第六章 实 数
1.理解算术平方根、平方根、立方根等概念及其有关概念的意义,并会用根号表示它们.
2.会求平方根、算术平方根和立方根.
3.理解有理数、无理数以及实数的概念,知道这些数和数轴上的点的对应关系.
4.会进行实数的运算.
1.抓住新旧知识的联系,灵活运用乘方、开方、有理数的知识,实现知识的迁移,并使新旧知识融会贯通.
2.深刻理解并掌握类比的方法,并针对所学的知识启发学生深入思考,交流、探讨,将知识学深、学透、学活.
3.重视对数学思想方法的掌握与运用,达到优化解题思路、简化解题过程的目的.
培养认真观察、仔细思考的学习习惯,培养从生活中发现、解决数学问题的意识.
本章教材在初中数学中具有重要的地位,本章知识是有理数到实数的扩展,是进行其他学习的理论基础和运算基础(如一元二次方程、解三角形、函数、分式等),几乎贯穿了整个数学体系之中.
本章主要学习了算术平方根、平方根、立方根的概念,无理数和实数的概念及实数的运算.教材从典型的实际问题入手,首先介绍算术平方根,给出算术平方根的概念和符号表示.在学习算术平方根的基础上学习平方根,利用乘方与开方互为逆运算的特点探讨数的平方根的特征.类比平方根学习立方根,探讨立方根的特征,最后学习无理数及实数的运算.
【重点】
1.算术平方根、平方根、立方根、实数的概念.
2.会求某些非负数的平方根及某些数的立方根.
3.知道实数与数轴上的点一一对应,并能进行实数的运算.
【难点】 求非负数的平方根、算术平方根及算术平方根与平方根的区别与联系.
1.关于平方根与算术平方根的学习.
(1)通过让学生计算两个不为零的互为相反数的数的平方是同一个正数,总结出“一个正数有两个平方根,它们互为相反数”的性质,加深感性认识.
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(2)帮助学生正确认识算术平方根的两个非负性:一是被开方数的非负性,即只有非负数才有算术平方根(在中a≥0);二是算术平方根本身的非负性,即一个非负数的算术平方根是一个非负数(≥0,a≥0).
2.关于立方根的学习.
(1)引导学生运用类比平方根的方法来学习立方根的概念、性质、求法,并启发学生与平方根的相应结论进行联系、比较,弄清两者的区别与联系,并适当分析结论不同的原因.
(2)要引导学生注意转化思想,将求负数的立方根问题转化为求正数的立方根问题.
3.关于无理数与实数的学习.
(1)引导学生复习有关有理数的知识,让学生了解有理数包括有限小数和无限循环小数,为学习无理数做好准备.引导学生用数轴上的点来表示有理数、无理数,将所学知识联系起来,使学生了解无理数的存在性.
(2)引导学生分清“无限不循环小数”与“无限循环小数”的区别,理解无限循环小数可化成分数,它是有理数;而无限不循环小数不能化成分数,它是无理数,从而启发学生总结有理数和无理数的区别在于是否能够分数化,真正分清有理数和无理数.
(3)要引导学生明确有理数的运算法则、运算律同样适用于无理数和实数,使学生能够按照有理数的运算法则、运算律进行无理数和实数的运算.
6.1 平方根
3课时
6.2 立方根
1课时
6.3 实 数
3课时
单元概括整合
1课时
6.1 平方根
1.理解算术平方根的概念,领会乘方与开方的关系.
2.会用计算器求一个数的算术平方根,理解被开方数与算术平方根大小的关系.
3.会用“夹值法”求一个数算术平方根的近似值.
4.掌握平方根的概念,明确平方根和算术平方根之间的区别和联系.
1.通过平方根的学习,建立初步的数感和符号感,为学习实数做准备.
2.通过求算术平方根的近似值,培养学生勇于探索的精神.
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1.通过探索活动培养学生克服困难的精神.
2.通过解决生活中的实际问题,帮助学生体验数学与生活的紧密联系.
3.培养学生从多方面、多角度分析问题、解决问题的思想意识,养成综合分析问题的习惯.
【重点】
1.平方根的概念和算术平方根.
2.夹值法估计一个(无理)数的大小.
【难点】
1.用夹值法估计一个(无理)数的大小.
2.平方根和算术平方根的区别和联系.
第课时
1.了解算术平方根的概念,会用根号表示正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性.
2.了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的算术平方根.
通过学习算术平方根,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维.
1.通过解决实际生活中的问题,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的.
2.通过探究活动培养学生动手能力,锻炼学生克服困难的意志,建立自信心,提高学习热情.
【重点】 算术平方根的概念.
【难点】 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根.
【教师准备】 教材章前图的投影图片.
【学生准备】 复习平方的概念.
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导入一:
同学们,你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度在什么范围内吗?这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)而小于第二宇宙速度v2(米/秒).v1,v2的大小满足=gR,=2gR.其中,g是物理中的一个常量,R是地球的半径.
怎样求v1,v2呢?即使给出g,R的对应值,利用我们已学过的知识,也很难求出.这就要用到平方根的概念,也就是本章的主要学习内容.
[设计意图] 借助于教材章前图的内容,使学生认识到生活中的一些问题需要用新的知识去解决,进而增强学生的学习欲望和进取精神.
导入二:
学校要举行美术作品比赛,小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布,画上自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?
你一定会算出边长应取5 dm.说一说你是怎样算出来的.因为S=25 dm2,所以这个正方形画布的边长应取5 dm.
上面的计算过程,就是求一个数是由什么数的平方得来的.本课时我们就要学习相关的内容.
[设计意图] 用教材的问题作为导入材料,能够和学生的课前预习活动对接,可以提高学生的预习效果.
导入三:
丽丽家新购的一套住房,客厅是长与宽之比为5∶2的长方形,面积为40 m2,求这间客厅的长与宽各为多少.
要求客厅的长与宽,依题意可设客厅的长与宽分别是5x m,2x m,可得2x·5x=40,即x2=4,那么怎样才能由x2=4求x呢?
[设计意图] 从学生能够理解的生活事例入手,帮助学生感受引入平方根概念的必要性.
[过渡语] (针对导入二)如果小鸥想要裁出的正方形画布面积分别是下表中的数字,怎样求这个正方形的边长呢?
1.算术平方根.
思路一
填写表格后回答问题.
正方形的面积/dm2
1
9
16
36
正方形的边长/dm
1
3
4
6
(1)写出表格中正方形边长的计算过程.
(2)上述过程可以概括成怎样的问题?
(3)怎样用数学语言描述这个运算过程?(这个运算过程是什么呢?)
问题提示:(1)12=1,32=9,42=16,62=36,=.
(2)已知一个正数的平方,求这个正数的问题.
(3)例如,已知一个正数的平方为a,求这个正数x问题.(可以用不同的字母表示)
[设计意图] 第(1)问意在复习平方的知识,为学习平方根知识做准备.第(2)问是从平方根的角度帮助学生思考.第(3)问是进一步引导学生通过抽象思维去理解平方根.
归纳总结:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.
规定:0的算术平方根是0.
思路二
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学生阅读教材第40页例1前的内容,回答问题.
(1)什么是算术平方根?
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.
(2)算术平方根怎么表示?
a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.
(3)0的算术平方根是多少?
0的算术平方根是0.
处理方式:学生阅读教材后交流;老师指定部分学生总结问题;总结平方根相关概念.
强调:书写时根号一定要把被开方数盖住.
讨论:为什么0的算术平方根是0?
2.例题讲解.
求下列各数的算术平方根.
(1)100; (2); (3)0.0001.
〔解析〕 本题三个数的共同特点是都是正数,符合算术平方根的前提条件.无论是正整数、正分数还是正小数,都有自己的算术平方根.求算术平方根不仅要明确算术平方根的含义,更要习惯用数学方式表达算术平方根的求解过程.
解:(1)因为102=100,
所以100的算术平方根是10,即=10.
(2)因为=,
所以的算术平方根是,
即 =.
(3)因为0.012=0.0001,所以0.0001的算术平方根是0.01,即=0.01.
追问:从上面的例题中,你发现被开方数和算术平方根之间有什么关系?
提示:被开方数越大,对应的算术平方根越大,这个结论对所有的正数都成立.
[过渡语] 根据例1中的被开方数,我们都能猜到这个数是哪个数的平方,那么怎么求类似7,8,9这些数的算术平方根呢?
(补充)求下列各数的算术平方根.
(1)36; (2)0.09; (3); (4)(-4)2; (5)0; (6)10.
〔解析〕 算术平方根的求法:一个正数的算术平方根就是要找一个正数,使它的平方等于这个数.
解:(1)因为62=36,
所以36的算术平方根是6,即=6.
(2)因为0.32=0.09,
所以0.09的算术平方根是0.3,
即=0.3.
(3)因为=,
所以的算术平方根是,
即 =.
(4)因为42=(-4)2=16,
所以(-4)2的算术平方根是4,
即=4.
(5)0的算术平方根是0,=0.
(6)10的算术平方根是.
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[知识拓展] 求一个数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的过程,因此,求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的平方的逆运算,只不过只有正数和0才有算术平方根,负数没有算术平方根.
1.一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.
2.a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.
3.规定:0的算术平方根是0.
1.9的算术平方根为 ( )
A.3 B.±3 C.-3 D.81
解析:因为32=9,所以9的算术平方根为3.故选A.
2.下列说法正确的是 ( )
A.5是25的算术平方根
B.±4是16的算术平方根
C.-6是(-6)2的算术平方根
D.0.01是0.1的算术平方根
解析:如果x2=a(x>0),则这个正数x是a的算术平方根,由此判断各选项.A.=5,故选项正确;B.=4,所以16的算术平方根是4,故选项错误;C.=6,故选项错误;D.=0.1,故选项错误.故选A.
3.一个数的算术平方根是它本身,这个数是 ( )
A.1 B.-1 C.0 D.1或0
解析:根据算术平方根的定义:一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.若一个数的算术平方根是它本身,可以知道这个数是0或1.故选D.
4.100的算术平方根是 ,0.36的算术平方根是 .
解析:本题求100和0.36的算术平方根,就是求哪个正数的平方等于100或0.36,由此即可解决问题.因为102=100,所以100的算术平方根为10,因为0.62=0.36,所以0.36的算术平方根为0.6.
答案:10 0.6
第1课时
1.算术平方根
定义
符号表示
0的算术平方根
2.例题讲解
例1
例2
一、教材作业
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【必做题】
教材第41页练习第1,2题.
【选做题】
教材第47页习题6.1第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一个数只要存在算术平方根,那么这个数 ( )
A.只有一个并且是正数
B.一定小于这个数的算术平方根
C.必是一个非负数
D.不可能等于这个数的算术平方根
2.49的算术平方根的相反数是 ( )
A.7 B.-7 C.±7 D.±
3.下列命题中正确的有 ( )
①1的算术平方根是1;②(-1)2的算术平方根是-1;③-4没有算术平方根;④一个数的算术平方根是它本身,这个数只能是零.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.求下列各数的算术平方根.
(1)0.49; (2); (3).
5.求下列各式的值.
(1)-;(2);(3).
【能力提升】
6.下列说法:
①任何数都有算术平方根;②一个数的算术平方根一定是正数;③a2的算术平方根是a;④(π-4)2的算术平方根是π-4;⑤算术平方根不可能是负数.其中不正确的有 ( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
7.一个数的算术平方根为a,则比这个数大5的数是 ( )
A.a+5 B.a-5 C.a2+5 D.a2-5
8.下列运算正确的是 ( )
A.=9 B.|-3|=-3
C.-=-3 D.-32=9
9.(±4)2的算术平方根是 ,的算术平方根是 .
10.已知+(b+2)2=0,那么a+b的值为 .
11.计算.
(1);
(2)-;
(3) + + - .
【拓展探究】
12.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a+2b的算术平方根.
13.计算下列题目:
= ,= ,= , = ,= ,= ,= .根据计算结果回答下列问题.
(1)一定等于a吗?你发现其中的规律了吗?请你用自己的语言描述出来.
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(2)利用你总结的规律,计算= .
【答案与解析】
1.C(解析:因为任何数的平方都不可能为负,都是非负数,所以负数没有算术平方根,只有正数或0才有算术平方根,所以本题应选C.)
2.B(解析:49的算术平方根是7,其相反数是-7.故选B.)
3.B(解析:根据算术平方根的定义可知:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,结合命题与定理的定义可得答案.①1的算术平方根是1,故此项正确;②(-1)2=1,1的算术平方根是1,故此项错误;③因为-4
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