2017届中考数学一轮复习第22讲相似三角形及其应用教案.doc

第22讲: 相似三角形及其应用 一、复习目标 ‎1. 复习相似三角形的概念。‎ ‎2. 复习相似三角形的性质。‎ ‎3. 复习相似三角形的判定。‎ ‎4. 复习相似三角形的应用，用相似知识解决一些数学问题。‎ 二、课时安排 ‎1课时 三、复习重难点 重点：运用相似三角形的判定定理分析两个三角形是否相似。‎ 难点：正确运用相似三角形的性质解决数学问题。‎ 四、教学过程 ‎（一）知识梳理 ‎ 相似图形的有关概念 相似图形 形状相同的图形称为相似图形 ‎ 相似多边形 定义 ‎ 如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似 ‎ 相似比 ‎ 相似多边形对应边的比称为相似比k ‎ 相似三 角形 两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似．当相似比k＝1时，两个三角形全等 ‎ 比例线段 定义 ‎ 防错提醒 ‎ 比例线段 ‎ 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即____________，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位 ‎ 8‎ 黄金分割 ‎ 在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果________，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比为________ ‎ 一条线段的黄金分割点有______个 ‎ 平行线分线段成比例定理 定理 ‎ 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比___________ ‎ 推论 ‎ 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比________ ‎ 相似三角形的判定 判定定理1 ‎ 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________ ‎ 判定定理2 ‎ 如果两个三角形的三组对应边的________相等，那么这两个三角形相似 ‎ 判定定理3 ‎ 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且____________相等，那么这两个三角形相似 ‎ 判定定理4 ‎ 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的____________，那么这两个三角形相似 ‎ 拓展 ‎ 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似 ‎ 相似三角形及相似多边形的性质 三角形 ‎ ‎(1)相似三角形周长的比等于相似比 ‎ ‎(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方 ‎ ‎(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比 ‎ 相似多边形 ‎ ‎(1)相似多边形周长的比等于相似比 ‎ ‎(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方 ‎ 8‎ 位似 位似图形定义 ‎ 两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位形中心 ‎ 位似与相似关系 ‎ 位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行 ‎ 位似图形的性质 ‎ ‎(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于________； ‎ ‎(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于________点； ‎ ‎(3)位似图形对应边______(或在一条直线上)； ‎ ‎(4)位似图形对应角相等 ‎ 以坐标原点为中心的位似变换 ‎ 在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于________ ‎ 位似作图 ‎ ‎(1)确定位似中心O； ‎ ‎(2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线)； ‎ ‎(3)按照相似比取点； ‎ ‎(4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形 ‎ 相似三角形的应用 几何图形的证明与计算 ‎ 常见问题 ‎ 证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等 ‎ 相似三角形在实际生活中的应用 ‎ 建模思想 ‎ 建立相似三角形模型 ‎ 常见题目类型 ‎ ‎(1)利用投影，平行线，标杆等构造相似三角形求解； ‎ ‎(2)测量底部可以达到的物体的高度； ‎ ‎(3)测量底部不可以到达的物体的高度； ‎ ‎(4)测量不可以达到的河的宽度 ‎ ‎（二）题型、技巧归纳 考点1比例线段 ‎ 8‎ 技巧归纳：本题考查的是平行线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键 考点2相似三角形的性质及其应用 ‎ 技巧归纳：1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；2. 利用相似三角形性质探求比值关系．‎ 考点3三角形相似的判定方法及其应用 ‎ 技巧归纳：判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．‎ 考点4位似 技巧归纳：本题考查位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键根据已知条件求得两个正方形的边长。‎ ‎（三）典例精讲 例1 如图已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝(　　) ‎ A．7　　　B．7.5　　‎ C．8　　　D．8.5 ‎ ‎[解析] 因为a∥b∥c，所以＝，∴＝，DF＝4.5，BF＝7.5.‎ 例2 如图△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.‎ ‎(1)求证：‎ ‎ (2)求这个矩形EFGH的周长． ‎ 8‎ ‎[解析] (1)证明△AHG∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，证明结论．‎ ‎(2)设HE＝x，则HG＝2x，利用第一问中的结论求解．‎ 解：(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，‎ ‎∴EF∥GH.‎ ‎∴∠AHG＝∠ABC.‎ 又∵∠HAG＝∠BAC，‎ ‎∴△AHG∽△ABC，∴ ＝.‎ ‎(2)由(1)得＝.设HE＝x，则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x.‎ 可得＝，解得x＝12，2x＝24.‎ 所以矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72 (cm)．‎ 例3、如图在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F.‎ ‎(1)求证：△ABE∽△DEF；‎ ‎(2)求EF的长．‎ ‎[解析] (1)由四边形ABCD是矩形，易得∠A＝∠D＝90°，又由EF⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠DEF＝∠ABE，则可证得△ABE∽△DEF；‎ ‎(2)由(1)△ABE∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得＝，又由AB＝6，AD＝12，AE＝8，利用勾股定理求得BE的长，由DE＝AD－AE，求得DE的长，继而求得EF的长．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ 8‎ ‎∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＋∠ABE＝90°.‎ ‎∵EF⊥BE，∴∠AEB＋∠DEF＝90°，‎ ‎∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF；‎ ‎(2)∵△ABE∽△DEF，‎ ‎∴＝.∵AB＝6，AD＝12，AE＝8，‎ ‎∴BE＝＝10，DE＝AD－AE＝12－8＝4，‎ ‎∴＝，‎ 解得EF＝.‎ 例4 如图正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3√2，若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是(　　)‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎[解析] 延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．‎ ‎∵在正方形ABCD中，AC＝3，‎ ‎∴BC＝AB＝3.‎ 延长A′B′交BC于点E，‎ ‎∵点A′的坐标为(1，2)，‎ ‎∴OE＝1，EC＝3－1＝2＝A′E，‎ ‎∴正方形A′B′C′D′的边长为1，‎ ‎∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是.‎ 故选B.‎ 8‎ ‎（四）归纳小结 本部分内容要求熟练掌握相似三角形的概念、性质、判定。‎ ‎（五）随堂检测 ‎1、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2 m，它的影子BC＝1.6 m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿PQ的长度为__2.3__m.‎ ‎2、如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为 ．‎ ‎3、如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折痕MN的长为 2．‎ 五、板书设计 相似三角形 六、作业布置 相似三角形及其应用课时作业 七、教学反思 8‎ 借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。‎ 8‎