第十九章 一次函数
1.了解常量、变量的意义和函数的概念,体会“变化与对应”的思想,了解函数的三种表示方法(列表法、解析式法和图象法),能结合图象分析简单的函数关系.
2.能确定简单的实际问题中函数自变量的取值范围,并会求函数值.
3.结合具体情境体会和理解正比例函数和一次函数的意义,能根据已知条件确定它们的表达式,会画它们的图象,能结合图象讨论这些函数的增减变化,能利用这些函数分析和解决简单的实际问题.
1.通过讨论一次函数与二元一次方程等的关系,从运动变化的角度,用函数的观点加深对已经学习过的方程等内容的认识,构建和发展相互联系的知识体系.
2.进行探究性课题学习,以选择方案为问题情境,进一步体会建立数学模型的方法与作用,提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力.
以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景,经历“找出常量和变量,建立并表示函数模型,利用函数模型解决实际问题”的过程,体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.
本章主要内容包括:常量与变量的意义,函数的概念,函数的三种表示法,一次函数的概念、图象、性质和应用举例,一次函数与二元一次方程等内容的关系以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习.
本章是在学习了平面直角坐标系的基础上进行学习的,为画一次函数的图象进而研究性质奠定了基础.一次函数是初中阶段研究的第一个具体的函数,它的研究方法具有一般性和代表性,并为后面学习反比例函数、二次函数奠定了基础.一次函数和一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程等有着密切的联系,学习一次函数将为它们的解法提供新的方法和途径,并使学生更为深刻地理解数形结合的重要思想.本章在整个教材中具有承上启下的作用.
【重点】 结合实例掌握变量、常量和函数的概念,掌握函数的三种表示方法,能结合图象讨论函数的基本性质,运用一次函数的图象和性质解决实际问题.
【难点】 函数的概念以及一次函数的图象和性质的应用.
118
本章内容是初中数学教学中的重点,也是难点.要重视学生对基本概念的理解,及时了解学生在学习过程中的状况,探索有效地教与学的各种方式.
在具体的实施过程中应注意:
1.加强与学生已学知识的联系.
在代数式、方程、不等式等内容的学习、探索中都已渗透了变化的思想,要注意引导学生在原有知识的基础上理解变量和函数的概念.
2.创设丰富的现实情境,重视直观感知的作用.
3.注重学生对必要的数学语言和符号的理解和准确应用.
运用数学的语言和符号去理解、描述现实世界的变化规律,是本章学习的主要目的之一.要在现实情境中鼓励学生运用自己的语言进行描述和交流,进而逐步学习和掌握规范的数学语言,增强符号感.
4.给学生充分的自主探索时间.
19.1函数
19.1.1变量与函数(2课时)
19.1.2函数的图象(2课时)
4课时
19.2一次函数
19.2.1正比例函数(2课时)
19.2.2一次函数(3课时)
19.2.3一次函数与方程、不等式(1课时)
6课时
19.3课题学习 选择方案
1课时
单元概括整合
1课时
19.1 函 数
1.理解自变量的取值范围和函数的意义,会求自变量的取值范围,会根据自变量的取值范围求函数的值.
2.掌握用描点法画出一些简单函数的图象,能根据函数图象所提供的信息获取函数的性质.
3.全面理解函数的三种表示方法,会根据具体情况选择适当方法表示函数.
118
1.在探究问题的过程中,体会从具体的实例中寻找常量和变量,判断两个变量之间是否满足函数关系的过程.
2.学生通过自己动手,体会用描点法画函数的图象的步骤.
1.从图象中获得变量之间的关系的有关信息,并预测变化趋势,进行科学决策,应用于社会生活.
2.让学生通过实际操作,体会函数三种表示法在实际生活中的应用价值,渗透数形结合思想,体会到数学来源于生活,又应用于生活,培养学生的团结协作精神、探索精神和合作交流的能力.
【重点】 会用描点法画函数的图象,并能利用函数的三种表示方法解决实际问题.
【难点】 函数的概念的理解.
19.1.1 变量与函数
理解自变量的取值范围和函数的意义,会求自变量的取值范围,会根据自变量的取值范围求函数的值.
在探究问题的过程中,体会从具体的事例中寻找常量和变量,判断两个变量之间是否满足函数关系的过程.
通过列举自己身边的事例,体验数学与生活的密切联系,学会观察与发现,激发同学们探究问题的兴趣.
【重点】 函数的概念和函数自变量的取值范围.
【难点】 求函数自变量的取值范围.
第课时
118
1.了解常量与变量的含义,能分清实例中的常量与变量.
2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.
经历观察、分析、思考等数学活动过程,发展合情推理,以提高分析问题和解决问题的能力.
引导学生探索实际问题中的数量关系,渗透事物是运动的,运动是有规律的辩证思想,培养学生对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情.
【重点】 认识变量、常量,会用式子表示变量间的关系.
【难点】 用含有一个变量的式子表示另一个变量.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 预习教材内容
导入一:
当我们用数学的眼光来分析现实世界的各种现象时,会遇到各种各样的量,如物体运动中的速度、时间和距离;圆的半径、周长和圆周率;购买商品的数量、单价和总价;某城市一天中各时刻变化着的气温等.在某一个过程中,有些量固定不变,有些量不断改变.为了更好地认识和了解这些变化现象中所隐含的变化规律,从本节课开始我们将学习这一部分知识.
[设计意图] 利用学生较熟悉的生活实例引入本课学习的内容,调动学生学习的积极性.
导入二:
飞机从武汉飞往北京,在这个行驶的过程中,哪些量没有发生改变,哪些量发生了改变?
学生说出自己的看法:如飞机上乘客的人数不变;飞机离地面的高度在改变;飞机油箱中的汽油在不停的减少,飞机离武汉越来越远,离北京越来越近,….
教师也可以让学生举出自己熟悉的例子,据此引出今天学习的课题:变量与函数.
[设计意图] 由学生经历的事情提问题,能引起学生的好奇心.
1.变量与常量的概念
问题:汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶时间为t h.填写表19-1,s的值随t的值的变化而变化吗?(出示教材表19-1)
表19-1
t/h
1
2
3
4
5
s/km
学生填表,并思考.
1.根据题意填写下表:
t/h
1
2
3
4
5
s/km
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2.在以上这个过程中,变化的量是 .不变化的量是 .
3.试用含t的式子表示s.
教师引导学生交流:
从题意中可以知道汽车是匀速行驶,
那么它1 h行驶60 km,
2 h行驶2×60 km,即120 km,
3 h行驶3×60 km,即180 km,
4 h行驶4×60 km,即240 km,
5 h行驶5×60 km,即300 km……
t/h
1
2
3
4
5
s/km
60
120
180
240
300
因此其中行驶里程s与时间t是变化的量,速度60 km/h是不变的量.
行驶里程s km与时间t h之间有关系:s=60t.s随t的增大而增大.
[设计意图] 挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境,让学生经历探索具体情境中的变量与常量.
问题:电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各是多少元?设一场电影售出x张票,票房收入为y元,y的值随x的值的变化而变化吗?
学生分析问题,并同桌交流.
1.电影票的售价为10元/张,
第一场售出150张票,则第一场电影的票房收入为 元;
第二场售出205张票,则第二场电影的票房收入为 元;
第三场售出310张票,则第三场电影的票房收入为 元.
2.设一场电影售票x张,票房收入y元,则用含x的式子表示y为 .
教师解析:
第一场电影的票房收入为150×10=1500(元).
第二场电影的票房收入为205×10=2050(元).
第三场电影的票房收入为310×10=3100(元).
用含x的式子表示y为y=10x,y随x的增大而增大.
[设计意图] 通过适当地把问题进行分解,引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.
问题:你见过水中涟漪吗?如图所示,圆形水波慢慢的扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10 cm,20 cm,30 cm时,圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗?
学生活动填表,并讨论.
(1)填表:
半径r(cm)
10
20
30
圆面积S(cm2)
(2) S与r之间满足下列关系:S= .
教师解析:(1)
半径r(cm)
10
20
30
圆面积S(cm2)
314
1256
2826
(2) S=πr2.圆的半径越大,它的面积就越大.
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[设计意图] 挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境,让学生经历探索具体情境中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验.
问题:用10 m长的绳子围成一个矩形,当矩形的一边长x分别为3 m,3.5 m,4 m,4.5 m时,它的邻边长y分别为多少?y的值随x的值的变化而变化吗?
学生活动小组讨论后,教师进行解析:因为矩形两组对边相等,所以它的一边长与它的邻边长的和应是周长10 m的一半,即5 m.
若矩形一边长为3 m,则它的邻边长为5-3=2(m).
若矩形一边长为3.5 m,则它的邻边长为5-3.5=1.5(m).
若矩形一边长为4 m,则它的邻边长为5-4=1(m).
若矩形一边长为4.5 m,则它的邻边长为5-4.5=0.5(m).
若矩形一边长为x m,则它的邻边长为y=5-x(m),y随x的增大而减小.
[设计意图] 在本环节中,设计了问题情境,目的是让学生在现实情境中感知变量和常量的存在和意义,体会变量之间的互相依存关系和变化规律.此外,希望通过这几个问题引出常量、变量的概念,使学生体验从具体到抽象的认识过程.
这些问题反映了不同事物的变化过程,涉及多个量,你能将这些问题中出现的量按照某种标准进行分类吗?
学生分组讨论,交流自己的看法.
按照有无变化,我们发现其中有些量(例如时间t,路程s;售出票数x,票房收入y……)的值是变化的,有些量的值始终不变(例如速度60 km/h;电影票的单价10元……),因此可分为两类.
师生共同总结出变量和常量的定义并板书.
变量和常量的定义:在某个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量;数值始终不变的量叫做常量.
[设计意图] 通过上述的四个问题进行具体的讲评,借助实例来理解变量、常量的概念,在讲解概念后强调常量与变量的区别与联系,使学生进一步理解、领会有关常量和变量的概念.
2.问题讲解
在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题.
问题(1):下图是某地一天的气温变化图象,任意给出这天中的某一时刻t,你能说出这一时刻的气温T吗?
这一问题中涉及哪几个量? 它们变化吗?
学生结合图,说出每一时刻所对应的温度值,教师进行确认.
问题(2):弹簧原长22 cm,弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)有如下关系:
x/kg
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
在这个问题中变化的量是什么?不变化的量是什么?
学生讨论发现:
弹簧的原长不变,为22 cm,弹簧伸长的长度随着物体质量的变化而变化.
因此,弹簧的总长=原长+伸长的长度.
问题(3):你能举出生活中类似的例子吗?可以小组讨论.
学生讨论、举例,在上述实例的解决过程中,体会在一个变化过程中各个量的变化规律,进而发现有的量变化、有的量不变.
教师引导学生概括:
在上面的问题中,我们研究了一些数量关系,出现了各种各样的量,有些量,它们始终保持不变,我们称之为常量,而有些量,在某一变化过程中,可以取不同数值,我们称之为变量.
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[设计意图] 在本环节中,设计了问题情境,并让学生举出生活中类似的例子,目的是让学生在现实情境中感知变量和常量的存在和意义,体会变量之间的互相依存关系和变化规律.此外,希望通过这几个问题引出常量、变量的概念,使学生体验从具体到抽象的认识过程.
[知识拓展] (1)常量与变量是相对而言的,是相对某个变化过程来说的,换句话说,在这个变化过程中是变量,而在另一个变化过程中有可能以常量身份出现.如s=vt中,若v=20,此式子为s=20t,可见s,t为变量,若t=10,此式子为s=10v,s,v为变量,变量与常量的身份可以相互转化.(2)判断一个量是常量还是变量关键是看这个量所在的变化过程中,该量的值是否发生变化.(3)常数也叫常量,如S=πr2,其中常量是π.
3.例题讲解
(补充) 若球体体积为V,半径为R,则V=πR3.其中变量是 、 ,常量是 .
〔解析〕 根据变量和常量的概念进行求解,解题时注意π是一个常量.
答案:V R π
(补充) 写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量:
(1)圆的周长C与半径r的关系式;
(2)火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米)和所用时间t(小时)的关系式.
〔解析〕 先根据实际问题确定所给问题的关系式,再根据变量和常量的概念进行求解.
解:(1)C=2πr,2π是常量,r,C是变量.
(2)s=60t,60是常量,t,s是变量.
[设计意图] 通过上述几个问题进行具体的讲评,借助实例来理解变量、常量的概念.
本节课从现实问题出发,找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤.它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要的意义.
1.确定事物变化中的变量与常量.变量和常量的定义:在某个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量;数值始终不变的量叫做常量.
2.尝试运算寻求变量间存在的规律.
3.利用学过的有关知识公式确定关系式.
[设计意图] 通过小结、课堂训练和学生反思,进一步理顺学生的学习思路,加深对变量、常量有关概念的理解.
1.学校购买某种型号的钢笔作为学生的奖品,钢笔的价格是4元/支,则总金额y(元)与购买支数x(支)的关系式是 ,其中变量是 ,常量是 .
解析:∵钢笔的价格是4元/支,∴总金额y(元)与购买支数x(支)的关系式是y=4x,∴变量为x,y,常量为4.
答案:y=4x x,y 4
2.在圆的周长公式 C=2πR 中,下列说法正确的是 ( )
A.π,R是变量,2 是常量
B. R是变量,C,2,π是常量
C.C是变量,2,π,R是常量
D. C,R是变量,2,π是常量
解析:∵C=2πR,∴变量为C,R,常量为2,π. 故选D.
3.分别指出下列各关系式中的变量与常量.
(1)三角形的一边长为5 cm,它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是S=h;
(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α(度),则另一个锐角β(度)与α(度)间的关系式是β=90-α.
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解:(1)∵S=h,∴变量为S,h,常量为.
(2)∵β=90-α ,∴变量为β,α,常量为-1,90.
4.要画一个面积为10 cm2的圆,圆的半径应取多少?圆的面积为20 cm2呢?怎样用含有圆面积S的式子表示圆半径r?
解:根据圆的面积公式S=πr2 ,得r=,面积为10 cm2的圆半径r=≈1.78(cm).面积为20 cm2的圆半径r=≈2.52(cm).用圆面积S的式子表示圆半径r的关系式为r=.
第1课时
1.变量与常量的概念:
变量:在一个变化过程中,数值发生变化的量为变量.
常量:在一个变化过程中,数值始终不变的量为常量.
2.例题讲解:
例1 例2
一、教材作业
【必做题】
教材第71页练习.
【选做题】
教材第81页习题19.1第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.甲、乙两地相距s千米,某人行完全程所用的时间t(小时)与他的速度v(千米/时)满足vt=s,在这个变化过程中,下列判断中错误的是 ( )
A.s是变量 B.t是变量
C.v是变量 D.s是常量
2.小军用50元钱去买单价是8元的笔记本,则他剩余的钱Q(元)与他买这种笔记本的本数x之间的关系式是 ( )
A.Q=8x B.Q=8x-50
C.Q=50-8x D.Q=8x+50
3.(2015·临沂中考)已知甲、乙两地相距20千米,汽车从甲地运输匀速行驶到乙地,则汽车行驶时间t(单位:小时)关于行驶速度v(单位:千米/时)的函数关系式是 ( )
A.t=20v B.t=
C.t= D.t=
4.长方形相邻两边长分别为x,y,面积为30,则用含x的式子表示y为 ,则这个问题中, 是常量; 是变量.
5.汽车开始行驶时油箱内有油40升,如果每小时耗油5升,那么油箱内剩余油量Q(升)与行驶时间t(小时)的关系式是 .
6.根据下列题意写出适当的关系式,并指出其中的变量与常量.
(1)多边形的内角和W与边数n的关系;
(2)甲、乙两地相距y千米,一自行车以每小时10千米的速度从甲地驶向乙地,试用行驶时间t(小时)表示自行车离乙地的距离s(千米).
【能力提升】
7.某种报纸的价格是每份0.4元,买x份报纸的总价为y元,先填写下表,再用含x的式子表示y.
份数/份
1
2
3
4
…
价钱/元
…
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x与y之间的关系式是 .
8.现有笔记本500本,学生x人,若每人5本,则余下y本笔记本,用含x的式子表示y为y= ,其中常量是 ,y和x都是 量.
9.夏季高山上温度从山脚起每升高100米降低0.7 ℃,已知山脚下的温度是23 ℃,则温度y(℃)与上升高度x(米)之间的关系式为 .
【拓展探究】
10.圆柱形物体如下图(横截面)那样堆放.试确定圆柱形物体的总数y与层数x之间的关系式.
【答案与解析】
1.A(解析:某人行完全程,甲、乙两地距离不变,故s是常量,因此A不正确.)
2.C(解析:单价是8元的笔记本,买这种笔记本x本用了8x元,故Q=50-8x.故选C.)
3.B(解析:根据时间=,有t=.故选B.)
4.y= 30 x,y(解析:由长方形的面积=长×宽进行求解.)
5.Q=40-5t(解析:根据剩余油量=总油量-已用油量进行求解.)
6.解:(1)W=(n-2)×180°,变量为W,n;常量为-2,180°. (2)s=y-10t,变量为s,t;常量为-10,y.
7.0.4 0.8 1.2 1.6 y=0.4x(解析:根据总金额=单价×数量进行求解.)
8.500-5x 500,-5 变(解析:根据剩余笔记本数=总的笔记本数-已发的笔记本数进行求解.)
9.y=23-x
10.解析:要求变量间的关系式,需首先知道两个变量间存在的规律是什么.不妨尝试堆放,找出规律,再寻求确定关系式的办法.解:由题意可知:堆放1层,总数y=1,堆放2层,总数y=1+2,堆放3层,总数y=1+2+3,…,堆放x层,总数y=1+2+3+…+x,即y=x(x+1).
本节课以问题为载体、以学生为主体、以合作交流为手段、以能力提高为目的.在探究知识上,以学生自主探究分组交流为主线,发挥学生的主体作用.在课堂教学中选择贴近生活的实例,与变量和常量的概念紧密结合,能使课堂效果达到最佳状态.
在某个变化过程中,变量和常量是相对而言的,学生理解较困难,解题时学生容易出现把π看成变量这种错误.
教学时通过对比教学多举出变量和常量是相对而言的事例,让学生真正理解变量和常量的概念.
练习(教材第71页)
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解:(1)变量为x,y;常量为4. (2)变量为t,w;常量为0.2,30. (3)变量为r,C;常量为π. (4)变量为x,y;常量为10.
函数的起源
函数的概念在17世纪已经引入,牛顿(Isaac Newton,1642~1727,英国科学家)的《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是雏形的函数概念.笛卡儿(R.名言:“我思故我在”)引入变量后,随之而来的便是函数的概念.他指出y和x是变量(“未知量和未定的量”)的时候,也注意到y依赖于x而变.这正是函数思想的萌芽,但是他没有使用“函数”这个词.
最早把“函数”(function)这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646~1716,德国数学家),但其含义和现在不同,他把函数看成是“像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线段长度等所有与曲线上的点有关的量”. 1718年,瑞士数学家约翰·贝努利(John Bernoulli,1667~1748,欧拉的数学老师)将函数概念公式化,给出了函数的一个定义,同时第一次使用了“变量”这个词.他写到:“变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量”.他的学生,瑞士数学家欧拉(Leonard Euler,1707~1783,被称为历史上最“多产”的数学家)将约翰·贝努利的思想进一步解析化,他在《无限小分析引论》中将函数定义为:“变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式”,欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位.
我国“函数”一词,是《代数积拾级》中首先使用的.这本书把函数定义为:“凡此变数中含彼变数,则此为彼之函数”.这里的“函”指包含的意思.这个定义相当于欧拉的解析表达式定义:在一个式中“包含”着变量x,那么这个式子就是x的函数.
函数这个概念已成为数学中最重要的几个概念之一,而变量这个词却逐渐被新的词所代替.
第课时
初步了解函数三种表示方法以及三种表示方法的优缺点,会根据具体情况选择适当方法表示函数.
1.经历回顾思考,训练提高归纳总结能力.
2.利用数形结合思想,根据具体情况选用适当方法解决问题的能力.
通过分析具体的问题中的一个变量的值对应着另一个变量的值,体会到函数是刻画变量之间的对应关系的数学模型.
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【重点】 函数表示方法的应用.
【难点】 确定实际问题中函数自变量的取值范围.
【教师准备】 带有网格的纸,三角板.
【学生准备】 三角板,铅笔,带有网格的纸.
导入一:
你听说过“两个铁球同时落地”的故事吗?站在比萨斜塔顶部,让两个铁球自由下落,在铁球下落的过程中,随着时间的变化,铁球下落的速度是怎样变化的?铁球下落的速度v随下落的时间t的变化而变化.这就是我们今天要继续学习的内容.
[设计意图] 结合学生熟悉的故事导入新课,激发学生的学习兴趣,并且提高学生对新知识的求知欲,为本节课的学习打下基础.
导入二:
1.有根弹簧原长10 cm,每挂1 kg重物,弹簧伸长0.5 cm,设所挂的重物为m kg,受力后弹簧的长度为l cm,根据上述信息完成下表:
m/kg
0
1
2
3
3.5
…
l/cm
受力后弹簧的长度l是所挂重物质量m的函数吗?
2.有一辆出租车,前3公里内的起步价为8元,每超过1公里收2元,有一位乘客坐了t(t>3)公里,他付费y元,用含x的式子表示y.
3.如图所示的是某地某一天的气温变化图:
学生自由思考,自由发言.
上面用图、表格或关系式表达的问题反映了两个变量之间的关系.
[设计意图] 出示题目,同时提出新的问题,让学生在解决旧知的基础上提出问题,从而激发学生的学习兴趣,并且提高学生对新知识的求知欲,为本节课的学习打下基础.
1.自变量、函数和函数值
思路一
[过渡语] 前面我们学习了变量与常量,下面我们一起来思考下面的问题:
(1)下图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的对应值吗?
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(2)在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数可以记作两个变量x与y,对于表中每一个确定的年份(x),都对应着一个确定的人口数(y)吗?
中国人口数统计表
年份
人口数/亿
1984
10.34
1989
11.06
1994
11.76
1999
12.52
2010
13.71
学生通过观察发现在问题(1)的心电图中,对于x的每个确定值,y都有唯一确定的值与其对应;在问题(2)中,对于表中每个确定的年份x,都对应着一个确定的人口数y.
引导学生归纳:上面用图或表格表达的问题中的两个变量互相联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应.
教师总结:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
学生分析上面两个问题中的自变量和函数,并交流.
在以上心电图问题中,时间x是自变量,心脏电流y是x的函数;人口数统计表中,年份x是自变量,人口数y是x的函数.当x=2010时,函数值y=13.71.
思路二
[过渡语] 生活中有许许多多的图形与图象,比如体检时的心电图,心电图直观地反映了心脏生物电流与时间的关系,电流随时间的变化而变化.又如投篮后,篮球划过的一道优美的弧线(抛物线),有些问题中的函数关系很难列式子表示,但我们可以通过图象来直观反映,比如心电图直观地反映心脏生物电流与时间的关系;抛物线直观地反映了篮球的高度与水平距离之间的函数关系, 即使对于能列式表示的函数关系,若也能画图表示,则会使函数关系更清晰.
教师随着学生的思考渐渐提问:你去过游乐园吗?你坐过摩天轮吗?你能描述一下坐摩天轮的感觉吗?
当人坐在摩天轮上时,人的高度随时间在变化,那么变化有规律吗?
摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间有一定的关系,下图就反映了时间t(min)与摩天轮上一点的高度h(m)之间的关系,你能从下图中观察出有几个变化的量吗?当t分别取3,6,10时,相应的h是多少?给定一个t值,你都能找到相应的h值吗?
学生围绕问题先独立思考,再进行小组交流.
当人坐在摩天轮上时,人的高度随时间在变化,人的高度随时间的变化先增加后减小,然后再增加,接着再减小,按这个规律变化.
从图上可以看出,有两个变量,旋转时间t和摩天轮上一点的高度h,当t分别取3,6,10时,相应的h是47,3,35,给定一个t值,都能找到相应的h值.
提问:瓶子或罐头盒等圆柱形的物体,常如下图那样堆放.随着层数的增加,物体的总数是如何变化的?
118
填写下表:
层数n
1
2
3
4
5
…
物体总数y
…
学生边数边填写上表,观察发现:按如图那样堆放,随着层数的增加,物体的总数逐渐增加.
层数n
1
2
3
4
5
…
物体总数y
1
3
6
10
15
…
提问:一定质量的气体在体积不变时,若温度降低到-273 ℃,则气体的压强为零,因此,物理学把-273 ℃作为热力学温度的零度热力学温度T(K),它与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系:T=t+273,T≥0.
(1)当t分别等于-43,-27,0,18时,相应的热力学温度T是多少?
(2)给定一个大于-273 ℃的t值,你能求出相应的T值吗?
同桌交流自己的计算方法,再独立完成解答过程.
由热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间的数量关系:T=t+273,T≥0可得:
(1)当t分别等于-43,-27,0,18时,相应的热力学温度T是230,246,273,291.
(2)给定一个大于-273 ℃的t值,利用公式T=t+273,能求出相应的T值.
引导学生归纳:上面用图或表格表达的问题中的两个变量互相联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应.
教师总结:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
练一练:你能说说上面三个问题中的自变量,函数和函数值吗?
学生代表发言,教师点评.
[设计意图] 通过上面三个问题的展示,使学生们初步感受到:现实生活中存在大量的变量间的关系,并且一个变量是随着另一个变量的变化而变化的;变量之间的关系表示方式是多样的(图象、列表和解析式等),初步了解三种方式表示两个变量之间关系的各自特点.
[知识拓展] (1)当已知函数解析式时,给出自变量的值,求相应函数值,就是将自变量x的值代入函数解析式,求代数式的值.(2)当已知函数解析式时,给出函数值,求相应自变量x的值,就是解方程.(3)已知函数解析式,当自变量确定时,函数值也唯一确定;当函数值确定时,自变量不一定唯一确定.
2.例题讲解
[过渡语] 函数是刻画变量之间的对应关系的数学模型,许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示.
(教材例1)汽车油箱中有汽油50 L. 如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶路程x(单位:km)的增加而减少,平均耗油量为0.1 L/km.
(1)写出表示y与x的函数关系的式子;
(2)指出自变量x的取值范围;
(3)汽车行驶200 km时,油箱中还有多少汽油?
师生共同分析:(1)油箱中的油量=总量-用去的油量;(2)x代表的实际意义为行驶路程,因此x不能取负数. 行驶中的耗油量为0.1x,它不能超过油箱中现有汽油量50;(3)汽车行驶200 km时,油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值.
解:(1)行驶路程x是自变量,油箱中的油量y是x的函数,它们的关系为y=50-0.1x.
(2)仅从式子y=50-0.1x看,x可以取任意实数. 但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程,因此x不能取负数.行驶中的耗油量为0.1x,它不能超过油箱中现有汽油量50,即0.1x≤50.
118
因此,自变量x的取值范围是0≤x≤500.
(3)汽车行驶200 km时,油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值.
将x=200代入y=50-0.1x,得y=50-0.1×200=30.
故汽车行驶200 km时,油箱中还有30 L汽油.
[归纳总结] 当函数关系式表示实际问题时,自变量的取值必须使实际问题有意义.
(补充)求下列函数中自变量x的取值范围.
(1)y=3x-1; (2)y=2x2+7; (3)y=; (4)y=.
学生独立分析:用数学式子表示的函数,一般来说,自变量的取值范围是使式子有意义的值,对于上述的第(1)(2)两题,x取任意实数,这两个式子都有意义,而对于第(3)题,(x+2)必须不等于0式子才有意义,对于第(4)题,(x-2)必须是非负数式子才有意义.
解:(1)x为任意实数.
(2)x为任意实数.
(3)根据题意,得x+2≠0,则x≠-2.
(4)根据题意,得x-2≥0,则x≥2.
[归纳总结] 含分式的函数,自变量的取值范围应满足的条件是:分母不为0;含二次根式的函数,自变量的取值范围应满足的条件是:被开方数为非负数;既含分式又含二次根式的函数,自变量的取值范围应满足的条件是:分母不为0且被开方数为非负数.
3.解析式
在例1中,像y=50-0.1x这样,用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法.这种式子叫做函数的解析式.
(1)在变化过程中有两个变量x,y,如果对于x的取值范围内的每一个确定的值y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x是自变量.
(2)函数解析式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意义.可分为下列几种情况:
①当函数解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数.
②当函数解析式是分式(分母中含有字母)时,自变量的取值范围要使分母不为零.
③当函数解析式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数是非负数.
④在实际问题中,自变量的取值范围除使函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义.
⑤自变量的取值范围可以是有限或无限的,也可以是几个数或单独的一个数.如:y= 中,自变量z的取值范围是z=0;y=+ 中,自变量x的取值范围是x=2.
教师说明:函数解析式是等式,指明了哪个是自变量,哪个是函数,书写函数解析式是有顺序的.例如y=x-4表示y是x的函数;若x=y+5,则表示x是y的函数,也就是说求y关于x的函数解析式,必须用含自变量x的代数式表示y,即等式的左边是一个变量y,右边是一个含x的代数式.
师生共同回顾本节课所学的主要内容:
1.在变化过程中有两个变量x,y,如果对于x的取值范围内的每一个确定的值y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x是自变量.
2.函数解析式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意义.
(1)当函数解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数.
(2)当函数解析式是分式(分母中含有字母)时,自变量的取值范围要使分母不为零.
(3)当函数解析式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数是非负数.
(4)在实际问题中,自变量的取值范围除使函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义.
1.下表表示y与x的函数关系,则此函数的解析式为 .
x
…
6
4
2
0
-2
-4
…
y
…
-3
-2
-1
0
1
2
…
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解析:根据表格中的数据知:y是x的一半的相反数,故y=-0.5x.故填y=-0.5x.
2.自来水的收费标准是每月不超过10吨,每吨水1.2元,超过部分每吨水1.8元,小王家5月份用水x吨(x>10),应交水费y元,则y与x的函数关系式为 .
解析:小王家的水费=10吨的水费+超过10吨部分的水费.即y=10×1.2+1.8(x-10)=12+1.8x-18=1.8x-6.故填y=1.8x-6.
3.甲车速度为20米/秒,乙车速度为25米/秒.现甲车在乙车前面500米,设x秒后两车之间的距离为y米.求y随x(0≤x≤100)变化的函数解析式.
解:由题意可知x秒后两车行驶路程分别是:甲车为20x米,乙车为25x米.两车行驶路程差为25x-20x=5x(米),两车之间距离为(500-5x)米,所以y随x变化的函数关系式为y=500-5x(0≤x≤100).
第2课时
1.自变量、函数和函数值
2.例题讲解
3.解析式
一、教材作业
【必做题】
教材第74页练习第1题;教材第81页习题19.1第3题.
【选做题】
教材第82页习题19.1练习第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列y与x的函数关系式中,y是x的函数的是 ( )
A.x=y2 B.y=±x
C.y2=x+1 D.y=|x|
2.(2015·内江中考)函数y=+中自变量x的取值范围是 ( )
A.x≤2 B.x≤2且x≠1
C.x0.
(2)由长方形的面积公式可得,另一条边长为 m,周长为y=2x+m.
(3)列表:
x/m
1
2
3
4
5
6
y/m
26
16
14
14
14.8
16
(4)描点,连线,如图所示.
归纳总结:用描点法画函数图象的一般步骤:
第一步:列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;
118
第二步:描点——在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点;
第三步:连线——按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
[设计意图] 根据函数图象的画法,让学生充分体会图象的作法和步骤.
思路二
[过渡语] 我们一起来试一试如何画函数图象.
画y=(x>0)的图象:
第一步:列表:
x
…
1
1.5
2
3
4
5
6
…
y=(x>0)
…
…
第二步:描点:以x的值为 坐标,相应的函数值为 坐标,描出表格中数值对应的各点.
第三步:连线:按照 坐标由小到大的顺序,把所描各点从左到右用平滑的曲线连接起来.
观察:从所画的图象上可以看出,曲线从左向右 ,即当x由小变大时,y随x的增大而 .
学生画图后,同桌交流,并与教材78页对照检查是否相同.
教师引导学生观察图象,曲线从左向右下降,即当x由小到大时,y=(x>0)随之减小.
你能总结下用描点法画图的步骤吗?
学生总结后,阅读教材79页内容.
[知识拓展] 画实际问题的图象时,必须先考虑函数自变量的取值范围.有时为了表达的方便,建立直角坐标系时,横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致.
3.例题讲解
(教材例3)在下列式子中,对于x的每一个确定的值,y有唯一的对应值,即y是x的函数. 画出这些函数的图象:
(1)y=x+0.5;
(2)y=(x>0).
解:(1)从式子y=x+0.5可以看出,x取任意实数时这个式子都有意义,所以x的取值范围是全体实数.
从x的取值范围中选取一些数值,算出y的对应值,列表(计算并填写表中空格).
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
-0.5
0.5
1.5
2.5
…
根据表中数值描点(x,y),并用平滑曲线连接这些点.
118
从函数图象可以看出,直线从左向右上升,即当x由小变大时,y=x+0.5随之增大.
(2)y=(x>0).
列表(计算并填写表中空格).
x
…
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
5
6
…
y
…
6
3
2
1.5
…
根据表中数值描点(x,y),并用平滑曲线连接这些点.
(补充) 王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习,在某处按函数关系式y=-x2+x击球,球正好进洞.其中,y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水平距离.
(1)试画出高尔夫球飞行的路线;
(2)从图象上看,高尔夫球的最大飞行高度是多少?球的起点与洞之间的距离是多少?
〔解析〕 (1)高尔夫球飞行的路线,也就是函数y=-x2+x的图象,用描点法画出图象.在列表时要注意自变量x的取值范围,因为x是球飞出的水平距离,所以x不能取负数.在建立直角坐标系时,横轴(x轴)表示球飞出的水平距离,纵轴(y轴)表示球的飞行高度.(2)高尔夫球的最大飞行高度就是图象上最高点对应的y值(如图点P),球的起点与球进洞点是球飞出的水平距离最小值的点和最大值的点,如图点O和点A,点O和点A横坐标差的绝对值就是球的起点与洞之间的距离.
解:(1)列表如下:
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
0
1.4
2.4
3
3.2
3
2.4
1.4
0
在直角坐标系中,描点、连线,便可得到这个函数的大致图象,如图所示.
(2)高尔夫球的最大飞行高度是3.2 m,球的起点与洞之间的距离是8 m.
(教材例2)如图(1)所示,小明家、食堂、图书馆在同一条直线上. 小明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家. 图(2)反映了这个过程中,小明离家的距离y与时间x之间的对应关系.
118
根据图象回答下列问题:
(1)食堂离小明家多远?小明从家到食堂用了多少时间?
(2)小明吃早餐用了多少时间?
(3)食堂离图书馆多远?小明从食堂到图书馆用了多少时间?
(4)小明读报用了多少时间?
(5)图书馆离小明家多远?小明从图书馆回家的平均速度是多少?
〔解析〕 小明离家的距离y是时间x的函数. 由图象中有两段平行于x轴的线段可知,小明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里.
解:(1)由纵坐标看出,食堂离小明家0.6 km;由横坐标看出,小明从家到食堂用了8 min.
(2)由横坐标看出,25-8=17,小明吃早餐用了17 min.
(3)由纵坐标看出,0.8-0.6=0.2,食堂离图书馆0.2 km;由横坐标看出,28-25=3,小明从食堂到图书馆用了3 min.
(4)由横坐标看出,58-28=30,小明读报用了30 min.
(5)由纵坐标看出,图书馆离小明家0.8 km;由横坐标看出,68-58=10,小明从图书馆回家用了10 min,由此算出平均速度是0.08 km/min.
[归纳总结] 在观察实际问题的图象时,先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义.然后观察图形,分析两变量的相互关系,结合题意寻找对应的现实情境.
师生共同总结:
1.一般地,对于一个函数,若把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标,则坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
2.函数的图象
(1)用描点法画函数图象的一般步骤是:①列表;②描点;③连线.
(2)当函数图象从左向右上升时,函数值随自变量的变大而变大;当函数图象从左向右下降时,函数值随自变量的变大而变小.
1.在某次试验中,测得两个变量m与v之间的4组对应数据如下表:
m
1
2
3
4
v
0.01
2.9
8.03
15.1
则m与v之间的关系最接近于下列各关系中的 ( )
A.v=2m-2 B.v=m2-1
C.v=3m-3 D.v=m+1
解析:将试验中的数据依次代入A,B,C,D四个关系式中检验.故选B.
2.甲、乙两人以相同路线前往距离单位10千米的培训中心参加学习. 图中l甲、l 乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程s(千米)与时间t(分钟)的函数关系.以下说法:①乙比甲提前12分钟到达;②甲的平均速度为15千米/时;③乙走了8千米后遇到甲;④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有 ( )
118
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
解析:根据图象可以看出乙比甲晚出发18分钟,但比甲早到12分钟,①正确;甲的平均速度是10÷=15(千米/时),②正确;乙的平均速度是10÷=60(千米/时),设甲出发x小时后与乙相遇,则15x=60x-,解得x=,×60=24(分钟),故乙出发24-18=6(分钟)后追上甲,④正确;相遇时,乙走了60×-=6(千米),③错误.故正确的有①②④,共3个.故选B.
3.1~6个月的婴儿生长发育得非常快,他们的体重y(克)和月龄x(月)之间的关系可以用y=a+700x表示,其中a是婴儿出生时的体重.若一个婴儿出生时的体重是4000克,请用表格表示在1~6个月内,这个婴儿的体重y与x之间的关系:
月龄/月
1
2
3
4
5
6
体重/克
解析:由题意知函数关系式是y=4000+700x,然后把x的值分别代入即可求y的值.
答案:
月龄/月
1
2
3
4
5
6
体重/克
4700
5400
6100
6800
7500
8200
4.已知矩形的周长是8 cm,设一边长为x cm,与其相邻的一边长为y cm.
(1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)在图中作出函数的图象.
解:(1)∵矩形的周长是8 cm,∴2x+2y=8,∴y=4-x,自变量x的取值范围是0
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