图形是平行四边形?
(2)什么样的图形是矩形?
(3)什么样的图形是菱形?
(4)什么样的图形是正方形?
学生讨论,回答.
在学生回答的基础上,教师引导学生归纳:
正方形是有一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形.
134
追问:正方形与矩形、菱形之间有什么关系呢?
学生思考,回答:正方形既是矩形,又是菱形.
[设计意图] 结合图形的演示,让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义、性质及判定.在此基础上尝试归纳正方形的定义,理解正方形的定义,体会它们之间的联系与区别,感受特殊与一般的关系.
思路二
[过渡语] 前面我们学习了平行四边形、矩形、菱形的性质和判定,小学认识过了正方形,请同学们回答下面的问题.
(1)正方形与矩形有怎样的关系?
(2)正方形与菱形有怎样的关系?
(3)正方形、平行四边形、矩形、菱形有怎样的关系?
学生观察、思考、交流.
生1:正方形是特殊的矩形,即有一组邻边相等的矩形是正方形.
生2:正方形是特殊的菱形,即有一个角是直角的菱形是正方形.
教师画图说明,正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系如图.
总结:正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形.
你能根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系,解释下面的问题吗?
(1)把一张长方形纸片按如图所示的方式折一下,就可以裁出正方形纸片.为什么?
(2)如何从一块长方形纸片中裁出一块最大的正方形纸片呢?
学生动手折叠、思考、交流.
(1)由折叠得所得的四边形有三个直角,且一组邻边相等.有三个角是直角的四边形是矩形,有一组邻边相等的矩形是正方形,所以裁出的纸片是正方形.
(2)要使裁出的四边形是最大的正方形,只要让四边形(正方形)的边长等于长方形的宽即可.
教师总结:正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形.
[设计意图] 结合图形的折叠,让学生归纳得出有一组邻边相等的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形.从矩形、菱形的角度出发体会它们之间的关系,感受特殊与一般的关系.
2.正方形的性质
[过渡语] 上面认识了正方形,下面我们继续研究正方形的性质.
思路一
正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请回忆学过的内容,回答下面的问题(从边、角、对角线、轴对称性四方面考虑):
(1)平行四边形有哪些性质?
(2)矩形有哪些性质?
(3)菱形有哪些性质?
(4)正方形有哪些性质?
分小组进行讨论,整理所学的性质:
图形
对边
对角
对角线
对称性
平行、相等
相等
互相平分
不是轴对称图形
134
平行四边形
矩形
平行、相等
四个角都是直角
互相平分且相等
轴对称图形,有两条对称轴
菱形
平行、四条边都相等
相等
互相垂直且平分,每条对角线平分一组对角
轴对称图形,有两条对称轴
正方形
平行、四条边都相等
四个角都是直角
互相垂直、平分且相等,每条对角线平分一组对角
轴对称图形,有四条对称轴
[设计意图] 让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义和性质.在此基础上理解正方形的性质,体会它们之间的联系与区别,感受特殊与一般的关系.
思路二
正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请把它们写出来,并与同桌交流.
学生梳理总结得:
正方形
[设计意图] 让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义和性质,体会它们之间的联系与区别.在此基础上梳理得出正方形的性质,有助于这些知识的正确运用.
3.正方形的判定
思路一
提问:怎样判定一个四边形是正方形呢?把你所想的判定方法写出来.
学生自由发言.
教师引导学生总结、归纳得正方形的判定方法:
(1)定义法:有一个角是直角,有一组邻边相等的平行四边形是正方形.
(2)矩形法:有一组邻边相等的矩形是正方形.
(3)菱形法:有一个角是直角的菱形是正方形.
思路二
既然正方形是特殊的图形,那么我们就可以通过一般图形来判定正方形.请大家考虑:
满足什么条件的矩形是正方形?你有哪些方法?
类似地,如何通过菱形和平行四边形来判定正方形?
教师深入学生中,督促学生积极探索交流,了解学生的思维深度和广度并及时加以校正和激励.
派学生代表走向讲台进行总结发言,并鼓励其他学生大胆提问.
师进一步归纳正方形的判定方法.
[知识拓展] (1)平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义和判定方法如下表:
图形
定义
判定
平行四边形
两组对边分别平行的四边形
1.两组对边分别相等的四边形
2.两组对角分别相等的四边形
3.对角线互相平分的四边形
4.一组对边平行且相等的四边形
矩形
有一个角是直角的平行四边形
1.对角线相等的平行四边形
2.有三个角是直角的四边形
菱形
有一组邻边相等的平行四边形
1.对角线互相垂直的平行四边形
2.四条边相等的四边形
正方形
有一个角是直角,有一组邻边相等的平行四边形
1.有一个角是直角的菱形
2.有一组邻边相等的矩形
3.有一个角是直角,有一组邻边相等的平行四边形
(2)对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形.
4.例题讲解
[过渡语] 上面我们研究了正方形的定义、性质和判定,下面我们举例说明它们的应用.
(教材例5)求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
学生分析题设和结论,画图,写出已知和求证.
134
已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.
求证:△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形.
师生分析:利用正方形的性质“对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角”可以得到四个三角形是全等的等腰直角三角形.
学生独立完成解题过程.一生板书:
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
教师点评,纠正写法上的不足.
(补充)如图,在平行四边形ABCD中,O是CD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E.
(1)求证△AOD≌△EOC;
(2)连接AC,DE,当∠B=∠AEB= °时,四边形ACED是正方形.请说明理由.
师生共同分析:(1)根据题意可得∠ADC=∠OCE,∠DAO=∠OEC,OC=OD,所以△AOD≌△EOC.(2)当∠B=∠AEB=45°时,根据△AOD≌△EOC,先证明四边形ACED是平行四边形,再根据∠COE=∠BAE=90°,得到平行四边形ACED是菱形,AB=AE,AB=CD,故AE=CD,从而可知菱形ACED是正方形.
学生独立写出过程后,教师重点指导第(2)问的解答过程.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠ADC=∠OCE,∠DAO=∠OEC.
又∵O是CD的中点,
∴OC=OD.
∴△AOD≌△EOC.
解:(2)如图,当∠B=∠AEB=45°时,四边形ACED是正方形.理由如下:
∵△AOD≌△EOC,
∴OA=OE.
又∵OC=OD,
∴四边形ACED是平行四边形.
∵∠B=∠AEB=45°,
∴AB=AE,∠BAE=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∴∠COE=∠BAE=90°.
∴平行四边形ACED是菱形.
∵AB=AE,AB=CD,
∴AE=CD.
从而可知菱形ACED是正方形.
[解题策略] 探索条件类问题,先看题中的已知条件,根据正方形的判定方法,缺什么就补什么条件,一般从“矩形+一组邻边相等”或“菱形+有一个角是直角”去考虑.
134
[设计意图] 运用正方形的性质、判定解决有关的问题,培养运用所学知识解题的意识,提高解题能力.
师生共同归纳小结.
本节课,我们学习了正方形的性质和判定,弄清了正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系:
1.下列命题是真命题的是 ( )
A.矩形的对角线互相垂直
B.菱形的对角线相等
C.正方形的对角线相等且互相垂直
D.四边形的对角线互相平分
解析:根据矩形的对角线相等,可判断选项A错;根据菱形的对角线互相垂直,可判断选项B错;根据正方形的对角线互相垂直、平分且相等,可判断选项C正确;四边形的对角线无特性,可判断选项D错.故选C.
2.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是 ( )
A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD
B.AD∥BC,∠A=∠C
C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
解析:根据 “对角线相等的平行四边形是矩形”可判定选项A是矩形;根据“两直线平行,同旁内角互补”“等量代换”“同旁内角互补,两直线平行”可判定选项B是平行四边形;根据“对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形”可判定选项C是正方形;根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定选项D是菱形.故选C.
3.如图所示,E是正方形ABCD的边AD上任意一点,EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AB=10 cm,则四边形EFOG的周长是 .
解析:先由题意证明四边形EFOG是矩形,进而可知矩形EFOG的周长为OD的长的2倍,然后根据勾股定理得OD的长为5 cm.故填10 cm.
18.2.3 正方形
1.正方形的认识
2.正方形的性质
3.正方形的判定
4.例题讲解
例1 例2
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一、教材作业
【必做题】
教材第59页练习第1,2,3题;教材第61页习题18.2第7,8题.
【选做题】
教材第61页习题18.2第12题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.矩形、正方形、菱形的共同性质是 ( )
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
D.每一条对角线平分一组对角
2.(2015·日照中考)小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD为正方形(如图),现有下列四种选法,你认为其中错误的是 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
3.如图,正方形ABCD中,CE⊥MN,∠MCE=35°,那么∠ANM是 ( )
A.45° B.55° C.65° D.75°
4.如图所示,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线,要使得四边形ABCD是正方形,则还需增加的一个条件是 .
5.如图,正方形ABCD中,AC是对角线,E是BC延长线上一点,CE=AC,则∠E= 度.
【能力提升】
6.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∠OCF=∠OBE.试猜想OE与OF的大小关系,并说明理由.
134
7.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.
(1)求证∠ADB=∠CDB;
(2)若∠ADC=90°,求证四边形MPND是正方形.
【拓展探究】
8.如图,在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB,AC,BE之间的关系,并证明你的猜想.
【答案与解析】
1.C(解析:根据图形的性质进行判别即可.对角线相等是矩形的特性,对角线互相垂直、每一条对角线平分一组对角是菱形的特性,故选项A,B,D错,故选C.)
2.B(解析:A项,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当∠ABC=90°时,菱形ABCD是正方形,故A选项错误;B项,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形,当AC=BD时,无法得出四边形ABCD是正方形,故B选项正确;C项,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当AC=BD时,菱形ABCD是正方形,故C选项错误;D项,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形,当AC⊥BD时,矩形ABCD是正方形,故D选项错误.故选B.)
3.B(解析:因为CE⊥MN,所以∠MCE+∠NMC=90°.所以∠NMC=90°-∠MCE=55°.由题意得AD∥BC,所以∠ANM=∠NMC=55°.故选B.)
4.AC=BD(答案不唯一)(解析:由四条边相等的四边形是菱形,再加上AC=BD,得四边形ABCD是正方形.)
5.22.5(解析:由正方形的性质得∠ACB=45°,又CE=AC,所以∠E=∠EAC,因为∠E+∠EAC=45°,所以∠E=∠EAC=22.5°.)
6.解:OE=OF.理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OB=OC,∴∠AOB=∠BOC=90°.又∵∠OCF=∠OBE,∴△OCF≌△OBE,∴OE=OF.
7.证明:(1)∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.又∵BA=BC,BD=BD,∴△ABD ≌△CBD.∴∠ADB=∠CDB. (2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°.∵∠ADC=90°,∴四边形MPND是矩形.∵∠ADB=∠CDB,PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.∴矩形MPND是正方形.
8.解:猜想AB+BE=AC.证明如下:如图,作EF⊥AC于F.∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠FAE.∵∠B=∠AFE=90°,AE=AE,∴△ABE ≌△AFE.∴AB=AF,BE=EF.∵正方形ABCD中,AC是对角线,∴∠ACB=∠BAC=45°.∵EF⊥AC,∴∠FEC=45°.∴EF=FC,∴FC=BE.∴AB+BE=AF+FC=AC.
134
通过本节课的教学活动,学生进一步认识了正方形,基本掌握了正方形的判定和性质,并能运用所学的知识解决一些问题.
由于课堂时间有限,加上学生个体的差异,学生不能灵活运用所学来解决相关的问题.
在课堂教学中,要注意发挥学生的主体作用,团队作用,让学生通过独立思考,合作交流等方式,积极参与到课堂的教学活动中,真正做课堂的主人,学习的主人.
练习(教材第59页)
1.解:(1)有一组邻边相等的矩形是正方形. (2)由(1)中的方法得到的正方形就是面积最大的,由于木板无法折叠,因此可在长方形木板的长边上量取与短边相等的长度截出即可.
2.解:如图所示.连接AC,BD.在Rt△BCE中,BC===20(m),∴S正方形ABCD=BC2=(20)2=800(m2),AC===40(m).∵BD=AC,∴BD=40 m.
3.解:(1)(2)(3)(4)都是正方形,因为它们都符合正方形的判定方法.
习题18.2(教材第60页)
1.解:▱ABCD是矩形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.又∵∠1=∠2,∴OB=OC,∴OA=OB=OC=OD,∴AC=BD,∴▱ABCD是矩形.
2.已知:如图所示,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D.求证:四边形ABCD是矩形.证明:∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,且∠A=∠B=∠C=∠D,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴四边形ABCD是矩形.
3.解:根据他的锯法,得到了有一个角是直角的平行四边形,由矩形的定义可知,这是一个矩形.
4.解:如图所示,取斜边AB的中点D,连接CD,则AD=CD=BD,∴AB=2AD=2CD.又∵AB=2AC,∴AC=AD=CD,即△ACD是等边三角形,∴∠A=60°,∴∠B=30°.
134
5.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴∠ACB=∠ACD=30°,∴∠BCD=60°,∴∠BAD=60°,从而可知∠ABC=120°. (2)设AC,BD交于点O.在Rt△COD中,∵∠ACD=30°,OD=BD=3,∴CD=2OD=6,∴AB=CD=6,OC===3,∴AC=2OC=2×3=6.
6.证明:∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC.∵AE∥BF,∴∠DAC=∠ACB,∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.同理可证AB=AD,故AD=BC.又∵AD∥BC,AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.
7.解:剪口应与折痕成45°角.
8.解:矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.
9.解:∵∠ACB=90°,∠ACD=3∠BCD,∠ACD+∠BCD=90°,∴∠ACD=67.5°,∠BCD=22.5°,∴∠B=67.5°.∵CE是斜边AB上的中线,∴EC=EB,∴∠ECB=∠B=67.5°,∴∠ECD=∠ECB-∠BCD=45°.
10.证明:因为四边形ABCD是菱形,所以AB∥CD,AD∥BC,AB=BC=CD=DA.因为MG∥AD,NF∥AB,所以四边形AMEN是平行四边形.因为DN=BM,所以AM=AN,所以▱AMEN是菱形.同理,四边形EFCG,NFCD,BCGM都是平行四边形,所以ND=FC,BM=GC,所以FC=GC,所以▱EFCG是菱形.
11.解:因为四边形ABCD是菱形,所以OA=AC=4,OB=BD=3,且OA⊥OB,所以AB2=OA2+OB2=42+32=25,所以AB=5.因为S菱形ABCD=·AC·BD=AB·DH,所以×6×8=5·DH,所以DH=.
12.解:(1)由题意知OD=d,OB=b,又∵四边形OBCD是矩形,∴BC=OD=d,DC=OB=b, ∴C(b,d). (2)∵菱形是中心对称图形,∴对应点A与C,B与D分别关于原点对称,又C(c,0),D(0,d),∴A(-c,0), B(0,-d). (3)∵四边形OBCD是正方形,∴OB=BC=CD=OD=d,∴B(d,0),C(d,d).
13.解:四边形EFMN是正方形.理由如下:因为四边形ABCD是正方形,所以AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.又因为AE=BF=CM=DN,所以AB-AE=BC-BF=CD-CM=DA-DN,即BE=CF=DM=AN,所以Rt△EBF≌Rt△FCM≌Rt△MDN≌Rt△NAE(SAS),所以EF=FM=MN=NE,所以四边形EFMN是菱形.因为Rt△EBF≌Rt△NAE(已证),所以∠AEN=∠EFB.因为∠EFB+∠BEF=90°,所以∠AEN+∠BEF=90°,所以∠NEF=90°,所以四边形EFMN是正方形.
14.解:用这两个三角形能拼成3种平行四边形,如图所示.图①是矩形,所以两条对角线相等,都是m.图②是一个平行四边形,其中一条对角线长是n,另一条对角线长是2=2=.图③也是一个平行四边形,其中一条对角线长是h,另一条对角线长是2=.
15.证明:∵BF∥DE,DE⊥AG,∴BF⊥AG.∵AD∥BC,∴∠DAG=∠AGB.又∵∠BAG+∠AGB=∠BAF+∠ABF=90°,∴∠ABF=∠AGB,∴∠ABF=∠DAG.又∵AB=AD,∠AFB=∠DEA=90°,∴Rt△ABF≌Rt△DAE,∴BF=AE.∵EF=AF-AE,∴EF=AF-BF.
16.解:BO=2OD,BC边上的中线一定过点O.理由如下:作BO的中点M,CO的中点N,连接ED,EM,MN,ND.因为BD,CE分别是边AC,AB上的中线,所以E,D分别是AB,AC的中点,所以DEBC.又因为M是OB的中点,N是OC的中点,所以MNBC,所以DEMN,所以四边形EMND是平行四边形,所以MO=OD,EO=ON.又因为M是BO的中点,所以MO=BO,所以BO=2OD.取BC的中点F,连接AF,EF.过N作NG∥AC,交AF于点G,连接EG,FN.因为N是OC的中点,且NG∥AC,所以NGAC.因为E,F分别是AB,BC的中点,所以EFAC,所以EFNG,所以四边形EFNG是平行四边形.又因为EO=ON,所以点O一定是▱EFNG的对角线的交点,所以BC边上的中线一定经过点O.
17.提示:如图所示,只要保证两条线垂直且过对角线的交点O即可,答案不唯一.
134
复习题18(教材第67页)
1.(1)B[提示:设较小的内角的度数是x,则x+2x=180°,∴x=60°.] (2)C[提示:边长=2,∴高所对内角为30°,则相邻内角为150°.] (3)B[提示:∠BAE=90°+60°=150°,∵AB=AD=AE,∴△BAE为等腰三角形,∴∠AEB==15°.]
2.证明:连接AC,与BD交于点O.因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA=OC,OB=OD.又因为BE=DF,所以OB+BE=OD+DF,即OE=OF.在四边形FAEC中,OA=OC,OE=OF,所以四边形AECF是平行四边形.
3.提示:65°和25°.
4.解:先用绳子测量书架两组对边,看是否分别相等,若相等,则书架是平行四边形的.再用绳子测量四边形的两条对角线,如果这个平行四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形,书架的侧边与上、下底垂直.
5.证明:因为DE∥AC,EC∥BD,所以四边形OCED是平行四边形.又因为四边形ABCD是矩形,所以AC=BD,OD=BD,OC=AC,所以OC=OD,所以四边形OCED是菱形.
6.解:四边形EFGH是正方形.理由如下:∵E,F,G,H分别是正方形ABCD各边的中点,∴AH=HD=DG=GC=CF=FB=BE=EA,且∠EAH=∠HDG=∠GCF=∠FBE=90°,∴△EAH,△HDG,△GCF,△FBE都是全等的等腰直角三角形, ∴EH=HG=GF=FE,∠AHE=∠DHG=45°,∴∠EHG=90°,∴四边形EFGH是正方形.
7.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以ABCD,所以∠BAC=∠DCA.又因为BE∥DF,所以∠BEF=∠DFE,所以∠AEB=∠DFC,所以△ABE≌△CDF(AAS),所以BE=DF.又因为BE∥DF,所以四边形EBFD是平行四边形,所以ED∥BF,所以∠1=∠2.
8.解:这两条路等长,即AF=BE,且AF⊥BE.理由如下:设AF与BE交于点P,因为四边形ABCD是正方形,所以AB=AD=DC,∠BAD=∠ADF=90°.又因为DE=CF,所以AE=DF,所以△ABE≌△DAF(SAS),所以BE=AF,∠DFA=∠AEB,所以∠DAF+∠AEB=∠DAF+∠DFA=90°,所以∠APE=90°,即AF⊥BE.
9.解:(1)是平行四边形.理由如下:已知:如图所示,四边形ABCD,顺次连接四条边的中点E,F,G,H,求证:四边形EFGH是平行四边形.证明:分别连接AC,BD,∵H,G分别是边AD,CD的中点,∴GHAC,同理EFAC,∴GHEF,∴四边形EFGH是平行四边形. (2)仍然是平行四边形,理由同(1). (3)任意矩形的中点四边形是菱形.因为矩形的中点四边形一定是平行四边形,而矩形的对角线相等,由中位线定理可得出其中点四边形的一组邻边相等,所以任意矩形的中点四边形是菱形.任意菱形的中点四边形是矩形.因为菱形的中点四边形一定是平行四边形,且菱形的对角线互相垂直,则可得出其中点四边形的一个内角为直角,所以任意菱形的中点四边形是矩形.任意正方形的中点四边形仍然是正方形.因为正方形是菱形,所以其中点四边形一定是矩形,而正方形也是矩形,所以其中点四边形一定是菱形,由此可知任意正方形的中点四边形一定也是正方形.
10.提示:不一定,也可以是矩形.
11.解:用两个全等的三角形能拼成平行四边形.要想拼成矩形,需要两个全等的直角三角形.要想拼成菱形,需要两个全等的等腰三角形.要想拼成正方形,需要两个全等的等腰直角三角形.
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12.解:四边形EFGH是菱形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠OGC=∠OEA,OC=OA.又∠COG=∠AOE,∴△OGC≌△OEA,∴OG=OE.同理可得 OH=OF,∴四边形EFGH是平行四边形,又HF⊥EG,∴四边形EFGH是菱形.
13.解:①设经过x s,PQ∥CD.当PQ∥CD时,四边形PQCD是平行四边形.此时PD=(24-x)cm,QC=3x cm,所以24-x=3x,解得x=6,即经过6 s时,PQ∥CD.②当PQ=CD时,分四边形PQCD是平行四边形和等腰梯形两种情况讨论.当四边形PQCD是平行四边形时,由①可知x=6.
设经过t s,四边形PQCD是等腰梯形.如图所示,过点D作DE⊥BC于点E,过点P作PF⊥BC于点F,则四边形PFED是矩形,所以PF=DE=AB=8 cm,EC=BC-AD=2 cm,所以CD= cm.此时CQ=3t cm,PD=(24-t)cm,所以QF=3t-(24-t)-2=4t-26(cm),所以PQ= cm.因为四边形PQCD是等腰梯形,PQ=CD,所以=,即(4t-26)2=22,解得t=7或t=6.当t=6 s时,四边形PQCD是平行四边形,不符合题意,舍去,所以当t=7 s时,四边形PQCD是等腰梯形.综上,当经过6 s或7 s时,PQ=CD.
14.证明:如图所示,取AB的中点G,连接GE.因为四边形ABCD是正方形,所以AB=BC,∠B=90°.又因为G,E分别为AB,BC的中点,所以AG=EC.因为∠AEF=90°,所以∠AEB+∠2=90°.又因为∠AEB+∠1=90°,所以∠1=∠2.因
为CF是正方形ABCD的外角平分线,所以∠3=45°,所以∠ECF=90°+45°=135°.又因为BG=BE=AB,∠B=90°,所以∠BGE=45°,所以∠AGE=135°.在△AGE和△ECF中,AG=EC,∠1=∠2,∠AGE=∠ECF,所以△AGE≌△ECF(ASA),所以AE=EF.
15.已知:如图所示,四边形ABCD是平行四边形,AC,BD是它的对角线.求证:AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2.证明:过A,D分别作直线BC的垂线AE,DF,垂足为E,F.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AB∥DC,∴∠ABE=∠DCF,又AE⊥BC,DF⊥BC,∴∠AEB=∠DFC=90°,∴△ABE≌△DCF,∴AE=DF,BE=CF.在Rt△BDF中,BD2=BF2+DF2=(BC+CF)2+DF2=BC2+2BC·CF+CF2+DF2.① 在Rt△AEC中,AC2=AE2+CE2=AE2+(BC-BE)2=AE2+BC2-2BC·BE+BE2.② ①+②得AC2+BD2=AE2+BC2-2BC·BE+BE2+BC2+2BC·CF+CF2+DF2=2AE2+2BE2+2BC2=2(AE2+BE2)+2BC2=2AB2+2BC2=AB2+BC2+CD2+DA2.
教学重点建议
正方形是在学生学习了三角形、平行四边形、矩形、菱形等知识的基础上学习的,本节课的重点是如何借鉴已有的知识与经验来研究正方形的定义、正方形的性质及判定,解决与正方形相关的问题.
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根据本节课的教学内容,结合本班学生的实际情况,我选择启发式教学法.首先借助教具的演示,让学生复习学过的内容,进而从动态的角度出发认识正方形,体会正方形与平行四边形、矩形、菱形等的联系,感受特殊与一般的关系;接下来利用表格的形式讨论正方形的特性,借此深化对正方形性质的理解,为知识的运用奠定基础;最后通过典例示范说明知识的运用.
本节教学的重点是正方形性质定理的运用,难点是正方形性质定理的理解及灵活应用.为突出重点,突破难点,本教案精心设计了系列数学活动,为学生的自主探究提供了机会;在活动中,鼓励学生积极参与,大胆尝试,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验.
如左下图,正方形ABCD中,M是BC上任意一点,E在BC的延长线上,MN⊥AM,MN交∠DCE的平分线于N,试猜想AM与MN有怎样的数量关系,并说明理由.
〔解析〕 猜想AM=MN,要证AM=MN,如右上图,只需构造并证明△APM≌△MCN即可.
解:AM=MN.理由如下:
在AB上取一点P,使BP=BM,
连接PM,如右上图.
∵AB=BC,BP=BM,
∴AP=MC,∠BPM=45°,
∴∠APM=135°.
∵CN平分∠DCE,∴∠MCN=∠APM=135°.
∵MN⊥AM,∴∠AMB+∠CMN=90°.
∵∠AMB+∠BAM=90°,
∴∠BAM=∠CMN.
∴△APM≌△MCN.∴AM=MN.
1.掌握平行四边形的概念,性质及判定,会判定一个四边形是平行四边形.
2.理解矩形、菱形和正方形的概念及它们与平行四边形之间的联系.
3.掌握矩形、菱形和正方形的性质和判定,并能灵活运用它们解决问题.
1.在反思和交流的过程中,逐渐建立知识体系,让知识更加系统化.
2.通过例题分析,提高学生熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定方法,提高学生的逻辑思维能力.
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引导学生独立思考,通过归纳、概括、实践等数学活动,感受获得成功的体验,形成科学的学习习惯.
【重点】 理解平行四边形与特殊平行四边形的区别和联系,梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法.
【难点】 平行四边形与特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用.
专题一 平行四边形的判定、性质及其应用
【专题分析】
在中考中常围绕平行四边形的概念、判定及性质命题,以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查性质或者判定的情况较少,一般将平行四边形的判定和性质结合起来综合考查,解决这类问题应熟练掌握平行四边形的概念、判定方法和性质以及三角形等有关知识.
(2015·绵阳模拟)已知△ABC中,AB=AC,D为△ABC所在平面内的一点,过D作DE∥AB,DF∥AC,DE,DF分别交直线AC、直线AB于点E,F.
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(1)如图(1),当点D在线段BC上时,通过观察,分析线段DE,DF,AB之间的数量关系,并说明理由;
(2)当点D在直线BC上,其他条件不变时,试猜想线段DE,DF,AB之间的数量关系(请直接写出等式,不需证明);
(3)如图(2),当点D是△ABC内一点时,过D作DE∥AB,DF∥AC,DE分别交直线AC、直线BC于点E,G,DF交直线AB于F.试猜想线段DE,DF,DG与AB之间的数量关系(请直接写出等式,不需证明).
〔解析〕 (1)先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形,则DE=AF.再根据平行线及等腰三角形的性质得出∠FDB=∠B,由等角对等边得到DF=FB,从而可得DE+DF=AF+FB=AB.(2)当点D在直线BC上时,分三种情况:①当点D在CB延长线上时,如图①,先证明四边形AEDF是平行四边形,则DE=AF,再证明∠FDB=∠FBD,由等角对等边得到DF=FB,从而可得AB=AF-BF=DE-DF;②当点D在线段BC上时,同(1)可得,AB=DE+DF;③当点D在BC的延长线上时,如图②,先证明四边形AEDF是平行四边形,则DF=AE,再证明∠CDE=∠DCE,由等角对等边得到CE=DE,从而可得AB=AC=AE-CE=DF-DE.(3)先证明四边形AEDF是平行四边形,则DF=AE,再证明∠EGC=∠C,由等角对等边得到EG=DE+DG=CE,从而可得AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF.
解:(1)DE+DF=AB.
理由如下:∵DE∥AB,DF∥AC,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴DE=AF.
∵DF∥AC,∴∠FDB=∠C,
∵AB=AC,∴∠C=∠B,
∴∠FDB=∠B,
∴DF=FB,
∴DE+DF=AF+FB=AB.
(2)当点D在直线BC上时,分三种情况:
①当点D在CB延长线上时,如图①,AB=DE-DF;
②当点D在线段BC上时,同(1)可得,AB=DE+DF;
③当点D在BC的延长线上时,如图②,AB=DF-DE.
(3)AB=DE+DG+DF.
[解题策略] 本题考查了平行四边形的判定与性质,平行线的性质,等腰三角形中等角对等边,综合性较强,难度适中.(2)中分情况讨论是解题的关键.
【针对训练1】 △ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边三角形ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F.
(1)若点D是BC边的中点(如图①),求证EF=CD.
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(2)在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比.
(3)若点D是BC边上的任意一点(除B,C外,如图②),那么(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
〔解析〕 (1)根据△ABC和△AED是等边三角形,D是BC的中点,ED∥CF,可证明△ABD≌△CAF,进而可证明四边形EDCF是平行四边形.(2)在(1)的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比.(3)根据ED∥FC及题意得出∠ACF=∠BAD,从而可证明△ABD≌△CAF,得出AD=ED=CF,进而可证明四边形EDCF是平行四边形,即可得出EF=DC.
证明:(1)∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,且∠DAB=∠BAC=30°,
∵△AED是等边三角形,∴AD=AE=ED,∠ADE=60°,∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°,
∵ED∥CF,∴∠FCB=∠EDB=30°,∵∠ACB=60°,∴∠ACF=∠BAD=30°,
又∵∠B=∠FAC=60°,AB=CA,
∴△ABD≌△CAF,∴AD=CF,
∵AD=ED,∴ED=CF,
又∵ED∥CF,
∴四边形EDCF是平行四边形,∴EF=CD.
解:(2)△AEF和△ABC的面积比为1∶4.
(3)成立.证明如下:
∵ED∥FC,∴∠EDB=∠FCB,
∵∠AFC=∠B+∠FCB=60°+∠FCB,∠BDA=∠ADE+∠BDE=60°+∠BDE,∴∠AFC=∠BDA.
又∵∠B=∠FAC=60°,AB=CA,
∴△ABD≌△CAF,∴AD=FC,
∵AD=ED,∴ED=CF,
又∵ED∥CF,
∴四边形EDCF是平行四边形,
∴EF=DC.
专题二 矩形的判定、性质及其应用
【专题分析】
在中考中有的单独考查矩形的性质,有的单独考查矩形的判定,但二者结合起来考查较多,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.
如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD上的点,且AE=BF=CG=DH.
(1)求证四边形EFGH是矩形;
(2)若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,且DG⊥AC,OF=2 cm,求矩形ABCD的面积.
〔解析〕 (1)首先证明四边形EFGH是平行四边形,然后再证明HF=EG.(2)根据题意求出矩形ABCD的宽CD和长BC,然后根据矩形面积公式求解.
证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB=OC=OD,
∵AE=BF=CG=DH,
∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,
即OE=OF=OG=OH,∴四边形EFGH是平行四边形,又OF+OH=OE+OG,即FH=EG,
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∴四边形EFGH是矩形.
解:(2)∵G是OC的中点,∴GO=GC.
∵DG⊥AC,∴∠DGO=∠DGC=90°.
又∵DG=DG,∴△DGC≌△DGO,
∴CD=OD.
∵F是BO中点,OF=2 cm,∴BO=4 cm.
∵四边形ABCD是矩形,∴DO=BO=4 cm,
∴DC=4 cm,DB=8 cm,
∴CB==4(cm)
∴矩形ABCD的面积=4×4=16(cm2).
[解题策略] 本题主要考查矩形的判定,首先要判定四边形是平行四边形,然后证明对角线相等.
【针对训练2】 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E.求证AE=CE.
〔解析〕 作BF⊥CE于F,证明Rt△BCF≌Rt△CDE,可得到BF=CE,只需证明BF=AE,即可说明AE=CE.
证明:作BF⊥CE于F,∵∠BCF+∠DCE=90°,∠D+∠DCE=90°,∴∠BCF=∠D,又BC=CD,∠BFC=∠CED=90°,∴Rt△BCF≌Rt△CDE,∴BF=CE,又∠BFE=∠AEF=∠A=90°,∴四边形ABFE是矩形,∴BF=AE,∴AE=CE.
[规律方法] 在证明两条线段相等时,常利用等腰三角形的性质,或者将要求证的两条线段转化到两个三角形中证明三角形全等.
专题三 菱形的判定、性质及其应用
【专题分析】
考查菱形的判定、性质的题目,一般以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这个知识点的情况较少,一般与直角三角形的知识综合考查.
如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.
(1)求证∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;
(2)若AB∥CD,求证四边形ABCD是菱形;
(3)在(2)的条件下,试确定E点的位置,使∠EFD=∠BCD,并说明理由.
〔解析〕 (1)利用已知条件和公共边,证得△ABC≌△ADC,即可证明∠BAC=∠DAC;再证明△ABF≌△ADF,得到∠AFB=∠AFD,再利用对顶角相等,易知结论;(2)由平行线的性质和(1)中结论,易知∠DAC=∠ACD,所以AD=CD,进而证得AB=CB=CD=AD,即可证明结论;(3)当BE⊥CD时,由(2)可知BC=CD,∠BCF=∠DCF,利用△BCF≌△DCF,证得∠CBF=∠CDF,再利用等角的余角相等即可证明∠EFD=∠BCD.
证明:(1)∵AB=AD,CB=CD,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC.
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∴∠BAC=∠DAC,
∵ AB=AD,∠BAF=∠DAF,AF=AF,
∴△ABF≌△ADF.∴∠AFB=∠AFD,
又∵∠CFE=∠AFB,∴∠AFD=∠CFE.
(2)∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.
又∵∠BAC=∠DAC,
∴∠DAC=∠ACD.∴AD=CD.
∵ AB=AD,CB=CD,
∴AB=CB=CD=AD.
∴四边形ABCD是菱形.
解:(3)当BE⊥CD时,∠EFD=∠BCD.
理由如下:∵四边形ABCD为菱形,
∴BC=CD,∠BCF=∠DCF.
又∵CF为公共边,
∴△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF.
∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90°,
从而可知∠EFD=∠BCD.
[规律方法] (1)证明两条线段相等或两角相等,常用的方法就是先证得三角形全等或从已知图形的性质出发,利用已知的特殊四边形或全等形,推出结论.(2)对于条件探索性问题,一般我们要从结论入手进行分析,得出符合结论的条件,确定思路,进而进行推理论证.
【针对训练3】 如图所示,DE是▱ABCD中∠ADC的平分线,EF∥AD,交DC于F.
(1)求证四边形AEFD是菱形;
(2)如果∠BAD=60°,AD=5,求菱形AEFD的面积.
〔解析〕 (1)可先证明四边形DAEF是平行四边形,再由角的关系求得∠AED=∠1,根据等角对等边得AD=AE,再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEFD是菱形.(2)由已知求得两条对角线的长,根据菱形的面积等于两条对角线的积的一半,求得菱形的面积.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DF∥AE,
∵EF∥AD,∴四边形DAEF是平行四边形,
∵DE是∠ADC的平分线,
∴∠1=∠2,∵DF∥AE,
∴∠2=∠AED,∴∠AED=∠1.
∴AD=AE.∴四边形AEFD是菱形.
解:(2)∵∠BAD=60°,∴△AED为等边三角形.∴DE=AD=AE=5,
连接AF,与DE相交于O,则EO=,
∴OA==,∴AF=5.
∴S菱形AEFD=DE·AF=×5×5=.
[解题策略] 此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算,使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题.
专题四 正方形的判定、性质及其应用
【专题分析】
涉及正方形的题目,一般综合性较强,可以与矩形、菱形结合起来,也可以与等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形和三角形全等的知识结合起来考查,还可以与坐标系等知识结合起来考查,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.
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(2014·自贡中考)如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.
(1)求证AE=CF.
(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的大小.
〔解析〕 本题考查了等腰直角三角形、正方形的性质,“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”,全等三角形的性质与判定,解题的关键是证明△ABE≌△CBF.(1)用SAS证明△ABE≌△CBF.(2)∠EGC=∠EBG+∠BEF,而∠EBG=90°-∠ABE,△BEF是等腰直角三角形,从而可求∠EGC的度数.
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°.
∵ BE⊥BF,∴ ∠EBF=90°,
从而可知∠ABE=∠CBF.
∵ AB=BC,∠ABE=∠CBF,BE=BF,
∴△ABE≌△CBF,∴ AE=CF.
解:(2)∵BE=BF,∠EBF=90°,
∴∠BEF=45°,
∵ ∠ABC=90°,∠ABE=55°,
∴ ∠GBE=35°,
∴ ∠EGC=∠EBG+∠BEG=80°.
[归纳总结] 证明线段相等,通常转化成证明这两条线段所在的三角形全等得到对应线段相等.本题要充分利用正方形的性质“四条边相等;四个内角都等于90°;对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角;正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形等”,并根据题意选取合适的性质加以运用.等腰直角三角形的两锐角相等,为45°,底边上的高、中线、顶角的平分线重合.三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,HL(只适用于直角三角形),根据图中的条件选取合适的方法证明三角形全等是关键.
【针对训练4】 (2014·北京中考)在正方形 ABCD外侧作直线 AP,点B 关于直线 AP 的对称点为E,连接BE,DE,其中 DE 交直线 AP 于点F.
(1)依题意补全图(1);
(2)若∠PAB=20°,求∠ADF的度数;
(3)如图(2),若45°
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