专题04 因式分解
聚焦考点☆温习理解
1、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。
2、因式分解的常用方法
(1)提公因式法:
(2)运用公式法:
(3)分组分解法:
(4)十字相乘法:
3、因式分解的一般步骤:
(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提取公因式。
(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下,观察多项式的项数:2项式可以尝试运用公式法分解因式;3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式;4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、提取公因式
【例1】2016湖南长沙第13题)分解因式:x2y﹣4y= .
【答案】y(x+2)(x﹣2).
【解析】
试题分析:提取公因式y,后再利用平方差公式分解,即x2y﹣4y=y(x2﹣4)=y(x+2)(x﹣2).
考点:分解因式.
【点睛】
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将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式,若有公因式,则把它提取出来,之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式,若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此,直接提取公因式m即可.
【举一反三】
1.(2016四川达州第11题)分解因式:a3﹣4a= .
【答案】a(a+2)(a﹣2).
考点:分解因式.
2.(2016湖南岳阳第10题)因式分解:6x2﹣3x= .
【答案】3x(2x﹣1).
【解析】
试题分析:直接提公因式分解即可,即可6x2﹣3x=3x(2x﹣1),
考点:因式分解.
考点典例二、公式法
【例2】2016湖北黄石第11题)因式分解:_______________.
【答案】(x+6)(x-6).
【解析】
试题分析:利用平方差公式直接分解即可,原式=(x+6)(x-6).
考点:因式分解.
【点睛】根据所给多项式可以看出是两个数的平方差,因此利用平方差公式进行分解即可.
【举一反三】
1.(2016山东威海第15题)分解因式:(2a+b)2﹣(a+2b)2= .
【答案】3(a+b)(a﹣b).
【解析】
试题分析:直接利用平方差公式分解可得:原式=(2a+b+a+2b)(2a+b﹣a﹣2b)=3(a+b)(a﹣b).
考点:分解因式.
2.已知,,则的值为 .
【答案】 -3
【解析】
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考点: 因式分解;整体代入思想
3.分解因式:= .
【答案】.
【解析】
试题分析:原式==.故答案为:.
考点:提公因式法与公式法的综合运用.
考点典例三、提取公因式与公式法综合运用
【例3】(2016湖北襄阳第11题)分解因式:2a2-2= .
【答案】.
【解析】
试题分析:原式=2=.
考点:分解因式.
【点睛】首先提取公因式2,剩下的因式又是两个数的平方差,进而利用平方差公式进行分解即可.
【举一反三】
1.(2016福建南平第13题)分解因式:= .
【答案】.
【解析】
试题分析:原式==.故答案为:.
考点:提公因式法与公式法的综合运用.
2.(2016新疆生产建设兵团第10题)分解因式:x3﹣4x= .
【答案】x(x+2)(x﹣2).
【解析】
9
考点:因式分解.
2.(2016内蒙古巴彦淖尔第11题)分解因式:=_____________.
【答案】.
【解析】
试题分析:==.故答案为:.
考点:提公因式法与公式法的综合运用.
考点典例四、分解因式的应用
【例5】若,则代数式的值为 .
【答案】1.
【解析】
试题分析:∵,
∴.
【点睛】利用因式分解可以求代数式的值,先将代数式a2-b2-2b进行因式分解含有(a-b)的因式,再进行整体代入即可求出答案.
【举一反三】
1(2016湖北宜昌第14题)小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a﹣b,x﹣y,x+y,a+b,x2﹣y2,a2﹣b2分别对应下列六个字:昌、爱、我、宜、游、美,现将(x2﹣y2)a2﹣(x2﹣y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是( )
A.我爱美 B.宜晶游 C.爱我宜昌 D.美我宜昌
【答案】C.
【解析】
试题分析:(x2﹣y2)a2﹣(x2﹣y2)b2=(x2﹣y2)(a2﹣b2)=(x﹣y)(x+y)(a﹣b)(a+b),因为x﹣y,x+y,a+b,a﹣b四个代数式分别对应爱、我,宜,昌,所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”,故答案选C.
考点:因式分解.
2.如图边长为a、b的矩形的周长为14,面积为10,则a²b+ab²的值为
A.140 B.70 C.35 D.24
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【答案】
【解析】
试题分析:由题意可得a+b=7,ab=10,所以=7×10=70.故选B.
考点:分解因式;求代数式的值
课时作业☆能力提升
一.选择题
1.(2016河北第18题)若mn=m+3,则2mn+3m-5nm+10=_____.
【答案】1.
【解析】
试题分析:由mn=m+3可得mn-m=3,所以2mn+3m-5nm+10=3m-3mn+10=3(m-mn)+10=10-9=1.
考点:整体思想;求代数式的值.
2.(2016山东潍坊第8题)将下列多项式因式分解,结果中不含有因式a+1的是( )
A.a2﹣1 B.a2+a C.a2+a﹣2 D.(a+2)2﹣2(a+2)+1
【答案】C.
【解析】
考点:因式分解.
3.下面的多项式在实数范围内能因式分解的是( )
A.x2+y2 B.x2﹣y C.x2+x+1 D.x2﹣2x+1
【答案】D.
【解析】
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考点:实数范围内因式分解.
4.(2016山东滨州第3题)把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)(x﹣3)则a,b的值分别是( )
A.a=2,b=3 B.a=﹣2,b=﹣3 C.a=﹣2,b=3 D.a=2,b=﹣3
【答案】B.
【解析】
试题分析:根据多项式乘以多项式的法则可得(x+1)(x﹣3)=x•x﹣x•3+1•x﹣1×3=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3,对比系数可以得到a=﹣2,b=﹣3.故答案选B.
考点:整式的乘法.
5.因式分解a2b﹣b的正确结果是( )
A. b(a+1)(a ﹣1) B. a(b+1)(b﹣1) C. b(a2﹣1) D. b(a﹣1)2
【答案】A.
【解析】
试题分析:先提取公因式b,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
a2b﹣b
=b(a2﹣1)
=b(a+1)(a﹣1).
故选A.
考点:提公因式法与公式法的综合运用.
6.下列因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A.
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【解析】
考点:1.因式分解和因式分解的意义;2.完全平方公式.
二.填空题
7.(2016湖南张家界第9题)因式分解:x2﹣4= .
【答案】(x+2)(x-2).
【解析】
试题分析: 直接利用平方差公式进行分解因式. x2﹣4=(x+2)(x-2).
考点:因式分解.
8.(2016黑龙江哈尔滨第14题)把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是 .
【答案】a(x+a)2.
【解析】
试题分析:ax2+2a2x+a3=a(x2+2ax+a2)= a(x+a)2.
考点:因式分解.
9.(2016辽宁沈阳第11题)分解因式:2x2﹣4x+2= .
【答案】2(x﹣1)2.
【解析】
试题分析:先提取公因式2,再利用完全平方公式进行二次分解即2x2﹣4x+2=2(x2﹣2x+1)=2(x﹣1)2.
考点:分解因式.
10.(2016山东东营第12题)分解因式:a3-16a=_____________.
【答案】a(a+4)(a-4).
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考点:分解因式.
11.(2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第13题)因式分解:xy2﹣4xy+4x= .
【答案】x(y﹣2)2.
【解析】
试题分析:先提取公因式x,再根据完全平方公式进行二次分解,即xy2﹣4xy+4x=x(y2﹣4y+4)=x(y﹣2)2.
考点:因式分解.
12.分解因式: .
【答案】.
【解析】
试题分析:.
考点:应用公式法因式分解.
13.分解因式:= .
【答案】.
【解析】
试题分析:==.故答案为:.
考点:提公因式法与公式法的综合运用.
14.(2016江苏常州第11题)分解因式:= .
【答案】.
【解析】
试题分析:==.故答案为:.
考点:提公因式法与公式法的综合运用.
15.分解因式:= .
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【答案】.
【解析】
试题分析:.
考点:提公因式法和十字相乘法因式分解.
16(2016青海第2题)分解因式:2a2b﹣8b= ,计算:8x6÷4x2= .
【答案】2b(a+2)(a﹣2);2x4.
【解析】
试题分析:2a2b﹣8b=2b(a+2)(a﹣2);8x6÷4x2=2x4.
考点:提公因式法与公式法的综合运用;整式的除法.
17.已知实数a,b满足ab=3,a﹣b=2,则a2b﹣ab2的值是 .
【答案】6.
【解析】
考点:1.求代数式的值;2. 提公因式法因式分解;3.整体思想的应用.
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