第七章 平面直角坐标系
1.认识有序数对,感受它在确定点的位置中的作用.
2.认识平面直角坐标系,能根据点的位置写出点的坐标,根据点的坐标描出点的位置.
3.掌握点的坐标变化与点的左右或上下平移间的关系,并能解决与平移有关的问题.
4.能够建立适当的坐标系表示地理位置.
1.要正确理解有序实数对的含义,熟悉平面直角坐标系的组成.对于平面内点的表示和直线上的点的表示要正确区别,在用有序实数对表示点时,要注意数的先后顺序.
2.用坐标表示地理位置,注重平面直角坐标系与生产、生活的联系,确定坐标原点是解决此类问题的关键.
体验和领悟数学与生活的密切联系.
本章是研究函数及其图象的入门篇,介绍了平面直角坐标系以及相关知识.直角坐标系是由两个互相垂直的数轴组成的,它不但是联系有序实数对和平面内点的对应关系的桥梁,也是解决数学问题经常运用的工具.在本章将学到用坐标的方法表示地理位置和平移,通过用有序实数对确定位置,从中体会位置的确定与坐标变换之间的关系,探索在平移、轴对称、旋转等变换过程中,相应的点的坐标的变化规律.
【重点】
1.掌握平面内点的坐标的表示方法及求法.
2.能够建立适当的坐标系来描述点所处的位置.
【难点】 用坐标表示平面内的点的位置及判断坐标平面上点的坐标.
1.复习数轴的有关知识,加深对实数与数轴上的点一一对应的认识,要注意弄清有序实数对的概念.
2.突出识记各象限内点的坐标和坐标轴上点的坐标的特征.增强空间意识,掌握图形的基本规律.
3.有关平面直角坐标系的概念比较多,指导学生学习时,要注意运用数形结合的思想,紧密结合图形帮助学生理解这些概念,不要死记硬背定义.
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7.1 平面直角坐标系
7.1.1 有序数对(1课时)
7.1.2 平面直角坐标系(1课时)
2课时
7.2 坐标方法的简单应用
7.2.1 用坐标表示地理位置(1课时)
7.2.2 用坐标表示平移(1课时)
2课时
单元概括整合
1课时
7.1 平面直角坐标系
1.了解有序实数对的含义及其在确定点的位置中的作用.
2.了解平面直角坐标系,感受点和坐标一一对应的关系.
通过生活实例领会有序实数在生活中的作用.
认识数学与生活的密切联系,培养学生用数学知识解决生活问题的意识.
【重点】
1.有序实数对对确定点的位置的作用.
2.借助于直角坐标系描述点的位置.
3.根据位置关系建立适当的直角坐标系描述事物位置.
【难点】
1.理解有序实数对和点的一一对应.
2.根据事物的位置建立直角坐标系.
7.1.1 有序数对
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了解有序数对,感受它在确定点的位置中的作用.
通过对实际问题的分析,经历建立数学模型解决实际问题的过程.
体验有序数对在现实生活中应用的广泛性.逐步建立数学的应用意识.
【重点】 理解有序数对的意义和作用.
【难点】 有序数对表示点的位置的唯一性.
【教师准备】 课堂教学所用的教学图片.
【学生准备】 复习小学数学学过的有关数对的知识.
导入一:
出示围棋棋盘图片,提出问题:怎么说明各个棋子的位置呢?
[设计意图] 帮助学生领会引入“有序数对”的必要,初步领会怎样用实数去描述事物的位置.
导入二:
出示飞行员方队图片,提出问题:方队内的每位队员,怎样准确找到自己的位置呢?
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[设计意图] 学生在想各种办法的时候,会联想到小学学过的“数对”,再次感受“数对”对于说明位置的准确性.
[过渡语] 刚才我们体验了怎样明确确定事物的位置,接下来我们就研究一下具体的办法吧!
1.有序数对.
生活体验
问题1:如果你持有这张电影票,怎样找到自己的位置呢?
处理方式:学生观察后可以随意说出,肯定学生根据座位号找到位置的回答.
问题2:出示教材图7.1-1,根据要求做活动.
活动一 假如这是班级的座位图,请你任意选择一个位置当做自己的座位,怎样向同学说明你的位置?
处理方式:学生在“选定”自己的位置后,根据学习经验会用“横排”“竖排”的概念描述自己的位置,可是这种描述还是文字性的,不是用数字的抽象描述,需要提示学生用“数字”的方式描述自己的位置.
活动二 教材第65页思考中的问题
提示:可以利用排、列的方式确定教室里座位的位置;排数和列数的先后顺序对位置是有影响的;图略.(1,5)表示的位置是第1列第5排,(2,4)表示的位置是第2列第4排,(4,2)表示的位置是第4列第2排,(3,3)表示的位置是第3列第3排,(5,6)表示的位置是第5列第6排.
总结:上面的问题都是通过像“9排7号”“第1列第5排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置,其中两个数各自表示不同的含义,例如前边的表示“排数”,后边的表示“号数”.我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b).
2.例题讲解.
(补充)如图所示,在A处观察B物体,横着相距3格,竖着相距2格,B点表示为(4,3),在A处观察C物体,横着相距 格,竖着相距 格,C点表示为 .
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〔解析〕 从A点看C点,横着相距6格,竖着相距1格,要确定C点的表示方法,应以B为标准,从B点数,向右数3个格,向下数1个格,故C点可表示为(7,2).
〔答案〕 6 1 (7,2)
[知识拓展] 对“有序”要准确理解,即两个数的位置不能随意交换,(a,b)与(b,a)顺序不同,含义就不同.当a=b时,它们表示同一有序数对,当a≠b时,它们表示不同的有序数对.
有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b).
1.如图所示,已知某城市A在地图上的位置如图所示,则城市A的位置在 ( )
A.东经120°,北纬30°
B.东经30°,北纬120°
C.东经110°,北纬30°
D.东经20°,北纬120°
解析:地图上是通过用经度和纬度来表示城市的位置的,由图可知城市A所在的位置是东经120°,北纬30°.故选A.
2.如图所示,观察小岛A相对于灯塔O的位置,描述准确的是 ( )
A.北偏东60°
B.距灯塔20 km处
C.北偏东30°且距灯塔20 km处
D.北偏东60°且距灯塔20 km处
解析:由题意可知,观察小岛A相对于灯塔O的位置,需要方位角大小和小岛与O点的距离两个量.所以小岛A可以表示为北偏东60°且距灯塔20 km处.故选D.
3.如图所示,进行“找宝”游戏,如果宝藏藏在(3,2)字母牌的下面,那么应该在字母L的下面寻找,如果宝藏藏在(4,5)字母牌的下面,那么应该在字母 的下面寻找.
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解析:先理解(4,5)表示4排5列,然后在图中找出对应的字母即可.因为(4,5)表示4排5列,而图中4排5列的字母为J,所以宝藏藏在J字母牌的下面.故填J.
4.在电影票上,将“7排6号”简记作(7,6).
(1)6排7号可表示为 .
(2)(8,6)表示的意义是 .
解析:本题考查如何用有序数对表示位置.将“7排6号”表示为(7,6),对比看出前数表示排号,后数表示位号,用小括号括起来,中间用“,”隔开.所以6排7号可表示为(6,7).(8,6)表示的意义是8排6号.
答案:(6,7) 8排6号
7.1.1 有序数对
1.有序数对
2.例题讲解
例题
一、教材作业
【选做题】
教材第65页练习.
【选做题】
教材68页习题7.1第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在平面内,下列数据不能确定物体位置的是 ( )
A.3楼5号
B.北偏西40°
C.解放路30号
D.东经120°,北纬30°
2.如图所示的为一方队的示意图,A的位置为三列四行,表示为(3,4),那么B的位置是 ( )
A.(4,5) B.(5,4) C.(4,2) D.(4,3)
3.如果电影票上的“3排4号”记作(3,4),那么(4,3)表示 排 号.
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4.用有序数对(2,9)表示某住户住2单元9号房,那么(3,11)表示住户住几单元几号房?
5.如图所示,小海龟位于图中点A(2,1)处,按下述路线移动:(2,1)→(2,4)→(7,4)→(7,7)→(1,7)→(1,1)→(2,1).用粗线将小海龟经过的路线描出来,看一看像什么图形.
【能力提升】
6.下列关于有序数对的说法正确的是 ( )
A.(3,2)与(2,3)表示的位置相同
B.(a,b)与(b,a)表示的位置不同
C.(3,2)与(2,3)是表示不同位置的两个有序数对
D.(4,4)与(4,4)表示两个不同的位置
7.如图所示,将正整数按下图所示的规律排列下去,若用有序数对(n,m)表示n排从左到右第m个数.如(4,3)表示9,则(10,3)表示 ( )
A.46 B.47
C.48 D.49
8.如图所示,A表示三经路与一纬路的十字路口,B表示一经路与三纬路的十字路口,如果用(3,1)⇒(3,2)⇒(3,3)⇒(2,3)⇒(1,3)表示由A到B的一条路径,用同样的方式写出一条由A到B的路径:(3,1)⇒( )⇒( )⇒( )⇒(1,3).
9.小明和小亮同去市科技馆参加科技报告会,小明的入场券写着5排6号,而小亮的入场券写着6排5号,若小明的座位记作(5,6),那么小亮的座位记作 .
10.如图所示,点M表示王昊的座位,点N表示李乐的座位,点F表示赵明的座位.
(1)王昊的座位是第5组第3个,表示为M(5,3);
(2)点C表示班上年龄最小的同学的座位,表示为C( , );
(3)把李乐的座位向左平移3个座位后,表示为( , );
(4)赵明西面相邻同学的座位表示为( , );赵明南面相邻同学的座位表示为( , ).
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【拓展探究】
11.如图所示,从2街4巷到4街2巷,走最短的路线的走法共有多少种?请写出来.
利用方格图和有序实数对表示出所有最短的路线的走法.
12.如图所示的为某城市的街道平面图,图中的线段表示道路.
(1)若A点所在的2街5大道的十字路口的位置可用(2,5)表示,那么B点可用什么方式表示?
(2)找出从A点到B点的一条最短线路,并用适当的方式表示这条最短线路.
(3)想一想,从A到B的最短线路共有多少条?
【答案与解析】
1.B(解析:A.3楼5号,物体的位置明确,故本选项错误;B.北偏西40°,无法确定物体的具体位置,故本选项正确;C.解放路30号,物体的位置明确,故本选项错误;D.东经120°,北纬30°,物体的位置明确,故本选项错误.故选B.)
2.A(解析:根据A的位置为三列四行,表示为(3,4)可知列写在前面,行写在后面,据此可以得到B的位置.由图形可以看出:B点的位置为四列五行,故知B点可以表示为(4,5).故选A.)
3.4 3(解析:根据题意知前一个数表示排数,后一个数表示号数,所以(4,3)表示的座位是4排3号.)
4.解:(3,11)表示住户住3单元11号房.
5.解:如图所示,小海龟经过的路线图形像一面小旗.
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6.C(解析:本题考查了有序数对.由有序数对的定义知:A.(3,2)与(2,3)是表示不同位置的两个有序数对,故此项错误;B.(a,b)与(b,a)当a≠b时是表示不同位置的两个有序数对,故此项错误;C.(3,2)与(2,3)是表示不同位置的两个有序数对,故此项正确;D.(4,4)与(4,4)是表示相同位置的两个有序数对,故此项错误.故选C.)
7.C(解析:从图中可以发现,第n排的最后的数为n(n+1),所以第9排最后的数为×9×(9+1)=45,(10,3)表示第10排第3个数,则第10排第3个数为45+3=48.故选C.)
8.(2,1) (2,2) (2,3)(解析:此题首先根据题意明确横坐标表示经路,纵坐标表示纬路.然后结合图形画出路线,写出对应的坐标即可.根据题意,答案不唯一,可依次填(2,1)⇒(2,2)⇒(2,3)等.)
9.(6,5)(解析:因为小明的入场券写着5排6号用(5,6)表示,即排数在前,列数在后,所以小亮的入场券写着6排5号,就可以表示为(6,5).)
10.(2)(2,1) (3)(2,4) (4)(2,6) (3,5)(解析:根据数对表示位置的方法观察图形可知王昊的座位是第5组第3个,表示为M(5,3),则(2)点C表示班上年龄最小的同学的座位,表示为C(2,1),(3)把李乐的座位向左平移3个座位后,表示为(2,4),(4)赵明西面相邻同学的座位表示为(2,6);赵明南面相邻同学的座位表示为(3,5).)
11.解:从2街4巷到4街2巷,走最短的路线的走法有:①(2,4)→(4,4)→(4,2);②(2,4)→(3,4)→(3,2)→(4,2);③(2,4)→(3,4)→(3,3)→(4,3)→(4,2);④(2,4)→(2,3)→(4,3)→(4,2);⑤(2,4)→(2,2)→(4,2);⑥(2,4)→(2,3)→(3,3)→(3,2)→(4,2).
12.解:(1)因为B点所在的位置是5街3大道的十字路口,所以B点可用(5,3)表示. (2)答案不唯一,如(2,5)→(5,5)→(5,3). (3)从A到B的最短线路共有10条.
本课时通过生活实例帮助学生领会了“有序数对”对于描述事物位置的重要作用,使学生认识到仅靠语言描述事物位置还是不够的,并且初步学会了用“数对”描述事物的位置.
对于有序实数对的作用的准确性和唯一性没有做出特别重点的强调,在交代了有序数对定义后,没有让学生进行举例,少了生活体验这个环节.
有针对性地纠正本课时的不足之处,重点强调有序数对的准确性和唯一性,让学生从生活经验的角度体验有序数对的重要作用.可以再补充一个例题,强化学生对知识的掌握.
练习(教材第65页)
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解:“(2,5)→(2,4)→(2,3)→(2,2)→(3,2)→(4,2)→(5,2)”,“(2,5)→(2,4)→(3,4)→(3,3)→(3,2)→(4,2)→(5,2)”,“(2,5)→(3,5)→(4,5)→(4,4)→(4,3)→(4,2)→(5,2)”等,答案不唯一.
如图所示的是中国象棋一次对局时的部分示意图,若“帅”所在的位置用有序数对(5,1)表示,请你用有序数对表示其他棋子的位置.
〔解析〕 由示例可知,有序数对(a,b)中a代表棋子所处的纵列数,b表示棋子所处的横排数.
解:兵(2,5),车(3,1),仕(5,2),马(6,4),炮(8,3),相(9,3).
7.1.2 平面直角坐标系
认识平面直角坐标系,了解点的坐标的意义,会用坐标表示点,能画出点的坐标位置.
渗透对应关系,提高学生的数感.
体验数、符号是对描述现实生活的重要手段.
【重点】 平面直角坐标系和点的坐标.
【难点】 根据点的位置写出点的坐标,根据点的坐标描出点的位置.
【教师准备】 教材图7.1-3,7.1-4,7.1-5,7.1-6的投影图片.
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【学生准备】 复习有序数对的定义和表示方法.
导入一:
如图是一条数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上每个点都对应一个实数,这个实数叫做这个点在数轴上的坐标.例如,点A在数轴上的坐标为-4,点B在数轴上的坐标为2.反过来,知道数轴上一个点的坐标,这个点在数轴上的位置也就确定了.例如,数轴上坐标为5的点是点C.
导入二:
数学家笛卡儿潜心研究能否用代数中的计算来代替几何中的证明.有一天,在梦中他用金钥匙打开了数学宫殿的大门,遍地的珠子光彩夺目,他看见窗框角上有一只蜘蛛正忙着结网,顺着吐出的丝在空中飘动,一个念头闪过脑际:眼前这一条条的横线和竖线不正是自己全力研究的直线和曲线吗?
由此笛卡儿发明了直角坐标系,你是不是很想知道什么是直角坐标系呢?就让我们一起进入本节课的学习吧!
[过渡语] 数轴上的点是与实数一一对应的,但这种对应有个弊端,就是无法准确确定点的位置.直角坐标系就很好地解决了这个问题.
1.建立直角坐标系.
出示教材图7.1-3,回答问题:
(1)你如何表示A,B,C,D这四个点的位置?
(2)用一条数轴能否表示这四个点的位置?
(3)用两个原点互相重合、垂直的数轴,能表示这四个点的位置吗?
活动方式:学生交流、讨论、动手操作.
问题预设:第(1)问学生可能会想到用上个课时的“有序数对”的知识进行说明,采取横纵标上数字的办法.对于学生的这种做法要给予积极的肯定,鼓励学生再去尝试其他的方法.第(2)问,从A,B,C,D这四个点的位置看都不在同一条直线上,用一个数轴只能表示出两个点的位置.第(3)问首先介绍了利用两条数轴的方法,也就是原点重合、互相垂直,这也是直角坐标系建立的基本条件.两个这样的坐标轴放到图7.1-3上,注意相应的横线和竖线分别与坐标轴重合,这样就可以读出A,B,C,D四个点的坐标.
2.平面直角坐标系的相关概念.
(1)建立直角坐标系.
在平面内,两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系,如图所示.
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水平的数轴称为x轴或横轴,竖直的数轴称为y轴或纵轴,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.
(2)平面直角坐标系的点.
把直角坐标系如下图建立起来,就可以读出A,B,C,D四个点的坐标.
问题1:由点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足M在x轴上的坐标是3,垂足N在y轴上的坐标是4,我们说点A的横坐标是3,纵坐标是4,有序数对(3,4)就叫做点A的坐标,记作A(3,4).类似地,请你写出点B,C,D的坐标:B( , ),C( , ),D( , ).
处理方式:学生交流讨论完成,老师巡视指导.
问题2:原点O的坐标是什么?x轴和y轴上的点的坐标有什么特点?
提示:原点O的坐标为(0,0);x轴上的点的纵坐标为0,例如(1,0),(-1,0),…;y轴上的点的横坐标为0,例如(0,1),(0,-1),….
(3)平面直角坐标系的象限.
问题:什么是象限?坐标原点属于哪个象限?
提示:建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分(图7.1-5),每个部分称为象限,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限.
3.例题讲解.
(补充)如图所示,其中所画的平面直角坐标系符合要求的是 ( )
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〔解析〕 A选项中x轴与y轴不互相垂直,故此选项不正确,B选项中两数轴的交点不对,故B选项也不正确;D选项中没有标明坐标原点及x轴与y轴,故也排除.故选C.
(教材例题)在平面直角坐标系中描出下列各点:
A(4,5),B(-2,3),C(-4,-1),D(2.5,-2),E(0,-4).
解:先在x轴上找出表示4的点,再在y轴上找出表示5的点,过这两个点分别作x轴和y轴的垂线,垂线的交点就是点A.类似地,在图上描出点B,C,D,E.
4.坐标平面内的点与有序实数对的一一对应.
数轴上的点与实数是一一对应的.坐标平面内的点与一对有序实数是一一对应的吗?
对于坐标平面内任意一点M,都有唯一的一对有序实数(x,y)(即点M的坐标)和它对应;反过来,对于任意一对有序实数(x,y),在坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
[知识拓展] (1)求点的坐标时,横坐标要写在前面,纵坐标写在后面,中间用逗号隔开,再把它们括起来.
(2)坐标轴上点的坐标:x轴上到原点的距离为|a|的点的坐标为(±a,0),y轴上到原点的距离为|b|的点的坐标为(0,±b).可类比数轴上的点与实数的关系来研究.
(3)建立直角坐标系的方法不同,同一个点在不同的直角坐标系中的坐标是不同的.
1.平面直角坐标系的相关概念:横轴、纵轴、原点、象限.
2.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
1.点(-2,1)所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:点(-2,1)的横坐标在x轴的负半轴上,纵坐标在y的正半轴上,所以点(-2,1)在第二象限.故选B.
2.在平面直角坐标系中,点P(-3,4)到x轴的距离为 ( )
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A.3 B.-3
C.4 D.-4
解析:点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值,到y轴的距离为点的横坐标的绝对值.因为|4|=4,所以点P(-3,4)到x轴距离为4.故选C.
3.如图所示,点A关于y轴的对称点的坐标是 .
解析:首先根据平面直角坐标系可知点A的坐标为(-5,3),再由平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标相等,可得点A关于y轴的对称点的坐标是(5,3).故填(5,3).
4.如图所示,根据坐标平面内点的位置,分别写出图中点A,B,E的坐标.
解:点的坐标分别为:A(2,4),B(1,3),E(3,3).
7.2.2 平面直角坐标系
1.建立直角坐标系
2.平面直角坐标系的相关概念
3.例题讲解
例1
例2
4.坐标平面内的点与有序实数对的一一对应
一、教材作业
【必做题】
教材第68页练习第1,2题.
【选做题】
教材第68页习题7.1第14题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.有以下三个说法:①坐标的思想是法国数学家笛卡儿首先建立的;②除了平面直角坐标系,我们也可以用方向和距离来确定物体的位置;③平面直角坐标系内的所有点都属于四个象限.其中错误的是 ( )
A.只有① B.只有②
C.只有③ D.①②③
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2.在平面直角坐标系中,位于第三象限的点是 ( )
A.(0,-1) B.(1,-2)
C.(-1,-2) D.(-1,2)
3.若点A(2,n)在x轴上,则点B(n-2,n+1)在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.(2014·张家界中考)若点A(m+2,3)与点B(-4,n+5)关于y轴对称,则m+n= .
5.如果点A的坐标为(-a2-3,b2+3),那么点A在第几象限?说说你的理由.
【能力提升】
6.若点P(x,y)满足xy=0,则点P在 ( )
A.原点处
B.四个象限中的某一个
C.y轴上
D.x轴上或y轴上或原点处
7.若点P(m,1-2m)的横坐标与纵坐标互为相反数,则点P一定在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8.点A在y轴的左侧,到x轴,y轴的距离分别是2和3,则点A的坐标是 ( )
A.(-3,2) B.(-3,-2)
C.(3,2)或(-3,2) D.(-3,2)或(-3,-2)
9.已知点P在第四象限,它的横坐标与纵坐标的和为-3,则点P的坐标是 .(写出符合条件的一个点即可)
10.如图所示,平面直角坐标系中,已知点A(-3,-2),B(0,3),C(-3,2),求△ABC的面积.
【拓展探究】
11.如图所示,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),…,按这样的运动规律,经过2015次运动后,动点P的坐标是 .
12.如图所示.
(1)写出五边形ABCDEF的顶点A,B,C,D,E,F的坐标;
(2)C,E两点的坐标有什么特征?
(3)直线CE与两条坐标轴有怎样的位置关系?
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【答案与解析】
1.C(解析:说法①②正确,说法③错误,因为平面直角坐标系把坐标平面分成四个部分,即把坐标平面分为四个不同象限,而在坐标轴上的点是不属于任何象限的.故选C.)
2.C(解析:因为第三象限点的坐标特点是横纵坐标均为负数,所以只有选项C符合条件.故选C.)
3.B(解析:由于点A(2,n)在x轴上,则n=0,那么点B的坐标为(-2,1),所以点B在第二象限.故选B.)
4.0(解析:因为点A(m+2,3)与点B(-4,n+5)关于y轴对称,所以m+2=4,3=n+5,解得m=2,n=-2,所以m+n=0,故答案为0.)
5.解:因为-a2≤0,所以-a2-3≤-3,而b2≥0,所以b2+3≥3,即点A的横坐标一定小于零,而纵坐标一定大于零,所以点A一定在第二象限.
6.D(解析:由xy=0可知x=0或y=0或x=y=0,所以该点位于x轴上或y轴上或原点处.)
7.D(解析:因为点P(m,1-2m)的横坐标与纵坐标互为相反数,所以m=-(1-2m),解得m=1,即1-2m=-1,所以点P的坐标是(1,-1),所以点P在第四象限.故选D.)
8.D(解析:因为点A在y轴的左侧,所以该点位于第二或第四象限,又因为该点到x轴,y轴的距离分别是2和3,所以其坐标为(-3,2)或(-3,-2).)
9.答案不唯一,如(1,-4)(解析:点P在第四象限,横坐标大于0,纵坐标小于0.先确定一个坐标的值,进而根据和为-3求解.设点P的坐标是(x,y),则x>0,y0. (2)C,D为第二、四象限内的点,坐标满足xy0)个单位长度,坐标会发生怎样的变化?
提示:点A向左平移n(n>0)个单位长度时,横坐标减少n,纵坐标不变,向下平移n(n>0)个单位长度时,横坐标不变,纵坐标减少n.
(4)根据上述过程,你能总结出点的平移变化规律吗?
一般地,在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a(a>0)个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)(或(x-a,y));将点(x,y)向上(或下)平移b(b>0)个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)(或(x,y-b)).
【处理方式】 教师利用投影出示问题,学生观察、思考并进行小组讨论,尝试解决问题.这一过程中教师应当让学生反复尝试,通过反复尝试去发现点的平移规律.可指导学生将平移前点的坐标写成一列,再将平移后点的坐标写成一列,对应写成两列,然后再去观察点的平移的规律.
[设计意图] 通过反复尝试,自主探究,让学生自己去发现规律,培养学生的观察能力、联想能力.
[知识拓展] 点的平移规律:
(1)将点左右平移纵坐标不变,上下平移横坐标不变;
(2)将点向右或向上平移几个单位长度,横坐标或纵坐标就相应地增加几个单位长度;将点向左或向下平移几个单位长度,横坐标或纵坐标就相应地减少几个单位长度.
如图所示,将点A(-1,-1)的横坐标减去2,纵坐标减去1,变为A'(-3,-2),即将点A(-1,-1)先向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度就得到A'(-3,-2),将点A(-1,-1)的横坐标加上3,纵坐标加上2,就变为A″(2,1),即将点A(-1,-1)先向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度就得到A″(2,1).
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2.探究2 图形的平移
[过渡语] 刚才我们研究的是点的平移规律,在直角坐标系中平移图形的时候,相应的坐标是怎样变化的呢?
思路一
如图所示,正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A(-2,4),B(-2,3),C(-1,3),D(-1,4),将正方形ABCD向下平移7个单位长度,再向右平移8个单位长度,两次平移后四个顶点相应变为点E,F,G,H.
(1)第一次平移后,正方形ABCD的四个顶点坐标分别是什么?
提示:A'(-2,-3),B'(-2,-4),C'(-1,-4),D'(-1,-3).
(2)第二次平移后,正方形的四个相应顶点E,F,G,H的坐标分别是什么?
提示:E(6,-3),F(6,-4),G(7,-4),H(7,-3).
(3)如果直接平移正方形ABCD,使点A移到点E,它和我们前面得到的正方形位置相同吗?
提示:如果直接平移正方形ABCD,使点A移到点E,它和我们前面得到的正方形位置相同.
总结:一般地,将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形,可以通过将原来的图形作一次平移得到.对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上的点的坐标的某种变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.
思路二
出示教材第76页探究的内容.
出示探究问题.
(1)第一次平移后,正方形ABCD的四个顶点坐标分别是什么?
(2)第二次平移后,正方形的四个相应顶点E,F,G,H的坐标分别是什么?
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(3)如果直接平移正方形ABCD,使点A移到点E,它和我们前面得到的正方形位置相同吗?
(4)根据图形点的变化,你能知道图形是怎么平移的吗?
活动方式:全班同学分为两组,第一组用操作的办法写出平移后的对应点,第二组根据对平移的理解直接写出相应点的坐标,然后把两组同学得出的相应点的坐标进行比较.
提示:第1问对应点的坐标:(-2,-3),(-2,-4),(-1,-4),(-1,-3);第2问对应点的坐标(6,-3),(6,-4),(7,-4),(7,-3);第3问与思路一第3问相同;第4问,对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上的点的坐标的某种变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.
[设计意图] 在平面直角坐标系中,图形的位置变化与坐标的变化规律:
(1)纵坐标保持不变,横坐标分别加k,当k>0时,原图形形状、大小不变,向右平移k个单位长度,当k0时,原图形形状、大小不变,向上平移k个单位长度,当k0,
(x,y)(x+a,y);
(x,y)(x,y+a)
2.一般地,将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形,可以通过将原来的图形作一次平移得到.
3.对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上的点的坐标的某种变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.
4.图形的平移实质就是点的平移.
1.点A(1,2)向右平移2个单位长度得到对应点A',则点A'的坐标是 ( )
A.(1,4) B.(1,0)
C.(-1,2) D.(3,2)
解析:由点A的平移规律可知,此题规律是(x+2,y),照此规律计算可知点A'的坐标是(3,2).故选D.
2.下列说法正确的是 ( )
A.一个图形平移后,它各点的横、纵坐标都发生变化
B.一个图形平移后,它的大小发生变化,形状不变
C.把一个图形沿y轴平移若干个单位长度后,与原图形相比各点的横坐标没有发生变化
D.图形平移后,一些点的坐标可以不发生变化
解析:利用平移的性质逐一判断后即可得到结论.A.一个图形平移后有时候横坐标不变,有时候纵坐标不变,也有可能横、纵坐标都改变,故错误;B.一个图形平移后其大小形状均不变,故错误;C.正确;D.图形平移后,一些点的坐标必然会发生变化.故选C.
3.(2014·呼和浩特)已知线段CD是由线段AB平移得到的,点A(-1,4)的对应点为C(4,7),则点B(-4,-1)的对应点D的坐标为 ( )
A.(1,2) B.(2,9)
C.(5,3) D.(-9,-4)
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解析:本题考查了坐标与图形变化——平移,平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.因为点A(-1,4)的对应点为C(4,7),所以平移规律为向右平移5个单位长度,向上平移3个单位长度,因为点B(-4,-1),所以点D的坐标为(1,2).故选A.
4.如图所示,右边的图案是左边的图案经过平移变换得到的.左边图案中的左、右眼睛,嘴角左、右端点的坐标分别是(-4,3),(-2,3),(-4,1),(-2,1),右边图案中右眼的坐标是(4,3).
(1)右边图案中左眼及左、右嘴角端点的坐标分别是多少?
(2)如果要把左边图形的右眼的坐标变为(5,-5),需要把左边的图案作怎样的平移变换?此时另外三点的坐标又分别是多少?
解:(1)左眼(2,3),嘴角左端点(2,1),嘴角右端点(4,1). (2)向右平移7个单位长度,然后向下平移8个单位长度,其他三点依次为左眼(3,-5),嘴角左端点(3,-7),嘴角右端点(5,-7).
7.2.2 用坐标表示平移
探究1 点的平移
点的平移规律
探究2 图形的平移
例题
图形平移规律
一、教材作业
【必做题】
教材78页练习.
【选做题】
教材78页习题7.2第8题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在直角坐标系中,将某一个图形向左平移4个单位长度,则下列说法正确的是 ( )
A.图形上所有点的横坐标不变,纵坐标减少4
B.图形上所有点的横坐标不变,纵坐标增加4
C.图形上所有点的纵坐标不变,横坐标减少4
D.图形上所有点的纵坐标不变,横坐标增加4
2.若使三角形ABC各顶点在直角坐标系中的纵坐标保持不变,横坐标比原来都小5,则此三角形 ( )
A.向上平移5个单位长度
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B.向左平移5个单位长度
C.向下平移5个单位长度
D.向右平移5个单位长度
3.(2014·宜宾中考)在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)向右平移3个单位长度得到点B,则点B关于x轴的对称点C的坐标是 .
4.已知平面直角坐标系中有一点A(2,1),若将点A向左平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度得到点A1,则点A1的坐标是 .
5.如图所示,在三角形ABC中,三个顶点的坐标分别为A(-5,0),B(4,0),C(2,5),将三角形ABC沿x轴正方向平移2个单位长度,再沿y轴沿负方向平移1个单位长度得到三角形EFG.求三角形EFG的三个顶点坐标.
【能力提升】
6.如图所示,点A,B的坐标分别为(2,0),(0,1),若将线段AB平移至A1B1,则a+b的值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.在如图所示的平面直角坐标系内,画在透明胶片上的平行四边形ABCD,点A的坐标是(0,2).现将这张胶片平移,使点A落在点A'(5,-1)处,则此平移可以是 ( )
A.先向右平移5个单位长度,再向下平移1个单位长度
B.先向右平移5个单位长度,再向下平移3个单位长度
C.先向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.先向右平移4个单位长度,再向下平移3个单位长度
8.平面直角坐标系中一三角形ABC三个顶点的坐标保持横坐标不变,纵坐标都减去2,则得到的新三角形与原三角形相比向 平移了 个单位长度.
9.将点P(-3,y)向下平移3个单位长度,向左平移2个单位长度后得到点Q(x,-1),则xy= .
10.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3).
54
(1)求出三角形ABC的面积;
(2)在图中画出三角形ABC向右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度得到的三角形A1B1C1;
(3)写出点A1,B1,C1的坐标.
【拓展探究】
11.如图所示,2015年某日,青岛市海事局海上救护中心收到一艘遇难船只的求救信号,发现该船位于某海域的点A(4,-3)处,且正以缓慢的速度向北漂移,而此时救护中心有两艘救护船分别位于该海域的点B(4,2)和点C(-1,-3)处,如果两艘救护船的速度相同,那么救护中心应派哪艘船前去救护可以在最短的时间内靠近遇难船?
12.平面直角坐标系中,三角形ABC各顶点的坐标是A(6,8),B(-2,0),C(-5,-3),三角形DEF各顶点的坐标是D(0,3),E(8,11),F(-3,0),请仔细观察这两个三角形各顶点的坐标关系,判断三角形DEF是不是由三角形ABC平移得到的,如果是,是怎么样平移的?如果不是,请说明理由.
【答案与解析】
1.C(解析:在直角坐标系中,要将图形向左平移4个单位长度时,只需将图形上的每一个点的横坐标减4,纵坐标不变即可.故选C.)
2.B(解析:要使三角形ABC在直角坐标系中的纵坐标保持不变,横坐标比原来小5,则三角形ABC向左平移5个单位长度.故选B.)
3.(2,-2)(解析:点A(-1,2)向右平移3个单位长度得到的点B的坐标为(-1+3,2),即(2,2),则点B关于x轴的对称点C的坐标是(2,-2),故答案为(2,-2).)
4.(-2,-1)(解析:原来点A的横坐标是2,纵坐标是1,向左平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度得到新点的横坐标是2-4=-2,纵坐标为1-2=-1,则点A1的坐标是(-2,-1).)
5.解:E(-3,-1),F(6,-1),G(4,4).
6.A(解析:由B点平移前后的纵坐标分别为1,2,可得B点向上平移了1个单位长度,由A点平移前后的横坐标分别是为2,3,可得A点向右平移了1个单位长度,由此得线段AB的平移的过程是:向上平移1个单位长度,再向右平移1个单位长度,所以点A,B均按此规律平移,由此可得a=0+1=1,b=0+1=1,故a+b=2.故选A.)
7.B(解析:点A(0,2)平移到点A'(5,-1),显然是向
右平移5个单位长度,向下平移3个单位长度,平移结果与先后次序无关,所以B选项正确.)
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8.下 2(解析:因为纵坐标减小,所以是向下平移,因为纵坐标都减去2,所以得到的新三角形与原三角形相比向下平移了2个单位长度.)
9.-10(解析:此题规律是将(a,b)平移到(a-2,b-3),照此规律计算可知-3-2=x,y-3=-1,所以x=-5,y=2,则xy=-10.)
10.解:(1)S△ABC=×5×3=(平方单位). (2)如图所示. (3)A1(3,3),B1(3,-2),C1(0,1).
11.解:由A,B,C处三艘船的坐标可知,AB=2-(-3)=5,AC=4-(-1)=5.B,C两处救护船与A处遇难船的距离都是5个单位长度,但由于A处的遇难船只在缓慢向北漂移,所以派B处的救护船前去救护可以更快地靠近遇难船只.
12.解:分别观察三角形ABC各顶点坐标与三角形DEF各顶点坐标,寻找相同的变化关系.对于点A和D,B和E,C和F来说,把点A向左平移6个单位长度,再向下平移5个单位长度,可以得到点D,但把点B,C进行同样的平移不能得到点E,F.此时注意不要仅凭这一点就否定两个三角形不能相互平移而得到.考虑点A和点E的关系,可以发现,把三角形ABC向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度后,对应三个顶点的坐标分别是(8,11),(0,3),(-3,0),恰好是三角形EDF三个顶点的坐标,因此,把三角形ABC向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度后,可得到三角形DEF.
本课时的教学设计紧紧围绕学生的认知规律展开,从点的坐标变化到图形的坐标变化,这是遵循由特殊到一般的认识过程.从坐标点的变化感知图形平移的变化,这是遵循了由特殊到一般的认识过程.本课时的知识结论不是直接交代给学生的,而是学生通过操作、思考、交流的过程得来的.这就加深了学生对知识的理解和掌握程度.
受学习内容和操作条件的限制,学生的操作更多是一种模拟的操作,在一定程度上降低了操作的实效性.对图形的平移实质没有特别的总结强调,会对学生今后继续学习产生一定的影响.
本课时的两个探究活动,部分可以交给学生独立去完成.如教材75页的探究问题,在做出示范之后,教材例题的第2问也可以交给学生独立去完成.
练习(教材第78页)
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解:如图所示.A'(-3,1),B'(1,1),C'(2,4),D'(-2,4).
习题7.2(教材第78页)
1.解:P(-1,1),Q(-3,1),R(-1,-1).P'(4,3),Q'(2,3),R'(4,1).
3.解:向左平移2个单位长度后坐标变为A'(-5,2),B'(-5,-2),C'(1,-2),D'(1,2).向上平移3个单位长度后坐标变为A″(-3,5),B″(-3,1),C″(3,1),D″(3,5).如图所示.
4.C[提示:将三点的横坐标都加2,纵坐标都加3,得(-2,2),(3,4),(1,7).]
5.提示:以国旗杆为坐标原点,则教学楼(3,0),图书馆(2,3),校门(-3,0),实验楼(3,-3),国旗杆(0,0).另外也可以以其他设施为坐标原点,答案不唯一.
6.解:2班在1班的南偏西40°方向,距1班5 km处;1班在2班的北偏东40°方向,距2班5 km处.
7.解:A→B(向右平移2个单位长度,向上平移1个单位长度).B→C(向右平移3个单位长度).C→D(向右平移2个单位长度,向下平移1个单位长度).
8.解:因为P(x0,y0)平移后的对应点为P1(x0+5,y0+3),说明平移方法是先向右平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度.故A(-2,3)→A1(3,6),B(-4,-1)→B1(1,2),C(2,0)→C1(7,3).
9.解:如图所示,过A,B分别作x轴,y轴的平行线,分别交y轴、x轴于C,E.CA与EB交于点D,则四边形COED为长方形.因为A,B的坐标分别为(2,4),(6,2),所以C(0,4),E(6,0),D(6,4),所以S三角形AOB=S长方形COED-S三角形ACO-S三角形ADB-S三角形OBE=4×6-×4×2-×4×2-×6×2=10.
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10.解:A'(2,0),B'(5,0),C'(5,-),D'(2,-).
11.解.A的坐标为(2,3),C的坐标为(2,-3),点A与点C关于x轴对称,三角形AOB与三角形COB关于x轴对称,所以点M(x,y)与点N关于x轴对称,所以点N的坐标为(x,-y).
12.解:因为猴山与狮虎山的坐标分别为(2,1),(8,2),过猴山作东西方向线(水平线),过狮虎山作东西方向线的垂线(铅垂线),所以狮虎山到水平线的距离为1个单位长度,将猴山位置左移2个单位长度、下移1个单位长度即为坐标原点,建立坐标系.因为熊猫馆的坐标为(6,6),所以描出此点即可,如图所示.
复习题7(教材第84页)
1.解:如下表:
横坐标
纵坐标
所在象限
A(2,3)
2
3
一
B(-2,3)
-2
3
二
C(-2,-3)
-2
-3
三
D(2,-3)
2
-3
四
2.解:八边形的各顶点坐标依次为(2,4),(-2,4),(-4,2),(-4,-2),(-2,-4),(2,-4),(4,-2),(4,2).
3.解:如图所示,像风车.
4.解:(1)书店的坐标为(100,300),邮局的坐标为(-300,-100). (2)糖果店、公交车站、电影院、消防站、宠物店、姥姥家. (3)得到一个箭头.
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5.解:(1)蓝色图形向左平移3个单位长度,再向下平移6个单位长度得到红色图形,平移前的各点的横坐标都减去3,纵坐标都减去6,就得到平移后各对应点的坐标. (2)蓝色图形向右平移6个单位长度,再向上平移8个单位长度得到红色图形,平移前各点的横坐标都加上6,纵坐标都加上8,就得到平移后各对应点的坐标.
6.解:(1)是在一条直线上,这条直线与x轴平行. (2)是在一条直线上,这条直线与x轴垂直.
7.解:(1)各点的坐标分别为(1,6),(1,9),(2,7),(3,5),(4,2),(5,5),(6,4),(7,3),(7,2),(9,1).
(2)表示该同学用于阅读和用于看电视的时间相同. (3)左上方的点表示该同学用于阅读的时间多于用于看电视的时间;右下方的点表示该同学用于阅读的时间少于用于看电视的时间. (4)略.
8.解:以村委会为坐标原点,正东、正北分别为x轴、y轴正方向建立坐标系,如图所示,其中1单位长度代表实际距离500 m.
9.解:A'(0,),B'(2,),C'(,0),O(-,0).
10.解:如图所示,中点的横坐标为两个端点的横坐标的和的一半,中点的纵坐标为两个端点的纵坐标的和的一半.
11.解:A(4,3),P(-4,-3);B(3,1),Q(-3,-1);C(1,2),R(-1,-2).它们的横、纵坐标都互为相反数.M(x,y)的对应点为N(-x,-y).
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如图所示,在平面直角坐标系中,将点A(-2,3)向右平移3个单位长度,那么平移后对应的点A'的坐标是 ( )
A.(-2,-3) B.(-2,6)
C.(1,3) D.(-2,1)
〔解析〕 根据题意知从点A平移到点A',点A'的纵坐标不变,横坐标是-2+3=1,故点A'的坐标
是(1,3).故选C.
已知点A(-4,0),B(0,2),现将线段AB向右平移,使点A与原点O重合,则点B平移后的坐标是 .
〔解析〕 已知点A(-4,0),B(0,2),现将线段AB向右平移,使点A与原点O重合,所以A点的横坐标加4,纵坐标不变,B点的横坐标也加4,纵坐标也不变,因此点B平移后的坐标为(4,2).故填(4,2).
三角形A1B1C1是三角形ABC经过平移得到的,三角形ABC中的任意一点P(x1,y1)经过平移后得到的对应点P1的坐标为(x1+3,y1+1),已知三角形ABC中三个顶点的坐标分别为A(-1,1),B(-2,2),C(0,0),则三角形A1B1C1各顶点的坐标分别为 , , .
〔解析〕 由点P(x1,y1)平移后得到点P1(x1+3,y1+1)可知:将三角形ABC先向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,或先向上平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度,即可得到三角形A1B1C1,所以三角形A1B1C1中三个顶点的坐标分别为A1(2,2),B1(1,3),C1(3,1).
〔答案〕 (2,2) (1,3) (3,1)
1.在直角坐标系内,能够根据坐标描出点的位置;根据坐标系内点的位置,写出点的坐标.
2.能够通过建立坐标系或者其他方法说明事物的位置.
3.在直角坐标系内,感受图形平移后点的坐标变化,并能够根据坐标的变化说明图形的平移.
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1.通过知识的整合构建知识体系,形成系统性知识.
2.通过习题的演练,提高分析问题、解决问题的能力.
强化用数学知识解决生活中问题的意识,养成认真思考、细心操作的习惯.
【重点】 在直角坐标系内点和坐标的对应关系.
【难点】 领会图形的平移实际就是图形点的坐标的变化.
一、平面直角坐标系中的点与坐标的对应关系
平面直角坐标系中,坐标与点是一一对应的关系,即平面内一点有唯一的有序实数对(x,y)和它相对应;反过来对于任意一个有序实数对(x,y),在坐标平面内都有唯一的点和它对应.平面内点的坐标由横坐标和纵坐标确定,横、纵坐标的符号决定点所在的象限,横坐标为0或纵坐标为0,说明点在y轴上或x轴上.
二、图形的平移
在平面直角坐标系内,如果把一个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的对应点就是把原来的点向右(或向左)平移a个单位长度;如果把这个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的对应点就是把原来的点向上(或向下)平移a个单位长度.
在平面直角坐标系中,如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.反之亦然.
专题一 平面直角坐标系中的点与坐标的对应关系
【专题分析】
平面直角坐标系是函数学习的重要基础,在中考数学中占有重要的地位,是多年中考命题的常考点.本专题知识在中考中重点考查确定点的坐标、点所处的象限,以及根据坐标描点或根据要求确定点的坐标.中考命题中多以选择、填空等题型考查基本知识和基本技能.
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在平面直角坐标系中,点P(m2+1,-2)关于x轴对称的点在第 象限;关于y轴对称的点在第 象限.
〔解析〕 因为P(m2+1,-2)中,m2+1>0,-20,所以纵坐标m2+1>0,因为点A的横坐标2>0,所以点A一定在第一象限.)
13.3(解析:因为点A到x轴的距离为|y|=3,而OB=2,所以S=×2×3=3.)
14.(1,2)(解析:根据向右移动,横坐标加,纵坐标不变;向上移动,纵坐标加,横坐标不变解答.点A(-1,0)向右跳2个单位长度,即-1+2=1,向上跳2个单位,即0+2=2,所以点A'的坐标为(1,2).)
15.(D,6)(解析:由题意可知白棋⑨在纵线对应D,横线对应6的位置,故记作(D,6).)
16.答案不唯一,如(0,0)(解析:因为点P(x,y)的坐标满足x+y=xy,所以x,y符号相同,代入数字进行验证,符合条件的点的坐标有(0,0),(2,2)等.)
17.-4或6(解析:因为点M(1,3)与点N(x,3)之间的距离是5,所以|x-1|=5,解得x=-4或6.)
18.66(解析:根据新定义的规则,将(-2,3)放入魔术盒会得到(-2)2+3+1=8,再将(m,1)也就是(8,1)放入魔术盒,得到实数82+1+1=66.)
19.解:(1)观察图形知,正门北偏东30°的方向上的动物景点有蝴蝶馆、大象馆.要想确定蝴蝶馆的位置,还需知道蝴蝶馆与原点(正门)的距离或蝴蝶馆所在点的横坐标和纵坐标. (2)距正门图上距离为1个单位长度的景点是长颈鹿馆. (3)要确定每个景点的位置,需要知道各景点的横、纵坐标.
20.解:如图,在直角坐标系中,依次连接点(1,0),(1,3),(7,3),(7,0),(1,0)和点(0,3),(8,3),(4,5),(0,3),则共同组成的图形是“小房子”.
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若将上面各点的横坐标都加上1,纵坐标都减1,再连接相应各点,所得图形的形状、大小都不变,只是位置沿水平方向向右平移一个单位长度,再向下平移一个单位长度.
21.解:(1)答案不唯一,如湖心亭(-300,200),望春亭(-200,-100),音乐台(0,400),牡丹园(300,200),游乐园(200,-200). (2)西门→望春亭→牡丹园→东门.
22.解:(1)设另一个顶点D的坐标为(a,b).因为AB∥CD∥x轴,所以点D的纵坐标与点C的纵坐标相同,即b=5.又因为AD∥BC∥y轴,所以点D的横坐标与点A的横坐标相同,即a=-4.故点D的坐标为(-4,5). (2)观察可知,纵坐标相同的各点的连线平行于x轴,横坐标相同的各点的连线平行于y轴. (3)平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等.
23.解:(1)学校的坐标为(1,3);邮局的坐标为(0,-1). (2)李明家-商店-公园-汽车站-水果店-学校-游乐场-邮局-李明家. (3)连接他在(2)中经过的地点,得到的图形如图,是一艘帆船.
24.解:第一种情况:警车向正西行驶到点(3,-1),然后尾随逃犯,这样也可以追上,但这一条路从直观上来看显然需要追捕较长的时间才能追上,也就是说需要20分钟才能追上,此时在点(8,6)处追上;第二种情况:警车直接向正北方向行驶到点(5,6),这时再看逃犯是否通过点(5,6)来决定进一步追捕的方向.显然,警车到达点(5,6)需要的时间是10分钟,此时逃犯到达点(3,6),警车应改为向西行驶,只需再过2÷1.2≈1.7(分钟)就可以追捕到逃犯,其地点大约是(3.85,6).
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