第四章 三角形
1.理解三角形及有关概念,会画任意三角形的高、中线、角平分线.
2.了解三角形的稳定性,理解三角形两边的和大于第三边,会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形.
3.会证明三角形内角和等于180°,了解三角形外角的性质.
4.了解图形的全等,理解全等三角形的概念和性质,经历探索三角形全等条件的过程,掌握两个三角形全等的条件,能应用三角形的全等解决一些实际问题.
5.在分别给出两角一夹边、两边一夹角和三边的条件下,能够利用尺规作出三角形.
1.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.
2.在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步发展初步的演绎推理能力和有条理表达的能力.
1.体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.
2.感受数学来源于生活又服务于生活,激发学习数学的兴趣.
3.使学生进一步形成数学来源于实践,反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点.
三角形是最简单、最基本的几何图形,在生产实践、科学研究和社会生活中随处可见.它不仅是研究其他图形的基础,在解决实际问题中也有着广泛的应用.因此,探索和掌握它的基本性质对于更好地认识现实世界、发展空间观念和推理能力都是非常重要的.
学生在前面学习“相交线和平行线”的过程中,积累了一些初步的数学活动经验,空间观念、几何直观与推理能力得到了初步的培养,这都为三角形的学习提供了有力的条件.本章的设计在总体上来看需要学生掌握以下内容:在生动的问题情境、丰富的数学活动中,理解三角形的有关概念;在动手动脑的数学活动中,探索三角形全等的条件,感悟数学的分类思想;以直观认识为基础进行简单的说理,将几何直观与简单说理相结合,逐步而又恰当地提高学生数学推理能力,借助三角形和全等三角形的有关结论解决一些简单的实际问题.为此,教材本章安排了5节内容:
第1节“认识三角形”,介绍三角形的有关概念、符号表示、三角形的重要线段,以及三角形三边之间的关系、内角和等基本性质.
第2节“图形的全等”、第3节“探索三角形全等的条件”,在认识全等图形的基础上,理解全等三角形的概念和性质,接着通过所设计的一系列的实践活动,探索三角形全等的条件.
第4节“用尺规作三角形”、第5节“利用三角形全等测距离”,教材以用尺规作三角形和利用三角形全等测距离,体现全等三角形的应用.
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教材中关于推理过程的描述,采用符合自然语言习惯的文字加符号的方式,一方面是降低学习难度,另一方面也为八上学习证明(演绎推理的形式化表述)做铺垫.
通过本章的学习,学生推理意识的树立以及推理经验的积累,为今后学习证明打下基础,在今后的学习中,学生将在直观认识和简单说明理由的基础上,学习从几个基本事实出发,进行比较严格的证明.
【重点】 掌握三角形最基本的性质,探索并掌握两个三角形全等的条件,会利用三角形全等测距离.
【难点】 探索三角形全等的条件和运用三角形全等解决问题以及它的说理过程.
1.本章对三角形认识的教学目标与第一学段获得对简单平面图形的直观经验有所不同,应使学生通过观察、操作、推理等手段认识三角形.在如落实“三角形任意两边的和大于第三边”“三角形内角和是180°”等具体目标时,不仅要求学生积极参与各种形式的实践活动,而且要积极引导学生对活动过程和结果进行判断分析、推理思考和抽象概括,让学生在学习知识的过程中提高能力.
2.重视实践活动,让学生在探索中获取知识.教学时,应给予学生充分的时间和空间,通过观察、操作、有条理的思考、推理和交流,经历从现实空间抽象出几何图形、探索图形性质及其变化规律的过程,获得对图形的认识,发展空间观念.
3.促进教学中的数学交流.教师要重视为学生创设交流的情境,提供“数学对话”的机会,鼓励学生用耳、用口、用眼、用手去表达自己的思想和接受他人的思想.这样的过程有助于培养学生的参与意识,学会用不同的方式探索、思考解释问题,不断提高自己的思维水平.
4.注重教具、学具和现代教学手段的运用,加强教学的直观性.几何图形的直观性为各种教学手段的运用提供了广阔的空间,利用各种教具、学具和现代教学技术,可以使学生认识和探索图形的过程更具有趣味性和挑战性,也是进一步发展学生空间观念和实践能力的有效途径.但在运用各种教学手段时,要注意切合实际,易操作而有实效.一些农村学校由于经济困难,不能配备丰富多彩的教学用具,教师必须因地制宜充分挖掘当地资源,积极发动学生制作.学生在制作过程中不但可以激发学习的兴趣而且可以加深对图形的认识.
5.对全等三角形概念分析的建议.通过图片的展示,使学生认识到全等形在生活中是广泛存在的,并鼓励学生自己归纳它们的共同特征,引出全等形和全等三角形的概念.教学时应鼓励学生通过观察,用自己的语言概括出全等三角形对应元素的确定方法,教师同时运用多媒体技术演示对应元素的确定方法,引导学生总结在这个过程中需注意的问题和其中的规律.
6.对全等三角形性质的教学建议.通过学生对全等三角形的观察,合作交流,从而得出找全等三角形的对应边、对应角的性质,性质的熟练应用应该在能准确地判断全等三角形的对应元素的基础上.在教学过程中,适当引导学生总结通过全等三角形的性质证明线段相等和角相等的常用方法.
7.探索三角形全等的条件是本章的重点内容,教学时应先用设问形式创设问题情境,设计一系列实践活动,遵循启发式教学原则,引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维,真正把学生放到主体位置,发展学生的空间观念,体会分析问题、解决问题的方法,积累数学活动经验,为以后的证明打下基础.
1 认识三角形
4课时
2 图形的全等
1课时
3 探索三角形全等的条件
3课时
4 用尺规作三角形
1课时
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5 利用三角形全等测距离
1课时
回顾与思考
1课时
1 认识三角形
1.掌握三角形的概念,能用适当的符号表示三角形以及这些基本元素.
2.认识等腰三角形,会按边对三角形分类,掌握三角形三边的关系.
3.正确理解三角形的角平分线、中线、高线的概念.
4.画出任意三角形的高.
通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力.
在学生观察、操作、思考和交流的过程中,丰富学生的知识,激发学生进一步探索知识的激情,同时发展他们的空间观念.
【重点】
1.三角形三边关系的探究和归纳.
2.了解三角形的中线,角平分线的定义并掌握其性质,会作三角形的中线和角平分线.
3.三角形高线的概念,会画任意三角形的高.
【难点】
1.三角形的中线,角平分线的定义及其性质的应用.
2.画钝角三角形、夹钝角的两边上的高和掌握三角形高的应用.
第课时
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1.掌握三角形的概念,能用适当的符号表示三角形以及这些基本元素.
2.经历实验活动的过程,得出“三角形内角和等于180°”,能应用三角形内角和来解决一些简单的求三角形内角和问题.
3.会按角的大小关系对三角形分类;能从所给出的已知角中,判断出三角形的形状.
通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念,推理和有条理地表达能力.
让学生在数学活动中通过相互间的合作与交流,获得必需的数学知识,激发学习兴趣,培养学生的相互协作意识及数学表达能力.
【重点】 探究发现和验证“三角形的内角和是180°”这一规律的过程,并归纳总结出规律.
【难点】 发展推理能力和有条理地表达能力.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P81~83.
导入一:
[过渡语] 同学们喜欢看美丽的图画吗?下面请同学们欣赏几幅优美的画面,找一找这几幅图中有什么共同点.
多媒体展示:
[处理方式] 三角形是最简单的多边形,是一种在我们生活中应用很广泛的图形,在生产实践、科学研究和社会生活中随处可见,那么今天我们就来认识它.
[设计意图] 通过欣赏三角形有关的图片,创设一种宽松、和谐的学习氛围,让学生以轻松、愉快的心态进入探究新知的过程.使学生能从生活中抽象出几何图形,感受到我们生活在几何图形的世界之中.培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质,学生能很好地找出生活中的三角形的实例,如植物的三角形刺,
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还有图片中的房屋结构、热带鱼的形状、战机的外形等,这些充分体现了学生走进生活、感受数学的高涨热情,在课堂上用源于学生身边的事物抽象出的三角形视频和图片展开教学,从而更大地激发学生学习数学的兴趣.
导入二:
【活动内容】 (多媒体出示)
猜谜语:“形状似如山,稳定性能坚.三竿首位连,学问不简单.”(打一图形名称)欣赏图片认识生活中的三角形.
[处理方式] 教师播放幻灯片,学生猜出谜底后欣赏图片,认识生活中的三角形,从而引出新课.引导性语言:三角形是最简单的多边形,在生产实践、科学研究和社会生活中随处可见.它不仅是研究其他多边形的基础,在解决实际问题中也有广泛的应用.因此,探索和掌握它的基本性质对于更好地认识现实世界、发展空间观念和推理能力都是非常重要的.
[设计意图] 利用学生感兴趣的猜谜语和熟悉的生活图片入手,贴近学生的生活,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,这也为新课的学习做好铺垫.
[过渡语] 三角形是一种最常见的几何图形之一.同学们,还记得三角形有哪些要素吗?下面让我们一起探个究竟.
探究活动1 认识三角形及其基本要素
思路一
观察下面屋顶的结构:
出示问题:
(1)你能从左图中找出4个不同的三角形吗?与你的同伴交流各自找到的三角形.
(2)这些三角形有什么共同的特点?
[处理方式] 学生自主学习及回答问题,引导学生归纳三角形的概念、基本要素(边、角、顶点).不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形可以用符号“△”表示,顶点是A,B,C的三角形,记作△ABC.有时△ABC的三边也用a,b,c表示.顶点A所对的边BC用a表示,边AC,边AB分别用b,c表示.
通过自学知道三角形ABC有三个角,分别为∠A,∠B,∠C.三条边分别为AB,BC,AC.三个顶点分别是A,B,C.
[设计意图] 通过学生的自主学习及回答问题,引导学生归纳三角形的概念、基本要素(边、角、顶点)等基础知识,体会用符号表示三角形的必要性,培养了学生自学、观察、分析能力及归纳总结的能力.
【即时训练】
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根据右图填空:
(1)图中共有 个三角形,它们是 ;
(2)以AD为边的三角形有 ;
(3)在△ABD,△ABE,△ABC中∠B的对边分别是 .
[设计意图] 通过知识反馈进一步认识了三角形及其基本要素,巩固了三角形的表示法.
思路二
[过渡语] 请同学们打开课本81页,独立思考,完成以下问题,并与同伴交流.
(1)三角形的概念:
由不在 的三条线段 相接所组成的图形叫做 .
(2)理解三角形的构成要素及符号表示:
三角形有 条边, 个内角和 个顶点.“三角形”可以用符号 表示,如图中顶点是A,B,C的三角形,记作 .△ABC的三边为 ,有时也用 来表示.
[处理方式] 学生自主学习,在导学案上完成后再展示说明,学生之间互相补充.教师适时点评,强调三角形的概念要任意三条线段:
(1)不在同一直线上;
(2)首尾顺次相接.
[设计意图] 本活动的设计意在引导学生通过自主学习、
合作交流,对三角形的概念从感性认识上升到理性认识.
【即时训练】
图中有 个三角形,它们分别是 .
探究活动2 三角形的内角和
思路一
[过渡语] 请你来当法官:仔细阅读三角形红和三角形蓝的对话,看看谁说的有道理.
三角形蓝和三角形红见面了.
蓝炫耀地说:“我的面积比你大,所以我的内角和也比你大!”
红不服气地说:“那可不好说噢,你自己量量看!”
同学们,它们谁说的有道理?
在小学的时候我们用量角器量三角形的各角度数和用把三角形的三个角撕下来拼在一起的方法验证了“三角形三个内角的和是180°”的结论.现在,我们只撕下三角形的一个角,同样可以得到一样的结论,看看小明的做法,你能说出其中的道理吗?
(1)剪一个三角形纸片,如图(1),它的三个内角分别为∠1,∠2,∠3.
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(2)将∠1撕下,按图(2)所示进行摆放,其中∠1的顶点与∠2的顶点重合,它的一条边与∠2的一条边重合,此时∠1的另一条边b与∠3的边a平行吗?为什么?
(3)如图(3)所示,将∠3与∠2的公共边延长,它与b所夹的角为∠4,∠3与∠4有什么大小关系?为什么?现在你能够确定三角形的内角和了吗?
[处理方式] 在图(2)中,根据内错角相等两直线平行可知∠1的另一条边b与∠3的边a平行,根据两直线平行,同旁内角互补可知∠2+∠1+∠3=180°,所以可以得到三角形的内角和等于180°.
在图(3)中,根据内错角相等两直线平行可知∠1的另一条边b与∠3的边a平行,根据两直线平行同位角相等可知∠3=∠4,因为∠2,∠1,∠4组成一个平角,所以∠2+∠1+∠4=180°,由于三角形的三个角分别与∠2,∠1,∠4相等,所以可以得到三角形的内角和等于180°.结论:三角形三个内角的和等于180°.
教师引导过A点作EF∥BC,根据两直线平行内错角相等知∠1=∠B,∠2=∠C.又因为∠1+∠2+∠3=180°,所以∠BAC+∠B+∠C=180°.
[设计意图] 通过小组讨论、直观教具演示等手段,激发了学生学习的兴趣,另一方面使学生通过多角度思考、分析、说理、操作加深学生对三角形内角和为180°的理解,从而突出和解决了本节课的重点,同时在教学中注重在直观操作的基础上进行简单的推理,使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程,为今后的几何证明打下基础.
思路二
以4人合作小组为单位,充分利用课前准备的任意三角形纸片,探索验证三角形内角和为180°的方法.然后各小组选派代表展示设计的方案并陈述理由.
[处理方式]
1.可让学生合作探究,教师到各小组巡回指导,参与他们的讨论.
2.鼓励学生提出疑问,但是并不急于评判他们的答案,而是有针对性的启发和指导,引导学生在操作中自觉思考.
3.让学生们主动思考能否利用平行线的有关事实说明理由.
4.让学生展示不同的验证方法.
[设计意图] 充分利用学生已有的知识和经验,并通过多角度思考、分析、说理、操作加深学生对三角形内角和为180°的理解,从而突出和解决了本节课的重点,同时在教学中注重在直观操作的基础上进行简单的推理,使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程,为今后的几何证明打下基础.
探究活动3 三角形分类
[过渡语] 下面我们共同做一个猜角的游戏,观察图(1)中的女孩所拿的三角形被遮住的两个内角是什么角?男孩呢?试着说说理由.
(学生带着浓厚的兴趣来完成游戏,完成后让学生先在小组内讨论交流)
图(2)中的男孩所拿的三角形被遮住的两个内角是什么角?将所得的结果与图(1)的结果进行比较.
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[处理方式] 根据上面的问题我们把三角形按角的大小分为三类:(1)锐角三角形;(2)直角三角形;(3)钝角三角形.自学并讨论怎样判断一个三角形是锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形,直角三角形有什么特殊的表示法?它的两个锐角之间有什么关系?它的三条边的名称是什么?
经过自学和讨论知道了三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形,有一个内角是直角的三角形是直角三角形,有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形.
如图所示.
通常我们用符号“Rt△ABC”表示直角三角形ABC.把直角所对的边称为直角三角形的斜边,夹直角的两条边称为直角边.根据三角形的内角和等于180°,可知∠A+∠B+∠C=180°,又因为∠C=90°,所以∠A+∠B=90°,由此可知直角三角形的两个锐角互余.
[设计意图] 通过在游戏中对问题的解决,使学生有成就感,树立了学好数学的信心.特殊三角形的特殊性质与其形状有关——直角三角形两个锐角互余.通过对三角形分类的学习,使学生了解数学分类的基本思想.当只露出一个内角为锐角时,引导学生发现三种情况都是可以的,即两个锐角,一个锐角一个直角,一个钝角一个锐角,从而使学生初步体会反证法的思想,为后面进一步研究反证法奠定基础.
[知识拓展] 在一个三角形中,如果有一个角是钝角(或直角),这个三角形就是钝角(或直角)三角形,但是在知道一个三角形的一个角是锐角时,却不能断定它是锐角三角形,因为任何三角形,包括钝角三角形和直角三角形都有锐角.直角三角形两个锐角互余.
1.三角形:不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.三角形三个内角的和等于180°.
3.三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形,有一个内角是直角的三角形是直角三角形,有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形.
4.直角三角形的两个锐角互余.
1.如图所示,三角形的个数是 ( )
A.3 B.4
C.2 D.6
解析:共有6个,分别为△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC.故选D.
2.如图所示,以∠C为内角的三角形有 和 ,在这两个三角形中,∠C的对边分别为 和 .
答案:△ACD △ACB AD AB
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3.直角三角形的一个锐角为70°,另一个锐角为 .
解析:根据直角三角形两锐角互余得到另一锐角为20°.故填20°.
4.在△ABC中,∠A=80°,∠B=20°,则△ABC是 三角形.
答案:锐角等腰
第1课时
探究活动1 认识三角形及其基本要素
探究活动2 三角形的内角和
探究活动3 三角形分类
一、教材作业
【必做题】
教材第84页习题4.1知识技能第1,2,3题.
【选做题】
教材第84页习题4.1问题解决第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.三角形三个内角中,锐角最多可以是 ( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
2.如图所示,△ABC中,∠A=60°,∠C=80°,∠B= .
3.如图所示,AD⊥BC,∠1=40°,∠2=30°,则∠B= ,∠C= .
4.在空白处填入“锐角”“直角”或“钝角”.
(1)如果三角形的三个内角都相等,那么这个三角形是 三角形;
(2)如果三角形的两个内角都小于40°,那么这个三角形是 三角形.
【能力提升】
5.(2015·菏泽中考)将一副直角三角尺按如图所示方式放置,若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为 ( )
A.140° B.160°
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C.170° D.150°
6.如图所示,已知△ABC中,∠1=27°,∠2=85°,∠3=38°,求∠4的度数.
【拓展探究】
7.一个零件的形状如图所示,按规定∠A等于90°,∠B和∠C分别等于32°和21°.检验工人只量得∠BDC=148°,就断定这个零件不合格,请你说明零件不合格的理由.
【答案与解析】
1.D(解析:根据三角形内角和为180度可知在直角三角形和钝角三角形中都只有2个锐角,而锐角三角形的三个内角都是锐角.故选D.)
2.40°(解析:根据三角形内角和为180度可知∠B=180°- 60°- 80°=40°.)
3.50° 60°(解析:因为AD⊥BC,所以△ABD和△ACD分别为直角三角形,所以∠B=90°- 40°=50°,∠C=90°- 30°=60°.)
4.(1)锐角 (2)钝角
5.B(解析:因为将一副直角三角尺按如图所示方式放置,∠AOD=20°,所以∠COA=90°- 20°=70°,所以∠BOC=90°+70°=160°.故选B.)
6.解:由三角形内角和公式可求出∠ACB=180°- ∠1- ∠3=115°,由∠BCD为∠ACB的补角,得∠BCD=180°- ∠ACB=65°,∠CFD与∠2是对顶角,所以∠CFD=∠2=85°,再根据三角形内角和公式得∠4=180°- ∠BCD- ∠CFD=30°.
7.解:延长CD交AB于E,则∠DEB=180°- ∠DEA=∠A+∠C=111°,∠BDC=180°- ∠BDE=∠DEB+∠B=143°,即合格零件的∠BDC应为143°,而此零件这个角为148°,因此可以判定这个零件不合格.
1.注意把握说理要求的度,只要求口头说明,不要求书面证明,鼓励他们用自己的语言进行讲述.
2.在教学过程中学生在教师创设的情境下,自己动手操作、动脑思考、动口表达、探索未知领域、寻找客观真理、成为发现者,学生自始至终地参与这一探索过程,发展了学生的创新精神和实践能力.通过有条理地表达三角形内角和为180°的推理过程,为今后的几何证明打下基础.
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处理探究“三角形三个内角的和等于180°”时操作说理有点仓促,不应怕学生说错,要注意课堂的生成.自主学习时间过短,应注意自主的实效性.
应注重学生几何语言的培养,对课堂生成的问题,应予以重视,可以激励学生课后继续探究,将课内学习延伸到课外,不断开阔学生的视野.
随堂练习(教材第83页)
1.解:如图所示.
2.解:(1)直角三角形. (2)锐角三角形也是等腰三角形. (3)钝角三角形.
习题4.1(教材第84页)
知识技能
1.提示:∠A=90°,∠B=60°,∠C=30°.
2.(1)锐角 (2)直角 (3)钝角
3.提示:60°.
4.解:(1)有3个直角三角形.分别是Rt△ABC,Rt△ACD,Rt△BCD.Rt△ABC的直角边为AC,BC,斜边为AB;Rt△ACD的直角边为AD,CD,斜边为AC;Rt△BCD的直角边为CD,BD,斜边为BC. (2)∠1和∠A互余;∠2和∠A相等.
问题解决
5.提示:∠ACB=40°.当轮船距离灯塔C最近时,∠ACB=60°.
在小学数学学习的基础上,本课从探索三角形的概念入手,具体介绍三角形的有关概念,通过熟悉的情境,找出熟悉的图形并进行交流,感悟需要用符号来表示三角形,体会用符号来表示三角形的必要性.通过学习小组的交流活动,引导学生探究出按角将三角形分类,渗透分类的思想.通过让学生拼图、说理等活动让学生探究出三角形的内角和为180°,进一步通过简单的推理得出“直角三角形的两个锐角互余”,使学生感觉知识的形成很自然,激发学生学好数学的勇气;学生在教师的引导下,先自主学习,再合作交流,在感悟中逐步提高对三角形的认识.
第课时
1.让学生认识等腰三角形,会按边对三角形分类;掌握三角形三边的关系.
2.能运用三边关系解决生活中的实际问题.结合具体实例,进一步掌握三角形三条边的关系.
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通过观察、操作、推理、交流等活动,发展学生的空间观念,推理能力和有条理的表达能力.
学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.
【重点】 三角形三边关系的探究和归纳.
【难点】 应用三角形的三边关系解决简单的实际问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P85~86.
导入一:
[过渡语] 上节课我们对三角形有了初步认识,按三角形内角的大小把三角形进行分类,仔细想一想,完成下面的问题.
1.下图中有几个三角形?将找到的三角形表示出来.
2.观察下面的三角形,并把它们的标号填入相应的椭圆框内.
[处理方式] 第一题让三名学生到黑板板演,其他学生在练习本上完成.教师巡视,适时点拨,防止遗漏或重复.学生完成后及时点评,借助多媒体展示学生出现的问题并进行矫正.
三角形除了按角进行分类之外,还可以怎么分?试一试.
[设计意图] 学生能够根据上节课的内容,将所给的三角形按角进行分类,及时检查学生对上节课内容的掌握情况,又通过复习引起学生回忆,为本节学习提供铺垫和思想基础.
导入二:
[过渡语] 上节课,我们学习了三角形的定义,哪位同学来说一下三角形的定义是什么?
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[处理方式] 学生思考,并说出三角形的定义.师出示三道题目.
1.在右图中你能用符号表示三角形吗?
2.右图中的三角形的三个顶点分别是 ,三条边分别是 ,三个内角分别是 .
3.观察下面的三角形,这些三角形能不能按边长分类呢?
[设计意图] 本活动在于渗透分类的数学思想,使学生在操作的过程中感悟分类的方法,做到不重复、不遗漏.
[过渡语] 三角形除了可以按角分类之外,按边长分有什么分法吗?如何分?想一想、试一试.
探究活动1 认识等腰三角形和等边三角形
思路一
如图所示.把一张长方形纸片按图中的虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得△ABC.
探索:
问题1
AC和AB有什么关系?这个三角形有什么特点?(学生讨论)
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.
当三角形的三条边都相等时,它是什么三角形?
(等边三角形)
问题2
从定义上你能看出等腰三角形与等边三角形的关系吗?如果把三角形按边分类应该怎样来划分?
三角形按边分类:
三角形
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[处理方式] 问题1学生先动手实验,然后对所得到的图形进行讨论,教师则通过课件展示出等腰三角形和等边三角形定义及有关概念,学生记忆.同时引出本节课课题“认识三角形2”.问题2先让小组讨论,教师补充,最后由教师课件展出三角形按边分类.
[设计意图] 通过对等腰三角形的认识,引出等腰三角形的定义以及三角形按边分类,进一步体现数学分类的思想.
思路二
[过渡语] 观察图中的五个三角形并测量,你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗?
[处理方式] 教师安排分组测量,并将学生给出的测量结果出示在课件上.(1)(4)(5)的三边都不相等.(2)有两边相等的是等腰三角形.(3)三边都相等的是等边三角形.
板书等腰三角形、等边三角形的定义.等边三角形也叫正三角形.等腰三角形的边与角都有特定的名称,相等的两边叫腰,不等的边叫底.腰和底的夹角叫底角,两腰的夹角叫顶角.
三角形按边共分两大类.
等腰三角形与普通三角形;等腰三角形里分为底边和腰不相等的等腰三角形与等边三角形.
[处理方式] 课件展示.
三角形
[设计意图] 通过设置这些动手测量,共同探讨的活动,既满足了学生的探究欲望,也让学生在高昂的学习兴趣中学到了知识,体验到了成功.将三角形按边分类,在于渗透分类的数学思想,使学生在操作的过程中感悟分类的方法.
探究活动2 三角形三边之间的关系
思路一
【情境探究】
(1)元宵节的晚上,房梁上亮起了彩灯,装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢?说明你的理由.
[处理方式] 可让学生在小组中讨论交流,引导学生进行观察、测量,然后选代表进行回答.
(2)利用你得到的结论填空:
AB+AC BC.
AB+BC AC.
AC+BC AB.
(3)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?为什么?
[处理方式] 让学生在小组中讨论交流,教师可引导学生各自画一个三角形,然后进行测量,从而得出结论:三角形任意两边之和大于第三边.
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说明:学生在考察两边之和与第三边的数量关系时,可能对具体的三角形采用测量方法,教师应予以肯定,但是又不要停留在几何直观和操作测量阶段,此时可以提出问题,将学生对问题的思考引向深入.教师可以这样的提出问题:你的结论是通过测量几个三角形得出的?对任意一个三角形,你能肯定它的任意两边之和都大于第三边吗?能说明你的理由吗?从而将学生对问题的思考从特殊推广到一般,从直观提升到推理.在探究过程中,可设置必要的过渡,引导学生回忆所学过的“两点之间线段最短”的结论,并鼓励他们利用这个结论说明自己的发现.对三角形三边之间的数量关系,教师要引导学生注意结论中“任意”二字的含义.
[设计意图] 通过设计“比较彩灯电线长度”的情境,目的是引出三角形三边之间数量关系的问题.
思路二
【测量探究】
分别量出下面三个三角形的三边长度,并填入空格内.
(1)a= ,b= ,c= .
(2)a= ,b= ,c= .
(3)a= ,b= ,c= .
根据你的测量结果,计算三角形的任意两边之差,并与第三边比较,完成填空:
(1)a- b c,c- b a,c- a b.
(2)b- a c,c- a b,b- c a.
(3)a- c b,a- b c,b- c a.
你能得到什么结论?再画一些三角形试一试.
[处理方式] 学生在小组中进行测量,计算,并讨论交流,得出结论:三角形任意两边之差小于第三边.教师可参与到学生的讨论中,适当给学生引导.
说明:对于三角形任意两边之差与第三边的数量关系,学生只要能通过测量、比较等操作活动,归纳得出结论即可,不必运用不等式的性质进行说明.但教师可以在引导学生对结论进行验证的基础上,指出这个结论对一般三角形也是成立的.
[设计意图] 在测量过程中培养学生合作交流意识,在交流中认识三角形三边差的关系.
思路三
【实验探究】 (多媒体展示)
准备好长度分别为:4 cm,6 cm,10 cm,12 cm的小棒各一根.
实验要求:
1.任意选三根小棒首尾相连,看能否围成三角形.
2.把任意两边的长度加起来,再与第三边进行比较.(用式子表示)
3.小组讨论,你发现了什么?
4.将实验结果填写在探究报告单上.
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[处理方式] 学生以小组为单位进行动手操作,并通过讨论交流进一步验证三角形三边之间的数量关系,然后选代表进行解答.
[设计意图] 通过实验探究让学生在实验、操作中进一步验证所得到的结论,丰富学生对三角形三边之间的数量关系的体验和理解,并使学生在自主活动和相互交流中获得知识,体验乐趣.
[知识拓展]
1.等腰三角形的两个底角相等,等边三角形是特殊的等腰三角形,三个角都是60°.
2.三角形两边之和大于第三条边可以根据“连接两点的所有线中,线段最短”得出.这里的“两边”泛指三角形的任意两边.
例题讲解
有两根长度分别为5 cm和8 cm的木棒,用长度为2 cm的木棒与它们能摆成三角形吗?为什么?长度为13 cm的木棒呢?
〔解析〕 可让学生独立完成,选两个代表在黑板板书,并让他们进行讲解.
解:取长度为2 cm的木棒时,由于2+5=7,小于8,出现了两边之和小于第三边的情况,所以它们不能摆成三角形.
取长度为13 cm的木棒时,由于8+5=13,出现了两边之和等于第三边的情况,所以它们也不能摆成三角形.
1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.三角形按边分为:
三角形
3.三角形任意两边之和大于第三边.
4.三角形任意两边之差小于第三边.
1.下列长度的三条线段,不能构成三角形的是 ( )
A.3 cm,8 cm,4 cm
B.4 cm,9 cm,6 cm
C.15 cm,20 cm,8 cm
D.9 cm,15 cm,8 cm
解析:由三角形的三条边的关系可知,3+4=7,小于8,不符合题意,故选项A不能构成三角形.故选A.
2.现有四根木棒,长度分别为4 cm,6 cm,8 cm,10 cm,从中任取三根木棒,能组成三角形的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:共有4种方案:①取4 cm,6 cm,8 cm,能构成三角形;②取4 cm,8 cm,10 cm,能构成三角形;③取4 cm,6 cm,10 cm,不能构成三角形,此种情况不成立;④取6 cm,8 cm,10 cm,能构成三角形.所以有3种方案符合要求.故选C.
3.若等腰三角形一边长为7 cm,另一边长为5 cm,则第三边长为 .
解析:若腰长为7 cm,另一边长为5 cm,7+5=12,大于7,则第三边长为7 cm;若腰长为5 cm,另一边长为7 cm,5+5=10,大于7,则第三边长为5 cm.故填7 cm或5 cm.
4.下面分别是三根小木棒的长度,用它们能摆成三角形吗?
(1)7 cm,5 cm,11 cm;
(2)5 cm,8 cm,4 cm;
(3)4 cm,3 cm,7 cm.
解析:只要满足两条较短线段之和大于最长边就能构成三角形.
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解:(1)因为7+5=12,12大于11,所以能摆成三角形. (2)因为5+4=9,9大于8,所以能摆成三角形. (3)因为4+3=7,7=7,所以不能摆成三角形.
第2课时
探究活动1 认识等腰三角形和等边三角形
探究活动2 三角形三边之间的关系
例题讲解
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第86页习题4.2知识技能第1题;问题解决第2题.
【选做题】
教材第86页习题4.2问题解决第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.等腰三角形两边长为9和5,则这个三角形的周长是 .
2.已知一个三角形的三边a=7,b=3,第三边c是一个正整数,满足这些条件的三角形共有 种,当c= 时,所作出的三角形的周长最长.
3.一个三角形的两边长分别为4和8,则第三边长x的取值如何?
【能力提升】
4.若△ABC的三边为a,b,c,化简|a+b+c|+|a- b- c|.
【拓展探究】
5.如图所示,已知A,B两个村在河的同侧,要在河边建一个水站向两个村供水,为了使水站到两村距离之和最小,则水站应该建在哪里?
【答案与解析】
1.19或23(解析:根据等腰三角形的性质,分两种情况:①当腰长为5时,②当腰长为9时,解答出即可.根据题意,①当腰长为5时,周长=5+5+9=19;②当腰长为9时,周长=9+9+5=23.)
2.5 9(解析:根据三边关系可得7- 3
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