第五章 相交线与平行线
1.理解对顶角的概念,探索并掌握对顶角相等的性质;理解垂线、垂线段的概念,能用三角尺或量角器画出已知直线的垂线.
2.理解点到直线的距离的意义,能度量点到直线的距离;掌握基本事实:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3.了解同位角、内错角、同旁内角的概念,并学会识别;理解平行线的概念;过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;掌握平行线的性质.
4.掌握基本事实:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;了解平行线性质定理的证明.
5.能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
6.探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果同位角、内错角相等(或同旁内角互补),那么这两条直线平行;探索并证明平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,内错角、同位角相等或同旁内角互补.
7.了解命题、定理、证明的一些基本知识,能判断命题的真假,了解反例的作用,利用反例可以判断一个命题是错误的;掌握平移的概念,理解和掌握平移的性质,认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用,能运用图形的平移进行图案设计.
1.密切结合现实生活中的实例,创设情境,使学生经过自己的观察与思考,了解相关概念的本质,达到认识概念、会用概念识别相关问题的目的.
2.通过“探究”“试做”“观察与思考”等多种形式,尽可能地让学生经历一个亲身感受、领悟发现的过程.
3.充分引导学生自己动眼、动手、动脑去发现事实、感悟事实、理解事实、推出事实,同时注意培养学生的逻辑思维,要将几何问题初步展开推理.
4.以基本事实为依据,通过数学说理的方法,推导出平行线的判定方法、平行线的性质以及其他一些有用的结论.
1.培养学生学习图形与几何知识的兴趣,通过交流活动,初步形成积极参与数学活动,主动与他人合作交流的意识.
2.让学生通过动手操作,感受知识的形成过程,树立认真的学习态度,激发学生的学习热情.
3.利用小组合作学习的方法,让学生在学习中多与同学进行交流,多种感官参与学习,主动探索,发现规律,归纳概括,养成学数学、爱数学的情感.
平面内两条直线的位置关系是“图形与几何”所研究的基本问题,本章在学生已有知识和经验的基础上,继续研究平面内两条直线的位置关系.首先研究了两条直线相交的情形,
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探究了两条直线相交所成的角的位置和大小关系,给出了邻补角和对顶角的概念,得出了“对顶角相等”的结论.垂直作为两条直线相交的特殊情形,在生活中有着广泛的应用,与它有关的概念和结论也是学习“平面直角坐标系”的直接基础.本章对垂直的情形进行了专门的研究,探索得出了“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”等结论,并给出了点到直线的距离的概念,为学习在平面直角坐标系中确定点的坐标打下基础.其次教科书研究了两条直线被第三条直线所截的情形,给出了同位角、内错角、同旁内角的概念,为接下来的研究平行作准备.
对于平面内两条直线平行的位置关系,教科书首先引入了一个基本事实(平行公理),以此为出发点探讨平行线的判定和平行线的性质.对于平行线的判定,教科书首先结合三角尺画平行线的方法给出“同位角相等,两直线平行”的结论,并由此推理出“内错角相等,两直线平行”和“同旁内角互补,两直线平行”.平行线的性质也是由类似的方法得出.教科书接下来对命题及其组成、真假命题、定理作了简单介绍,使学生初步接触有关形式逻辑的概念和术语,并以“在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么它也垂直于另一条”为例,介绍了什么是证明.本章最后一节安排了有关平移的内容,图形的变化是“图形与几何”领域中一块重要的内容,通过将图形的平移、旋转、折叠等活动,使图形运动起来.因此图形变化是研究几何问题、发现几何结论的有效工具.
【重点】
1.了解邻补角、对顶角的概念,掌握其相关性质.
2.理解和掌握垂线、垂线段、垂直的概念及性质.
3.理解同位角、内错角、同旁内角的概念和平行线的判定及性质定理.
【难点】
1.能熟练应用平行线的判定和性质定理解决问题.
2.运用本章的相关知识解决简单的生活问题.
相交线和平行线不仅是几何学习的基础,而且还大量地体现在现实世界中.尽管学生对本章内容并不陌生,但如何使学生把学习过程真正成为自己的数学思考过程,使数学事实的形成过程变为自己的发现过程,则是本章着重思考的问题.
1.对于相交线的学习,要让学生通过实例认识相交线中的一些有关知识,让学生动手,使用量角器过一点画一条直线的垂线,并会利用身边的现有工具或材料过一点画一条直线的垂线,不要拘泥于三角尺或量角器.对于同位角、内错角、同旁内角,教材中没有给出精确的定义,因此要让学生能用一些简单的数学语言叙述图形的某些位置关系,并注意符号的使用.
2.在平行线的判定及性质的教学中,应继续对学生进行初步的数学语言的训练,使学生能用数学语言叙述直线的平行关系,并注意平行符号的使用,应注意渗透逻辑推理的思想.
3.在平移的教学中要注意结合图形,让学生体会平移的思想,使学生通过观察测量,掌握平移过程中图形的变化,并能够利用平移解决简单的实际问题.
5.1 相交线
5.1.1 相交线(1课时)
5.1.2 垂 线(2课时)
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角(1课时)
4课时
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5.2 平行线及其判定
5.2.1 平行线(1课时)
5.2.2 平行线的判定(1课时)
2课时
5.3 平行线的性质
5.3.1 平行线的性质(1课时)
5.3.2 命题、定理、证明(1课时)
2课时
5.4 平 移
1课时
单元概括整合
1课时
5.1 相交线
1.理解对顶角的概念,探索并掌握对顶角的性质;理解垂线、垂线段的概念,能用三角尺或量角器画已知直线的垂线.
2.理解点到直线的意义,会度量点到直线的距离.
3.能在复杂图形中识别同位角、内错角和同旁内角.
1.通过观察和动手操作,经历和体验图形的变化过程,努力学习数学语言.
2.能用一些简单的数学语言叙述图形的某些位置关系.
1.在动手实践、自主探索、合作交流中获得成功的体验,建立自信心.
2.让学生感受数学与生活的密切联系,增强用数学的意识.
【重点】 垂直的概念、同位角、内错角、同旁内角在图形中的位置.
【难点】 点到直线的距离,正确识别同位角、内错角、同旁内角.
5.1.1 相交线
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理解并掌握对顶角、邻补角的概念.
1.通过动手操作、推断、交流等活动,进一步发展空间观念,培养识图能力、推理能力和表达能力.
2.在具体情境中了解邻补角、对顶角,能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些简单问题.
引导学生对图形进行观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验,树立学习的信心.
【重点】 对顶角的性质.
【难点】 理解对顶角相等的性质的探索.
【教师准备】 直尺、量角器、剪刀、硬纸板.
【学生准备】 直尺、三角板.
导入一:
如图所示,要想测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数(人不能进入围墙内,又不能站在围墙上),甲、乙两人各有如下的测量方法:
甲:延长AO至C,测得∠BOC的度数,可知∠AOB的度数.
乙:延长AO至C,延长BO至D,测得∠COD的度数,可知∠AOB的度数.
你知道他们这样测量的道理吗?
导入二:
教师出示一块硬纸板和一把剪刀,表演剪纸板的过程.
问题:剪刀两个把手之间的角发生了什么变化?剪刀的张口怎么变化?
教师展示剪纸板的过程,学生认真观察.
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教师应当注意先提出问题,以免在操作过程中分散学生的注意力,使学生没有注意观察应该观察的内容.
学生观察以后,回答提出的问题.
教师引导:如果将剪刀的构造看作两条相交的直线,这就关系到两条相交直线所成的角的问题.
[设计意图] 通过动手操作,激发学生兴趣,同时使学生感受生活中的数学现象,通过教师的引导,使学生将剪刀张口的变化抽象成两条直线交角的变化,将实际问题转化为数学问题.
导入三:
在我们生活的世界中,蕴涵着大量的相交线和平行线,本节课要研究相交线所成的角和它的特征.
教师多媒体出示相关的图片:
学生欣赏图片,并从中观察相交线、平行线的实例.
[设计意图] 直接提出本节课的学习重点,使学生有一个明确的目标,对本节课的学习要点做到心中有数.
一、邻补角与对顶角的概念
[过渡语] (针对导入二)通过刚才的观察,我们知道握紧剪刀把手时,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀刃之间的角也相应变小,直到剪开纸板.下面我们就来研究这两条直线相交所形成的角.
问题1 邻补角
如教材图5.1-2,教师提出问题:
1.在位置关系上,∠1和∠2有什么特点?
2.量一量,在数量关系上,∠1和∠2有什么特点?
提示:在位置关系上,∠1和∠2有一个公共边OC,另一边互为反向延长线;在∠1和∠2的数量关系上,学生可能从大小关系上进行比较,此时注意引导学生从两个角的和的关系去探求.
问题总结:有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角.
追问:(1)在教材图5.1-2中,有几组邻补角?
(2)在教材图5.1-1中,剪刀把手之间角度变化的过程中,这种关系还存在吗?
提示:(1)有四组邻补角,分别是∠1和∠2,∠2和∠3,∠3和∠4,∠1和∠4;(2)这种关系依旧存在.
[知识拓展] (1)邻补角指的是角的特殊位置关系,即这两个角相邻(有一条公共的边),从数量关系上说这两个角互补.
(2)邻补角指的是两个角之间的互补关系.
(3)邻补角一定互补,但互补的角不一定是邻补角.
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问题2 对顶角
[过渡语] 在教材图5.1-2中,∠1和∠3之间有什么关系呢?
学生再观察教材图5.1-2,教师提出问题:
(1)在位置上,∠1和∠3有什么特点?
(2)量一量,在数量关系上,∠1和∠3有什么特点?
提示:(1)在位置关系上,∠1和∠3有一个公共顶点O,并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线;(2)通过测量和观察,学生可以发现∠1和∠3是相等的.
概念提出:有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角.
二、对顶角的性质
思路一
[过渡语] 刚才通过测量和观察,我们发现了对顶角∠1和∠3是相等的.仅靠发现和观察,还不足以说明就是科学的结论,这就需要我们证明这个结论,怎样证明呢?
性质证明:
〔解析〕 在教材图5.1-2中,∠1和∠2互补,∠3和∠2互补,由“同角的补角相等”可以得出∠1=∠3.同理,我们可以得出∠2=∠4.这样我们就可以得出对顶角的性质:对顶角相等.
证明:因为∠1与∠2互补,∠3与∠2互补(邻补角的定义),所以∠1=∠3(同角的补角相等).
[设计意图] 通过对图形中角的位置关系的探究,经历从图形到文字到符号的转化过程,使学生加深对相交概念的理解.积累一些对图形的研究经验和方法.通过对概念的归纳,培养学生的总结概括能力,加深学生对概念的理解和掌握.在探究发现的基础上,用科学的方法验证或证明自己的发现,这有利于培养学生的科学思维习惯.
[知识拓展] (1)对顶角是指两个角的位置关系,一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.
(2)对顶角是成对的,在数量关系上有特殊的关系——相等.
(3)两条直线相交所形成的四个角中,任意两个角不是对顶角就是邻补角.
思路二
[过渡语] 刚才通过观察讨论,同学们了解了对顶角的概念,那么对顶角具有什么性质,下面我们就来一起学习.
问题思考:
(1)在教材图5.1-2中有哪些角是对顶角?
(2)观察、测量每组对顶角,它们之间有什么数量关系?
(3)根据观察和测量,你的结论是什么?怎样去证明你的结论?
[设计意图] 通过学生的动手和动脑实践,不但可以提升学生的学习兴趣,还有助于培养学生动手动脑的行为习惯.通过发现问题并证明问题的活动,培养学生的科学探索精神.
性质证明:
〔解析〕 如图所示,∠AOC和∠AOD互补,∠AOC和∠BOC互补,由“同角的补角相等”,可以得出∠AOD=∠BOC,类似地,∠AOC=∠BOD.这样,我们就得到了对顶角的性质:对顶角相等.
证明:因为∠AOC和∠AOD互补,∠AOC和∠BOC互补(邻补角的定义),
所以∠AOD=∠BOC(同角的补角相等).
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[设计意图] 通过对角的度数的测量,使学生认识到邻补角与对顶角的性质,使学生从对这两类角的感性认识上升到理性认识,通过对结论得出的说理过程,使学生初步感受推理的过程.
三、例题讲解
[过渡语] 通过前面的研究和探讨,我们知道了邻补角互补,对顶角相等的性质.利用这些性质可以进行角的一些计算.
如图所示,直线a,b相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度数.
[设计意图] 先让学生尝试解决,这里学生能够说出角的度数,关键是学生能否做到言之有理,即初步尝试使用推理的方法去解决问题,之后教师给出规范的答案.
〔解析〕 计算角的度数,首先要考虑给定的角与所要求的角的位置关系和数量关系.从位置关系看,在要求的三个角中,∠3和∠1存在着对顶角的关系,∠2,∠4和∠1存在着邻补角的关系.
解:由邻补角的定义,得:
∠2=180°-∠1=180°-40°=140°.
由对顶角相等,得:
∠3=∠1=40°,
∠4=∠2=140°.
(补充)如图所示,已知直线AB与CD相交于点O,OE是∠BOD的平分线,∠EOF=90°,若∠BOD=58°,求∠COF的度数.
〔解析〕 根据角平分线的定义求出∠DOE,再求出∠DOF,然后根据邻补角的定义列式计算即可得解.
解:因为OE是∠BOD的平分线,∠BOD=58°,
所以∠DOE=∠BOD=×58°=29°,
因为∠EOF=90°,
所以∠DOF=∠EOF-∠DOE=90°-29°=61°,
所以∠COF=180°-∠DOF=180°-61°=119°.
[解题策略] 本题考查了角平分线的定义,互为邻补角的两个角的和等于180°,熟记概念并准确识图,理清图中各角度之间的关系是解题的关键.
[设计意图] 通过学生的尝试,一是让学生养成主动学习的习惯,二是让学生养成说理的习惯,做到步步有据.
1.邻补角、对顶角的概念:
(1)有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角.
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(2)有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角.
(3)邻补角、对顶角是成对出现的,在相交直线中,一个角的邻补角有两个.
2.邻补角、对顶角的性质:
(1)邻补角互补.但两个角的和等于180°,这两个角不一定是邻补角.
(2)对顶角相等.但反过来,相等的两个角不一定是对顶角.
1.如图所示,下列判断正确的是 ( )
A.图(1)中∠1和∠2是一组对顶角
B.图(2)中∠1和∠2是一组对顶角
C.图(3)中∠1和∠2是一组邻补角
D.图(4)中∠1和∠2是一组邻补角
解析:对顶角的定义:有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角,邻补角的定义:有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角,根据这两个定义进行分析.故选D.
2.如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=70°,∠2=40°,则∠1的度数为 ( )
A.30°
B.35°
C.40°
D.70°
解析:因为∠AOC=70°,所以∠BOD=70°(对顶角相等),因为∠2=40°,所以∠1=70°-40°=30°.故选A.
3.如图所示,直线AB和CD相交于点O,若∠AOD与∠BOC的和为236°,则∠AOC的度数为 ( )
A.62°
B.118°
C.72°
D.59°
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解析:因为直线AB和CD相交于点O,∠AOD与∠BOC的和为236°,又因为∠AOD与∠BOC是对顶角,所以∠AOC=180°-=62°.故选A.
4.如图所示,直线AB与CD相交于点O,射线OE平分∠BOF.
(1)∠AOD的对顶角是 ,∠BOC的邻补角是 ;
(2)若∠AOD=20°,∠DOF∶∠FOB=1∶7,求∠EOC的度数.
解析:(1)根据对顶角和邻补角的定义可直接得出答案;(2)根据∠AOD=20°和∠DOF∶∠FOB=1∶7,求出∠BOF等于140°,所以∠EOB等于70°,所以∠EOC等于90°.
解:(1)∠BOC ∠AOC,∠BOD
(2)因为OE平分∠BOF,
所以∠BOE=∠EOF,
因为∠DOF∶∠FOB=1∶7,∠AOD=20°,
所以∠DOF=∠BOD=×(180°-20°)=20°,
所以∠BOF=140°,
因为∠BOE=∠BOF=×140°=70°,
所以∠EOC=∠BOC+∠EOB=20°+70°=90°.
5.1.1 相交线
1.邻补角与对顶角的概念
2.对顶角的性质
3.例题讲解
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第3页练习.
【选做题】
教材第7页习题5.1第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知∠α和∠β是对顶角,若∠α=30°,则∠β的度数为 ( )
A.30° B.60° C.70° D.150°
2.如图所示的四个图形中,∠1与∠2是邻补角的是 ( )
3.下列说法正确的是 ( )
A.若两个角相等,则这两个角是对顶角
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B.若两个角是对顶角,则这两个角相等
C.若两个角不是对顶角,则这两个角不相等
D.所有的对顶角相等
4.如图所示,直线AB,CD交于点O,射线OM平分∠AOC,若∠BOD=76°,则∠BOM等于 ( )
A.38° B.104° C.142° D.144°
【能力提升】
5.如图所示,直线AB,CD相交于O,OE平分∠AOD,∠FOC=90°,∠1=40°,求∠2和∠3的度数.
6.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE是∠COB的平分线.
(1)图中有几对对顶角,请分别写出来;
(2)当∠BOC=130°时,求∠DOE的度数.
7.如图所示,直线AB,CD,EF相交于点O.
(1)写出∠COE的邻补角;
(2)分别写出∠COE和∠BOE的对顶角;
(3)如果∠BOD=60°,∠BOF=90°,求∠AOF和∠FOC的度数.
【拓展探究】
8.如图所示的各图形,寻找对顶角(不含平角).
(1)如图(1)所示,图中共有多少对对顶角?
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(2)如图(2)所示,图中共有多少对对顶角?
(3)如图(3)所示,图中共有多少对对顶角?
(4)研究(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系,若有n条直线相交于一点,则可形成多少对对顶角?
(5)若有2016条直线相交于一点,则可形成多少对对顶角?
【答案与解析】
1.A(解析:因为∠α和∠β是对顶角,∠α=30°,所以根据对顶角相等可得∠β=∠α=30°.故选A.)
2.D(解析:A,B选项,∠1与∠2没有公共顶点且不相邻,不是邻补角;C选项,∠1与∠2不互补,不是邻补角;D选项,互补且相邻,是邻补角.故选D.)
3.B(解析:根据对顶角的定义:有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角,所以选项A,C错误;根据对顶角的性质:对顶角相等,知选项D错误.故选B.)
4.C(解析:因为∠BOD=76°,所以∠AOC=∠BOD=76°(对顶角相等).又因为∠BOC和∠BOD互为邻补角,所以∠BOC=180°-76°=104°.因为射线OM平分∠AOC,所以∠MOC=38°,所以∠BOM=∠BOC+∠MOC=104°+38°=142°.故选C.)
5.解:因为∠FOC=90°,∠1=40°,AB为直线,所以∠3+∠FOC+∠1=180°,所以∠3=180°-90°-40°=50°.因为∠3与∠AOD互补,所以∠AOD=180°-∠3=130°,因为OE平分∠AOD,所以∠2=∠AOD=65°.
6.解:(1)图中有两对对顶角,分别为∠AOC与∠BOD,∠AOD与∠BOC. (2)由OE是∠COB的平分线,得∠COE=∠BOC=65°,由邻补角的性质,得∠DOE=180°-∠COE=180°-65°=115°.
7.解:(1)∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD. (2)∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF. (3)因为∠BOF=90°,所以AB⊥EF,所以∠AOF=90°,又因为∠AOC=∠BOD=60°,所以∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°.
8.解:(1)有2对对顶角. (2)有6对对顶角. (3)有12对对顶角. (4)有n条直线时,有n·(n-1)对对顶角. (5)当n=2016时,可形成2016×2015=4062240对对顶角.
相交线是第五章第一小节的内容,在第一学期学生已经学习并掌握了直线、角等概念,在此基础上继续学习两条直线相交的情况以及在这种情况下所形成的角的关系——邻补角、对顶角.平面内两条直线的位置关系是“图形与几何”所要研究的基本问题,是初中阶段学习的重点内容之一,同时也是平面几何图形由简单到复杂的最基本图形之一——由两条直线相交构成的角.因此本课时的教学重点是对顶角的性质与应用,教学难点是对顶角性质的几何语言的表达.在教学中教师能够结合图形让学生通过观察、猜测、分类等方法找到两条直线相交所形成的角的位置关系和数量关系,很好地掌握了邻补角和对顶角的特征,另外加强对比和反例的说明,对于学生对知识的理解和掌握起到了强化、深入的作用.
从教学的过程看,学生掌握知识的难度要小于对顶角性质推理的难度.在本课时的教学过程中,虽然注重强化了学生对对顶角性质推理的认识,但对个别学生的指导和关注不够,
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导致部分学习有困难的学生对推理说明的题目掌握不好.在解题过程中出现乱、繁等现象(个别学生甚至无法下手),课后要根据实际情况及时进行补差补缺,争取不让一个学生掉队.
(1)加强练习,强化解题的步骤和说理,让学生在解题的过程中做到有理有据,真正掌握知识.在学生做题的过程中,教师要加强巡视指导,对于学生出现的共性问题,一定要加以指出.
(2)教学过程中要面向全体学生,能让全体学生完成的,绝不让个别学生完成,能让学生集体讨论的问题,不能让某个掌握较快的学生包办代替,要充分发挥每个学生的主动性.
练习(教材第4页)
解:把该模型看成是两条相交的直线并标上角,如图所示.邻补角有:∠1与∠2.∠1与∠α,∠2与∠3,∠3与∠α.对顶角有:∠1与∠3,∠2与∠α.若∠α=35°,则∠1=∠3=180°-∠α=145°,∠2=∠α=35°.若∠α=90°,则∠1=∠3=90°,∠2=∠α=90°.若∠α=115°,则∠1=∠3=65°,∠2=∠α=115°.若∠α=m°,则∠1=∠3=180°-m°,∠2=∠α=m°.
(1)邻补角是既互补又相邻的两个角,既考虑两个角的大小关系,又考虑两个角的位置关系.如果两个角互为邻补角,那么这两个角一定互补,反之,两个角互补,这两个角不一定互为邻补角.一个角的补角有很多个,但一个角的邻补角只能有两个.
(2)关于对顶角的定义应注意,只有当两条直线相交时,才能产生对顶角;对顶角是成对出现的,对顶角是对特殊位置关系的两个角而言的.
(3)关于对顶角的性质,要注意不要与对顶角的定义混淆.如果两个角是对顶角,那么这两个角相等,反之,如果两个角相等,那么这两个角不一定是对顶角.
如图所示,直线AB,CD,EF相交于点O,指出∠AOC,∠EOB的对顶角及∠AOC的邻补角.图中一共有几对对顶角(不含平角)?几对邻补角?
〔解析〕 本题考查判断一对角是不是对顶角或邻补角.找一个角的对顶角时,可分别反向延长这个角的两边,以两边的反向延长线为边的角即是原角的对顶角.
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找一个角的邻补角时,可先固定一边,反向延长另一边,则由固定边和延长线组成的角即是原角的邻补角.∠AOC的邻补角应有两个,因为固定OA,反向延长OC得到∠AOD,或固定OC,反向延长OA得到∠BOC,它们都是∠AOC的邻补角.三条直线相交于一点,共有三组不同的两条直线相交,即AB与CD,AB与EF,CD与EF,每两条直线相交,都得到2对对顶角、4对邻补角,故有3×2对对顶角,3×4对邻补角.
解:∠AOC的对顶角是∠BOD,∠EOB的对顶角是∠AOF;∠AOC的邻补角是∠AOD,∠BOC.图中共有6对对顶角、12对邻补角.
[解题策略] 解决这类问题要抓住对顶角、邻补角的特征,前提条件是两条直线相交,对顶角无公共边,邻补角有公共边.
5.1.2 垂 线
1.认识生活中的垂直现象,理解垂直定义,并能用符号表示.
2.掌握垂线的性质,会过一点作已知直线的垂线.
经历垂线的画法,垂线的性质以及点到直线的距离的探索过程,尝试从不同角度寻求垂线的画法,用不同方法得到垂线的性质.
通过与生活相联系,让学生对数学产生兴趣,认识到数学的实用价值.
【重点】 垂线、垂线段、点到直线的距离的概念.
【难点】 垂线的性质和点到直线的距离.
第课时
1.知道垂直是相交的特殊情况,理解垂线的概念.
2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.
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通过操作、探究等活动,培养学生的动手能力,并通过活动使学生对知识的学习从感性认识上升到理性认识.
通过生动、有趣的活动,使学生积极参与到数学活动中,并在活动中感受成功的快乐.
【重点】 垂线的定义,用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.
【难点】 过一点画已知直线的垂线.
【教师准备】 相交线模型、三角尺、量角器.
【学生准备】 三角尺、直尺、量角器、硬纸条、图钉.
导入一:
出示意大利比萨斜塔图片.
师:同学们,你们认识这个世界著名的建筑吗?对!是意大利的比萨斜塔.那么这个斜塔倾斜多少度呢?如图所示,直线AB可以看成地平面,射线OC可以看成塔身所在的直线.要回答这个问题,就涉及我们要学习的垂线问题.
[设计意图] 从学生比较熟悉的事物中抽象出数学问题,更能唤起学生探求新知的欲望.
导入二:
(学生事先准备宽约为1 cm,长约为20 cm的两张硬纸条,图钉一个)
课堂操作:学生用图钉在中间把两张纸条订在一起,提示学生可以把两张纸条看作是两条直线,观察两条直线相交有几个交点?
如图所示,可以看到,直线AB与CD相交,只有一个交点,可以说明直线AB,CD相交于点O.
【思考】 两条直线相交所构成的四个角能否相等?
[设计意图] 用现实生活中的例子,引入相交线所成的角,为理解垂直的定义做认知准备,同时也会激发学生的学习兴趣,有利于进入新的知识学习.
导入三:
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如图所示,直线AB,CD相交于点O,若∠1=90°,求其他三个角.
教师出示问题,学生独立解决问题,并在练习本上书写解答过程.
在这一过程中,教师应当关注学生是否能够独立完成问题,并且能否较规范地写出解答过程.然后学生口述过程并说明理由.
[设计意图] 通过练习,一是复习上节课的邻补角和对顶角的概念及性质,二是逐步培养学生的推理论证能力.
一、探究垂线的概念
思路一
1.垂直的概念.
[过渡语] 相交线所形成的四个角中有邻补角、对顶角,都会形成怎样的角呢?请同学们观察老师手中的相交线模型.
利用相交线模型引入直线相互垂直的概念.
教师出示相交线模型,如图(1)所示,固定其中一个木条a,转动另一个木条b,在这一过程中,它们的交角∠α在不停地变化,这一过程中,一定会出现它们的交角等于90°的情况,这时我们说a与b互相垂直,这时其中一条直线叫另一条直线的垂线,记作a⊥b,它们的交点叫做垂足,如图(2)所示,可记作:AB⊥CD,垂足为O.
推理过程如下:
因为∠AOC=90°(已知),
所以AB⊥CD(垂直定义).
[设计意图] 通过模型的展示让学生认识到,垂直是相交的一种特殊情形,使学生对垂直首先有一个感性的认识,进而引入相关的概念.同时通过教师对图形的描述,使学生逐步学习用几何语言描述图形的语句.
[知识拓展] (1)垂直是相交线中一种特殊形式,当垂直时,这个公共点即为垂足.
(2)线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段与直线或射线与直线垂直,特指它们所在的直线互相垂直.
(3)根据两条直线互相垂直的定义可知:若两条直线互相垂直,则所成的四个角都为直角;反之,若两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°,则这两条直线互相垂直.
2.感受生活中互相垂直的实例.
【思考】 生活中有许多垂直的例子,你能举出一些例子吗?
教师出示图片:(提示学生观察铁轨和枕木之间的位置关系)
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学生从中观察相互垂直的直线,然后举出一些互相垂直的例子.
[设计意图] 通过对实物的感知,使学生认识到生活中处处有数学图形,在感受生活中的数学的同时加深对垂线的理解与掌握.
3.例题讲解(自设).
如图所示,三条直线相交于点O.若CO⊥AB,∠1=56°,则∠2等于 ( )
A.30° B.34°
C.45° D.56°
〔解析〕 ∠1和∠2既不是对顶角也不是邻补角,这就需要根据给出的∠1的度数和相关位置进行思考.根据已知条件,把CO⊥AB转化为∠AOC=∠COB=90°是关键.发现∠AOD,∠DOB分别是∠2的邻补角和对顶角后,问题即可解决.方法1:因为CO⊥AB,所以∠COB=90°,所以∠DOB=90°-∠1=90°-56°=34°.所以∠2=∠DOB=34°(对顶角相等).方法2:因为CO⊥AB,所以∠COB=90°,所以∠AOD=90°+∠1=90°+56°=146°.所以∠2=180°-146°=34°(邻补角互补).故选B.
[设计意图] 角度计算题,目的是考查学生利用垂直定义以及对顶角性质解决问题的能力.
思路二
1.实验探究.
教师自制教具,将两根木条钉在一起(如图所示),固定其中一根木条a,转动木条b,请学生观察:
问题:在木条b的转动过程中,哪个量也随之发生改变?
师生活动:学生发言,相互补充.教师借机和学生一起回忆上节课学习的内容:对顶角和邻补角的概念和性质.
教师追问(1):当a与b所成角α为90°时,其余各角分别为多少度?
师生活动:教师引导学生发现,当a与b所成角α为90°时,其余各角都为90°,是木条相交中最特殊的一种情况.
教师追问(2):这时木条a与b有何位置关系呢?
师生活动:学生根据小学已学的知识可以知道,此时木条a与b互相垂直.
[设计意图] 让学生借助已有的知识发现数学问题,并解决问题,进一步提高对垂直概念的认识.
2.变换角度,认识垂直.
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仔细观察下图,当两条直线相交时所形成的4个角中,有一个角为90°,可以得出这两条直线有何位置关系呢?
师生活动:学生回答,并归纳概括出垂直的定义.教师补充指出垂线和垂足的概念,并给出垂直的符号表示.
教师追问(1):如图所示,如何用符号语言表示垂直的定义呢?
师生活动:学生观察图形,独立完成用符号语言表示垂直的定义,教师点拨,规范学生的书写过程.
如图所示,若AB和CD相交,且∠1=90°,则直线AB和CD互相垂直,记作“AB⊥CD”(或CD⊥AB),读作“AB垂直于CD”.如果垂足是O,记作“AB⊥CD,垂足为O”.一般地,垂直在图中用“”表示,在推理计算的过程中用“⊥”表示.
教师追问(2):如何判定两条射线互相垂直?两条线段呢?
师生活动:学生积极踊跃发言,教师做总结,提醒学生注意:两条线段垂直、两条射线垂直、射线与直线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直,都是指它们所在的直线垂直.
根据两条直线互相垂直的定义可知:若两条直线互相垂直,则相交所成的四个角为直角;反之,若两条直线的交角为直角,则这两条直线互相垂直.如图所示,这个推理过程可以写成:因为AB⊥CD(已知),所以∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°(垂直的定义);反之,因为∠AOC=90°(已知),所以AB⊥CD.
[设计意图] 教师引导学生用几何语言描述图形的位置关系,并学会用符号语言表示,培养学生表达几何图形的能力.
教师追问(3):你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗?
[设计意图] 学生列举身边的实物,能由实物的形状想象出直线的垂直关系,将新知识应用到对周围环境的直接感知中,有利于学生建立直观、形象的数学模型.
二、垂线的画法和性质
[过渡语] 在一条直线上可以画无数条这条直线的垂线,那么经过直线外一点可以画几条这样的直线呢?
利用三角尺或量角器,可以过一点画出已知直线的垂线.下面我们来学习垂线的画法.
问题:
1.用三角尺或量角器画已知直线l的垂线,这样的垂线能画出几条?
2.经过直线l上一点A画l的垂线,这样的垂线能画出几条?
3.经过直线l外一点B画l的垂线,这样的垂线能画出几条?
画法点拨:过一点画已知直线的垂线,可以用直角三角板来画,具体步骤为:
(1)贴:将三角板的一条直角边紧贴在已知直线上;
(2)过:使三角板的另一直角边经过已知点;
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(3)画:沿已知点所在直角边画出所求的直线.如图所示,图(1)是点在直线l上,图(2)是点在直线l外.
两直线垂直的概念中的核心内容是直角,所以在画垂线时这个直角的位置就显得相当重要了,画错了位置,已知直线的垂线也就画错了.在画垂线时要注意让直角的一边与已知直线重合,而另一边要过已知点(即过此点画已知直线的垂线),在画垂线时要注意只有满足上述条件时,这两条直线才是垂直的.另外要画的已知直线的垂线是一条直线,千万不要画成线段或射线.
提示:(1)过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在延长线上.(2)过一点包括两种情况:①点在直线外;②点在直线上.
活动方式:教师出示问题,学生分小组讨论尝试,然后找学生回答讨论的结果,并找学生到黑板上画一画.师生共同归纳结论:经过一点,能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线,即在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
[设计意图] 通过尝试、讨论、探究,找到画已知直线垂线的方法,使学生手脑并用,加深印象.通过师生的共同总结,培养学生的归纳总结能力,同时让学生认识到作已知直线的垂线的两种情况.
(补充)如图(1)所示,在三角形ABC中,∠BCA为钝角.
(1)画出过点C且与线段BA垂直的直线;
(2)画出过点A且与线段BC垂直的直线.
〔解析〕 利用三角尺的直角正确画出图形,注意垂足的位置.(1)过点C作AB的垂线,垂足在线段AB上.(2)因为∠BCA是钝角,过点A画BC的垂线时,垂足在BC的延长线上.
解:(1)过点C画AB的垂线,交AB于D,CD就是所求,如图(2)所示.
(2)过点A画BC的垂线,交BC的延长线于E点,AE就是要求的垂线,如图(2)所示.
[知识拓展] (1)在同一平面内,经过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线,只能画出一条.
(2)经过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上(如图所示).
(3)画垂线时是实线,此时如需延长线段或反向延长射线,要用虚线延长或反向延长.
1.垂线的概念:
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当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
2.垂线的性质:
(1)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2)“有且只有”中,“有”指“存在性”,“只有”指“唯一性”.
(3)“过一点”中的“点”在直线上或直线外都可以.
1.下列说法中,正确的个数是 ( )
①相等的角是对顶角;
②在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直;
③两条直线相交有且只有一个交点;
④两条直线相交成直角,则这两条直线互相垂直.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:两角相等指的是数量关系上的相等,对顶角是特殊位置关系的相等的角,故①错误;在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直,故②正确;两条直线相交有且只有一个交点,故③正确;两条直线相交成直角,则这两条直线互相垂直,故④正确.即正确的个数是3.故选C.
2.下列四个条件中能判断两条直线互相垂直的有 ( )
①两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角;
②两条直线相交所成的四个角相等;
③两条直线相交所成的四个角中,有一组相邻的角相等;
④两条直线相交所成的四个角中,有一组对顶角的和为180°.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解析:①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,是定义,能判断;②两条直线相交所成的四个角相等,则四个角都是直角,能判断;③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等,根据邻补角的定义能求出这两个角都是直角,能判断;④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°,根据对顶角相等求出这两个角都是直角,能判断.所以四个条件都能判断两条直线互相垂直.故选A.
3.如图所示,过P点,画出射线OA,OB的垂线.
解析:图(1)的P点在射线OA,OB之外,图(2)的P点在射线OA之外,在射线OB之上.图(2)过点P作射线OA的垂线时,要注意垂足在射线OA的反向延长线上,需要用虚线表示延长线.
解:如图所示.
4.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,OF⊥AB,∠BOD=25°,求∠AOE和∠DOF的度数.
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解:因为OE⊥CD,OF⊥AB,∠BOD=25°,
所以∠AOE=90°-25°=65°,
∠DOF=90°+25°=115°.
第1课时
1.探究垂线的概念
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
例1
2.垂线的画法和性质
在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第5页练习第1,2题.
【选做题】
教材第8页习题5.1第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,已知点O在直线AB上,CO⊥DO于点O,若∠1=145°,则∠3的度数为 ( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
2.两条直线相交所构成的四个角中:
①有三个角都相等;②有一对对顶角互补;③有一个角是直角;④有一对邻补角相等.
其中能判定这两条直线垂直的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图所示,在正方体中和AB同在一个平面,且和AB垂直的边有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
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4.如图所示,已知AB,CD相交于O,OE⊥CD于O,∠AOC=30°,则∠BOE等于 ( )
A.30° B.60° C.120° D.130°
【能力提升】
5.如图所示,已知直线AB和CD相交于O点,CO⊥OE,OF平分∠AOE,∠COF=34°,求∠BOD的度数.
6.如图所示,已知OC⊥AB于O,∠AOD∶∠COD=1∶2.
(1)若OE平分∠BOC,求∠DOE的度数;
(2)若∠AOE的度数比∠COE的度数的3倍多30°,试判断OD与OE的位置关系,并说明理由.
7.如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠BOD=40°,按下列要求画图并回答问题.
(1)在直线AB上方画射线OE,使OE⊥AB;
(2)分别在射线OA,OE上截取线段OM,ON,使OM=ON,连接MN;
(3)画∠AOD的平分线OF,交MN于点F;
(4)直接写出∠COF和∠EOF的度数:∠COF= 度,∠EOF= 度.
【拓展探究】
8.(1)在图(1)中以P为顶点画∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直;
(2)量一量图(1)中∠P和∠1的度数,它们之间的数量关系是 ;
(3)同样在图(2)和图(3)中以P为顶点作∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂直,分别写出图(2)和图(3)中∠P和∠1之间的数量关系(不要求写出理由).图2: ,图3: ;
(4)由上述三种情形可以得到一个结论:如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直,那么这两个角 .(不要求写出理由)
【答案与解析】
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1.C(解析:因为∠1=145°,所以∠2=180°-145°=35°,因为CO⊥DO,所以∠COD=90°,所以∠3=90°-∠2=90°-35°=55°.故选C.)
2.D(解析:根据垂直的定义:两直线的交角为90°时,这两条直线互相垂直进行分析即可.)
3.D(解析:因为正方体的每一个面都是正方形,即每一个角都为90°,所以与AB垂直的边有4条.故选D.)
4.C(解析:因为OE⊥CD,所以∠EOD=90°,因为∠AOC=30°,所以∠BOD=∠AOC=30°,所以∠BOE=∠EOD+∠BOD=90°+30°=120°.故选C.)
5.解:因为CO⊥OE,所以∠COE=90°.因为∠COF=34°,所以∠EOF=90-34°=56°.又因为OF平分∠AOE,所以∠AOF=∠EOF=56°.因为∠COF=34°,所以∠AOC=56°-34°=22°.则∠BOD=∠AOC=22°.
6.解:(1)因为OC⊥AB于O,所以∠AOC=∠BOC=90°.因为∠AOC=90°,∠AOD∶∠COD=1∶2,所以∠DOC=60°.因为OE平分∠BOC,∠BOC=90°,所以∠COE=45°,∠DOE=∠DOC+∠COE=60°+45°=105°. (2)OD⊥OE.理由如下:OC⊥AB于O,所以∠AOC=∠BOC=90°.因为∠AOC=90°,∠AOD∶∠COD=1∶2,所以∠DOC=60°,因为∠AOE-∠COE=2∠COE+30°,且∠AOE-∠COE=90°,所以2∠COE+30°=90°,所以∠COE=30°.因为∠DOE=∠DOC+∠COE=60°+30°=90°,所以OD⊥OE.
7.解:(1)如图所示的射线OE. (2)如图所示的ON,OM,线段MN. (3)如图所示的OF平分∠AOD,交MN于点F. (4)110 20
8.解:(1)如图(1)所示. (2)∠P+∠1=180° (3)如图(2)(3)所示. ∠P=∠1 ∠APB+∠1=180° (4)相等或互补
在这堂课中,学生的主体地位突出,真正经历了知识形成的全过程.在自主学习、合作交流的活动中升华了对知识的理解.教学实践也证明,在自由探索与合作交流的学习方式中,学生认识活动的强度和力度要比单纯接受知识大得多.在本节课中的每一个学习活动,都以学生个性思维、自我感悟为前提,多次设计了让学生自主探索、合作交流的活动.通过学生和谐有效地互动,强化了学生的自主学习意识.
(1)在教学过程中学生归纳的少,教师说明的多,没有让学生充分发表自己的见解.
(2)在学习画垂线的过程中,部分学生画的不够规范,教师在指导上不够到位.
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对于知识的形成,教师要充分让学生探索、观察,用自己的语言表述发现的问题,然后充分发挥集体的合力,取长补短,逐步完善,教师再给以适当的点拨,形成结论.
画已知直线的垂线,教师要注意画图的指导,一要注意规范,二要注意对知识的分析与强化,使学生对垂线有更深一步的认识.从而达到对知识的理解和掌握,对于学生出现的问题一定要及时点评.
练习(教材第5页)
1.解:垂直.理由如下:因为两条直线相交所成的角的度数之和为360°,而四个角都相等,所以每个角都为90°,所以两条直线垂直.
2.解:如图所示.
平行直线和垂直直线在社会生活中起着非常大的作用,在建筑和艺术中的应用比比皆是,如图所示的是我国古代钱币的图案,有人如此解释为什么这么设计这个图案,圆代表国土、疆域,方取正直、无私的寓意,圆中有方表明钱财要为国家建设服务.这种说法体现了人们对“方”——垂直的认识.生活中垂直的应用还很多,如家居中,墙角都做得轮廓分明,给人以整齐的感觉.
(2014·厦门中考)已知直线AB,CB,l在同一平面内,若AB⊥l,垂足为B,CB⊥l,垂足也为B,则符合题意的图形可以是下图中的 ( )
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〔答案〕 C
[注意事项] 此题主要考查了垂线,关键是掌握垂线的定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
(2014·河南中考)如图所示,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,ON⊥OM,若∠AOM=35°,则∠CON的度数为 ( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
〔解析〕 因为射线OM平分∠AOC,∠AOM=35°,所以∠MOC=35°,因为ON⊥OM,所以∠MON=90°,所以∠CON=∠MON-∠MOC=90°-35°=55°.故选C.
如图所示,已知直线AB与CD相交于点O,OB平分∠EOD,∠1+∠2=90°,那么图中的线是否存在互相垂直的关系?若有,请写出哪些线互相垂直,并说明理由;若无,直接说明理由.
〔解析〕 根据角的定义,以及对顶角相等可求出∠1=∠2=45°,再根据角平分线的定义可求出∠2=∠3=45°,可求出EO⊥CD.
解:OE⊥CD.理由如下:
因为∠1+∠2=90°,
又因为∠1=∠2,
所以∠1=∠2=45°.
因为OB平分∠EOD,
所以∠EOD=2∠2=2×45°=90°,
所以OE⊥CD.
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在方格纸(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)中,我们把每个小正方形的顶点称为格点,如图所示,已知O,A,B都是方格纸上的格点.
(1)画线段OA和直线OB;
(2)过O点画AB的垂线,垂足为D;
(3)求△ABO的面积.
〔解析〕 根据直线、线段、垂线的定义,利用作图工具即可解答(1)(2),根据三角形的面积公式,即
可解答(3).
解:(1)如图(1)所示.
(2)如图(2)所示.
(3)由图可知AB=4,OD为AB的垂线,OD=3,根据三角形面积公式可得三角形AOB的面积为4×3÷2=6.
第课时
1.理解并掌握垂线段的意义.
2.理解点到直线的距离的概念.
在对垂线段的学习过程中,体验从操作中发现数学事实,感受简单的推理.
培养学生乐于动手,勤于思考的品质.
【重点】
1.点到直线的距离的概念.
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2.垂线段的性质—垂线段最短.
【难点】 区分垂线段与点到直线的距离.
【教师准备】 教材图5.1-8,教材图5.1-9的投影图片.
【学生准备】 复习垂线的定义及性质.
导入一:
如图所示的是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是哪条线段的长度呢?
[设计意图] 通过生活实例引入本课时垂线段的定义,帮助学生注意从生活中发现数学问题.
导入二:
在学校运动会准备中,老师提醒班级的百米运动员,在跑道中要尽量按照直线跑,减少左右摆动.老师的提醒有什么道理呢?(如图所示)
[设计意图] 通过生活实例帮助学生感受“垂线段最短”的道理.
导入三:
如图所示,路灯底部到路中间分隔线的距离是多少呢?
[过渡语] (针对导入三)如果把路灯杆看成一个点,到公路中间分隔线可以有无数条线段,在这些线段中,哪条是路灯杆到分隔线的距离呢?这就是我们接下来要研究的垂线段问题.
一、垂线段及其性质
思路一
出示教材图5.1-9,提出问题:
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(1)图中哪条线段垂直于直线l?
(2)通过观察和测量,线段PO,PA1,PA2,PA3中哪条线段最长?
(3)继续比较,PAm和PAm+1哪条线段长?
(4)上述的线段都是在垂线PO的左侧,在垂线PO的右侧也有这个结论吗?
(5)从上述比较中,你发现了什么结论?
[设计意图] 首先通过观察帮助学生发现图中的线段长短不一,在此基础上根据测量和生活常识,帮助学生认同“垂线段最短”这个基本事实.
(在学生讨论后总结)
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.
垂线段的定义:如图所示,设点P是直线l外一点,PO⊥l,垂足为O.线段PO叫做点P到直线l的垂线段,过点P画线段PA,PB,…,交l于A,B,…,因为过点P只有一条直线垂直于l,所以线段PA,PB,…都不与l垂直.我们把不与l垂直的线段PA,PB,…叫做点P到直线l的斜线段.
[知识拓展] (1)画已知直线的垂线可以画出无数条,但过一点画已知直线的垂线,只能画出一条.
(2)直线外一点到这条直线的垂线段只有一条,而斜线段却有无数条.
(补充)如图所示,三角形ABC中,AB⊥BC,其中AC=2.5,AB=1,点P是BC上任意一点,那么线段AP的长度可能为 ( )
A.0.5 B.0.7 C.1.5 D.4
〔解析〕 因为点P在BC上运动,且AB⊥BC,根据“垂线段最短”可知线段BC上所有点中,与点A的最近距离为线段AB的长,即1,最远距离为线段AC的长,即2.5,故1≤AP≤2.5,所以满足条件的选项为C.故选C.
思路二
教师出示探究问题.然后师生共同进行探究.
如图所示,连接直线l外一点P与直线l上的点O,A1,A2,A3,…,其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的垂线段).比较线段PO,PA1,PA2,PA3,…的长短,这些线段中,哪一条最短?
处理方式:(1)通过部分学生演示,其他学生观察记录的方法进行;
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(2)教师在黑板上画出直线l,然后画出点P,将直尺的一端固定在P处;
(3)安排学生上台转动直尺,使它与直线l相交,记录直尺与l相交时P与交点间的线段的长度,并同时观察直尺与直线的位置关系;
(4)观察P点到直线l上的点的距离的变化,并思考哪条线段最短.
师生共同归纳结论:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
[设计意图] 通过师生的配合,观察、发现结论,培养学生的观察和发现能力.通过学生的观察使学生对知识的认识由感性上升到理性.
二、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
如图所示,PO的长度是点P到直线l的距离,其余线段PA,PB等的长度都不是点P到直线l的距离,它们都比线段PO长.
[知识拓展] (1)垂线是直线;垂线段是特指一条线段;点到直线的距离是指垂线段的长度.
(2)“垂线段是距离”或“作出点到直线的距离”都是常见的错误语句.“点到直线的距离”实质上是直线外一点到垂足之间的距离,也可以理解成两点之间的距离,不过要弄清楚是怎样的两点.
(补充)如图所示,AD的长度是 ( )
A.点B到AC的距离
B.点C到AB的距离
C.点A到BC的距离
D.以上都不对
〔解析〕 确定垂线段时应先确定垂足,再确定点和直线.线段AD是点A到直线BC的垂线段,因此AD的长度是点A到BC的距离.故选C.
1.直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短.
2.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
1.点P为直线l外一点,A,B,C为直线l上三点,且PA=8 cm,PB=7 cm,PC=5 cm,则点P到直线l的距离为 ( )
A.5 cm B.7 cm
C.8 cm D.不大于5 cm
解析:依据“垂线段最短”.故选D.
2.如图所示,AC⊥BC,AD⊥CD,AB=m,CD=n,则AC的取值范围是 ( )
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A.AC>n B.ACBC,所以AB最长.
有人说:“画出直线l外一点P到直线l的距离.”这句话正确吗?为什么?
[错解] 正确,因为能画出.
[易错辨析] 本题主要考查点到直线的距离和垂线段的区别.我们能画出点到直线的垂线段,而点到直线的距离是指垂线段的长度,不能画出,它只能用刻度尺去度量.
[正解] 这句话是错误的,因为我们只能画出点P到直线l的垂线段,而距离只能用刻度尺度量.
如图所示,平原上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池.
(1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H点的位置,使它到四个村庄的距离之和最小;
(2)计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠最短,并说明根据.
〔解析〕 (1)由两点之间线段最短可知:连接AD,BC交于H,则H为蓄水池的位置.(2)根据垂线段最短可知要作一个垂直于EF的线段.
解:(1)因为两点之间线段最短,
所以连接AD,BC交于H,则H为蓄水池位置.
如图所示,H到四个村庄距离之和最小.
99
(2)过H作HG⊥EF,垂足为G,如图所示的HG.“过直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据.
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
了解同位角、内错角、同旁内角的概念,能够在具体的图形中辨别这些角.
通过观察、探究、辨别,培养学生对图形的辨别能力.
在学习的过程中,培养学生不怕困难、勇于探索的精神.
【重点】 同位角、内错角、同旁内角的概念.
【难点】 在复杂的图形中辨别同位角、内错角、同旁内角的概念.
【教师准备】 同位角、内错角、同旁内角的概念的板书和例题.
【学生准备】 复习对顶角、邻补角等相关知识.
导入一:
出示下图和问题:
(1)找出图中的对顶角、邻补角?
(2)∠1和∠4是什么角?
(3)∠1和∠3是什么角?
[设计意图] 第(1)问是对基础知识的复习,为学习本节课做好知识准备,同时也便于学生比较两条直线相交所形成的角和三条直线相交所形成的角的区别.第(2)问和第(3)问是为本课时的学习做铺垫,帮助学生初步感受同位角和内错角.
导入二:
99
课堂上同学们做与角有关的手指游戏,如图所示,你能猜到表示的是什么角吗?
[设计意图] 数学游戏活动更能激发学生的学习欲望,使学生带着好奇心和兴趣进入学习.
导入三:
观察下图,∠1和∠2是对顶角吗?或者是同旁内角吗?
[设计意图] 通过问题的提出,帮助学生认识存在着不同于对顶角的角,为学生发现问题,探索问题搭建了平台.
一、“三线八角”
思路一
[过渡语] (针对导入一)通过观察,∠1和∠4既不是对顶角也不是邻补角,∠1和∠3既不是对顶角也不是邻补角,它们到底是什么关系的角呢?
1.同位角.
观察下图回答问题:
(1)∠1与∠5是对顶角或邻补角吗?
(2)∠1与∠5的位置关系有什么特点?
〔解析〕 (1)∠1与∠5不是对顶角或邻补角;(2)从左右和上下的位置关系方面考虑,∠1与∠5位于直线EF右侧,分别在直线AB,CD的上方.
定义:∠1与∠5分别在直线AB,CD上方,均在直线EF右侧,像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角.
追问:同∠1与∠5的位置关系类似的还有哪些角?
提示:例如∠2与∠8,∠4与∠6,∠3与∠7也是同位角.
[设计意图] 第(1)问是为了帮助学生复习知识和发现问题,第(2)问是引导学生总结同位角的含义,追问是深化学生对同位角的理解.
2.内错角.
[过渡语] 上图中的八个角,除了同位角关系之外,∠2与∠6这样一对角是什么关系呢?
问题:
(1)∠2与∠6是一对同位角吗?
(2)∠2与∠6的位置关系有什么特点?
(3)同∠2与∠6的位置关系类似的还有哪组角?
99
定义:∠2与∠6这两个角都在直线AB,CD之间,且在直线EF两侧,具有这种位置关系的一对角叫做内错角.例如∠3与∠5也是内错角.
3.同旁内角.
问题:
(1)∠2与∠5是内错角吗?
(2)∠2与∠5的位置关系有什么特点?
(3)同∠2与∠5的位置关系类似的还有哪组角?
定义:∠2与∠5这两个角都在直线AB,CD之间,且在直线EF同旁,具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.例如∠3与∠6也是同旁内角.
[知识拓展] (1)构成同位角、内错角、同旁内角的一对角研究的是三条直线相交的角的情况;
(2)同位角、内错角、同旁内角这三类角都是一种位置关系,而不是大小关系;
(3)同位角、内错角、同旁内角总是成对出现的;
(4)判断“三线八角”中的两个角的位置关系,同位角为“F”形,内错角为“Z”形,同旁内角为“U”形,截线是这些角的边所共有的直线.
思路二
1.知识准备.
问题1:两条直线a,b相交,形成了几个角?
问题2:这些角之间有什么关系?请举例说明.
问题3:这些角之间有什么共同之处?
2.处理方式.
教师安排学生上黑板上画出图形,然后结合图形说出相关的知识.
[设计意图] 通过对对顶角及邻补角概念的复习,引入同位角、内错角、同旁内角的学习.使学生在后面的学习中认识到同位角、内错角、同旁内角与对顶角、邻补角的联系与区别.
3.新知问题.
观察下图,思考问题:
问题1:两条直线被第三条直线所截,形成了几个角?
提示:8个.
问题2:观察∠1和∠8,它们之间有什么位置关系?具有这种位置关系的角叫什么?
提示:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的同一方,并且在第三条直线(截线)的同侧,则这样的一对角叫做同位角.
问题3:观察∠2和∠5,它们之间有什么位置关系?具有这种位置关系的角叫什么?
提示:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的两侧,则这样的一对角叫做内错角.
问题4:观察∠2和∠6,它们之间有什么位置关系?具有这种位置关系的角叫什么?
提示:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样的一对角叫做同旁内角.
问题5:同位角、内错角、同旁内角在图中分别有几组?请指出来.
提示:同位角有四组,即∠1与∠8;∠4与∠5;∠3与∠6;∠2与∠7.同旁内角有两组,即∠1与∠5;∠2与∠6.内错角有两组,即∠2与∠5;∠1与∠6.
二、例题讲解
(教材例2)如图所示,直线DE,BC被直线AB所截.
99
(1)∠1和∠2,∠1和∠3,∠1和∠4各是什么位置关系的角?
(2)如果∠1=∠4,那么∠1和∠2相等吗?∠1和∠3互补吗?为什么?
解:(1)∠1和∠2是内错角,∠1和∠3是同旁内角,∠1和∠4是同位角.
(2)如果∠1=∠4,由对顶角相等,得∠2=∠4,那么∠1=∠2.
因为∠4和∠3互补,即∠4+∠3=180°,又因为∠1=∠4,所以∠1+∠3=180°,即∠1和∠3互补.
[易错提示] “三线八角”中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角,完全由那两个角在图形中的相对位置决定.
(补充)如图所示,试判断下列各对角的位置关系:∠1与∠2,∠1与∠7,∠1与∠BAD,∠2与∠9,∠2与∠6,∠5与∠8.
〔解析〕 我们可以先将各对角从图形中抽出来,得到一个简单的图形,再进行分析.此处我们直接回答了.
解:∠1与∠2是同旁内角,∠1与∠7是同位角,∠1与∠BAD是同旁内角,∠2与∠9没有特殊的位置关系,∠2与∠6是内错角,∠5与∠8是对顶角.
1.产生同位角、内错角、同旁内角的前提是有三线,即两直线AB,CD都与第三条直线EF相交,或认为两直线AB,CD被EF所截,共形成八个角.这三种角是没有公共顶点的角之间的关系.如图所示.
2.如图所示,在截线同侧且同向的两个角称为同位角,如∠1与∠5,图中共有四对;在两直线之间截线异侧的两个角称为内错角,如∠2与∠8,图中共两对;在两直线之间截线同侧的两个角称为同旁内角,如∠2与∠5,图中共有两对.
3.这三种角揭示的仅仅是两角的位置关系,并无大小关系.
1.已知AB,CD被直线EF所截,如图所示,则∠EMB的同位角是 ( )
A.∠AMF B.∠BMF
C.∠ENC D.∠END
99
解析:同位角的定义是判断此题的关键.故选D.
2.如图所示,与∠1是内错角的是 ( )
A.∠2 B.∠3
C.∠4 D.∠5
解析:根据内错角的定义知∠1的内错角是∠3.故选B.
3.如图所示,下列判断正确的是 ( )
A.∠1,∠2,∠3是同旁内角
B.∠1和∠2是内错角
C.∠1和∠4是同位角
D.∠2和∠4是同位角
解析:找到两个角所涉及的三条线,再根据定义判断是什么角.故选C.
4.如图所示,AB⊥BC,BC⊥CD,∠EBC=∠BCF,设∠ABE=∠α,∠FCD=∠β,则∠α与∠β ( )
A.是同位角且相等
B.不是同位角但相等
C.是同位角但不相等
D.不是同位角也不相等
解析:∠α与∠β涉及了四条直线,所以不是同位角,根据等角的余角相等,可得∠α=∠β.故选B.
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
1.“三线八角”
2.例题讲解
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例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第7页练习第1题.
【选做题】
教材第7页练习第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,与∠1构成同位角的角的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图所示,能与∠α构成同位角的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图所示,下列判断错误的是 ( )
A.∠1与∠2是同旁内角
B.∠3与∠4是内错角
C.∠5与∠6是同旁内角
D.∠5与∠8是同位角
4.如图所示,AB,CD被直线EF所截,则共有( )
A.两对同位角,两对内错角,两对同旁内角,两对对顶角
B.四对同位角,一对内错角,一对同旁内角,两对对顶角
C.两对同位角,两对内错角,四对同旁内角,四对对顶角
D.四对同位角,两对内错角,两对同旁内角,四对对顶角
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5.如图所示,三条直线AB,CD,EF两两相交,是内错角的是 ( )
A.∠1与∠4 B.∠2与∠3
C.∠2与∠4 D.∠1与∠2
6.如图所示,∠1和∠2是一对 角,∠3和∠4是一对 角,∠3和∠5是一对 角.
【能力提升】
7.指出图中的同位角、内错角、同旁内角(只使用标出的角).
8.如图所示,过点F画直线MN,使所成的∠NFE与∠1是内错角.
9.两条直线被第三条直线所截,∠1的同旁内角∠2等于80°,求∠1的内错角的度数.
99
10.若∠1=∠B,则∠2与∠B有何数量关系?说明理由;若∠4+∠C=180°,则∠3与∠C有何数量关系?说明理由.
【答案与解析】
1.D(解析:图中有两条直线与∠1的两边相交,分别去分析每一条直线与∠1两边的相截关系,同时把多余的线隐去.)
2.C(解析:图中有三条直线与∠α的某一边相交,构成三种不同的“三线八角”图.)
3.C(解析:∠5与∠6的两边共在四条直线上,不是一条直线截两条直线而成的.)
4.D(解析:找对顶角时,应从同一顶点处找.)
5.B(解析:给出的各对角,只有∠2与∠3属于“Z”形位置特征.)
6.同位 内错 同旁内(解析:按其位置关系的特征判断.)
7.解:同位角:∠1与∠5,∠2与∠6,∠3与∠7,∠4与∠8.内错角:∠3与∠5,∠4与∠6.同旁内角:∠3与∠6,∠4与∠5.
8.解:如图所示.
9.解:因为180°-80°=100°,所以∠1的内错角为100°.
10.解:∠2+∠B=180°.理由如下:因为∠1+∠2=180°,又∠1=∠B,所以∠2+∠B=180°.∠3=∠C.理由如下:因为∠3+∠4=180°,又∠4+∠C=180°,所以∠3=∠C.
本课时通过观察图形的方式,在对问题的思考、交流、探讨中形成了对概念的认识,这是本课时的成功之处.这种成功之处在于对上一节的知识进行了有效的复习,提出的思考问题步步诱导、层层深入,使学生对概念的掌握达到了水到渠成的境界.
在处理两条直线被第三条直线所截的时候,忽略了对特殊情形的处理,特别是三角形形状的三条直线的所截关系,对学生的知识掌握会造成一定的障碍.
在理解同位角、内错角、同旁内角的概念的时候,强调位置关系决定了角之间的关系.例题的讲解放手交给学生独立去完成,适当增加一些有难度的习题,便于学生在复杂的图形中领会角的位置关系.
99
练习(教材第7页)
1.解:(1)同位角:∠1与∠5,∠3与∠7,∠2与∠6,∠4与∠8.内错角:∠3与∠6,∠4与∠5.同旁内角:∠3与∠5,∠4与∠6.(2)同位角:∠1与∠3,∠2与∠4.同旁内角:∠2与∠3.
2.解:∠B与∠BAD是内错角.∠B与∠BAE是同旁内角.它们是直线BC,DE被直线AB所截形成的;∠B与∠BAC是同旁内角,它们是直线AC,BC被直线AB所截形成的;∠B与∠C是同旁内角,它们是直线AB,AC被直线BC所截形成的.∠C与∠CAE是内错角.∠C与∠DAC是同旁内角,它们是直线BC,DE被直线AC所截形成的;∠C与∠BAC是同旁内角,它们是直线AB,BC被直线AC所截形成的;∠C与∠B是同旁内角,它们是直线AB,AC被直线BC所截形成的.
习题5.1(教材第7页)
1.提示:(1)不是. (2)是. (3)不是. (4)不是.
2.解:(1)∠AOC的邻补角为∠COB,∠AOD.∠BOE的邻补角为∠BOF,∠AOE. (2)∠DOA的对顶角为∠COB.∠EOC的对顶角为∠FOD. (3)∠BOD=∠AOC=50°(对顶角相等).∠COB=180°-∠AOC=130°(邻补角之和为180°).
3.解:OB⊥OD,OA⊥OC,直角顶点放在O处,一边放在OA(OB)处,看另一边是否与OC(OD)重合.
4.解:动手操作可以看到过点P且与l垂直的直线只能折出一条,因为过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.过点Q同样也只能折出一条,理由同上.
5.解:因为EO⊥AB,所以∠AOE=90°(垂直定义),所以∠AOC+∠EOC=90°.因为∠EOC=35°,所以∠AOC=90°-∠EOC=55°.又因为∠AOC+∠AOD=180°(邻补角之和为180°), ∠AOD=180°-∠AOC=180°-55°=125°.
6.解:如图所示.
7.提示:点P到OA,OB的距离相等.
8.解:(1)因为∠EOC=70°,OA平分∠EOC,所以∠AOC=∠EOC=35°(角平分线定义).又因为∠BOD与∠AOC为对顶角,所以∠BOD=∠AOC=35°(对顶角相等). (2)因为∠EOC+∠EOD=180°(邻补角之和为180°),且∠EOC∶∠EOD=2∶3,所以∠EOC=×180°=72°.又因为OA平分∠EOC,所以∠AOC=∠EOC=36°(角平分线定义).所以∠BOD=∠AOC=36°(对顶角相等).
9.解:对顶角相等.
10.解:图中测出的跳远成绩是2.5 cm,则他的实际跳远成绩是2.5×150=375(cm).
11.解:(1)∠1和∠2是直线AB,CD被直线BD所截形成的,它们是内错角.∠3和∠4是直线AD,BC被直线BD所截形成的,它们是内错角.(2)∠1和∠2是直线AB,CD被直线BC所截形成的,它们是同旁内角.∠3和∠4是直线AD,BC被直线AE所截形成的,它们是同位角.
12.解:在同一条直线上.
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13.解:(1)如图所示. (2)在同一条直线上. (3)如图所示,OG⊥OE.因为OE平分∠AOC,OG平分∠AOD,所以∠AOE=∠AOC,∠AOG=∠AOD,所以∠EOG=(∠AOC+∠AOD)=×180°=90°,即OE⊥OG.
同位角、内错角、同旁内角的特征与识别
如图所示,将一块三角板镶嵌在两根木棒(AD与AE)之间(木棒可看成是线段),则图中共有 对同旁内角.
〔解析〕 直线BC,AC,AB分别看成是截线.BC为截线时,有两对同旁内角,AC,AB为截线时,各有一对同旁内角.故填4.
(2014·上海中考)如图所示,已知直线a,b被直线c所截,那么∠1的同位角是 ( )
A.∠2 B.∠3
C.∠4 D.∠5
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〔解析〕 根据同位角定义:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的同侧,并且在第三条直线(截线)的同旁,则具有这种位置关系的一对角叫做同位角,可得∠1的同位角是∠2.故选A.
如图所示,两只手的食指和拇指在同一个平面内,它们构成的一对角可看成是 ( )
A.对顶角 B.同位角
C.内错角 D.同旁内角
〔解析〕 拇指所在直线被两个食指所在的直线所截,因而构成的一对角可看成是内错角.故选C.
5.2 平行线及其判定
1.让学生在丰富的现实情境中进一步了解两条直线的平行关系,掌握有关的符号表示.
2.让学生经历用三角板、量角器画平行线的方法,积累操作经验.
3.在实践操作中,探索并了解平行线的有关性质.
4.初步感受数学的转化思想,尝试用转化思想研究问题.
1.能观察和想象两直线存在平行关系,并在实践、探索中获取平行线的有关性质.
2.在观察、想象、实践、操作中发现并提出问题,初步体会在解决问题的过程中与他人合作、交流的重要性.
认识到通过观察、想象、实践、操作、归纳可以获取数学知识,体验数学活动富有探索性,因而激发学生的学习兴趣,增强学生的学习信心,培养学生可持续学习的能力.
【重点】
1.平行线的性质和判定.
2.用数学语言描述平行线的性质和判定方法.
【难点】
1.平行公理及其推论.
2.用数学语言推导和说明问题.
5.2.1 平行线
99
1.理解平行线的概念.
2.掌握平行公理的内容.
1.经历观察、思考的过程,感受平面内两直线间的位置.
2.通过观察和操作,体验基本的数学事实:平行公理.
通过观察、操作、思考,培养学生学习数学的兴趣.
【重点】
1.平行线的概念.
2.平行公理.
【难点】 平行公理的探究.
【教师准备】 演示教材图5.2-1的学具.
【学生准备】 预习本课时的教材内容.
导入一:
教材图5.2-1可以简化为下图,分别将木条a,b与木条c钉在一起,并把它们想象成两端可以无限延伸的三条直线,转动a,直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在右侧与b相交,在这一过程中,有没有直线a与b不相交的位置?
[设计意图] 通过演示有助于学生观察和思考问题,使抽象的问题形象化、具体化.
导入二:
如如图所示,老师在黑板上任意画两条直线a与b,则这两条直线是否有交点?
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[设计意图] 开门见山,指出平面内两条直线最基本的两种关系,在这里先总结为“有交点”和“没交点”,为引出“平行”的概念做铺垫.
导入三:
在如图所示的笔记本页面上,你能发现这些横线之间有什么特点吗?
[设计意图] 从日常生活常见的事物入手,帮助学生近距离地感受平行线.
[过渡语] 平面内的两条直线,除了相交之外,还有没有不相交的情况?
一、平行线
1.认识平行.
操作与问题思考:
(1)画两条相交的直线?
(2)正方形的对边所在的直线有交点吗?
(3)画两条没有交点的直线?
[设计意图] 学生容易画出两条直线相交的情况,对没画出交点的同学的做法要给予肯定,因为这样对两直线相交理解更深刻.对第(2)问没有交点的情况学生也会认同,这就为引入平行的定义创造了条件.
总结:在平面内的两条直线a与b不相交,这时我们说直线a与b互相平行,记作a∥b.
2.举例说平行.
在我们的生活中,平行是一种很常见的现象.请同学们观看下列图片后,想一想,生活中还有哪些平行的例子?
3.例题讲解.
(补充)下列说法正确的是 ( )
A.同一平面内,两条直线的位置关系只有相交、平行两种
B.同一平面内,不相交的两条线段互相平行
C.不相交的两条直线是平行线
D.同一平面内,不相交的两条射线互相平行
〔解析〕 两条线段或两条射线平行,是指它们所在的直线互相平行,因此,两条线段或两条射线不相交,并不能保证它们所在的直线不相交,所以B,D是错误的,两直线平行的前提是在同一平面内,故C是错误的,由平行线的概念可知A正确.故选A.
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[知识拓展] 两直线的位置关系,要抓住两点:
(1)在同一平面内.
(2)两条线段或射线的位置关系是指它们所在直线的位置关系.
二、平行公理
思路一
问题:
(1)经过直线外一点作已知直线的相交线,可以作几条?
(2)经过直线外一点作已知直线的平行线,可以作几条?
(3)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线的位置关系如何?(或如果b∥a,c∥a,那么b,c的位置关系呢?)
[设计意图] 问题(1)的设置是帮助学生体验“无数”和“唯一”的准确含义.第(2)问首先强调的是有符合条件的直线,然后在研讨有几条的问题.
解决问题(1):学生自行解决.
解决问题(2):(教师操作学生观察,然后学生间进行交流、讨论,然后师生共同归纳整理)
平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
解决问题(3):(学生先动手画一画,想一想,然后总结回答)
平行公理推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
也就是说,如果b∥a,c∥a,那么b∥c.如图所示.
[设计意图] 通过操作、观察,使学生认识到“平行公理”的数学事实,体验公理的内容.通过思考、观察、归纳、总结,感受平行公理的推论的内容,进一步加深对平行公理的理解.
思路二
问题:
(1)如图所示,过B画直线a的平行线,能画出几条?再过C点试一试.它反映了怎样的一个数学事实?
(2)如图所示,b∥a,c∥a,那么b与c的位置关系如何?
问题处理基本方式:教师展示,学生认真观察、思考.师生共同归纳.
归纳总结基本结论:
(1)平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
(2)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.也就是说,如果b∥a,c∥a,那么b∥c.
[知识拓展] 准确理解平行线的概念,应把握好如下几点:
(1)平行线是在同一平面内具有特殊位置关系的两条直线.平行线没有公共点,但没有交点未必就平行,只有在“同一平面内”才平行;
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(2)平行线指的是“两条直线”,而不是两条线段或射线,若说两条线段(射线)平行,则指的是两条线段(射线)所在的直线平行;
(3)“不相交”就是说两条直线没有交点,即没有公共点;
(4)平行关系是相互的,若AB∥CD,也可写作CD∥AB;
(5)平行公理中的“有”是指存在性,即“经过直线外一点,有一条直线与已知直线平行”,“只有”是指唯一性,即“经过直线外一点,只有一条直线与已知直线平行”.二者缺一不可.
(补充)如图所示,AB∥CD,过E作EF∥AB,那么EF∥CD,为什么?
〔解析〕 判断EF与CD的位置关系,可以考虑通过平行公理说明.
解:因为AB∥CD,EF∥AB,所以EF∥CD(两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行).
1.平行线的概念:在同一平内,不相交的两条直线叫平行线,记作a∥b.
2.同一平面内,两条直线的位置关系只有平行和相交两种.
3.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.
4.如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
5.判定两直线平行的方法:①定义;②平行公理.
1.下列是平行线的形象的有 ( )
①双杠;②斑马线;③铁轨;④纵横交错的防盗网.
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析:①双杠,②斑马线,③铁轨都是生活中的平行线的形象,④纵横交错的防盗网是生活中的相交线的形象.故选D.
2.在同一平面内,两条直线可能的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.相交或平行 D.垂直
解析:在同一平面内,两条直线只有两种位置关系,即平行或相交,注意垂直是相交的一种特殊情况,不能单独作为一类.故选C.
3.过一点画已知直线的平行线,则 ( )
A.有且只有一条 B.有两条
C.不存在 D.不存在或只有一条
解析:如果点在直线上,过这点画与已知直线平行的线画不出来,如果点在直线外,过这点有且只有一条直线与已知直线平行.故选D.
4.三条直线a,b,c,若a∥c,b∥c,则a与b的位置关系是 ( )
A.a⊥b B.a∥b
C.a⊥b或a∥b D.无法确定
99
解析:根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行”进行分析,得出正确答案.由于直线a,b都与直线c平行,依据平行公理的推论,可推出a∥b.故选B.
5.2.1 平行线
1.平行线
例1
2.平行公理
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第12页练习第(1)题.
【选做题】
教材第12页练习第(2)题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在同一平面内的三条直线,若其中有且只有两条直线互相平行,则它们交点的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.下列说法正确的有 ( )
①不相交的两条直线是平行线;
②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种;
③若线段AB与CD没有交点,则AB∥CD;
④若a∥b,b∥c,则a与c不相交.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,用符号表示下列两棱的位置关系:A1D1 AD,A1B1 A1A,A1B1 C1D1.
4.如图所示,在同一平面内,有三条直线a,b,c,且a∥b,如果直线a与c交于点O,那么直线c与b的位置关系是 .
5.小明和小刚在铁路的两侧,分别沿着与铁路平行的直线往前走,小明和小刚行走的路线平行吗?为什么?
【能力提升】
6.以下说法中不正确的个数有 ( )
99
①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线;
②在同一平面内的两条直线的位置关系可能有两种:平行或相交;
③如果延长线段AB,延长射线CD,它们仍然不相交,那么这条线段与这条射线互相平行;
④如果两条直线不相交,那么这两条直线一定平行.
A.1 B.2 C.3 D.4
7.在同一平面内,直线l与两条平行线a,b的位置关系是 ( )
A.l一定与a,b都平行
B.l可能与a平行,与b相交
C.l一定与a,b都相交
D.l与a,b都平行或都相交
8.已知直线l同侧有A,B,C三点,如果A,B两点确定的直线l1与B,C两点确定的直线l2都与直线l平行,则A,B,C三点的位置关系是 ,其理论依据是 .
9.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,P是AB的中点,过P点作AD的平行线交DC于Q点.
(1)PQ与BC平行吗?为什么?
(2)测量DQ与CQ的长,DQ与CQ是否相等?
【拓展探究】
10.在同一平面内有四条直线a,b,c,d,已知a∥d,b∥c,b∥d,则a和c的位置关系是 .
11.如图所示,点D是三角形ABC的BC边上的一点.
(1)过点D画直线DE∥AB,与AC相交于点E;
(2)过点D画直线DF∥AC,与AB相交于点F;
(3)猜一猜∠BDF与∠C,∠CDE与∠B,∠FDE与∠A之间的大小关系,并用量角器量一量进行验证.
【答案与解析】
1.C(解析:根据题意,第三条直线与这两条平行直线各有一个交点,即共有2个交点.故选C.)
2.B(解析:①缺少条件“在同一平面内”,②正确;③两线段没有交点并不能说明两线段所在的直线没有交点,所以不能判定AB∥CD;④正确.故选B.)
3.∥ ⊥ ∥(解析:生活经验告诉我们,长方形的对边是平行的.)
4.相交(解析:两直线平行,如果第三条直线与平行线中的一条相交,那么与另一条也相交.因为a∥b,又直线a与c相交,所以直线c与b的位置关系是相交.)
5.解:平行.理由如下:与一条直线都平行的两条直线平行.
6.B(解析:①②正确;③不正确,因为线段和射线不是向两个方向延长,所以可能没有交点,因而说这条线段与这条射线互相平行是不正确的;④缺少“在同一平面内”的条件.故选B.)
99
7.D(解析:在同一平面内,直线有两种位置关系:平行或相交.若直线l与两条平行线a,b中的一条相交,则直线l与a,b都相交,若直线l与两条平行线a,b中的一条平行,则直线l与a,b都平行.故选D.)
8.共线 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
9.解:(1)平行.因为PQ∥AD,AD∥BC,所以PQ∥BC. (2)DQ=CQ.
10.平行(解析:根据平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行可得.)
11.解:(1)如图所示. (2)如图所示. (3)∠BDF=∠C,∠CDE=∠B,∠FDE=∠A,验证略.
平行线的定义和平行公理都是学生在动手尝试的基础上引入的,这就避免了学生被动接受知识的情况,把学习变成学生主动的探索过程.
平行公理的推理是本课时的教学难点,在得出这个结论的时候,没有指导学生始终抓住平行定义这个要点,造成了学生在推导过程中得出结论有困难.
在直接观察的基础上,引导学生注重对问题的抽象思考.因为本课时的相关知识是直接验证的,不是在充分证明的基础上得出的.
练习(教材第12页)
解:(1)如图所示. (2)如图所示.
本节的重点是平行公理及其推论.“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”的几何是欧氏几何,否则是非欧几何.由此可见,平行公理在几何中的地位十分重要.在教学时,学生可以从用直尺和三角板画平行线的画图过程中,理解平行公理.特别是真正地体会到公理中的“有且只有”的意义.
99
本节难点是理解平行线的概念以及由平行公理导出其推论的过程中的“在同一平面内”这个前提,是为了区别立体几何中异面直线的情况.教学时只要学生能意识到,空间的直线还存在另一种不相交的情形,即异面直线.另外,从平行公理推导出其推论的过程,渗透了反证法的思想.初中生难于理解,教材对反证法既不作要求,也不必提出反证法这个词,只要把道理说明白即可.
(1)概念的引入:学生从教师创设的情境中,可以直观地认识平行线.从实例中,体会平行线在现实中是存在的,并且有它固有的属性,因此很有必要认真地研究它.当然,我们首先要能深刻地理解它的定义.
(2)分析概念:教师可以举一组图形,帮助学生理解定义中强调的“在同一平面内”这个前提条件.
(3)平行公理及其推论:在学生画图的过程中,教师可以提出问题,过直线外一点有几条直线可以与已知直线平行呢?学生在动手操作后,可以体验到公理的客观存在性.并且可以让有数学素养的同学,尝试说明平行公理推论的正确性,通过说理,体会数学的严谨性与逻辑性.
5.2.2 平行线的判定
掌握判定两条直线平行的方法,能运用判定方法对两直线的位置关系进行判定.
在学习直线位置关系的判定过程中,感受逻辑推理,逐步学习证明的方法.
在学习过程中,通过师生的互动交流,促使学生合作交流,主动参与.
【重点】 探索并掌握平行线的判定方法.
【难点】 用数学语言判定两直线是否平行.
【教师准备】 出示教材图5.2-5,5.2-6的投影片.
【学生准备】 复习平行的定义和平行公理.
99
导入一:
老师在黑板上任意画两条直线a与b,那么这两条直线互相平行吗?
[设计意图] 学生在讨论这个问题的时候,无论认为相交还是不相交,都拿不出足以让人信服的依据.在这种争辩的氛围下,引入平行线判断的方法.
导入二:
出示教材图5.2-5,提出思考问题:我们以前学过用直尺和三角板画平行线,在这一过程中三角板起什么作用?(教师再次演示画平行线的过程)
[设计意图] 通过教师的操作,使学生对平行线的画法有一个直观的认识,通过观察与讨论,使学生逐步从感性认识上升到理性认识,发展学生的思维.
导入三:
观看下面的演示,思考问题:
(1)在三个演示情境中,你认为哪组中的直线a与b是互相平行的?
(2)在演示的过程中,∠1和∠2之间的关系有什么变化?
[设计意图] 通过演示两条直线的平行,让学生发现图中∠1和∠2的关系变化,进而从同位角的角度判断两直线是否平行.
一、判定方法1
思路一
[过渡语] (针对导入二)在上面画平行线的过程中,三角板起着怎样的作用呢?
教师引导学生把画出的平行线转化为数学图形,如图所示.
99
师:画AB平行于CD,实际上就是画什么?
生:∠1等于∠2.
师:∠1和∠2是什么关系?
生:相等.
师:通过上述发现,我们可以怎样判断两条直线平行?
归纳:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:同位角相等,两直线平行.
[设计意图] 通过教师的操作过程,给学生一个直观的印象,通过学生的讨论,培养学生的合作意识.从实物抽象到几何图形,是对学生能力的一种培养,通过学生的讨论、归纳总结,得出结论,使学生对平行线的判定方法有一个深刻的认识,同时培养了学生的归纳总结能力.
思路二
(1)观察演示.
如图所示,分别将木条a,b与木条c钉在一起,并把它们想象成直线,在直线a,b被直线c所截成的角中,∠1和∠2是什么角?转动a,这两个角之间还保持这种关系吗?
(2)问题研讨.
问题:在转动a的过程中,∠1与∠2存在怎样的大小关系时,直线a和b是平行的?
师:通过上述发现,我们可以怎样判断两条直线平行?
生:(可以用自己的表述进行总结)
归纳:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:同位角相等,两直线平行.
二、应用新知
问题:你能说出木工用下图中的角尺画平行线的道理吗?
提示:可以借助同位角相等两直线平行的知识进行解释.
三、判定方法2和判定方法3
[过渡语] 两条直线被第三条直线所截,形成的角中,有同位角、内错角和同旁内角,同位角相等,两直线平行,那么,利用内错角、同旁内角的关系,能否判定两直线平行?
[设计意图] 直截了当地切入本节课的中心内容,通过猜想、讨论,引起学生的探究欲望.
观察思考:
99
问题1:如图所示,当∠2=∠3,直线a,b是什么关系?为什么?
问题2:如图所示,你能发现当∠2,∠4有怎样的关系时,直线a∥b吗?
处理方式:教师先让学生回答,回答不完整或条理不清楚的地方教师再加以补充.在判定方法2的基础上,继续深入推导得出判断方法3.
共同归纳:
判定方法2:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简单说成:内错角相等,两直线平行.
判定方法3:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
简单说成:同旁内角互补,两直线平行.
[设计意图] 通过观察、讨论,培养学生分析图形的能力,感受转化思想.由未知转化为已知,转化为已解决的问题.在讨论过程中,学会与他人合作交流及分享,感受与他人合作的乐趣.
四、例题讲解
(教材例题)在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什么?
〔解析〕 垂直总与直角联系在一起,进而用判断两条直线平行的方法进行判定.
解:这两条直线平行.理由如下:
如下图所示.
因为b⊥a,所以∠1=90°.同理∠2=90°.
所以∠1=∠2.
因为∠1和∠2是同位角,
所以b∥c(同位角相等,两直线平行).
(补充)如图所示,在下列给出的条件中,不能判定AB∥DF的是 ( )
A.∠A+∠2=180° B.∠A=∠3
C.∠1=∠4 D.∠1=∠A
〔解析〕 判定的是AB与DF平行,则把这两条直线看作被截的两直线,去找同位角、内错角和同旁内角的关系,其中D选项∠1和∠A是AC,DE被AB所截形成的同位角,由∠1=∠A得到的应是AC∥DE.故选D.
[设计意图] 通过对问题的解决,既培养学生的说理能力,又让学生体验生活中的数学现象,感受数学与生活的联系.
[知识拓展] 判断两条直线平行的步骤:先找同位角或内错角,看它们是否相等;若没有,再找同旁内角,看它们是否互补;若还没有,再找题中有无对顶角等可以转换为同位角、内错角或同旁内角;若没有,看两条直线是否平行于第三条直线.
99
判断两条直线平行的基本方法:
(1)定义;
(2)平行公理;
(3)同位角相等,两直线平行;
(4)内错角相等,两直线平行;
(5)同旁内角互补,两直线平行.
1.如图所示的是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图,画图的原理是 ( )
A.同位角相等,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角互补,两直线平行
D.平行于同一直线的两直线平行
解析:因为∠DCF=∠BAF,所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行).故选A.
2.如图所示,已知∠1=70°,要使AB∥CD,则需具备另一个条件 ( )
A.∠2=70° B.∠2=100°
C.∠2=110° D.∠3=110°
解析:欲证AB∥CD,在图中发现AB,CD被一直线所截,且已知∠1=70°,故可按同旁内角互补两直线平行补充条件.因为∠1=70°,要使AB∥CD,则只要∠2=180°-70°=110°(同旁内角互补两直线平行).故选C.
3.(2014·湘潭中考)如图所示,直线a,b被直线c所截,若满足 ,则a,b平行.
解析:此题主要考查了平行线的判定,答案不唯一.故填∠1=∠2.
4.如图所示,已知∠1=∠2,AC平分∠DAB,试说明DC∥AB.
99
解:因为AC平分∠DAB(已知),
所以∠1=∠CAB(角平分线定义).
又因为∠1=∠2(已知),
所以∠CAB=∠2(等量代换).
所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
5.2.2 平行线的判定
判定方法1
判定方法2
判定方法3
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第14页练习第1题.
【选做题】
教材第14页练习第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,如果∠D=∠EFC,那么 ( )
A.AD∥BC B.EF∥BC
C.AB∥DC D.AD∥EF
2.如图所示,下列条件中能判断直线l1∥l2的是 ( )
A.∠1=∠2 B.∠1=∠5
C.∠1+∠3=180° D.∠3=∠5
3.如图所示,已知∠1=∠2,则图中互相平行的线段是 .
99
4.如图所示,根据下列条件,可以判定哪两条直线平行?并说明判定的依据.
(1)∠1=∠C;(2)∠2=∠4;(3)∠2+∠5=180°;(4)∠3=∠B;(5)∠6=∠2.
【能力提升】
5.如图所示,下列推理中正确的个数有 ( )
①因为∠1=∠4,所以BC∥AD.
②因为∠2=∠3,所以AB∥CD.
③因为∠BCD+∠ADC=180°,所以AD∥BC.
④因为∠1+∠2+∠C=180°,所以BC∥AD.
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(2014·汕尾中考)如图所示,能判定EB∥AC的条件是 ( )
A.∠C=∠ABE B.∠A=∠EBD
C.∠C=∠ABC D.∠A=∠ABE
7.如图所示,三块相同的三角尺拼成一个图形,请找出图中的平行线,并说明理由.
小颖:AC与DE是平行的,因为∠EDC与∠ACB是同位角且相等.你能看懂她的意思吗?小明:我是这样想的,因为∠BCA=∠EAC,所以BD∥AE.你知道这一步的理由吗?请你再找出一组平行线,说说你的理由.
【拓展探究】
8.如图所示,直线AB和CD被直线MN所截,EG平分∠BEF,FH平分∠DFE.当∠1与∠2满足什么条件时,AB∥CD?
99
9.小明到工厂去进行社会实践活动时,发现工人师傅生产了一种如图所示的零件,要求AB∥CD.小明发现工人师傅只是量出∠BAE=30°,∠AED=70°后,又量了∠EDC=40°,就说AB与CD肯定是平行的.聪明的你知道什么原因吗?
【答案与解析】
1.D(解析:根据同位角相等两直线平行判断得出即可.因为同位角相等两直线平行,又因为∠D=∠EFC,所以AD∥EF.故选D.)
2.C(解析:需要确定两个角是不是属于三线八角的基本图形.∠1和∠2是直线l3和l4被l1所截形成的三线八角中的同旁内角;∠1和∠5不是三线八角中的对应角;∠1和∠3是l1,l2被l3所截形成的同旁内角,它们互补,则两直线平行;∠3和∠5是对顶角,不能用来判断两直线是否平行.故选C.)
3.AD∥BC(解析:根据内错角相等两直线平行可以得到AD∥BC.故填AD∥BC.)
4.解:(1)因为∠1=∠C,所以AC∥DF(同位角相等,两直线平行). (2)因为∠2=∠4,所以AB∥DE(内错角相等,两直线平行). (3)因为∠2+∠5=180°,所以AC∥DF(同旁内角互补,两直线平行). (4)因为∠3=∠B,所以DE∥AB(同位角相等,两直线平行). (5)因为∠6=∠2,所以FD∥AC(内错角相等,两直线平行).
5.A(解析:根据平行线的判定方法分析判断.要结合图形认真观察,看两个角是由哪两条直线被第三条直线所截而形成的角.①因为∠1=∠4,所以AB∥CD,故本选项错误;②因为∠2=∠3,所以BC∥AD,故本选项错误;③因为∠BCD+∠ADC=180°,所以AD∥BC,正确;④因为∠1+∠2+∠C=180°,所以AB∥CD,故本选项错误.故选A.)
6.D(解析:在复杂的图形中具有相等关系的两角,首先要判断它们是否是同位角或内错角.A和B中有的角不是三线八角中的角;C中的角是同一三角形中的角,故不能判定两直线平行.D中的内错角∠A=∠ABE,则EB∥AC.故选D.)
7.解:小颖是根据同位角相等,两直线平行来判断AC∥DE的;小明是根据内错角相等来判断BD∥AE的;我们还可由∠BAC=∠ECA,得到AB∥CE(答案不唯一).
8.解:当∠1与∠2互余时,AB∥CD.理由如下:因为EG平分∠BEF,FH平分∠DFE,所以∠BEF=2∠1, ∠DFE=2∠2.因为∠1+∠2=90°,所以∠BEF+∠DFE=180°,所以AB∥CD.
9.解:如图所示,在∠AED内部画∠AEF=∠BAE,根据内错角相等,两直线平行,得EF∥AB,又因为∠BAE=30°,∠AED=70°,所以∠DEF=40°,又∠EDC=40°,所以∠DEF=∠EDC,所以EF∥CD,根据平行于同一直线的两直线平行,得AB∥CD.
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仅从知识的角度看,学生对掌握知识难度不大.如何让学生从课堂活动中得到知识而不是直接接受知识是本课时的关键.本课时在教学设计时,采取演示、操作、讨论、交流等多种方式,实现了本课时的教学目标.
本课时的演示过程是由老师操办的,这就使得学生处于被动观察的地位,降低了学生的课堂活动参与度.
能由学生操作的演示可以放手交给学生,老师注意点拨和指导.从本课时开始,教材注重用说明的方式证明问题,学生刚刚接触,应该多加示范和提示.
练习(教材第14页)
1.解:(1)AD∥BC,同位角相等,两直线平行. (2)CD∥AB,内错角相等,两直线平行.
2.解:∠3(或∠4或∠5),同旁内角互补,两直线平行(或同位角相等,两直线平行或内错角相等,两直线平行).
3.解:平行.随便选定两条直线,用一条直线去截,在所截得的角中,用量角器度量同旁内角是否互补或同位角是否相等或内错角是否相等,即可判定两直线是否平行.
习题5.2(教材第15页)
1.解:∠ADE应为31°.因为∠ABC与∠ADE是直线DE,BC被直线AB所截得的同位角,所以若∠ADE=∠ABC,则DE∥BC.
2.解:对.因为∠ABC与∠BCD为同旁内角,且∠ABC+∠BCD=180°,所以AB∥CD.
3.解:如图所示.
4.解:(1)由∠1=∠2,得a∥b(同位角相等,两直线平行). (2)由∠1=∠3,得a∥c(内错角相等,两直线平行). (3)因为a∥b,a∥c,所以b∥c(平行于同一条直线的两条直线平行),所以a∥b∥c.
5.提示:只要说明同旁内角互补就行.
6.解:a∥b,c∥d,b⊥e,a⊥e.
7.解:(1)AB∥CD.因为同位角相等,两直线平行. (2)AD∥BC.因为内错角相等,两直线平行. (3)AD∥EF.因为同旁内角互补,两直线平行.
9.解:a∥b,d∥e,g∥f,a⊥d,b⊥d,a⊥e,b⊥e,g⊥h,f⊥h.
10.解:可把平安大街与长安街和二环路看成是直线,度量出∠2,∠3,∠4,∠5中的任何一个角的度数都可说明平行.理由如下:因为∠2=90°时,∠2+∠1=180°,同旁内角互补,
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两直线平行;∠3=90°时,同位角相等,两直线平行;∠4=90°时,∠2=∠4=90°,同旁内角互补,两直线平行;∠5=90°时,内错角相等,两直线平行.
11.∥ ⊥ ⊥ ∥
12.解:当∠1=∠3时,a∥b.因为∠1的对顶角与∠1相等,由∠1与∠3相等可知∠1的对顶角与∠3相等,而这两个角为同位角,根据同位角相等,两直线平行,可以判定a∥b.当∠2+∠3=180°时,a∥b.因为∠2与其邻补角(即∠1的对顶角)的和为180°,根据同角的补角相等可判定∠2的邻补角与∠3相等,而这两个角为同位角,根据同位角相等,两直线平行可以判定a∥b.
平行线的判定是继同位角、内错角、同旁内角,即三线八角内容之后学习的又一个重要知识,它是继续学习平行线的判定方法的基础,更是今后学习与平行线有关的几何知识的基础.因此这节内容在初中学段的数学知识中具有很重要的地位.
平行线的判定方法“同位角相等两直线平行”是平行线其他判定的重要依据,它是这节课的教学重点.由于判定两直线平行时需将已知条件作适当的转化,说理过程要求有条理地表示,这在学生学习“证明”之前,学生这方面的能力还比较薄弱,所以例题为本节的教学难点.
(2015·福州中考)如图所示的图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的是 ( )
〔解析〕 选项A中的∠1和∠2是同旁内角;选项B中的∠1和∠2是内错角;选项C中的∠1和∠2是内错角,但不能判定AB与CD平行;选项D中的∠1和∠2是同旁内角.故选B.
5.3 平行线的性质
1.在探索活动中掌握平行线的性质.
2.理解命题、定理、证明的含义.
3.尝试用推理的方法说明和证明问题.
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在探索、交流、尝试的活动中,掌握平行线的性质和相关定义.
培养认真严谨的科学精神和思维习惯.
【重点】 平行线的性质;理解命题、定理、证明的意义.
【难点】 平行线的性质和判定的区别;证明命题的真假.
5.3.1 平行线的性质
1.经历探索平行线的性质的过程,初步掌握平行线的性质.
2.能用平行线的性质去解决一些问题.
通过观察、操作、推理、交流等活动,进一步发展学生的推理能力和空间观念.
培养学生严密的思维习惯,尝试用推理的方式证明问题.
【重点】 平行线的性质的探索及对性质的理解.
【难点】 有条理地表达和简单的推理.
【教师准备】 教材探究、思考和例题的相关图片.
【学生准备】 复习平行线的判断方法.
导入一:
如果两条直线互相垂直,它们相交的四个角都是90°,反过来,如果两条直线相交有一个角为90°,那么这两条直线互相垂直.
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同位角相等、内错角相等、同旁内角互补可以判断两条直线平行,那么反过来,是否有两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补这个结论呢?
[设计意图] 通过对知识的复习,启发学生的逆向思维和知识类比学习的方法.
导入二:
观察下图回答问题:
1.如果∠1和∠2不相等,直线a与b能平行吗?
2.如果∠1和∠2相等,直线a与b平行吗?
3.如果直线a与b平行,那么∠1和∠2相等吗?
[设计意图] 在复习上一课时知识的基础上,通过问题引入本课时的学习,帮助学生建立知识之间的内在联系,有利于学生构建完整的知识体系.
一、探索尝试
请每位同学画两条平行线a,b,再随意画一条直线c,且c与a,b相交,如图所示,用量角器量得图中的八个角,并填表.
角
∠1
∠2
∠3
∠4
度数
角
∠5
∠6
∠7
∠8
度数
教师提出具体问题:
(1)哪些角是同位角、内错角、同旁内角?
(2)各对同位角、内错角、同旁内角之间有什么关系?
(3)如果再重新画一条直线d,还会有一样的结论吗?
[设计意图] 在复习知识的同时,帮助学生通过操作发现平行线的性质.第(3)个问题意在启发学生遵循从特殊到一般的认识事物的规律.
二、平行线的性质
(1)活动方式:观察,交流,归纳,总结.
平行线的性质:
性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等.
性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等.
99
性质3:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补.
(2)数学符号语言(如上图,不唯一):
性质1:因为a∥b,所以∠1=∠5(两直线平行,同位角相等).
性质2:因为a∥b,所以∠3=∠5(两直线平行,内错角相等).
性质3:因为a∥b,所以∠3+∠6=180°(两直线平行,同旁内角互补).
[设计意图] 激发学生探究数学问题的兴趣,使学生获得较强的感性认识,便于探索两直线平行的性质定理.关注学生的实际操作.给学生留有充分的探索和交流的空间.
[知识拓展] (1)平行线的性质与判定的联系与区别.联系:性质与判定的已知和结论正好相反,都是角的关系与平行线相关.区别:性质由形到数,用于推导角的关系并计算;判定由数到形,用于判定两直线平行.
(2)同位角相等、同旁内角互补、内错角相等,都是平行线特有的性质,且不可忽略前提条件“两直线平行”,不要看到同位角或内错角,就认为是相等的.
三、例题讲解
如图所示的是一块梯形铁片的残余部分,量得∠A=100°,∠B=115°,梯形的另外两个角分别是多少度?
教师投影出示例题,启发提问:(1)梯形有什么性质?(2)∠A与∠D,∠B与∠C的位置关系如何,数量关系呢?为什么?
解:因为梯形上、下两底AB与DC互相平行,
根据“两直线平行,同旁内角互补”,
可得∠A与∠D互补,∠B与∠C互补,
于是∠D=180°-∠A=180°-100°=80°,
∠C=180°-∠B=180°-115°=65°.
所以梯形的另外两个角分别是80°,65°.
[设计意图] 启发性问题的提出,在于教给学生分析问题的方法与思路,即如何将未知问题转化为已知问题.
(补充)如图所示,已知DE∥BC,∠D∶∠DBC=2∶1,∠1=∠2,求∠DEB的度数.
〔解析〕 图中BD和BE都可以作为平行线DE和BC的截线,由此可得∠DEB=∠1,∠D+∠1+∠2=180°,由此结合条件可求得∠DEB.
解:因为DE∥BC(已知),
所以∠D+∠DBC=180°(两直线平行,同旁内角互补).
因为∠D∶∠DBC=2∶1(已知),
所以∠DBC=60°.
又因为∠DBC=∠1+∠2,∠1=∠2(已知),
所以∠1=30°.
又因为DE∥BC(已知),
所以∠1=∠DEB(两直线平行,内错角相等).
99
所以∠DEB=30°.
平行线的性质:
性质1:两直线平行,同位角相等;
性质2:两直线平行,内错角相等;
性质3:两直线平行,同旁内角互补.
注意:(1)这三个性质的前提条件是两直线平行,结论为同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,若两直线不平行,也就不会有以上的各结论.
(2)当两直线平行时,以上三个结论是相通的,可以由同位角相等,借助对顶角和邻补角得出另外两个结论.
1.如图所示,梯子的各条横档互相平行,若∠1=70°,则∠2的度数是 ( )
A.80° B.110°
C.120° D.140°
解析:先根据两直线平行,同位角相等求出∠2的邻补角的度数,再根据平角的定义即可求出.因为各条横档互相平行,∠1=70°,所以∠2的邻补角=∠1=70°,所以∠2=180°-70°=110°.故选B.
2.(2014·梅州中考)如图所示,把一块含有45°角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°,那么∠2的度数是 ( )
A.15° B.20°
C.25° D.30°
解析:本题考查了两直线平行,内错角相等的性质,是基础题,熟记性质是解题的关键.因为直尺的两边平行,∠1=20°,所以∠3=∠1=20°,所以∠2=45°-20°=25°.故选C.
3.(2015·株洲中考)如图所示,l∥m,∠1=120°,∠A=55°,则∠ACB的大小是 .
解析:因为l∥m,所以∠DBC=120°,所以∠ABC=60°,所以∠ACB=180°-55°-60°=65°.故填65°.
4.(2014·益阳中考)如图所示,EF∥BC,AC平分∠BAF,∠B=80°.求∠C的度数.
99
解析:根据两直线平行,同旁内角互补求出∠BAF,再根据角平分线的定义求出∠CAF,然后根据两直线平行,内错角相等解答.
解:因为EF∥BC,
所以∠BAF=180°-∠B=100°,
因为AC平分∠BAF,
所以∠CAF=∠BAF=50°,
因为EF∥BC,
所以∠C=∠CAF=50°.
5.3.1 平行线的性质
1.探索尝试
2.平行线的性质
3.例题讲解
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第20页练习第1,2题.
【选做题】
教材第23页习题5.3第6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·东营中考)如图所示,将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=20°,∠2=40°,则∠3等于 ( )
A.50° B.30° C.20° D.15°
2.(2015·泰安中考)如图所示,AB∥CD,∠1=58°,FG平分∠EFD,则∠FGB的度数等于 ( )
A.122° B.151° C.116° D.97°
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3.著名的比萨斜塔建成于12世纪,塔身主体为圆柱体,从建成之日起就一直在倾斜.目前,它与地面所成的较大的角为∠1=95°,则它与地面形成的较小的角∠2为 度.
4.如图所示,直线a,b被c,d所截,且c⊥a,c⊥b,∠1=70°,则∠2= 度.
5.如图所示,AD是∠EAC的平分线,AD∥BC,∠B=30°,求∠EAD,∠DAC,∠C的度数.
【能力提升】
6.(2014·白银中考)将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上,且斜边与这根直尺平行,那么在形成的这个图中与∠α互余的角共有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
7.如图所示,AB∥CD∥EF,AC∥DF,若∠BAC=120°,则∠CDF等于 ( )
A.60° B.120° C.150° D.180°
8.(2014·盐城中考)如图所示,点D,E分别在AB,BC上,DE∥AC,AF∥BC,∠1=70°,则∠2= °.
99
9.一大门的栏杆如图所示,BA垂直于地面AE于A,CD平行于地面AE,则∠ABC+∠BCD= 度.
10.如图所示,已知AD⊥BC于D,EF⊥BC于F,∠E=∠1,AD平分∠BAC吗?若平分,请写出推理过程;若不平分,试说明理由.
11.爸爸为了检查儿子对平行线的判定与性质这部分知识的掌握情况,给他出了一道题:如图所示,AB∥DE,∠B=80°,CM平分∠BCD,CN⊥CM,求∠NCE的度数.儿子稍加思索就做出来了,你知道他是怎么解的吗?请把你的推理过程写下来.
12.某品牌不锈钢锥体的平面图如图所示,设计要求是AB∥CD,且∠A=∠C=143°,请你帮设计师计算一下∠E的度数,并说明理由.
13.如图所示,已知BE⊥AC,FG⊥AC,垂足分别为E,G,∠1=∠2,你能判定∠ADE与∠ABC的大小关系吗?并请说明理由.
【拓展探究】
14.如图所示,AB∥CD,若∠ABE=120°,∠DCE=35°,试求∠BEC的大小.
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【答案与解析】
1.C(解析:直尺的上下两边可以看作是两条平行线,通过∠2的同位角,可以求出它的邻补角的度数为140°,然后通过三角形内角和求出∠3的度数.)
2.B(解析:根据同位角相等,求得∠EFD=58°,根据角平分线定义可求∠DFG=29°,根据两直线平行,同旁内角互补,可求∠FGB=151°.)
3.85(解析:如图所示,由题意得AB∥CD,根据两直线平行,同位角相等,即可得∠2=∠3,又由邻补角的定义,即可求得它与地面形成的较小的角∠2的度数.根据题意得AB∥CD,所以∠2=∠3,因为∠1=95°,∠1+∠3=180°,所以∠3=85°,所以它与地面形成的较小的角∠2为85°.故填85.)
4.70(解析:因为c⊥a,c⊥b,所以a∥b,所以∠1=∠3,因为∠2=∠3,所以∠2=∠1=70°.故填70.)
5.解:因为AD∥BC,所以∠EAD=∠B=30°,∠DAC=∠C(两直线平行,同位角相等,内错角相等),又因为AD是∠EAC的平分线,所以∠DAC=∠EAD=30°,所以∠C=∠DAC=30°.
6.C(解析:如图所示.因为斜边与这根直尺平行,所以∠α=∠2,又因为∠1+∠2=90°,所以∠1+∠α=90°,又∠α+∠3=90°,所以与∠α互余的角为∠1和∠3.故选C.)
7.A(解析:由于AB∥CD∥EF,可由两直线平行,同旁内角互补得到∠C的度数,而AC∥DF,再由两直线平行,内错角相等可得到∠CDF的度数.因为AB∥CD,所以∠BAC+∠C=180°,所以∠C=180°-∠BAC=60°,因为AC∥DF,所以∠CDF=∠C=60°.故选A.)
8.70(解析:根据两直线平行,同位角相等可得∠C=∠1,再根据两直线平行,内错角相等可得∠2=∠C.因为DE∥AC,所以∠C=∠1=70°,因为AF∥BC,所以∠2=∠C=70°.故填70.)
9.270(解析:过B作BF∥AE,则CD∥BF∥AE.根据平行线的性质即可求解.如图所示,过B作BF∥AE,则CD∥BF∥AE.所以∠BCD+∠1=180°.因为AB⊥AE,所以AB⊥BF.所以∠ABF=90°.所以∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°.)
99
10.解:AD平分∠BAC.理由如下:因为AD⊥BC,EF⊥BC,所以AD∥EF,所以∠1=∠BAD,∠E=∠CAD,又因为∠E=∠1,所以∠BAD=∠CAD,即AD平分∠BAC.
11.解:因为AB∥DE(已知),所以∠BCE=∠B=80°(两直线平行,内错角相等),∠BCD=180°-80°=100°(两直线平行,同旁内角互补).因为CM平分∠BCD(已知),所以∠BCM=∠BCD=50°(角平分线定义).所以∠BCN=∠MCN-∠BCM=90°-50°=40°,所以∠NCE=∠BCE-∠BCN=80°-40°=40°.
12.解:过E向上作EF∥AB,因为AB∥CD,所以EF∥CD,又因为∠A=∠C=143°,所以∠AEF=180°-∠A=37°(两直线平行,同旁内角互补).所以∠CEF=180°-∠C=37°(两直线平行,同旁内角互补).所以∠AEC=∠AEF+∠CEF=74°.
13.解:∠ADE=∠ABC.理由如下:因为BE⊥AC,FG⊥AC(已知),所以∠CGF=∠CEB.所以FG∥BE(同位角相等,两直线平行).所以∠2=∠3(两直线平行,同位角相等).又因为∠1=∠2(已知),所以∠1=∠3(等量代换).所以DE∥BC(内错角相等,两直线平行).所以∠ADE=∠ABC(两直线平行,同位角相等).
14.解:过点E向左作EF∥AB,因为∠ABE=120°,所以∠FEB=180°-∠ABE=60°.因为AB∥CD,所以EF∥CD.所以∠FEC=∠DCE=35°.所以∠BEC=∠FEB+∠FEC=60°+35°=95°.
本课时的知识难度不大,学生会比较容易理解平行线的性质.在本课时的教学设计中,把握了两个基本思路:一是贯彻知识迁移的理念,帮助学生通过类比的方法找到研究本课时的方法;二是通过操作、观察,引导学生自我发现问题.这两种设计思路为本课时取得良好的教学效果奠定了基础.
部分同学在填写表格的过程中,随意性有所表现,对这种缺乏严谨态度和科学精神的行为没有及时给予纠正;在例题的处理过程中,忽略了对转化的数学思想的渗透.
为了节省课堂活动时间,填写角的度数的表格可以事先分发给学生,部分同学可以多给份表格,这样可以让学生换个方式去尝试.在例题的处理过程中,注意对例题图虚线的点拨,提醒学生在没有给出虚线提示的情况下,如何去解相关的习题.
练习(教材第20页)
1.解:∠2=∠1=54°(对顶角相等).因为a∥b,所以∠4=∠1=54°(两直线平行,同位角相等),∠3+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补),所以∠3=180°-54°=126°.
2.解:(1)DE∥BC.理由如下:因为∠ADE=∠B,所以DE∥BC(同位角相等,两直线平行). (2)∠C=∠AED=40°.理由如下:因为DE∥BC,所以∠AED=∠C=40°(两直线平行,同位角相等).
99
如图所示,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EG平分∠BEF交CD于点G,∠1=40°,求∠2的度数.
〔解析〕 根据平行线的性质,由∠1的度数可求出∠BEF的度数.进而可求出∠BEG的度数,再根据AB∥CD,便可求出∠2的度数.
解:因为AB∥CD,
所以∠1+∠BEF=180°.
所以∠BEF=180°-40°=140°.
又EG平分∠BEF,
所以∠BEG=∠BEF=70°.
因为AB∥CD,
所以∠2=∠BEG=70°.
如图所示,在AB两地的山中修一条隧道,从A地测得隧道的走向是南偏东50°,如果A,B两地同时开工,那么B地所修建的隧道的走向应是北偏西 度才能在山中准确对接.
〔解析〕 要想准确对接,必须保证AB为一条直线,由题意知AB是截线,由两直线平行,内错角相等,可知应是北偏西50°.故填50.
如图所示,AB∥CD,∠1=∠2.求证BE∥CF.
〔错解〕 因为AB∥CD,所以∠ABC=∠BCD.
又因为∠1=∠3,∠2=∠4,∠1=∠2,所以∠3=∠4,所以BE∥CF.
[易错辨析] 错解中由AB∥CD推出∠ABC=∠BCD这一步是盲目的,因为后面的证明没有用上这一结论,再说,题目中并没有指明BE,CF分别是∠ABC,∠BCD的平分线,而错解中却想当然地把它作为“需要”的已知条件来使用,这是初学者常容易犯的毛病,必须引起注意.
〔正解〕 因为AB∥CD(已知),
所以∠ABC=∠BCD(两直线平行,内错角相等).
99
因为∠1=∠2,
所以∠ABC-∠1=∠BCD-∠2(等式性质),
而∠3=∠ABC-∠1,∠4=∠BCD-∠2,
即∠3=∠4,
所以BE∥CF(内错角相等,两直线平行).
5.3.2 命题、定理、证明
1.掌握命题、定理的概念,并能分清命题的组成.
2.了解证明的意义.
通过讨论、探究、交流等形式,使学生在质疑、辩论中获得知识体验.
培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质.
【重点】 掌握命题、定理的概念,了解证明的意义.
【难点】
1.分清命题的组成,能说出一个命题的逆命题.
2.掌握推理的方法和步骤.
导入一:
我们学过一些对某一件事情做出判断的语句,例如:
(1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;
(2)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;
(3)对顶角相等;
(4)等式两边加同一个数,结果仍是等式.
像这样判断一件事情的句子叫做什么呢?
[设计意图] 通过教材的举例,直接导入本课时的学习.
导入二:
在直角三角形中,如果一条直角边长为3,另一条直角边长为4,那么这个直角三角形的斜边长是5.这个结论是否正确呢?如果我们说它是正确的,就要拿出相应的依据,或者去证明你的猜想是正确的.要认识这个问题,就需要我们了解一些命题、定理、证明的相关知识.
[设计意图] 通过学生可能掌握的常识性问题,引出一些结论只靠猜想和验证还是不够的,必须给予科学的证明.
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[过渡语] (针对导入一)像对顶角相等这样的句子叫什么呢?
一、命题的定义
定义:判断一件事情的语句,叫做命题.
问题:下列语句,哪些是命题?哪些不是?
(1)过直线AB外一点P,作AB的垂线;
(2)过直线AB外一点P,可以作几条直线与AB平行?
(3)经过直线AB外一点P,有且只有一条直线与这条直线平行;
(4)若|a|=-a,则a≤0.
处理方式:(1)教师总结:(3)(4)这两个句子的共同特征是对一件事情做出判断;(2)指明概念以后,安排学生举例;(3)教师评价和鼓励学生.
(补充)判断下列语句是不是命题.
(1)两条直线相交有几个交点?
(2)相等的角是对顶角;
(3)画∠AOB=30°;
(4)如果x2=y2,那么x=y.
〔解析〕 问句一定不是命题,只有对一件事情做出判断的句子才是命题,而与是否正确无关.
解:(1)(3)不是命题,(2)(4)是命题.
[知识拓展] (1)必须是对某件事情作出判断的句子,才能叫命题,反之不能作出判断的句子,不叫命题,这是辨别一个语句是否是命题的根本原则.
(2)命题的形式并非全部是语言叙述的形式,也可以用数学符号表示.
(3)命题的内容并非全部为数学语言,还有生活中其他方面更广泛的内涵.
二、命题的组成
[过渡语] 命题的形式多种多样,命题是由哪些部分组成的呢?
命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.
命题常写成“如果……那么……”的形式,这时,“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论.
1.处理方式.
教师直接给出命题的组成包括两部分,题设和结论.并向学生解释命题的常见形式,即以“如果……那么……”的形式展现.强调有些命题的形式不明显,需要先将它写成以上形式.
2.例题讲解.
(补充)指出下列命题的题设和结论.
(1)对顶角相等;
(2)不相等的两个角不是对顶角.
〔解析〕 根据题意,适当增减词语,将原命题改写成“如果……那么……”的形式.用“如果”开始的部分即为题设,用“那么”开始的部分即为结论.
解:(1)题设:两个角是对顶角.结论:这两个角相等.
(2)题设:两个角不相等.结论:这两个角不是对顶角.
[知识拓展] (1)任何命题都由“题设”和“结论”构成.已知的事项为题设,在命题的前半部分;由已知事项推出的结果是结论,在命题的后半部分.
(2)辨别题设和结论时,通常将命题改写为“如果……那么……”的形式,“如果”以后的内容为题设,“那么”以后的内容为结论.改写时需在不改变原意的情况下,适当补充词语,使语句通顺、完整.
三、命题的真假
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[过渡语] 凡是命题都是正确或者是错误的吗?
1.判断下列命题是否正确.
(1)如果两个数互为相反数,那么这两个数的商为-1;
(2)如果两个角是邻补角,那么这两个角互补;
(3)如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0;
(4)如果两个数的商为-1,那么这两个数互为相反数;
(5)如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数;
(6)如果两个角互补,那么这两个角是邻补角.
2.真命题和假命题.
如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫真命题;有些命题中,题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题.
3.例题讲解.
(补充)“相等的角是对顶角”是真命题吗?如果是,说出理由;如果不是,请举出反例.
〔解析〕 对事情做出判断,若正确,即为真命题,否则,是假命题.若为真命题,可通过讲道理说明,若为假命题,可通过举一反例说明.
解:不是真命题,如下图中∠1=∠2,但∠1与∠2不是对顶角.
[知识拓展] 命题的真假是以对事情所作出判断的正确与否来划分的.
四、定理和证明
[过渡语] 命题有真有假,有的命题不是一目了然就能辨出真假,怎么办呢?这就需要我们用推理的方法来加以证明.
1.定理.
定理与命题的联系,定理属于命题,而且属于真命题.即定理都叫命题,但命题不一定是定理.
2.如果是真命题,可以经推理证明其正确性,若判断为假命题,则需举反例说明或用反证法的思想说明.
(教材例2)如图所示,已知直线b∥c,a⊥b.求证a⊥c.
〔解析〕 要证明a⊥c,只需要证明∠2为90°即可.如果能证明∠1=∠2,问题即可解决.
证明:因为a⊥b(已知),
所以∠1=90°(垂直的定义).
又b∥c(已知),
所以∠2=∠1(两直线平行,同位角相等).
所以∠1=∠2=90°(等量代换),
所以a⊥c(垂直的定义).
99
[知识拓展] 证明的实质是将命题的题设实现为命题的结论,为原因(题设)与结果(结论)架设一座桥梁,不论采取什么方法,只要用已经学过的知识、有理论依据地推出结论就可以,因此证明同一个命题会有多种方法.
1.命题的“题设”和“结论”是就命题的结构而言,任何一个命题都包含这两部分,而且“题设在前,结论在后”.对于这两部分不明显的命题,需挖掘隐含的内容,将它写成“如果……那么……”的形式,再辨别.
2.命题的“真”“假”是对命题的内容而言的.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需推理、论证,而说明一个命题的错误性只需举出一个反例即可.
3.证明中的每一步推理都要有根据,根据可以是已知条件,也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
1.下列语句中不是命题的是 ( )
A.锐角小于钝角 B.作角A的平分线
C.对顶角不相等 D.股票不是人民币
解析:根据命题的定义:对一件事情作出判断的语句叫做命题进行解答.“锐角小于钝角,对顶角不相等,股票不是人民币”都对一件事情作出了判断,而“作角A的平分线”描述的是一种行为,没有作出判断,不是命题.故选B.
2.下列命题中,正确的是 ( )
A.对顶角相等 B.同位角相等
C.内错角相等 D.同旁内角互补
解析:对顶角相等,正确;在两平行线被第三条直线所截的条件下,B,C,D才正确.故选A.
3.请给假命题“一个正数永远大于它的倒数”举出一个反例: .
解析:判断“一个正数永远大于它的倒数”什么情况下不成立,即找出一个正数小于或等于它的倒数即可.答案不唯一.故填,1,则a>1”是假命题的反例是 ( )
A.a=-2 B.a=-1
C.a=1 D.a=2
8.将下列命题改写成“如果……那么……”的形式.
(1)直角都相等;
(2)等量代换;
(3)末位数是5的整数能被5整除;
(4)三角形的内角和是180°.
【拓展探究】
9.判断下列语句是不是命题,如果是命题,并判断命题是否正确.
(1)连接AB;
(2)如果两平行线被第三条直线所截,那么内错角相等.
10.判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,举一个反例.
(1)两条直线被第三条直线所截,同位角相等;
(2)如果a>b,那么ac>bc;
(3)两个锐角的和是钝角.
【答案与解析】
1.B(解析:判断一件事情的语句是命题,由此可判断出①④⑤是命题.)
2.B(解析:根据平行线的性质对A进行判断;根据线段最短的公理对B进行判断;根据对顶角的定义对C进行判断;根据邻补角的定义对D进行判断.A.两直线平行,同位角相等,所以A选项错误;B.两点之间,线段最短,所以B选项正确;C.相等的角不一定是对顶角,所以C选项错误;D.有一条边共线且互补的两个角是邻补角,所以D选项错误.故选B.)
99
3.C(解析:根据偶数与倍数的定义对各选项进行验证即可.A.9不是偶数,故本选项错误;B.8是8的倍数,故本选项错误;C.4是偶数但不是8的倍数,故本选项正确;D.16是8的倍数,故本选项错误.故选C.)
4.解:(1)题设:两角互为邻补角,结论:它们的平分线互相垂直. (2)题设:一个角是钝角,结论:这个角大于它的补角.
5.D(解析:A.两平行线被第三条直线所截得的同位角相等,原说法错误,故本选项错误;B.两平行线被第三条直线所截得的同旁内角互补,原说法错误,故本选项错误;C.两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相平行,原说法错误,故本选项错误;D.两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直,说法正确,故本选项正确.故选D.)
6.A(解析:A.定理是真命题,但假命题不是定理,故错误,本选项符合题意;B.定理是真命题,C.公理是真命题,D.“画线段AB=CD”不是命题,均正确,不符合题意.故选A.)
7.A(解析:根据要证明一个结论不成立,可以通过举反例的方法来证明.用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例可以是a=-2,因为a2>1,但是a=-22,但3×0=2×0. (3)假命题.如α=20°,β=50°,则α+β=70°不是钝角.
本课时是学生学习证明的正式开始,理解相关几个概念不是难点,难点是领会证明的基本思路和要领.因此本课时在引导学生准确理解相关定义的基础上,通过较多的例题,给学生做证明问题的示范,突出了课时教学的重点,取得了较好的课堂学习效果.
在前面基本定义的教学过程中,老师的讲解过多,出示给学生问题阅读提纲,通过学生交流后老师总结即可.这在一定程度上限制了学生课堂学习的主动性.
在课时教学过程中,命题的例子基本都是老师呈现给学生的,可以尝试让学生根据所学知识,按照一定的要求自拟几个命题,这样更有利于理解命题的相关含义.对于为什么要进行证明和证明的意义要加以点拨,对于可以作为证明的依据也要帮助学生归纳和总结一下.
练习(教材第21页)
1.解:(1)题设:AB⊥CD,垂足为O;结论:∠AOC=90°. (2)题设:∠1=∠2,∠2=∠3;结论:∠1=∠3. (3)题设:两直线平行;结论:同位角相等.
2.提示:答案不唯一,如“对顶角相等”“两直线平行,同位角相等”等.
练习(教材第22页)
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1.同旁内角互补,两直线平行 两直线平行,同旁内角互补
2.解:不是真命题.如图所示,∠1和∠2是同位角,但不相等.
习题5.3(教材第22页)
1.解:135°.因为转弯后公路方向相同,即平行,而且两次拐弯时的角为内错角,必然相等.
2.解:因为AD∥BC,所以∠A+∠B=180°,所以∠B=180°-∠A=120°.因为DC与AB可能平行,也可能不平行,所以∠D的度数不确定.
3.解:(1)∠2=110°.两直线平行,内错角相等. (2)∠3=110°.两直线平行,同位角相等. (3)∠4=70°.两直线平行,同旁内角互补.
4.解:∠2=80°,∠3=110°,∠4=110°.理由如下:因为a∥b,所以∠2=∠1=80°.因为a∥b,所以∠3+∠5=180°,所以∠3=180°-∠5=110°.因为a∥b,所以∠4=∠3=110°.
5.解:应以60°铺设.因为两直线平行,同旁内角互补.
6.内错角相等,两直线平行 两直线平行,内错角相等
7.(1)C (2)C(解析:(1)两直线平行,内错角相等.(2)两直线平行,同旁内角互补.)
8.解:∠3=∠1=45°,∠4=∠2=122°,∠5=180°-∠2=58°,∠6=180°-∠4=58°,∠7=180°-∠1=135°,∠8=180°-∠3=135°.
9.解:(1)因为∠1=∠2,且∠1和∠2为内错角,所以AB∥EF. (2)因为DE∥BC,∠1和∠B为同位角,∠3和∠C为同位角,所以∠1=∠B,∠3=∠C.
12.解:(1)假命题.30°与60°和为直角;70°与80°和为
钝角. (2)真命题. (3)假命题.如三角形中任意两角均互为同旁内角,但它们不互补.
13.解:(1)∠C 两直线平行,内错角相等 两直线平行,同旁内角互补 (2)∠A'B'C' 角平分线定义 等量代换
14.解:(1)∠DAB=∠B=44°,两直线平行,内错角相等. (2)∠EAC=∠C=57°,两直线平行,内错角相等. (3)∠BAC=180°-∠DAB-∠EAC=79°.通过此题可知∠B+∠C+∠BAC=∠DAB+∠EAC+∠BAC=180°.
15.解:因为镜子是平行的,所以∠2=∠3(两镜子被竖直光线所截).又因为∠1=∠2,∠3=∠4,所以∠5=∠6,所以进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的(内错角相等,两直线平行).
求证:如果两条平行线被第三条直线所截,那么同旁内角的平分线互相垂直.
〔解析〕 首先应读懂题意,画出相应的图形,并写出已知、求证,然后再考虑找出证明的途径.
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已知AB∥CD,EF交AB于点E,交CD于点F,EM平分∠BEF,FN平分∠EFD,FN交EM于点O,如图所示.求证EM⊥FN.
证明:因为AB∥CD,
所以∠BEF+∠EFD=180°.
因为EM平分∠BEF,FN平分∠EFD,
所以∠MEF=∠BEF,∠NFE=∠EFD,
所以∠MEF+∠NFE=90°,
所以∠EOF=90°,所以EM⊥FN.
如图所示,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于M,N,MP平分∠EMB,NQ平分∠MND,那么MP∥NQ,为什么?
〔解析〕 本题考查平行线的性质与判定,要说明平行,可寻找满足条件的同位角、内错角、同旁内角的关系,可由条件AB∥CD及角平分线的定义得到平行.
解:因为AB∥CD(已知),
所以∠EMB=∠MND(两直线平行,同位角相等).
因为MP平分∠EMB,NQ平分∠MND(已知),
所以∠EMP=∠EMB,∠MNQ=∠MND(角平分线定义),
所以∠EMP=∠MNQ(等量代换),
所以MP∥NQ(同位角相等,两直线平行).
[规律方法] 两平行线被第三条直线所截而成的同位角平分线,内错角平分线均互相平行,同旁内角平分线互相垂直.
5.4 平 移
1.理解平移变换的基本特征:对应点连线平行且相等.
2.能按要求做出简单的平面图形平移后的图形,能利用平移进行简单的图案设计.
经历观察、分析、操作、概括等过程,探索进而认识平移的性质.
进一步发展学生的空间观念,增强审美意识.
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【重点】 平移的概念及其性质.
【难点】 探索平移的性质.
【教师准备】 几幅根据平移设计的美丽图案.
【学生准备】 练字本上半透明的薄纸.
导入一:
出示以下几幅图片,学生欣赏后思考:
(1)它们有什么共同的特点?
(2)能否根据其中的一部分绘制出整个图案?
[设计意图] 美丽的图案展示,贴近学生的生活,给学生美感的同时,易激发学生的学习兴趣.通过问题情境,引起学生的回忆与联想,问题(1)意在引导学生从图形特点的角度去观察图案移动的特点.问题(2)意在引导学生进一步理解问题(1)的作用,从而产生动手操作的欲望.
导入二:
下图是自动平移门的示意图,在生活中你还见过哪些平移现象呢?
[设计意图] 选取生活中学生常见的平移现象,帮助学生近距离感受数学知识就在身边.
[过渡语] (针对导入一)上面精美的图案是怎么设计出来的,我们也来尝试一下吧.
一、平移及其特征
1.尝试体验.
出示教材图5.4-2,提出活动问题.
(1)如何在一张半透明的纸上,画出如图所示的一排小雪人?
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(2)在图中所画的小雪人中,任意找出三对或更多对对应点,连接这些点,观察得出的线段,它们的位置、长度有什么关系?
[设计意图] 第(1)问意在帮助学生感受平移现象,第(2)问意在引导学生发现平移后的图形和原来图形位置关系的特点.
操作思考提示:
(1)为了便于研究图形平移后的特点,建议学生把这些小雪人画在同一条直线上;
(2)对应点的连线从长度上是否相等、所在直线是否平行或重合等角度进行思考.
2.归纳总结.
(1)把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.
(2)新图形中的每一点,都是由原图形中的对应点移动后得到的,连接各组对应点的线段平行且相等.
(3)图形的这种移动,叫做平移.
3.数学讲解.
(1)平移:如图所示,△ABC沿箭头方向平移一定的距离(线段AA'或BB'或CC'的长度),即可得到△A'B'C'.
(2)平移的特征:如图所示,A'是A平移后得到的,所以A'与A是对应点.同理,B和B',C和C'都是对应点,连接对应点的线段即对应线段,对应线段组成的角即对应角.图中有AC∥A'C',AC=A'C',BC和B'C'在同一条直线上,且BC=B'C',∠B=∠B'.连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等.如图所示,AA'∥BB',且AA'=BB',BB'和CC'在同一条直线上,且BB'=CC'.
[知识拓展] (1)平移是图形的基本变换,方向和距离是平移变换的基本要素:平移的方向,它可以是上、下、左、右或用方向角表示;平移的距离就是新图形与原图形对应点连线的长度.
(2)平移时图形的所有点移动方向一致,并且移动的距离相等,所以确定一个图形平移的方向和距离,只需确定其中一个点平移的方向和距离.
(3)平移与平行有关,平移可以将一个角、一条线段、一个图形平移到另一个位置,使分散的条件集中到一个图形上,便于解决问题.
二、画平移图形
1.生活中的平移.
问题:你能举出一些生活中的平移的例子吗?
处理方式:教师提出问题,学生回答,归纳、总结,并强调平移并不一定是水平移动.
[设计意图] 使学生对所学的知识与生活中的数学现象联系起来,比学生单纯的获得数学知识更重要.
2.例题讲解.
(补充)下列现象属于平移的有 ( )
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①门绕着门框旋转;②汽车在笔直的公路上行驶;③手扶电梯上的人由一层到了二层;④手表时针的运动.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
〔解析〕 本题直接考查平移的概念.图形的平移是图形变换的一种形式,判断一个图形的变换是不是平移的关键是看图形上的每个点是不是向同一个方向移动了相同的距离.本题的四个现象中,②③所述现象符合平移的定义,是平移现象;①④所述现象属于旋转现象,以后我们会继续学习.故选B.
(补充)如图所示,将A点移到A'点,作出四边形ABCD平移后得到的四边形A'B'C'D'.
〔解析〕 本题中原四边形ABCD的位置是已知的,平移的方向是AA'方向,平移的距离是线段AA'的长度,依据平移的特征可作出平移后的图形.
解:过B,C,D分别作BB',CC',DD',与线段AA'平行且相等,连接A'B',B'C',C'D',D'A',如图所示.
四边形A'B'C'D'即为四边形ABCD平移后的图形.
(教材例题)如图(1)所示,平移三角形ABC,使点A移动到点A',画出平移后的三角形A'B'C'.
〔解析〕 根据平移的性质,平移前后的图形,对应点连线平行且相等,依据这一点,连接AA',分别过B,C作AA'的平行线,然后截取BB'=AA',CC'=AA'即可确定B',C'的位置.
解:如图所示,连接AA',过B作AA'的平行线l,
在l上截取BB'=AA',则点B'就是点B的对应点.
同理,作出点C的对应点C',
连接A'B',B'C',C'A',即可得到△A'B'C'.
[设计意图] 通过学生的思考、讨论、尝试,使学生手脑结合,有助于学生形成长久的记忆,动手操作,培养学生的动手能力.
[知识拓展] 平移作图“四步曲”:
(1)定:确定平移的方向和距离;
(2)找:找出表示图形的关键点;
(3)移:过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点;
(4)连:按原图形顺序依次连接对应点,所得到的图形即为平移后的图形.
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1.把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新的图形与原图形的形状和大小完全相同.
2.新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点,连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等.
3.平移的特征是平移作图的依据,在平移过程中,要注意平移的方向和距离.
1.在以下现象中:①温度计中液面上升或下降,②用打气筒打气时活塞的移动,③钟摆的摆动,④传送带带着瓶装饮料的移动.其中是平移的有 ( )
A.①②④ B.①③
C.②③ D.②④
解析:根据平移的性质可知.①温度计中液柱的上升或下降改变图形的大小,不属于平移;②打气筒打气时,活塞的运动属于平移;③钟摆的摆动是旋转,不属于平移;④传送带上瓶装饮料的移动符合平移的性质,属于平移.故选D.
2.某个图形经过平移能得到另一个图形,它们的对应点所连成的线段的关系是 ( )
A.平行
B.相等
C.平行(或在同一条直线上)且相等
D.不能确定
解析:根据平移的性质解答.因为平移变换过程中的各点的平移方向相同,平移距离相等,所以平移前后的两个图形的对应点所连成的线段的关系是平行(或在同一条直线上)且相等.故选C.
3.在5×5方格纸中,将图形N平移后的位置如图所示,那么正确的平移方法是 ( )
A.先向下移动1格,再向左移动1格
B.先向下移动1格,再向左移动2格
C.先向下移动2格,再向左移动1格
D.先向下移动2格,再向左移动2格
解析:根据平移的概念,图形先向下移动2格,再向左移动1格或先向左移动1格,再向下移动2格.结合选项,只有C符合.故选C.
4.如图所示,△ABC平移得到△DEF,写出图中所有相等的线段、角,以及平行的线段.
解:相等的线段:AB=DE,BC=EF,AC=DF,AD=BE=CF.
相等的角:∠BAC=∠EDF,∠ABC=∠DEF,∠BCA=∠EFD,∠CBE=∠CFE,∠BCF=∠FEB,∠ABE=∠ADE,∠BAD=∠BED.
平行的线段:AB∥DE,BC∥EF,AC∥DF,AD∥BE∥CF.
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5.4 平 移
1.平移及其特征
2.画平移图形
一、教材作业
【必做题】
教材第30页习题5.4第3题.
【选做题】
教材第31页习题5.4第6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列现象中属于平移的是 ( )
A.转动的风扇 B.开关推拉门
C.转方向盘 D.转动陀螺
2.图形平移改变的是图形的 ( )
A.大小 B.形状
C.位置 D.大小、形状和位置
3.在俄罗斯方块游戏中,已拼成的图案如图所示,现又出现一拼图向下运动,为了使所有图案消失,你必须 ( )
A.向右平移1格
B.向左平移1格
C.向右平移2格
D.向右平移3格
4.如图所示,这群小鸟的图形是以 为基本图形平移得到的.
5.如图所示,方格中有一条美丽可爱的小鱼.
(1)若每个小方格的边长为1,则小鱼的面积为 ;
(2)画出小鱼向左平移3格后的图形.(不要求写作图步骤和过程)
【能力提升】
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6.关于图形平移,下列结论错误的是 ( )
A.对应线段相等
B.对应角相等
C.对应点所连的线段互相平分
D.对应点所连的线段相等
7.欣赏并说出下列各图案,是利用平移来设计的有 ( )
A.2个 B.3个 C.5个 D.6个
8.(2014·舟山中考)如图所示,将△ABC沿BC方向平移2 cm得到△DEF,若△ABC的周长为16 cm,则四边形ABFD的周长为 ( )
A.16 cm B.18 cm C.20 cm D.22 cm
9.如图所示,由△ABC平移得到的三角形的个数是 .
10.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,且AD∠2,那么∠2的余角是 ( )
A.(∠1+∠2) B.∠1
C.(∠1-∠2) D.∠2
4.下列语句正确的是 ( )
A.相等的角为对顶角
B.两个直角是邻补角
C.不是对顶角的角都不相等
D.对顶角相等
5.如图所示,△ABC的三个顶点分别在直线a,b上,且a∥b,∠1=120°,∠2=80°,则∠3的度数是 ( )
A.40° B.60° C.80° D.120°
6.两条相交直线与另外一条直线在同一平面内,它们的交点个数是 ( )
A.1 B.2 C.3或2 D.1或2或3
7.一架飞机向北飞行,两次改变方向后,前进的方向与原来的航行方向平行,已知第一次向左拐50°,那么第二次向右拐 ( )
A.40° B.50° C.130° D.150°
8.如图所示,从A地到B地有①,②,③三条路可以走,这三条路的长分别为l,m,n,则下列各式正确的是 ( )
A.l>m>n B.l
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