第二十章 函 数
1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.
2.通过具体实例了解常量、变量的意义,了解函数的概念和三种表示方法,能举出函数的实例.
3.能结合图像对简单的实际问题中的函数关系进行分析.
4.能确定简单的整式、分式、二次根式和简单实际问题中的函数的自变量的取值范围,并会求出函数值.
5.能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系.
6.结合对函数关系的分析,尝试对变量的变化规律进行初步预测.
1.让学生经历常量与变量、两个变量之间的函数关系,建立函数模型,以及用多种方法表示函数的认知过程,进一步发展学生的抽象思维和符号感.
2.使学生能结合图像对某些简单实际问题中的函数关系进行分析,对变量的变化规律进行预测,并能解决一些简单的问题.
让学生经历“问题情境——建立模型——求解验证”的过程,体会数学的价值,增强学生学习数学的信心.
本章的主要内容是:由实例引入函数的基本概念,根据实际情景列出函数的关系式,求出简单函数中自变量的取值范围,通过对实际问题的直观感知,领悟相关知识,让学生在具体情境中领会函数的相关知识.函数的概念是数学中极为重要的基本概念,它的抽象性较强,接受并理解它有一定的难度,这也是本章的难点.
本章的主要特点是:
1.反映函数概念的实际背景,渗透“变化与对应”的思想.在建立和运用函数这种数学模型的过程之中,“变化与对应”的思想是重要的基础,所谓变化与对应的思想包括两个基本意思:(1)世界是变化的,客观事物中存在大量的变量;(2)在同一变化过程中,变量之间不是孤立的,而是相互联系的,一个变量的变化会引起其他变量的相应变化,这些变化之间存在对应关系.本章教材力求能在具体的数学内容中渗透体现变化与对应的思想,使学生能潜移默化地感触、体会函数内容中最基本的东西,在对数学思想方法的学习方面有所收获.
2.注重联系实际问题,体现数学建模的作用.世界是运动变化的,函数是研究运动变化的重要数学模型,它来源于客观实际又服务于客观实际.本章教材中以实际问题贯穿始终,它们中有些是作为函数的实际背景为降低学习抽象概念的难度服务的.
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3.重视数学概念中蕴涵的思想,注意从运动变化和联系对应的角度认识函数.数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学,数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的,世界永远是处于变化之中的.因此无论是数量关系中还是空间形式中都充满了有关运动变化的问题,函数正是研究运动变化的重要数学模型,它反映的是变量之间的对应规律,它对研究数量关系的作用是十分明显的.
【重点】
1.了解函数的三种表示方法,能确定函数自变量的取值范围.
2.函数的初步应用.
【难点】
函数的表示及其应用.
教学时应注意引导学生观察、分析,鼓励学生发表自己的见解,让学生通过实例理解函数的意义以及函数的三种表示方法.在求函数关系式时,要联系代数式和方程的相关知识,引导学生按顺序考虑问题,确定出自变量的取值范围,列出相应的函数关系式.整个教学过程中要借助实际问题情境,由具体到抽象地认识函数;通过函数应用举例,体现数学建模思想.教师要引导从多种角度思考,借助图像、表格、表达式等进行分析,寻找变量之间的关系,检验所建立的函数的合理性.注意加强学生学习的主动性,注意鼓励学生积极探究,教师为启发诱导设计必要的铺垫,让学生能经过自己的努力来发现知识间的内在联系.
20.1常量和变量
1课时
20.2函数
2课时
20.3函数的表示
1课时
20.4函数的初步应用
1课时
回顾与反思
1课时
20.1 常量和变量
1.通过实例理解变量、常量的概念以及相互之间的关系,能举出现实中的常量与变量.
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2.增加对变量的理解.
3.渗透找变量之间的简单关系,能列简单关系式.
1.通过对问题的讨论引出常量与变量的概念,为学习函数的定义作准备.
2.通过对学生熟悉的几个例子,系统地认识常量与变量,有助于理解相关概念之间的联系与区别.
3.通过探索两个数量之间的关系和变化规律,发展学生的抽象思维和符号感.
学生通过积极参与课堂上对问题的分析,感受现实生活中函数的普遍性,体会事物之间的相互联系与制约.
【重点】
变量与常量.
【难点】
对变量的判断.
【教师准备】 课件1~4.
【学生准备】 复习常见的等量关系式.
导入一:
一辆长途汽车从临沂驶向上海,全程哪些量不变?哪些量在变?
学生讨论回答后教师导入:当我们用数学来分析现实世界的各种现象时,会遇到各种各样的量,如物体运动中的速度、时间和距离;圆的半径、周长和圆周率;购买商品的数量、单价和总价;某城市一天中各时刻变化着的气温;某段河道一天中时刻变化着的水的流量……在某一过程中,有些量固定不变,有些量不断改变.
导入二:
火车行驶的里程随着时间的变化而变化,一天的温度随着时间的变化而变化,像这样,在现实生活中一个量随着另一个量的变化而变化的现象大量存在.函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型.今天我们首先来学习——20.1常量和变量.
[设计意图] 两个导入以现实生活为依托,通过学生平常接触到的事物,引出变化的量,引起学生的好奇心.
活动1 尝试探究
[过渡语] 在实际生活中,人们需要用量化的方式来描述一个事物的变化过程,这会涉及一些量,其中一些量是不变的,一些量是变化的.
我们知道,在一个匀速运动中,路程=速度×时间.这里的路程、速度和时间就是三个不同的量.这些量在不同的变化过程中会有怎样的具体表现形式呢?下面我们来共同探究这个问题.
思路一
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【课件1】 一起探究
1.小明在上学的途中,骑自行车的平均速度为300 m/min.
(1)填写下表:
时间t/min
5
10
20
55
…
路程s/m
…
(2)在这个问题中,哪些量是不变的,哪些量是变化的?变化的量之间存在着怎样的关系?
2.桃园村办企业去年的总收入是25000万元,计划从今年开始逐年增加收入3500万元.
在这个问题中,一共有几个量?其中哪些量是不变的,哪些量是变化的?变化的量之间存在着怎样的关系?
3.类似地,请你再举出两个实际问题的例子,并分别说明它们各含有几个不同的量,其中哪些量是不变的,哪些量是变化的.
【教师活动】 让学生填表,观察问题1的表格和问题2的条形统计图.思考题目中的问题,并板书答案.
学生解答后应该给予评价.
此处应注意:
(1)学生以组为单位合作探究.
(2)教师巡视,注意指导.
让学生结合每一道题的题意和表达式,来讨论变化的量和不变的量.
【学生活动】 学生观察、讨论,解释每个题中变化的量和不变的量.
在问题1中,共有三个量,其中平均速度300 m/min是不变的量,路程和时间都是变化的量,它们之间满足关系s=300t.
在问题2中,共有四个量,即去年的总收入、从今年起每年增加的收入、第几年和第几年的总收入.其中,去年的总收入25000万元和以后每年增加的收入3500万元都是不变的量,第几年和第几年的总收入都是变化的量.如果用n(n取正整数)表示从今年起的第n年,用W表示第n年的总收入,那么它们之间满足关系W=25000+3500n.
教师说明:在一个变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,而数值保持不变的量叫做常量.
教师特别强调:
(1)常量与变量必须存在于一个变化过程中.
(2)判断一个量是常量还是变量,需:
①看它是否在一个变化的过程中;
②看它在这个变化过程中的取值情况.
在问题3中,请你指出自己举出的两个例子中的常量和变量.
[设计意图] 结合学生比较熟悉其背景的几个例子,对新知识有个初步的感知.让学生熟练地从不同事物的变化过程中寻找出变量之间的变化规律,并逐步学会用含有一个变量的式子表示另一个变化的量.
[知识拓展] 常量与变量是对“在某一变化过程中”而言的,因而是相对的.同一个量在某一变化过程中是常量,而在另一变化过程中却可能是变量,所以常量和变量是由问题的条件确定的.例如:s=vt中,若v确定,则s,t是变量;若t确定,则s,v是变量.
思路二
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【课件2】 一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米,行驶时间为t小时.
(1)请同学们根据题意填写下表:
t/小时
1
2
3
4
5
s/千米
(2)在以上这个过程中,变化的量是 ,没有变化的量是 .
(3)试用含t的式子表示s.
师:我们首先来思考上面的几个问题,可以互相讨论一下,然后回答.
生:从题意中可以知道汽车是匀速行驶的,那么它1小时行驶60千米,2小时行驶2×60千米,即120千米,3小时行驶3×60千米,即180千米,4小时行驶4×60千米,即240千米,5小时行驶5×60千米,即300千米……因此行驶里程s千米与时间t小时之间有关系:s=60t.其中里程s与时间t是变化的量,速度60千米/时是不变的量.
师:很好!谢谢你正确的阐述.
这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程.其实现实生活中有好多类似的问题,都是反映不同事物的变化过程,其中有些量的数值是按照某种规律变化的,如上例中的时间t、里程s,有些量的数值是始终不变的,如上例中的速度60千米/时.
【课件3】
1.电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售票x张,票房收入y元.怎样用含x的式子表示y?
2.你见过水中的涟漪吗?如右图所示,圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10 cm,20 cm,30 cm时,圆的面积S分别为多少?用含r的式子表示S.
3.用10 m长的绳子围成一个矩形.当矩形的一边长x分别为3 m,3.5 m,4 m,4.5 m时,它的邻边长y分别为多少?用含x的式子表示y.
[设计意图] 让学生熟练地从不同事物的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律,并逐步学会用含有一个变化量的式子表示另一个变化的量.
【教师活动】 引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.
【学生活动】 在教师的启发引导下,经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程,得到正确的结论.
活动结论:
1.第一场电影票房收入:150×10=1500(元);
第二场电影票房收入:205×10=2050(元);
第三场电影票房收入:310×10=3100(元).
关系式:y=10x.
2.当r=10 cm时,S=102π=100π(cm2);
当r=20 cm时,S=202π=400π(cm2);
当r=30 cm时,S=302π=900π(cm2).
关系式:S=πr2.
3.当边长为3 m时,邻边长y为5-3=2(m);
当边长为3.5 m时,邻边长y为5-3.5=1.5(m);
当边长为4 m时,邻边长y为5-4=1(m);
当边长为4.5 m时,邻边长y为5-4.5=0.5(m).
关系式:y=5-x.
师:通过上述活动,我们清楚地认识到,要想寻求事物变化过程的规律,首先需确定在这个过程中哪些量是变化的,而哪些量又是不变的.在一个变化过程中,可以取不同数值的量为变量,数值始终不变的量称之为常量.如上述四个过程中,时间t、里程s、售出票数x
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、票房收入y、圆的半径r、圆的面积S、矩形一边长x、其邻边长y都是变量.而速度60千米/时、票价10元/张、圆周率π、绳长10 m都是常量.
活动2 巩固练习
[过渡语] 明确了常量和变量的定义,理解了它们之间的区别,下面我们共同来完成“做一做”.
【课件4】 做一做
在下列各问题中,分别各有几个量,其中哪些量是常量,哪些量是变量?这些量之间具有怎样的关系?
(1)每张电影票的售价为10元.某日共售出x张票,票房收入为y元.
(2)一台小型台秤最大称重为6 kg,每添加0.1 kg重物,指针就转动6°的角,添加重物质量为m kg时,指针转动的角度为α.
(3)用10 m长的绳子围成一个长方形.小明发现不断改变长方形的长x(m)的大小,长方形的面积S(m2)就随之有规律地发生变化.
【教师活动】 引导、点拨.
教师应该重点关注:
(1)学生是否能正确地写出关系式;
(2)答案是否全面;
(3)学生的参与度.
【学生活动】 先自主探索,再小组合作、分析、总结、交流,写出答案.
答案:(1)有三个量,10元是常量,x张和y元是变量,y=10x.
(2)有五个量,6 kg,0.1 kg和6°是常量,m kg和α是变量,α=60m.
(3)有三个量,10 m是常量,x和S是变量,S=x(5-x).
[设计意图] 进一步熟悉巩固前面总结的探究方法,并学会利用以前所学的一些公式来帮助解决问题.通过练习让学生会列关系式,并进一步理解变量与常量的含义.
本节课所学知识:变量与常量的定义.
方法:①常量与变量必须存在于同一变化过程中,判断一个量是常量还是变量,需要看两个方面:一是看它是否在一个变化过程中;二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化.
②常量和变量是相对于变化过程而言的,可以相互转化.
③不要认为字母就是变量.
1.在圆周长计算公式C=2πr中,对半径不同的圆,变量有 ( )
A.C,r B.C,π,r
C.C,πr D.C,2π,r
解析:直接利用在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终不变的量称为常量,进而得出在圆周长计算公式C=2πr中,对半径不同的圆,变量有C,r.故选A.
2.如果用总长为60 m的篱笆围成一个长方形场地,设长方形的面积为S(m2),周长为p(m),一边长为a(m),那么S,p,a中是变量的是 ( )
A.S和p B.S和a C.p和a D.S,p,a
解析:∵篱笆的总长为60 m,∴周长p是定值,而面积S和一边长a是变量.故选B.
3.某人要在规定的时间内加工100个零件,则工作效率η与时间t之间的关系中,下列说法正确的是 ( )
A.数100和η,t都是变量
B.数100和η都是常量
C.η和t是变量
D.数100和t都是常量
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解析:根据变量和常量的定义可知η和t是变量,零件的个数100是常量.故选C.
4.在三角形面积公式S=ah,a=2 cm中,下列说法正确的是 ( )
A.S,a是变量,h是常量
B.S,h是变量,是常量
C.S,h是变量,a是常量
D.S,h,a是变量,是常量
解析:在三角形面积公式S=ah,a=2 cm中,a的值保持不变,它是常量,h和S是变量.故选C.
5.林老师骑摩托车到加油站加油,发现每个加油器上都有三个量,其中一个表示“元/升”,其数值固定不变,另外两个量分别表示“数量”“金额”,数值一直在变化,在这三个量当中 是常量, 是变量.
解析:常量就是在变化过程中不变的量,变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量.
答案:元/升 数量、金额
6.汽车行驶的路程s、行驶时间t和行驶速度v之间有下列关系:s=vt.如果汽车以每小时60 km的速度行驶,那么在s=vt中,变量是 ,常量是 ;如果汽车行驶的时间t规定为1小时,那么在s=vt中,变量是 ,常量是 ;如果甲、乙两地的路程s为200 km,汽车从甲地开往乙地,那么在s=vt中,变量是 ,常量是 .
解析:根据在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终不变的量称为常量解答.
答案:s,t 60 s,v 1 v,t 200
7.齿轮每分钟120转,如果n表示转数,t表示转动时间.
(1)用n的代数式表示t;
(2)说出其中的变量与常量.
解析:(1)根据题意可得转数=每分钟120转×时间;(2)根据变量和常量的定义:在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终不变的量称为常量,可得t,n是变量.
解:(1)由题意得120t=n,即t=.
(2)变量:t,n,常量:120.
8.说出下列各个过程中的变量与常量.
(1)我国第一颗人造地球卫星绕地球一周需106分钟,t分钟内卫星绕地球的周数为N,N=;
(2)矩形的长为2 cm,它的面积S(cm2)与宽a(cm)的关系式是S=2a.
解析:根据常量是在某一变化过程中保持不变的量,变量是在某一变化过程中可以取不同数值的量,对各小题分析判断即可得解.
解:(1)N和t是变量,106是常量.
(2)S和a是变量,2是常量.
20.1 常量和变量
活动1 尝试探究
变量:在一个变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量.
常量:在一个变化过程中,数值保持不变的量叫做常量.
活动2 巩固练习
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一、教材作业
【必做题】
1.教材第62页练习第1,2题.
2.教材第62页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第62页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.学校计划买100个乒乓球,买的乒乓球的总费用W(元)与单价n(元/个)的关系式W=100n中 ( )
A.100是常量,W,n是变量
B.100,W是常量,n是变量
C.100,n是常量,W是变量
D.无法确定
2.一长方体的宽为b(定值),长为x(x>b),高为h,体积为V,则V=bxh,其中变量是 ( )
A.x B.h
C.V D.x,h,V
3.下列说法正确的是 ( )
A.常量是指永远不变的量
B.具体的数一定是常量
C.字母一定表示变量
D.球的体积公式V=πr3中,变量是π,r
4.下表是某报纸公布的世界人口数据情况,表中的变量 ( )
年份
1957
1974
1987
1999
2010
人口数
30亿
40亿
50亿
60亿
70亿
A.仅有一个,是时间(年份)
B.仅有一个,是人口数
C.有两个,一个是人口数,另一个是时间(年份)
D.一个也没有
【能力提升】
5.完成以下问题:
(1)某人持续以a米/分的速度t分钟内跑了s米,其中常量是 ,变量是 ;
(2)在t分钟内,不同的人以不同的速度a米/分跑了s米,其中常量是 ,变量是 ;
(3)s米的路程,不同的人以不同的速度a米/分各需跑t分钟,其中常量是 ,变量是 ;
(4)根据以上叙述,写一句关于常量与变量的结论: .
6.我国是一个严重缺水的国家,我们都应该倍加珍惜水资源,节约用水.据测试,拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水,每滴水约0.5毫升.小燕子同学在洗手时,没有拧紧水龙头,当小燕子离开x(时)后水龙头滴了y(毫升)水.在这段文字涉及的量中,哪些是常量,哪些是变量?
7.按如图所示的方式摆放餐桌和椅子.用x来表示餐桌的张数,用y来表示可坐人数.
(1)题中有几个变量?
(2)你能写出两个变量之间的关系吗?
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8.分析并指出下列关系中的变量与常量.
(1)球的表面积S cm2与球的半径R cm的关系式是S=4πR2;
(2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球,小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h=v0t-4.9t2;
(3)一物体自高处自由落下,这个物体运动的距离h m与它下落的时间t s的关系式是h=gt2(其中g取9.8 m/s2);
(4)已知橙子每千克的售价是1.8元,则购买数量w千克与所付款x元之间的关系式是x=1.8w.
【拓展探究】
9.在烧开水时,水温达到100 ℃就会沸腾,下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据:
时间/分
0
2
4
6
8
10
12
14
…
温度/℃
30
44
58
72
86
100
100
100
…
(1)上表反映了哪两个量之间的关系?
(2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的?
(3)时间推移2分钟,水的温度如何变化?
(4)时间为8分钟时,水的温度为多少?你能得出时间为9分钟时,水的温度吗?
(5)根据表格,你认为时间为16分钟和18分钟时水的温度分别为多少?
(6)为了节约能源,你认为应在什么时间停止烧水?
【答案与解析】
1.A(解析:∵买的乒乓球的总费用W(元)与单价n(元/个)的关系式为W=100n,∴在此式中100是常量,W,n是变量.)
2.D(解析:一长方体的宽为b(定值),长为x(x>b),高为h,体积为V,则V=bxh,其中变量是x,h,V,常量是b.)
3.B(解析:A.常量和变量是相对于变化过程而言的,可以互相转化,错误;B.具体的数一定为常量,正确;C.字母不一定都表示变量,错误;D.π是常量,错误.)
4.C(解析:观察表格,可知时间在变,人口在变,故C正确.)
5.(1)a t,s (2)t a,s (3)s a,t (4)在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量(解析:根据变量和常量的定义:在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量,可直接得到答案.)
6.解:由题意得常量为数值始终不变的量,有:2,0.5;变量为数值发生变化的量,有:x,y.
7.解:(1)观察图形,得x=1时,y=6;x=2时,y=10;x=3时,y=14;….可见每增加一张桌子,便增加4个座位,因此x张餐桌共有6+4(x-1)=4x+2个座位.故可坐人数y=4x+2,故有2个变量. (2)能,由(1)分析可得关系式可以为y=4x+2.
8.解:(1)常量是4π,变量是S,R. (2)常量是v0,4.9,变量是h,t. (3)常量是g,变量是h,t. (4)常量是1.8,变量是x,w.
9.解:(1)上表反映了水的温度与时间的关系. (2)水的温度随着时间的增加而增加,到100 ℃时恒定. (3)时间推移2分钟,水的温度增加14 ℃,到10分钟时恒定. (4)时间为8分钟时,水的温度是86 ℃,时间为9分钟时,水的温度是93 ℃.
(5)根据表格,可知时间为16分钟和18分钟时水的温度均为100 ℃. (6)为了节约能源,应在10分钟后停止烧水.
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常量与变量的概念是由解决实际问题的需要而产生的.本节是实践性很强的内容.教学中,无论是知识的发生过程还是应用过程,都充分运用实例.根据新课程标准提出的“数学教学不仅要考虑数学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律,强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”的要求,在本节课的教学中,教师应充分发挥实例和多媒体的功能,使数学问题生活化、抽象的问题形象化、静态的方式动态化,让学生观察和分析数量关系的变化规律,使学生从中感受常量和变量的意义,从而有效突出重点,突破本节的难点.
常量与变量是在某一个过程中研究的,因此分析清楚变化的过程是什么,才有利于学生辨析清楚常量与变量分别是什么.在本节课的课堂实施中,教师虽然注意到了对过程的分析,但是没有在整个概念教学中贯穿这样的分析方法,分析变化过程是什么,再讨论变量与常量,而是过于强调了两种量在数值变化上的特征,有失偏颇,应在今后的教学中加以改进.
数学知识的教学,在掌握基础知识的同时,重要的是教给学生掌握必要的学习方法.教师在教学过程中要注意这方面的渗透,对于变量与常量的探讨,要整合题目中变化的过程,让学生在不断观察、总结中体现学习的思路和方法.本节的教学,要以师生互动探究式教学模式展开,遵循“教为主导,学为主体”的教学思想,以自主探索和合作交流为主,引导学生亲身实践知识的发生、发展、形成的认知过程.由于本节课所学习的“常量”与“变量”是两个抽象的新概念,科学研究和教学实践都表明,必须让学生通过直观感知来接受新的概念,这既符合学生由感性到理性、由具体到抽象的认知规律,也有利于学生掌握探究性学习的方法.
练习(教材第62页)
1.解:(1)如下表所示:
b
-3
-2
-0.5
0
1
3
5
100
a
10
5
1.25
1
2
4
10
26
10001
(2)a=b2+1,常量为1,变量为a,b.
2.解:S=15x,常量为15,变量为S,x.
习题(教材第62页)
A组
1.解:2.4是常量,m与W是变量.
2.解:π是常量,S与r是变量,S=πr2.
B组
1.解:常量是8,3,变量是m与n.m=3×8n=24n,即m与n之间的关系式为m=24n.
2.解:4和10是常量,x与y是变量,y=10-4x.
本节课是用变化的观点研究数量,重点是认识在变化过程中,常常呈现具有不同状态的量:变量和常量.应设置适当的问题系列,让学生充分体会其中的变量和常量.
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1.对于“一起探究”中的问题1,可按下列问题展开分析:
(1)小明行驶5 min时,自行车的速度是多少?行驶路程是多少?10 min时呢?60 min时呢?
(2)自行车行驶过程中,平均速度、行驶时间和行驶路程三个量是否变化?若不变,它们对应的数值是多少?若变化,是怎样变化的?
(3)行驶路程的变化与行驶时间的变化是否有联系?它们之间具有怎样的关系?
2.对于“一起探究”中的问题2,是以学生已经学习过的条形统计图呈现的,学习过程可设计以下环节进行:
(1)先让学生结合问题情境,独立思考、探索条形统计图所蕴含的信息.
(2)组织同学间互动、交流、研讨,扩充获得的信息.
(3)整合获得的信息,将信息归纳为几个量,这些量中哪些是变化的,哪些是不变的?
(4)这些量之间具有怎样的关系?
3.“一起探究”中的问题3和“大家谈谈”是开放性的问题,应给学生充分思考、交流的时间,尽量丰富有关“不变的量”“变化的量”的实例,进一步让学生了解常量与变量,激发学生的发散思维.
变量之间的表现形式
从甲地到乙地的路程为300千米,一辆汽车从甲地到乙地,每小时行驶50千米,行驶的时间为t(小时),离乙地的路程为s(千米),填写下表:
t/小时
1
2
3
4
5
6
s/千米
用含有t的式子表示s,并说出其中的常量和变量分别是什么.
解:表中的数据从左到右依次为250,200,150,100,50,0.
用含有t的式子表示s为s=300-50t,
其中300,50是常量;
s,t是变量.
20.2 函 数
1.结合丰富的实例,使学生在具体情境中了解自变量与函数的意义.
2.结合实例,初步了解数值表、图像、表达式这三种函数的表示方法.
3.能确定简单函数的自变量的取值范围.
1.观察在许多问题中的变量之间存在着函数关系.
2.探究函数与自变量的对应关系.
3.理解如何求函数解析式、自变量的取值范围.
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1.通过学习函数概念,提高学生的分析、综合能力,渗透由特殊到一般、由具体到抽象的思考方法,向学生渗透数形结合的思想.
2.感受现实生活中函数的普遍性,体会事物之间的相互联系与制约.
【重点】
了解函数的意义,会求自变量的取值范围及函数值.
【难点】
函数概念的抽象性及列函数关系式.
第课时
1.探究具体问题中的数量关系和变化规律.
2.通过实例,了解函数的定义及其表示方法.
1.经历思考、分析、观察等数学活动过程,发展合情推理,有条理地、清晰地阐述自己的观点.
2.逐步感知变量间的关系.
1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲,让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用.
2.提高学生参加数学活动的积极性和好奇心.
【重点】
函数的概念.
【难点】
函数概念的理解及表示.
【教师准备】 课件1~8.
【学生准备】 复习变量与常量.
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导入一:
【课件1】 下面是一张心电图,心电图中显示了心脏部位的生物电流(y)随时间(x)的变化,则对于x每一个确定的值,y是否都有唯一确定的对应值?
教师让学生细心观察,讨论并思考:对于x每一个确定的值,y都有唯一确定的对应值.
教师归纳:万物皆变,这种一个量随着另一个量的变化而变化的现象大量存在.函数就是深刻认识变化世界的数学工具.
导入二:
【课件2】 高速行驶的列车的行驶里程随着行驶时间而变化.
气象站自动温度记录仪描述的某一天的温度曲线,气温随时间的变化而变化.
函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型.
[设计意图] 两个导入都是以现实生活为依托,让学生体会变量之间的关系,感受数学知识与现实生活的密切联系,从而激发学生的学习热情和求知欲.
活动1 整体感知——“观察与思考”
[过渡语] 函数是刻画和研究变化过程中量与量之间关系的一种重要数学模型,在现实生活中具有广泛的应用.现在,我们开始学习函数.
思路一
【课件3】 思考并解决下列问题:
(1)下表是欣欣报亭上半年的纯收入情况:
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月份T
1月
2月
3月
4月
5月
6月
纯收入S/元
4560
4790
4430
4200
4870
4730
根据这个表格你能说出1月~6月,每个月的纯收入吗?
(2)如图所示的是某市冬季某天的气温变化图.
观察这个气温变化图,你能找到凌晨3时、上午9时和下午16时对应的温度吗?你能得到这天24小时内任意时刻对应的温度吗?
(3)我们曾做过“对折纸”的游戏:取一张纸,第1次对折,1页纸折为2层;第2次对折,2层纸折为4层;第3次对折,4层纸折为8层……用n表示对折的次数,p表示对折后的层数,请写出用n表示p的表达式.根据写出的表达式,是否可以得出任意次对折后的层数?
依次引导学生回答上述三个问题,学生举例时尽可能多地让学生说出观察到的信息.
(1)能.举例略.
(2)3时、9时和16时对应的温度分别为-3 ℃,1 ℃和4 ℃.能得到这天24小时内任意时刻对应的温度.
(3)p=2n.能,举例略.
【思考】 (1)在问题(1)中有几个变量?随着月份T的变化,纯收入S怎样变化?
(2)在问题(2)中有几个变量?有怎样的变化规律?
(3)在问题(3)中有几个变量?当n每取一个值时,p是否都有唯一的值?
教师引导学生讨论上面三个问题:(1)有两个变量,月份对应一个值,纯收入也有一个值和它对应;(2)有两个变量,温度随时间的变化而变化;(3)有两个变量,n每取一个值时,p都有唯一的值与之对应.
[设计意图] 通过练习让学生感知问题中两个变量的存在,认识变量之间的单值对应.
【课件4】 在上述三个问题中,分别指出其中的变量,并说明在同一个问题中,当其中一个量变化时,另一个量是否也在相应地变化,当其中一个量取定一个值时,另一个量是否也相应地取定一个值.
引导学生总结出:三个实例中的两个变量之间分别具有相互依赖关系,当其中一个变量变化时,另一个变量也相应地变化,并且当其中一个变量取定一个值时,另一个变量也相应地取定一个值.
说明:一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y.如果给定x的一个值,就能相应地确定y的一个值,那么,我们就说y是x的函数.其中,x叫做自变量.
请你说一说,课件3的(1)~(3)中哪个变量是哪个变量的函数?自变量是谁?
指学生回答,得出:(1)欣欣报亭的纯收入S(元)是月份(T)的函数,T是自变量;(2)某市某一天的气温T(℃)是时刻t的函数,t是自变量;(3)折纸的层数p是折纸次数n的函数,n是自变量.
此处教师应指出:
(1)“自变量”是指在它的取值范围内可以随心所欲地、自由自在地取它想取的值.
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(2)“函数”中的“函”是相关的意思,是指这两个变量间有相关的关系.每一个自变量的函数值是唯一被确定的.
[设计意图] 通过实例,从三个不同角度描述变化规律,感受变量之间的对应关系.
[知识拓展] (1)函数不是数,函数的本质是对应,函数关系就是变量之间的对应关系,且是一种特殊的对应关系,必须是“对于x的每一个值,y都有唯一的值和它对应”.例如:“一个数与它的绝对值”,若一个数用x表示,它的绝对值用y表示,其中x可以取任意实数,即自变量的取值范围是全体实数,对应关系是一个数与它的绝对值对应,一个数的绝对值是这个数的函数.又如:式子y=x2中,变量x每取一个值,y都有唯一的值与之对应,所以y是x的函数;式子y2=x中,尽管x与y之间有一种关系,但由于变量x在x>0的范围内每取一个值,y都有两个确定的值与之对应,所以说y不是x的函数.
(2)自变量与函数用什么字母表示无关紧要,自变量可以用x表示,也可以用t,u,p,…中的任何一个表示,函数可以用y表示,也可以用t,u,p,…中的任何一个表示.
(3)在我们所研究的范围内,如果两个变量之间虽有一定的关系,但它们之间存在“不唯一确定”的对应关系,也就是说,这种关系不是“唯一确定”的关系,那么这两个变量之间就不存在函数关系.
(4)函数的定义中指出“对于x的每一个值,y都有唯一的值与之对应”,但对于自变量x的每一个不同的值,y不一定都是不同的值与之对应.
思路二
1.共同探究,获取新知.
【课件5】 问题1:
师:这个问题中,有哪几个变量?
学生讨论,教师参与.
生1:时间.
生2:海拔高度.
师:很好.
观察上图,热气球在升空的过程中平均每分钟上升多少米?
师:你能求出升空后3 min,6 min时热气球到达的海拔高度吗?
生:能……
[设计意图] 用师生共同探究的方法来唤起学生的参与意识,同时,也活跃了课堂气氛,锻炼了学生的合作能力.
2.合作交流,深化理解.
【课件6】 问题2:
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师:这个问题中,有哪几个变量?
生:两个变量,时间和用电负荷.
师:任意给出这天中的某一时刻,如4.5 h,20 h,你能找到这一时刻的用电负荷y(×103兆瓦)是多少吗?你是怎么找到的?找到的值是唯一确定的吗?
学生小组讨论,教师参与学生交流.
师:这一天的用电低谷、用电高峰时负荷各是多少?它们是在什么时刻达到的?
生:……4.5 h和13.5 h.
师:很好.
问题3:
汽车在行驶过程中,由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住,某型号的汽车在路面上的刹车距离s m与车速v km/h之间有经验公式:s=.
这个式子中涉及哪几个变量呢?
生1:刹车距离.
生2:车速.
师:当刹车时车速分别是40 km/h,60 km/h时,相应的滑行距离分别是多少(结果保留一位小数)?
找两名学生板演,学生求出结果后集体纠正.
[设计意图] 通过教师的点拨,师生的合作交流为学习定义打下良好基础.
3.继续探究,深化定义.
师生共同探究问题1,2,3中变量和常量的关系:
问题1中,t=3时,h=1890;t=6时,h=1980.
问题2中,t=4.5时,y=10;t=20时,y=16.
问题3中,v=40时,s≈6.3;v=60时,s≈14.1.
教师口述定义:
一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y.如果给定x的一个值,就能相应地确定y的一个值,那么,我们就说y是x的函数.其中,x叫做自变量.
师:你能说出问题1中的自变量和函数吗?
学生小组讨论.
生:热气球上升高度h是自变量时间t的函数.
师:你能说出问题2中的自变量和函数吗?
生:用电负荷y是自变量时间t的函数.
师:问题3中呢?
生:刹车距离s是自变量车速v的函数.
师:大家掌握得太好了,真为你们骄傲!
[设计意图] 通过小组讨论交流达到“兵教兵”的目的,实现知识内化.
活动2 知识深化——“大家谈谈”
[过渡语] 函数体现的是“一一对应”的思想,即在自变量取值范围内每取一个值,另一个变量都有唯一的值与其对应.
【课件7】 请你谈谈:
1.如果y是x的函数,那么哪个量是自变量,哪个量是自变量的函数?
2.在上面的“观察与思考”中,我们认识了用“数值表、图像、表达式”三种方式分别表示的函数,请你再用这三种方式各举一个表示函数关系的例子.
学生举例,讨论交流.
[设计意图] 进一步理解函数模型,辨析自变量与函数,初步体会数值表、图像、表达式这三种函数的表示方法.
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活动3 巩固新知——“做一做”
【课件8】 做一做
1.改革开放以来,我国城乡居民的生活发生了巨大变化.下表是国家统计局公布的近几年人民币储蓄存款余额的情况:
年份
2005
2006
2007
2008
2009
2010
存款余
额/亿元
141051
161587
172534
217885
260772
303302
在这里,存款余额(亿元)与年份两个量之间是否具有函数关系?若具有函数关系,请指出其中的自变量和关于自变量的函数.
2.海水受日月的引力而产生潮汐现象.海水早晨上涨的现象叫做潮,黄昏上涨的现象叫做汐,潮与汐合称潮汐.某港口的某一天,从0时至24时的水位情况如图所示.变量h与变量t是否具有函数关系?若具有函数关系,则哪个量是自变量,哪个量是这个自变量的函数?
让学生利用函数的定义去加以判断.
引导学生得到:
1.存款余额与年份具有函数关系,年份是自变量,存款余额是年份的函数.
2.h与t具有函数关系,t是自变量,h是t的函数.
[设计意图] 进一步掌握函数的概念,能正确地确定自变量,提高学生解决实际问题的能力,锻炼学生讲题说理的能力.
1.函数的定义:
一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y.如果给定x的一个值,就能相应地确定y的一个值,那么,我们就说y是x的函数.其中,x叫做自变量.
2.对于函数的理解:
(1)在某一个变化过程中有两个变量;
(2)一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化;
(3)自变量的每一个确定的值,函数有且只有一个值与之对应,即单对应.
1.(2016·南宁中考)下列各曲线中表示y是x的函数的是 ( )
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A B
C D
解析:根据函数的意义:对于自变量x的任何一个值,y都有唯一的值与之相对应,可知D正确.故选D.
2.下列说法正确的是 ( )
A.若y2 B.x≠2
C.x≥2且x≠1 D.x为任意实数
4.下列四个函数,其中自变量的取值范围相同的是 ( )
(1)y=x+1;(2)y=;(3)y=;(4)y=.
A.(1)和(2) B.(1)和(3)
C.(2)和(4) D.(1)和(4)
5.若|a+2|+=0,则在函数y=中,自变量x的取值范围是 ( )
A.x>2 B.x≥2 C.x>-2 D.x≥-2
6.下列函数中,自变量的取值范围选取错误的是 ( )
A.y=中,x取x≥2
B.y=中,x取x≠-1
C.y=2x2中,x取全体实数
D.y=中,x取x≥-3
【能力提升】
7.已知函数y=+.
(1)求自变量x的取值范围;
(2)求当x=1时的函数值.
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点P在BC上运动,点P不与点B,C重合,设PC=x,若用y表示△APB的面积,求y与x的函数关系式,并求自变量x的取值范围.
9.一辆汽车的油箱中现有汽油49升,如果不再加油,那么油箱中的油y(单位:升)随行驶里程x(单位:公里)的增加而减少,平均耗油量为0.07升/公里.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)求自变量x的取值范围;
(3)汽车行驶200公里时,油箱中还有多少汽油?
10.等腰三角形的周长为30 cm.
(1)若底边长为x cm,腰长为y cm,写出y与x的关系式,并注明自变量的取值范围;
(2)若腰长为x cm,底边长为y cm,写出y与x的关系式,并注明自变量的取值范围.
【拓展探究】
11.一个长方体的体积是100 cm3,它的长是y cm,宽是5 cm,高是x cm.
(1)写出用高表示长的函数关系式: ;
(2)写出自变量x的取值范围: ;
(3)当x=3 cm时,y= cm.
12.全球经济已经进入了高油价时代,开发新能源刻不容缓.太阳能热水器已走进千家万户,数量为180 L的一太阳能热水器,设其工作时间为y(min),每分钟排水量为x(L).
(1)写出y与x之间的函数关系式: ;
(2)若热水器可连续工作的最长时间为1 h,求自变量的取值范围: ;
(3)若每分钟排放热水4 L,则热水器可不间断地工作 分钟.
【答案与解析】
1.B(解析:由题意得x-1≥0,解得x≥1.故选B.)
2.D(解析:由题意得x-3≥0且x-4≠0,解得x≥3且x≠4.故选D.)
3.A(解析:由题意得x-2>0,解得x>2.)
4.D(解析:(1)x为全体实数;(2)x+1≥0,则x≥-1;(3)x+1≠0,则x≠-1;(4)x为全体实数.则自变量的取值范围相同的是(1)和(4).)
5.B(解析:由题意得a+2=0,b-1=0,解得a=-2,b=1,所以y==,所以x-2≥0,解得x≥2.)
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6.D(解析:A.x-2≥0,则x≥2,故正确;B.x+1≠0,则x≠-1,故正确;C.正确;D.x+3>0,则x>-3,故错误.)
7.解:(1)根据题意得解得x
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