2017届中考数学一轮复习第20讲等腰三角形教案.doc

第20讲:等腰三角形 一、复习目标 ‎1．理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的有关性质 ‎ ‎2．熟练运用等腰三角形的性质和判定方法解决有关问题 ‎ 二、课时安排 ‎1课时 三、复习重难点 能灵活运用等腰三角形的性质和判定来解决问题。‎ 四、教学过程 ‎（一）知识梳理 ‎ 等腰三角形的概念与性质 定义 ‎ 有____相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰，第三边为底 ‎ 性质 ‎ 轴对称性 ‎ 等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴 ‎ 定理1 ‎ 等腰三角形的两个底角相等(简称为：__________)‎ 定理2 ‎ 等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合，简称“三线合一” ‎ 拓展 ‎ ‎(1)等腰三角形两腰上的高相等 ‎ ‎(2)等腰三角形两腰上的中线相等 ‎ ‎(3)等腰三角形两底角的平分线相等 ‎ ‎(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 ‎ ‎(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行 ‎ ‎(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 ‎ ‎(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高 ‎ 9‎ 等腰三角形的判定 定理 ‎ 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：___________) ‎ 拓展 ‎ ‎(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形 ‎ ‎(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形 ‎ ‎(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形 ‎ 等边三角形 定义 ‎ 三边相等的三角形是等边三角形 ‎ 性质 ‎ 等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于______ ‎ 等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴 ‎ 判定 ‎ ‎(1)三个角都相等的三角形是等边三角形 ‎ ‎(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 ‎ 线段的垂直平分线 定义 ‎ 经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线 ‎ 性质 ‎ 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________ ‎ 判定 ‎ 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上 实质构成 ‎ 线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点________的所有点的集合 ‎ ‎（二）题型、技巧归纳 考点1等腰三角形的性质的运用 ‎ 技巧归纳：‎ ‎(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换．(2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换．‎ 考点2等腰三角形判定 ‎ 9‎ 技巧归纳：要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得两边相等．‎ 考点3等腰三角形的多解问题 技巧归纳：因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况．故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况．‎ 考点4等边三角形的判定与性质 技巧归纳：等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．‎ ‎（三）典例精讲 例1如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF. ‎ ‎(1)求证：△ADE≌△BFE；‎ ‎(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系， ‎ 并说明理由．‎ ‎[解析] 先通过平行条件得到两对内错角相等，结合线段中点得到的线段相等，可证明两个三角形全等；由角相等的条件可证明△DFG是等腰三角形，再结合点E是DF的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论．‎ 解： (1)证明：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠FBE.‎ ‎∵E是AB的中点，‎ ‎∴AE＝BE.‎ ‎∴△ADE≌△BFE.‎ ‎(2)EG与DF的位置关系是EG⊥DF.‎ ‎∵∠GDF＝∠ADF，‎ 9‎ 又∵∠ADE＝∠BFE，‎ ‎∴∠GDF＝∠BFE，‎ ‎∴GD＝GF.‎ 由(1)得，DE＝EF，‎ ‎∴EG⊥DF.‎ 例2、已知：如图锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.‎ ‎(1)求证：△ABC是等腰三角形；‎ ‎(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由． ‎ ‎[解析] (1)利用△BDC≌△CEB 证明∠DCB＝∠EBC；(2)连接AO，通过HL证明△ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论．‎ 解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.‎ ‎∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.‎ 又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB (AAS)．‎ ‎∴∠DBC＝∠ECB, ∴AB＝AC.‎ ‎∴△ABC是等腰三角形．‎ ‎(2)点O是在∠BAC的平分线上． ‎ 连接AO. ‎ ‎∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB. ‎ ‎∵OB＝OC，∴ OD＝OE. ‎ 又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO， ‎ ‎∴△ADO≌△AEO(HL)． ‎ 9‎ ‎∴∠DAO＝∠EAO. ∴点O是在∠BAC的平分线上．‎ 例3 已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝0.5 BC，则△ABC底角的度数为(　　)‎ A．45° B．75°‎ C．45°或75° D．60° ‎ ‎[解析] 首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析．‎ 如图(1)：AB＝AC，‎ ‎∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC，∠ADB＝90°.‎ ‎∵AD＝BC，∴AD＝BD，∴∠B＝45°，‎ 即此时△ABC底角的度数为45°；‎ 如图(2)，AC＝BC，‎ ‎∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.‎ ‎∵AD＝BC，∴AD＝AC，∴∠C＝30°.‎ ‎∴∠CAB＝∠B＝＝75°，‎ 即此时△ABC底角的度数为75°.‎ 综上，△ABC底角的度数为45°或75°.‎ 故选C.‎ 例4 数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．‎ 9‎ 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：‎ ‎(1)特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图20－4①，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：‎ AE________DB(填“>”“”“