第二章 相交线与平行线
1.结合具体情境,理解对顶角、互为余角、互为补角的概念,探索并掌握对顶角相等,理解垂线、垂线段等概念,掌握“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”的基本事实,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线,了解垂线段最短的性质,了解点到直线距离的意义并会度量点到直线的距离.
2.理解平行线的概念,了解平行公理及其推论,会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线;会识别同位角、内错角、同旁内角;探索并掌握平行线的性质和判定方法,会度量两条平行线之间的距离.
3.会用尺规作一个角等于已知角,能利用尺规作角的和、差、倍,并掌握作图步骤和作图语言的叙述及作角的综合应用,能够通过尺规设计并绘制简单的图案,同时在尺规作图过程当中,积累数学活动经验,培养动手能力和逻辑分析能力.
4.能初步应用本章所学的知识对图形进行简单的说理、解释生活中的现象及解决简单的实际问题,体会研究几何图形的意义.
1.理解本章学过的关于描述图形形状和位置关系的语句,会用语句描述简单的图形,会根据描述的语句画出图形,能结合一些具体内容进行说理,初步养成言之有据的习惯.
2.注意观察实物、模型和图形,通过观察、归纳、对比来寻找图形的位置关系和数量关系,从而发现图形的性质.
1.在观察、操作、想象、说理、交流的过程中,发展空间观念,初步形成积极参与数学活动、与他人合作交流的意识,激发学生对空间与图形的兴趣.
2.感受数学来源于生活又服务于生活,激发学习数学的乐趣.
3.通过一题多变,一题多解,多解归一的练习,让学生学会挖掘题目资源,用发展的眼光看问题,观察运动中的异同,揭示知识间的内在联系.
根据《标准》的要求,图形与几何部分的整体教学目标确定为:在探索、发现、确认、理论验证图形实质的过程中,借助几何直观,把复杂的数学问题变得简明、形象,发展空间观念和推理能力.
基于《标准》的要求和学生的实际,本章设计的总体思路是:在生动的问题情境和丰富的数学活动中,探索相交线、平行线的有关事实;以直观认识为基础进行简单的说理,将几何直观与简单推理相结合,发展空间观念的推理能力;借助平行的有关结论解决一些简单的实际问题.
为此,教科书共安排了4节内容.
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第1节“两条直线的位置关系”,首先从反映生活中存在的两条直线位置关系的图片的观察入手,提出两条直线的两种位置关系(相交与平行),接着介绍对顶角的概念及其性质,然后学习补角、余角,使学生在直观情境中,认识相交线所成的角的概念及其性质,然后学习补角、余角,使学生在直观情境中,认识相交线所成的角及其基本结论.
第2节“探索直线平行的条件”、第3节“平行线的性质”,教科书通过设置观察、操作等探究活动,按照“先探索直线平行的条件,再探索平行线的性质”顺序呈现、展开平行线的有关内容.其中,在探索直线平行条件中自然引入“三线八角”,并试图在探索性质和解决问题过程中,加深对直线平行的理解,进一步发展学生的空间观念.
第4节“用尺规作角”,在七年级上册“用尺规作一条线段等于已知线段”的基础上,学习“用尺规作一个角等于已知角”,用规范的尺规作图语言加以叙述,给出了尺规作图的范例.
【重点】
1.掌握平行线的条件及平行线的特征,并会运用它们说理.
2.进一步熟悉和掌握几何语言,能用几何语言说明图形.
【难点】 能根据几何图形按照题目要求灵活的说理.
1.本章知识点在内容呈现上充分体现认知过程,给学生提供探索与交流的时间和空间.强调学生通过“做数学”来学习数学是本章教科书的一个突出特点.在内容处理上,加强了实验几何的成分,将实验几何与论证几何有机结合.对于几何中的结论,多是采用先让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做实验等活动,探索发现几何结论,然后再对结论进行说明、解释或论证,为由实验几何到论证几何的过渡做好铺垫,在教学时应充分注意这一点.
2.对于本章中的一些概念、性质、公理和定理,教科书大多是通过“留空”、设问、设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目,让学生通过探索活动来发现结论,经历知识的“再发现”过程,在探究活动的过程中发展创新思维能力,改变学生的学习方式.
3.注意加强直观性.密切联系实际,体验知识的形成和应用过程,以实际问题为出发点和归宿是这一章教学中特别关注的问题.几何图形是从实际中抽象出来的,所以几何图形的定义、性质都是比较抽象的,这一点对于学生来说有一定的困难.为了减少学生学习的困难,在学习这一章时,注意加强了直观教学,使教学内容尽量贴近学生的生活.
4.循序渐进地安排技能训练.这一章的教学,除了要学习一些数学知识以外,还担负着一些技能和能力的培养和训练的任务.这既有几何语言、图形方面的,也有说理、推理方面的.这些内容,都是进一步学习空间与图形知识的基础.教科书在这方面也是作了精心安排,在教学时应当注意按照由简单到复杂、由模仿到独立操作的顺序,逐步提高要求.
5.有意识地培养学生有条理地思考和表达.对于推理能力的培养,按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步加深地安排.本章对于推理的要求还处在入门阶段,只是结合知识的学习,识图、画图、几何语言的训练从“说理”过渡到“简单推理”.各个过程中,都没有采用“已知…,求证…,证明…”的形式,而是用说理的方式展示推理的过程,但强调让学生经历推理的过程,感受推理论证的作用,使说理、推理作为观察、实验、探究得出结论的自然延续.因此教学中要注意准确把握教学要求,对推理能力的培养要有一个循序渐进、逐步提高的过程,要鼓励学生用自己的语言说明理由,在书写格式上不作统一要求,可以用自然语言,可以结合图形进行说明,可以用箭头等形式表明自己的思路,也可以用数学符号语言表示说理、简单推理的过程,等等.总之,要注意逐步提高、不要急于要求学生用数学符号语言书写,不能操之过急.
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1 两条直线的位置关系
2课时
2 探索直线平行的条件
2课时
3 平行线的性质
2课时
4 用尺规作角
1课时
回顾与思考
1课时
1 两条直线的位置关系
1.通过观察、操作、推理、交流等过程,进一步培养空间观念、推理能力和表达能力.
2.在具体情境中,了解余角、补角、对顶角,掌握同角或等角的余(补)角相等,对顶角相等,并能解决一些实际问题.
1.引出对顶角的概念和“对顶角相等”的结论,并用结论来解决相关问题.
2.从丰富的生活情境中抽象出几何模型,引入余角、补角及它们的性质.
1.在探索和训练的过程中,培养学生细心严谨的学习态度,积极进取的探索精神,团结协作的良好品质.
2.由实际问题引入,增强学生学习数学的兴趣,体会数学来源于生活又服务于生活,通过对对顶角的辨别,培养学生的批判性思维.
【重点】
1.对顶角定义和对顶角相等.
2.余角、补角和它们的性质.
【难点】 同角或等角的余(补)角相等性质的应用.
第课时
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在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义,知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等,并能解决一些实际问题.
经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程,进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.
激发学生学习数学的兴趣,认识到现实生活中蕴含着大量和图形有关的问题,这些问题可以抽象成数学问题,用数学方法予以解决.
【重点】 了解对顶角、余角、补角的概念及应用有关性质解决实际问题.
【难点】 应用对顶角、余角、补角的性质解决实际问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P38~39.
导入一:
[过渡语] 在2013年3月17日,世界斯诺克球员巡回赛总决赛1/4决赛,中国选手丁俊晖以4比3绝杀马克·艾伦后晋级四强;他打出三杆过百,其中更有一杆147分,打出个人职业生涯中的第五杆满分.不仅为个人取得了荣誉,更为我们国家争取了荣誉.斯诺克台球运动是一项技术性很高的运动,其中包含了很多数学知识.你想知道吗?本节课我们就共同学习相关的知识.
[设计意图] 利用相关的台球体育赛事新闻创设情境,吸引了学生的注意力,引发好奇心,感受数学知识在生活中的应用,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,为新课的学习做好情感及心理的铺垫.并适时对学生进行集体主义教育,从小树立集体荣誉感.
导入二:
我们在生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁……在这些大自然的杰作和人类的创造物中,蕴含着大量的直线、射线、线段.下面我们就来欣赏一组生活中的图片.
[处理方式] 同学们观察图片,并与同伴交流观察几幅图片后的发现,得出图中的线有些是平行的,有些是相交的.由其中一个小组作展示,其余同学作补充.教师引入课题:本节课我们就共同学习与两条直线的位置关系相关的知识.
[设计意图] 通过学生熟悉的实物图片让学生发现数学知识,明白本节课要学习的主要内容.
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[过渡语] 我们的周围有好多线条,它们有的平行,有的相交,有的垂直,我们这节课将一起研究同一平面内的两条直线的位置关系.
探究活动1 两条直线的位置关系
思路一
同学们认真观察这些来自生活的图片,你有什么发现?(学生观察,与同伴交流)
[处理方式] 在教师的引导下先由学生理解“同一平面内”的含义,再让学生找出图中同一平面内的两条直线的位置关系.由学生进行补充说明.
【知识归纳】 在同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行两种.若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.(教师强调关键词:同一平面、只有一个公共点、不相交)
[设计意图] 从学生身边熟悉的图形出发,让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学,体会数学与生活的联系,引起学生学习的兴趣.通过师生互动,生生互动,增加学生之间的凝聚力.在相互探讨中激发学生学习的积极性,亲身经历提炼有关数学信息的过程,总结出同一平面内两条直线的基本位置关系,提高课堂效率.为新课的学习做好铺垫.
思路二
[过渡语] 我们在七年级上册学习了直线和直线的表示方法,请同学们在纸上画两条直线,并用字母表示.(教师展示部分学生所画的图)
师:以上这些同学所画直线的位置关系可以分为几类?
生:可以分为两类.分别为相交和平行.
师:但是我们所展示的图形中有三种情况,如何解释呢?
生:因为直线是无限延伸的,图(1)中把直线a和b画长点就变成了两条相交的直线.
师:这位同学解释得非常好!这就是我们这节课要研究的两条直线的位置关系.
师:通过大家的画图我们知道了两条直线的位置关系有相交和平行两种.但是在说两条直线的位置关系时,我们应强调什么问题呢?
生:必须在同一平面内.
师:很好!也就是说平面内两条直线的位置关系有两种:平行和相交.那么什么是相交线和平行线呢?
生:若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.
生:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.
师:下面请同学们欣赏几幅生活中的图片,并指出图片中的相交线和平行线.(课件展示图片,找学生指出图片中的相交线和平行线)
师:你还能举出生活中有关相交线和平行线的例子吗?(学生举出例子有窗户、黑板、学校的推拉门、教室的墙等等)
[设计意图] 让学生观察图片,不但可以体会到几何来源于生活,激发学生学习的兴趣,还可以更进一步地理解平行线、相交线的概念.
探究活动2 对顶角的定义与性质
[过渡语] 两条直线相交,会形成怎样的角呢?
【活动内容】 观察下面两个图形,思考以下几个问题.
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问题1
观察上面图中的∠1与∠2、∠3与∠4的位置有什么关系,大小有何关系,为什么?
问题2
剪子在剪东西的过程中,∠1和∠2还保持相等吗?∠3和∠4呢?你有何结论?
[处理方式] 学生观察总结之后,教师予以补充确定.得到对顶角的概念和性质.
【归纳总结】 如图①所示,直线AB和CD相交于点O,∠1和∠2有公共点O,它们的两边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角叫对顶角.对顶角有如下性质:对顶角相等.
【即时练习】(多媒体显示)
1.下列各图中,∠1和∠2是对顶角的是 ( )
〔答案〕 D
2.如图所示,有一个破损的扇形零件,利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的iiiiiiiiiiiiiii度数.你能说出所量角是多少度吗?为什么?
〔答案〕 40°,理由:对顶角相等.
[设计意图] 通过创设生动有趣的活动情境,为学生提供了观察、操作、推理、交流等丰富的活动素材,使学生在自主学习的过程中,学会对顶角的概念及其性质.同时通过有效的数学探究活动,使学生经历数学的发生、发展过程,概括归纳得到猜想和规律,并加以验证,也积累了数学活动的经验.利用学习过的有关事实解决实际问题,体会数学在生活中的应用,进一步巩固了对顶角的概念及其性质,激发学生的学习兴趣.
探究活动3 补角、余角的定义及性质
[过渡语] 通过对顶角的概念,我们知道两条直线相交所成的四个角中,不相邻的两个角是对顶角,那么相邻的两个角叫什么角呢?
1.补角和余角的定义.
【问题】
1.在右图中,∠1与∠3有什么数量关系?
2.请同学们按下面的要求画图.
(1)画出两个角,使它们的和为90°.
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(2)画出两个角,使它们的和为180°.
[处理方式] 针对问题2,学生思考后画图,教师巡视,选择学生展示所画图形,并作出补充.
展示(1):和为90°的两个角.
展示(2):和为180°的两个角.
【归纳总结】
补角定义:如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角.
(补充)两条直线相交所成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角.
余角定义:如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角.
[处理方式] 学生动手画图,并相互交流结果.展示学生问题2的答案,教师并作补充,选择有代表性的图形,使所画两角在位置关系上都不同,但是它们在数量上两角的和都是90°(①②③)或180°(④⑤).特别是图③,利用了对顶角画出两个45°角,使它们的和等于90°,让学生理解互余与互补是指两个角之间的数量关系,与它们的位置无关.
[设计意图] 通过动手画图,可以加深学生对概念的理解,在相互交流中,初步形成评价与反思的意识,在相互补充、相互学习中,体验“互补、互余”仅仅表明了两个角的度量关系,并没有限制角的位置关系,在合作交流中,获得成功的乐趣,锻炼克服困难的意志,建立自信心,可以更好地掌握新知识.在集体展示时给部分同学展示的机会,可以极大地调动这部分学生的学习热情.
【即时练习】(多媒体显示)
下列说法中,正确的有 .(填序号)
①已知∠A=40°,则∠A的余角=50°;②若∠1+∠2=90°,则∠1和∠2互为余角;③若∠1+∠2+∠3=180°,则∠1,∠2和∠3互为补角;④若∠A=40°26',则∠A的补角=139°34';⑤一个角的补角必为钝角;⑥一个锐角的补角比这个角的余角大90°.
[设计意图] 这是针对学生的易错点而改编的一组判断题,这种形式能引导学生逐步加深对余角、补角的概念及其性质的理解和掌握.
2.补角和余角的性质.
[过渡语] 台球中也蕴含着我们学习的大量知识,看下面的问题.
如图(1)所示,打台球时,选择适当的方向,用白球击打红球,反弹后的红球会直接入袋,此时∠1=∠2,将图(1)抽象成图(2),ON与DC交于点O,∠DON=∠CON=90°,且∠1=∠2.在图(2)中:
(1)有哪些角互为补角?有哪些角互为余角?
(2)∠3与∠4有什么关系?为什么?
(3)∠AOC与∠BOD有什么关系?为什么?
【归纳总结】 同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.
[处理方式] 学生应有足够的时间和空间经历观察、猜测、推理、验证等活动过程.本环节的三个问题是环环紧扣、层层递进提出来的,前一个问题为下一个问题做好铺垫.在学习的过程中,时刻不能忘记学生是主体,一切教学活动都应当从学生已有的认知角度出发,问题环节设计跨越性不能太强,让学生在不断的探索过程中得到不同程度的感悟,自己能够主动地去探究问题的实质,体验成功的喜悦;教师要充分发散学生的思维,鼓励学生各抒己见,敢于质疑;上课要渗透合情说理的方法,进一步培养学生的推理能力.
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[设计意图] 先给出台球桌面的实景图,再给出由实景图抽象出的几何图形,引导学生了解抽象的必要性和抽象的过程,并通过问题串,引导学生探索出“同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等”的结论.
【即时训练】(多媒体显示)
1.因为∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,所以∠1= ,理由是 .
〔答案〕 ∠3 同角的余角相等
2.因为∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°,所以∠1= ,理由是 .
〔答案〕 ∠3 同角的补角相等
3.(1)画一个直角三角形ABC,使∠C=90°,如图(1)所示,则∠A是∠B的 .
(2)在(1)的基础上,作∠CDA=90°,如图(2)所示,则∠A的余角有哪几个?为什么?请找出互补的角,并说明理由.
解:(1)余角
(2)因为∠A+∠ACD=90°,∠A+∠B=90°,所以∠A的余角为∠ACD,∠B.因为∠ADC+∠BDC=180°,所以∠ADC和∠BDC互为补角.
[设计意图] 通过练习,即时巩固所学知识,提高学生用数学解决实际问题的能力.
[知识拓展]
1.在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种,相交时两条直线只有一个公共点,平行指的是两条直线平行,而不是线段或射线.
2.对顶角必须具备的两个要素:①有公共顶点;②两边互为反向延长线.
3.互为余角、互为补角是指两个角之间的关系,是成对出现的.两角互为补角并不一定一个是钝角一个是锐角,也有可能是两个直角.
(1)相交线的定义.
(2)平行线的定义.
(3)对顶角的定义及性质.
(4)互为余角、互为补角的定义及性质.
1.如图所示,直线AB与CD交于点O,∠EOD=90°,回答下列问题:
(1)∠AOE的余角是 ,补角是 .
(2)∠AOC的余角是 ,补角是 ,对顶角是 .
答案:(1)∠BOD和∠AOC ∠BOE (2)∠AOE ∠AOD和∠BOC ∠BOD
2.如图所示,点O在直线AB上,∠DOC和∠BOE都等于90°.请找出图中互余的角、互补的角、相等的角.
解:互余的角:∠AOD和∠EOD,∠EOD和∠EOC,∠EOC和∠COB,∠AOD和∠BOC;
互补的角:∠AOD和∠BOD,∠AOE和∠BOE,∠AOC和∠BOC,∠AOC和∠DOE,∠EOC和∠BOD;
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相等的角:∠AOD=∠EOC,∠EOD=∠BOC.
3.如图所示,小颖想测量一堵拐角高墙在地面上所成的角∠AOB的度数,人不能进入围墙内,你能帮小颖想出简单的测量方法吗?请简述你的方法,并说明理由.
解:延长BO到C,测量出∠AOC的度数,在用180度减去∠AOC的度数,即可得出∠AOB的度数.理由:∠AOC和∠AOB互为补角.(答案不唯一)
4.如图所示,点O在直线AB上,OC平分∠BOD,OE平分∠AOD,请找出∠COD的余角和补角,并说明理由.
解:因为OC平分∠BOD,OE平分∠AOD,
所以∠BOC=∠COD,∠DOE=∠AOE,
所以∠EOC=∠EOD+∠DOC=90°.
所以∠COD的余角是∠DOE,∠AOE,∠COD的补角是∠AOC.
第1课时
探究活动1 两条直线的位置关系
探究活动2 对顶角的定义与性质
探究活动3 补角、余角的定义及性质
一、教材作业
【必做题】
教材第40页习题2.1知识技能第1题.
【选做题】
教材第40页习题2.1问题解决第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如果∠α+∠β=90°,而∠β与∠γ互余,那么∠α与∠γ的关系为 ( )
A.互余 B.互补
C.相等 D.不能确定
2.如图所示,∠1与∠2是对顶角的是 ( )
3.如图所示,直线AB,CD交于点O,射线OM平分∠AOC,若∠BOD=76°,则∠BOM等于 ( )
A.38° B.104° C.142° D.144°
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【能力提升】
4.如图所示,直线AB,CD相交于点O,且∠1=∠2.
(1)指出∠1的对顶角;
(2)若∠2和∠3的度数比是2∶5,求∠4和∠AOC的度数.
5.已知一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍,求这个角的余角.
【拓展探究】
6.如图所示,点O为直线AB上一点,OC为一射线,OE平分∠AOC,OF平分∠BOC.
(1)若∠BOC=50°,试探究∠FOE的度数;
(2)若∠BOC为任意角α(0°
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