第12讲: 一次函数的应用
一、复习目标
1. 复习一次函数的基本性质。
2. 利用数形结合探究一次函数图象与实际意义的对应，体会函数图象所反映出的函数性质。
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1、探究一次函数图象在实际中的应用。
2、一次函数图象的辨析。
四、教学过程
（一）知识梳理
一次函数的应用
建模思想
一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，确定出一次函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围
实际问题中一次函数的最大(小)值
在实际问题中，自变量的取值范围一般受到限制，一次函数的图象就由直线变成线段或射线，根据函数图象的性质，函数就存在最大值或最小值
常见类型
(1)求一次函数的解析式(2)利用一次函数的图象与性质解决某些问题，如最值等
（二）题型、技巧归纳
考点一：利用一次函数进行方案选择
技巧归纳：一次函数的方案决策题，一般都是利用自变量的取值不同，得出不同方案，并根据自变量的取值范围确定出最佳方案．
考点二：利用一次函数解决资源收费问题
技巧归纳：此类问题多以分段函数的形式出现，正确理解分段函数是解决问题的关键，一般应从如下几方面入手：(1)寻找分段函数的分段点；(2)针对每一段函数关系，求解相应的函数解析式；(3)利用条件求未知问题．
6
考点三：利用一次函数解决其他生活实际问题
技巧归纳：结合函数图象及性质，弄清图象上的一些特殊点的实际意义及作用，寻找解决问题的突破口，这是解决一次函数应用题常见的思路．“图形信息”题是近几年的中考热点考题，解此类问题应做到三个方面：(1)看图找点，(2)见形想式，(3)建模求解．
（三）典例精讲
例1 我市某医药公司把一批药品运往外地，现有两种运输方式可供选择．
方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；
方式二：使用快递公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元；
(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式；
(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？
[解析] (1)根据方式一、二的收费标准即可得出y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式．
(2)比较两种方式的收费多少与x的变化之间的关系，从而根据x的不同选择合适的运输方式．
解：(1)由题意得，y1＝4x＋400, y2＝2x＋820.
(2)令4x＋400＝2x＋820，解之得x＝210，
所以当运输路程小于210 km时，y1＜y2，选择邮车运输较好；
当运输路程等于210 km时，y1＝y2，选择两种方式一样；
当运输路程大于210 km时，y1＞y2，选择火车运输较好
例2 为促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图12－1中折线反映了每户居民每月用电电费y(元)与用电量x(度)间的函数关系．
(1)根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，请填写下表：
档次
第一档
第二档
第三档
每月用电量x度
0＜x≤140
_____
______
(2)小明家某月用电120度，需要交电费________元；
(3)求第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式；
6
(4)在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电费m元，小刚家某月用电290度交纳电费153元，求m的值．
[解析] (1)利用函数图象可以得出，阶梯电价方案分为三个档次，利用横坐标可得出：第二档，第三档中x的取值范围；
(2)根据第一档范围是：0＜x≤140，利用图象上点的坐标得出解析式，进而得出x＝120时y的值；
(3)设第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式为：y＝kx＋b，将(140，63)，(230，108)代入求出k，b的值即可；
(4)分别求出第二、三档每度电的费用，进而得出m的值即可．
解：(1)填表如下：
档次
第一档
第二档
第三档
每月用电量x度
0＜x≤140
140230
(2)54
(3)设y与x的关系式为y＝kx＋b，
∵点(140，63)和(230，108)在y＝kx＋b的图象上，
∴
解得
∴y与x的关系式为y＝0.5x－7.
(4)方法一：第三档中1度电交电费(153－108)÷(290－230)＝0.75(元)；
第二档1度电交电费(108－63)÷(230－140)＝0.5(元)，
所以m＝0.75－0.5＝0.25.
方法二：根据题意得，
×(290－230)＋108＝153，解得m＝0.25.
例3 周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图12－2是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．
(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；
(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？
(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．
6
[解析] (1)用路程除以时间即可得到速度；在甲地游玩的时间是1－0.5＝0.5 (h)．
(2)如图，求得线段BC所在直线的解析式和DE所在直线的解析式后求得交点坐标即可求得被妈妈追上的时间．
(3)可以设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n km，根据妈妈比小明早到10分钟列出有关n的方程，求得n值即可
解：(1)小明骑车速度：10÷0.5＝20(km/h)；
在甲地游玩的时间是1－0.5＝0.5(h)．
(2)设各交点字母如图所标．妈妈驾车速度：20×3＝60(km/h)．
设直线BC解析式为y＝20x＋b1，
把点B(1，10)的坐标代入，得b1＝－10，
∴y＝20x－10.
设直线DE解析式为y＝60x＋b2，把点D的坐标代入，得b2＝－80，∴y＝60x－80.
两解析式联立得
解得
∴交点F(1.75，25)．
答：小明出发1.75 h后被妈妈追上，此时离家25 km.
(3)方法一：设从家到乙地的路程为m km，
则将点E(x1，m)，点C(x2，m)的坐标分别代入y＝60x－80，y＝20x－10，得x1＝，x2＝.
∵x2－x1＝＝，∴－＝，∴m＝30.
∴从家到乙地的路程为30 km.
方法二：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n km，
6
由题意得－＝，
∴n＝5，∴从家到乙地的路程为5＋25＝30(km)．
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握数形结合探究一次函数图象与实际意义的对应，体会函数图象所反映出的函数性质。
（五）随堂检测
1、某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同．以每月用车路程x km计算，甲汽车租赁公司的月租费是y1元，乙汽车租赁公司的月租费是y2元．如果y1、y2与x之间的关系如图，那么：
(1)每月用车路程多少时，租用两家汽车租赁公司的车所需费用相同？
(2)每月用车路程在什么范围内，租用甲汽车租赁公司的车所需费用较少？
(3)如果每月用车的路程约为2300 km，那么租用哪家的车所需费用较少？
2、某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x(分钟)与收费y(元)之间的函数关系如图所示．
(1)有月租费的收费方式是________(填① 或②)，月租费是________元；
(2)分别求出①、②两种收费方式 中y与自变量x之间的函数关系式；
(3)请你根据用户通讯时间的多少， 给出经济实惠的选择建议．
五、板书设计
一次函数应用
6
六、作业布置
完成一次函数的应用课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
6
微信/支付宝扫码支付