专题01 实数的概念
聚焦考点☆温习理解
一.实数的分类:
注意:在理解无理数时,要注意“无限不循环”,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如,等;
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如等;
(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;
(4)某些三角函数,如sin60o等
二.绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
三.相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零).从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=-b,反之亦成立。
四、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
五、平方根
如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个数有两个平方根,他们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
11
六、立方根
如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
注意:,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、实数的分类
【例1】(2016湖南岳阳第1题)下列各数中为无理数的是( )
A.﹣1 B.3.14 C.π D.0
【答案】C.
【解析】
试题分析:无限不循环小数无理数,π是无限不循环小数是无理数.故答案选C.
考点:无理数.
【点睛】理解有理数的概念,一定要同时理解无理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.
【举一反三】
1.(2016四川达州第1题)下列各数中最小的是( )
A.0 B.﹣3 C.﹣ D.1
【答案】B.
【解析】
考点:有理数的大小比.
2.(2016山东济宁第1题)在:0,﹣2,1,这四个数中,最小的数是( )
A.0 B.﹣2 C.1 D.
【答案】B.
【解析】
11
试题分析:根据正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数即可判定在0,﹣2,1,这四个数中,最小的数是-2,故答案选B.
考点:有理数的大小比较.
3.下列实数中,是无理数的为( )
A. B. C.0 D.-3
【答案】A
【解析】
考点:无理数
考点典例二、绝对值
【例2】(2016黑龙江哈尔滨第1题)﹣6的绝对值是( )
A.﹣6 B.6 C. D.
【答案】B.
【解析】
试题分析:负数的绝对值是它相反数,-6的绝对值是6.故选B.
考点:绝对值.
【点睛】此题考查了绝对值的性质,要求掌握绝对值的性质及其定义,并能熟练运用到实际运算当中.绝对值规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
【举一反三】
1.(2016新疆第1题)﹣2的绝对值是( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.
【答案】A
考点:绝对值.
11
2.(2016福建泉州第1题)﹣3的绝对值是( )
A.3 B.﹣3 C.﹣ D.
【答案】A.
【解析】
试题分析:根据绝对值的定义可得﹣3的绝对值是3.故选A.
考点:绝对值.
3.(2016广西来宾第17题)计算:|1﹣3|= .
【答案】2.
【解析】
试题分析:|1﹣3|=|﹣2|=2.故答案为:2.
考点:有理数的减法;绝对值.
考点典例三、相反数
【例3】(2016河南第1题)的相反数是【 】
(A) (B) (C) (D)
【答案】B.
【解析】
试题分析:根据相反数的定义可得的相反数是,故答案选B.
考点:相反数.
【点睛】相反数的定义是:如果两个数只有符号不同,我们称其中一个数为另一个数的相反数,特别地,0的相反数还是0.
【举一反三】
1.(2016湖北黄石第1题)的倒数是
A. B.2 C. D.
【答案】B.
【解析】
试题分析:根据乘积是1的两个数互为倒数可知的倒数是2,故答案选B.
考点:倒数.
11
2.(2016湖北鄂州第1题)-的相反数是( )
A. - B. - C. D.
【答案】C.
【解析】
试题分析:根据相反数的定义可得答案.-的相反数是.故答案选C.
考点:相反数.
3.(2016湖南永州第1题)﹣的相反数的倒数是( )
A.1 B.﹣1 C.2016 D.﹣2016
【答案】C.
考点:相反数;倒数.
考点典例四、倒数
【例4】(2016湖北十堰第1题)的倒数是( )
A.2 B.﹣2 C. D.﹣
【答案】A.
【解析】
试题分析:根据乘积为的1两个数互为倒数,可得的倒数是2,故答案选A.
考点:倒数.
【点睛】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义,因此求一个数的倒数即用1除以这个数.
【举一反三】
1.(2016湖南张家界第1题)﹣5的倒数是( )
A. B. C.﹣5 D.5
【答案】A
11
【解析】
试题分析:根据倒数的定义可得-5的倒数是-.故选A.
考点:倒数.
2.(2016江苏苏州第1题)的倒数是( )
A. B.- C. D.-
【答案】A.
【解析】
试题分析:根据倒数的定义可得的倒数是,故选A.
考点:倒数.
考点典例五、平方根、立方根
【例5】1.(2016湖南怀化第1题)(﹣2)2的平方根是( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.
【答案】C.
考点:平方根的定义.
2.(2016湖北襄阳第3题)-8的立方根是( )
A、2
【答案】B.
【解析】
试题分析:。
因为(-2)3=-8,根据立方根的概念可知-8的立方根为-2,故答案选B.
考点:立方根.
【点睛】本题考查了平方根、立方根的定义,利用了开方运算即可求一个数的立方根和平方根.注意:当a≥0时,;当a≤0时,;当a取任意实数,
【举一反三】
1.(2016河北第17题)8的立方根为_______.
11
【答案】2.
【解析】
试题分析:根据立方根的定义可得8的立方根为2.
考点:立方根.
2.(2016湖南常德第1题)4的平方根是( )
A.2 B.﹣2 C.±D.±2
【答案】D.
考点:平方根.
3.64的立方根是( )
A.4 B.±4 C.8 D.±8
【答案】A.
【解析】
试题分析:∵4的立方等于64,∴64的立方根等于4.故选A.
考点:立方根.
课时作业☆能力提升
一.选择题
1.(2016辽宁葫芦岛第1题)4的相反数是( )
A.4 B.﹣4 C. D.
【答案】B.
【解析】
试题分析:根据相反数的定义可得4的相反数是﹣4.故选B.
考点:相反数.
2.(2016内蒙古通辽第1题)﹣2016的倒数是( )
A. B.2016 C.﹣2016 D.﹣
【答案】D.
【解析】
11
试题分析:﹣2016的倒数是﹣,故选D.
考点:倒数.
3.(2016年福建龙岩第2题)下列四个实数中最小的是( )
A. B.2 C. D.1.4
【答案】D.
考点:实数大小比较.
4.(2016辽宁沈阳第1题)下列各数是无理数的是( )
A.0 B.﹣1 C. D.
【答案】C.
【解析】
试题分析:无理数是无限不循环小数,由此可得0,﹣1,是有理数,是无理数,故答案选C.
考点:无理数.
5.(2016江苏盐城第4题)下列实数中,是无理数的为( )
A.﹣4 B.0.101001 C. D.
【答案】D.
【解析】
考点:无理数.
6.(2016江苏常州第1题)﹣2的绝对值是( )
11
A.﹣2 B.2 C. D.
【答案】B.
【解析】
试题分析:|﹣2|=2.故选B.
考点:绝对值.
7.(2016黑龙江大庆第2题)已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是( )
A.a•b>0 B.a+b<0 C.|a|<|b| D.a﹣b>0
【答案】D.
【解析】
试题分析:由数轴可知,a>0,b<0,1<a<2,-1<b<0,∴ab<0,a+b>0,|a|>|b|,a-b>0,
故选D.
考点:数轴.
8.(2016湖北宜昌第1题)如果“盈利5%”记作+5%,那么﹣3%表示( )
A.亏损3% B.亏损8% C.盈利2% D.少赚3%
【答案】A.
【解析】
试题分析:已知盈利5%”记作+5%,根据正负数的意义可得﹣3%表示表示亏损3%.故答案选A.
考点:正负数的意义.
9.(2016湖北襄阳第3题)-8的立方根是( )
A、2
【答案】B.
【解析】
试题分析:。
因为(-2)3=-8,根据立方根的概念可知-8的立方根为-2,故答案选B.
考点:立方根.
二.填空题
10.(2016湖南岳阳第9题)如图所示,数轴上点A所表示的数的相反数是 .
11
【答案】2.
考点:相反数;数轴.
11.(2016湖南湘西州第1题)2的相反数是 .
【答案】2.
【解析】
试题分析:根据相反数的定义可知﹣2的相反数是2.
考点:相反数.
12.(2016青海第1题)﹣3的相反数是 ;的立方根是 .
【答案】3, .
【解析】
试题分析:根据求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”可得﹣3的相反数是3;根据立方根的定义可得的立方根是.
考点:相反数;立方根.
13.(2016黑龙江绥化第11题)的相反数的倒数是 .
【答案】2016.
【解析】
考点:倒数;相反数.
14.(2016四川南充第1题)如果向右走5步记为+5,那么向左走3步记为( )
A.+3 B.﹣3 C. D.
【答案】B.
【解析】
11
试题分析:如果向右走5步记为+5,那么向左走3步记为﹣3;故选B.
考点:正数和负数.
15.(2016内蒙古巴彦淖尔第1题)﹣|﹣2|的倒数是( )
A.2 B. C. D.﹣2
【答案】C.
考点:倒数;绝对值.
11