专题07 一元一次不等式（组）
聚焦考点☆温习理解
一、不等式的概念
1、不等式
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
3、用数轴表示不等式的方法
二、不等式基本性质
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
三、一元一次不等式
1、一元一次不等式的概念
一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1
四、一元一次不等式组
1、一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
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（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、不等式的性质
【例1】（2016江苏常州第6题）若x＞y，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．x+1＞y+1 B．2x＞2y C．＞ D．
【答案】D．
【解析】
考点：不等式的性质．
【点睛】根据不等式的性质: 1.不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。对各选项进行判断
【举一反三】
1.下列说法不一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C．
【解析】
试题分析：A．在不等式的两边同时加上c，不等式仍成立，即，故本选项错误；
B．在不等式的两边同时减去c，不等式仍成立，即，故本选项错误；
C．当c=0时，若，则不等式不成立，故本选项正确；
D．在不等式的两边同时除以不为0的，该不等式仍成立，即，故本选项错误．
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故选C．
考点：不等式的性质．
2.写出一个解为的一元一次不等式 ．
【答案】（答案不唯一）.
【解析】根据不等式的性质，从x≥1逆推即可得到一元一次不等式：（答案不唯一）.
考点典例二、解一元一次不等式
【例2】解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】．
【解析】
考点：1．解一元一次不等式；2．在数轴上表示不等式的解集．
【点睛】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【举一反三】
1.（2016湖南怀化第6题）不等式3（x﹣1）≤5﹣x的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C.
【解析】
试题分析：解不等式得：3x﹣3≤5﹣x，4x≤8，x≤2，所以不等式的非负整数解有0、1、2这3个，故答案选C．
考点：一元一次不等式组的整数解.
2.解不等式：＞1－．
【答案】x＞3.
【解析】
试题分析：根据解不等式的基本方法解出即可.
试题解析：
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考点：一元一次不等式的解法.
考点典例三、一元一次不等式组
【例3】（2016山东威海第19题）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
．
【答案】﹣1≤x＜，图见解析.
【解析】
考点：一元一次不等式组的解法
【点睛】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个.在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.
【举一反三】
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1.（2016四川达州第4题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A.
【解析】
考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
2.（2016山东滨州第8题）对于不等式组下列说法正确的是（ ）
A．此不等式组无解
B．此不等式组有7个整数解
C．此不等式组的负整数解是﹣3，﹣2，﹣1
D．此不等式组的解集是﹣＜x≤2
【答案】B.
【解析】
试题分析：分别解两个不等式得到x≤4和x＞﹣2.5，即可确定不等式组的解集为﹣2.5＜x≤4，，可得不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0， 1，2，3，4．由此可得只有选项B正确，故答案选B．
考点：一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
考点典例四、一元一次不等式（组）的应用
【例4】某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足（ ）
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A．n≤m B． n≤ C． n≤ D． n≤
【答案】B.
【解析】设进价为a元，由题意可得：a（1+m%）（1﹣n%）﹣a≥0，
则（1+m%）（1﹣n%）﹣1≥0，
整理得：100n+mn≤100m，
故n≤．
故选：B．
【点睛】根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价，可得：a（1+m%）（1﹣n%）﹣a≥0，通过解不等式，进而得出n的取值．本题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．
【举一反三】
1.（2016内蒙古巴彦淖尔第18题）我市为全面推进“十个全覆盖”工作，绿化提质改造工程如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共600棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵100元，乙种树苗每棵200元．
（1）若购买两种树苗的总金额为70000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？
【答案】（1）购买甲种树苗500棵，购买乙种树苗100棵；（2）400．
【解析】
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用；最值问题．
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2.（2016山东济宁第19题）某地2014年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于一滴安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
【答案】(1)50%；(2)今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
【解析】
考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用.
20.(2016湖北襄阳第21题)(满分7分)
课时作业☆能力提升
一．选择题
1.（2016湖南长沙第5题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
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【解析】
试题分析：解不等式2x﹣1≥5得x≥3，解不等式8﹣4x＜0得x＞2，所以不等式组的解集为x≥3，在数轴上表示为，故答案选C．
考点：解一元一次不等式组.
2．（2016山东枣庄第10题）已知点P（a+1，+1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是
【答案】C.
考点：点的坐标；不等式组的解集.
3.(2016湖北襄阳第5题)不等式组的整数解的个数为( )
A．0个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】C.
【解析】
试题分析：可把不等式组化为，即，整数为：－1,0，1，故答案选C.
考点：不等式组的整数解.
5.（2016四川南充第9题）不等式的正整数解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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【答案】D．
【解析】
试题分析：去分母得：3（x+1）＞2（2x+2）﹣6，去括号得：3x+3＞4x+4﹣6，移项得：3x﹣4x＞4﹣6﹣3，合并同类项得：﹣x＞﹣5，系数化为1得：x＜5，故不等式的正整数解有1、2、3、4这4个，故选D．
考点：一元一次不等式的整数解．
二．填空题
6.（2016湖北鄂州第12题）不等式组的解集是
【答案】﹣1＜x≤2.
【解析】
试题分析：解不等式2x-3＜3x-2，得：x＞﹣1；解不等式2(x-2)≥3x-6，得：x≤2，所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2.
考点：解一元一次不等式组．
7.对于任意实数m、n，定义一种运运算m※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】．
考点：1．一元一次不等式组的整数解；2．新定义；3．含字母系数的不等式；4．阅读型．
8.（2016江苏苏州第15题）不等式组的最大整数解是 ．
【答案】3.
【解析】
试题分析： ,解不等式①得x＞-1，解不等式②得，x≤3，则不等式组的最大整数解为-1＜x≤3，则不等式组的最大整数解为3.
考点：一元一次不等式组的整数解.
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9.不等式组的所有整数解的和是 .
【答案】.
考点：一元一次不等式组的整数解.
10.不等式组的最大整数解为（ ）
A.8 B.6 C.5 D.4
【答案】B.
【解析】
试题分析：先求出不等式组的解集再判断.
解得，所以最大整数解为5.
故选C.
考点：解不等式组、不等式组的解集和解.
三、解答题
11. 解不等式：，并把解集表示在数轴上．
【答案】．
【解析】
试题分析：先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．
试题解析：去分母得，4（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12，去括号得，8x﹣4≤9x+6﹣12，移项得，8x﹣9x≤6﹣12+4，合并同类项得，，把x的系数化为1得，．
在数轴上表示为：．
考点：1．解一元一次不等式；2．在数轴上表示不等式的解集．
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10. （2016年福建龙岩第19题）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】无解.
【解析】
考点：一元一次不等式组.
12.自学下面材料后，解答问题。
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如：等 。那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负。其字母表达式为：
（1）若a＞0 ，b＞0 ，则＞0；若a＜0 ，b＜0，则＞0；
（2）若a＞0 ，b＜0 ，则＜0 ；若a＜0，b＞0 ，则＜0。
反之：（1）若＞0则
（2）若＜0 ，则__________或_____________.
根据上述规律，求不等式 的解集。
【答案】（1），（2）x＞2或x＜-1.
【解析】
15
考点：解不等式组.
13.定义新运算：对于任意实数a，b都有a△b=ab-a-b+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4=2×4-2-4+1=8-6+1=3，请根据上述知识解决问题：若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范围．
【答案】＜x＜
【解析】∵a△b=ab-a-b+1
∴3△x=3x-3-x+1=2x-2，
根据题意得：
，
解得：＜x＜．
考点：解一元一次不等式组．
14（2016广西河池第24题）某校需购买一批课桌椅供学生使用，已知A型课桌椅230元/套，B型课桌椅200元/套．
（1）该校购买了A，B型课桌椅共250套，付款53000元，求A，B型课桌椅各买了多少套？
（2）因学生人数增加，该校需再购买100套A，B型课桌椅，现只有资金22000元，最多能购买A型课桌椅多少套？
【答案】（1）购买A型桌椅100套，B型桌椅150套；（2）66．
【解析】
试题分析：（1）设购买A型桌椅x套，B型桌椅y套，根据“A，B型课桌椅共250套”、“A型课桌椅230元/套，B型课桌椅200元/套，付款53000元，”列出方程组并解答
（2）设能购买A型课桌椅a套，则根据“最多能购买A型课桌椅多少套”列出不等式并解答即可．
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试题解析：（1）设购买A型桌椅x套，B型桌椅y套，依题意得：，解得：．
答：购买A型桌椅100套，B型桌椅150套；
（2）设能购买A型课桌椅a套，依题意得：230a+200（100﹣a）≤22000，解得a≤．
∵a是正整数，∴a最大=66．
答：最多能购买A型课桌椅66套．
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用；最值问题．
15.（2016内蒙古巴彦淖尔第18题）我市为全面推进“十个全覆盖”工作，绿化提质改造工程如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共600棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵100元，乙种树苗每棵200元．
（1）若购买两种树苗的总金额为70000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？
【答案】（1）购买甲种树苗500棵，购买乙种树苗100棵；（2）400．
【解析】
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用；最值问题．
16.
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某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．
（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；
（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？
【答案】（1）有三种组建方案：
方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；
方案二，中型图书角19个，小型图书角11个；
方案三，中型图书角20个，小型图书角10个．
（2）方案一费用最低，最低费用是22320元．
【解析】
故有三种组建方案：
方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；
方案二，中型图书角19个，小型图书角11个；
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考点：一元一次不等式组的应用．
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