专题08 分式及分式方程
聚焦考点☆温习理解
一、分式
1、分式的概念
一般地,用A、B表示两个整式,A÷B就可以表示成的形式,如果B中含有字母,式子就叫做分式。其中,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质
(1)分式的基本性质:
分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。
(2)分式的变号法则:
分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。
3、分式的运算法则
二、分式方程
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是:
(1)去分母,方程两边都乘以最简公分母
(2)解所得的整式方程
(3)验根:将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应该舍去;若不等于零,就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法
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换元法:
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛,当分式方程具有某种特殊形式,一般的去分母不易解决时,可考虑用换元法。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、分式的值
【例1】(2016江苏苏州第12题)当x= 时,分式的值为0.
【答案】2.
【解析】
试题分析:∵的值为0,∴x-2=0且2x+5≠0,解得x=2.
考点:分式.
【点睛】使分式的值为零必须满足分子等于0分母不等于零这两个条件.
【举一反三】
1.(2016四川甘孜州第2题)使分式有意义的x的取值范围是( )
A.x≠1 B.x≠﹣1 C.x<1 D.x>1
【答案】A.
考点:分式有意义的条件.
2.若分式的值为0,则=
【答案】1
【解析】
试题分析:根据题意可知这是分式方程, =0,然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0,解之得x=1,经检验可知x=1是分式方程的解.
答案为1.
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考点:分式方程的解法
考点典例二、分式的化简
【例2】(2016黑龙江绥化第9题)化简的结果是( )
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】
试题分析:原式==,故选A.
考点:分式的加减法.
【点睛】观察所给式子,能够发现是异分母的分式减法。利用异分母分式的减法法则计算即可得到结果.
【举一反三】
1.(2016湖南永州第17题)化简:÷= .
【答案】.
【解析】
试题分析:原式=.
考点:分式的化简.
2.(2016新疆生产建设兵团第11题)计算: = .
【答案】.
【解析】
试题分析:先约分,再根据分式的乘除法运算的计算法则计算即可,即原式=.
考点:分式的运算.
3.(2016新疆生产建设兵团第11题)计算: = .
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【答案】.
【解析】
试题分析:先约分,再根据分式的乘除法运算的计算法则计算即可,即原式=.
考点:分式的运算.
考点典例三、分式方程
【例3】(2016贵州铜仁第13题)方程的解为 .
【答案】x=﹣3.
考点:解分式方程.
【点睛】先去掉分母,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解,然后解一元一次方程,最后检验即可求解。
【举一反三】
1.(2016广东广州第14题)方程的解是 .
【答案】x=-1.
【解析】
试题分析:方程两边同乘以2x(x-3)得,x-3=4x,解得x=-1,经检验x=-1是原方程的解.
考点:解分式方程.
2.(2016湖北十堰第7题)用换元法解方程﹣=3时,设=y,则原方程可化为( )
A.y=﹣3=0 B.y﹣﹣3=0 C.y﹣+3=0 D.y﹣+3=0
【答案】B.
【解析】
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试题分析:∵设=y,则=,原方程可转化为:y﹣=3,即y﹣﹣3=0.故答案选B.
考点:换元法解分式方程.
考点典例四、分式方程的应用
【例5】(2016青海第18题)穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活,该铁路沿线甲,乙两城市相距480km,乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达,已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h,设普通列车的平均行驶速度为xkm/h,依题意,下面所列方程正确的是( )
A.B.C.D.
【答案】B.
【解析】
考点:由实际问题抽象出分式方程.
【点睛】方程的应用解题关键是设出未知数,找出等量关系,列出方程求解.
【举一反三】
1.(2016辽宁葫芦岛第8题)A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运40千克,A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等.设B型机器人每小时搬运化工原料x千克,根据题意可列方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】
考点:由实际问题抽象出分式方程.
2.(2016河北第12题)在求3x的倒数的值时,嘉淇同学将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小5.依上述情形,所列关系式成立的是( )
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A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】
试题分析:根据题意,3X的倒数比8X的倒数大5,故答案选B.
考点:倒数.
课时作业☆能力提升
一.选择题
1.(2016河北第4题)下列运算结果为x-1的是( )
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】
试题分析:选项A,原式=;选项B,原式=x-1;选项C,原式=;选项D,原式=x+1,故答案选B.
考点:分式的计算.
2.(2016山东滨州第4题)下列分式中,最简分式是( )
【答案】A.
【解析】
考点:最简分式.
3.(2016广东广州第5题)下列计算正确的是( )
A、 B、
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C、 D、
【答案】D.
【解析】
试题分析:选项A错误; 选项B,,错误;选项C, ,由于与不是同类二次根式,不能进行加减法,错误;选项D、根据幂的乘方运算法则就可以得出答案,正确,故答案选D.
考点:代数式的运算.
4.(2016山东潍坊第10题)若关于x的方程=3的解为正数,则m的取值范围是( )
A.m<B.m<且m≠C.m>﹣D.m>﹣且m≠﹣
【答案】B.
【解析】
考点:分式方程的解.
5.(2016四川南充第6题)某次列车平均提速20km/h,用相同的时间,列车提速行驶400km,提速后比提速前多行驶100km,设提速前列车的平均速度为xkm/h,下列方程正确的是( )A. B.
C. D.
【答案】B.
【解析】
试题分析:设提速前列车的平均速度为xkm/h,根据题意可得:
.故选B.
考点:由实际问题抽象出分式方程.
二.填空题
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6.(2016江苏盐城第10题)当x= 时,分式的值为0.
【答案】1.
【解析】
试题分析:当x﹣1=0时,x=1,此时分式的值为0.故答案为:1.
考点:分式的值为零的条件.
7.(2016江苏盐城第15题)方程的正根为 .
【答案】x=2.
【解析】
考点:分式方程的解.
8.分式方程的解是__________.
【答案】x= -3
【解析】
试题分析:因为x2-1=(x+1)(x-1),所以可确定最简公分母(x+1)(x-1),然后方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解即可,注意检验.
试题解析:方程两边同乘(x+1)(x-1),
得x+1+2=0,
解得x=-3.
经检验x=-3是分式方程的根.
考点:解分式方程.
9.若分式方程﹣=2有增根,则这个增根是 .
【答案】x=1.
【解析】
试题分析:因为分式方程有增根,所以x﹣1=0,即x=1,故方程的增根为x=1.
故答案是x=1.
考点:分式方程的增根.
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10.分式方程的解为 .
【答案】x=4
【解析】
考点:分式方程的解法.
三、解答题
11.(2016山东滨州第19题)先化简,再求值:÷(﹣),其中a=.
【答案】原式=(a﹣2)2,当a=,原式=(﹣2)2=6﹣4
【解析】
试题分析:先把括号内通分化简后把乘除化为乘法,再进行约分,化为最简分式后代入计算即可.
试题解析:原式=÷[﹣]
=÷
=•
=(a﹣2)2,
∵a=,
∴原式=(﹣2)2=6﹣4
考点:分式的化简求值.
12.(2016湖南长沙第20题)先化简,再求值:(﹣)+,其中a=2,b=.
【答案】原式=,当a=2,b=时,原式=6.
【解析】
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考点:分式的化简求值.
13.(2016山东枣庄第19题)(本题满分8分)
先化简,再求值:,其中a是方程的解.
【答案】原式=, 由,得 , 又 ∴.原式=.
【解析】
试题分析:先把分式化简后,再解方程确定a的值,最后代入求值即可.
试题解析:原式===
由,得 ,
又 ∴.
∴原式=.
考点:分式的化简求值;一元二次方程的解法.
14. (2016湖北黄石第18题)(本小题满分7分)先化简,再求值:,其中
【答案】原式==2016+1=2017
【解析】
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考点:分式的化简求值.
15.(2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第19题)解方程:.
【答案】x=0.
【解析】
试题分析:观察可得最简公分母是(x﹣1)(x+1),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解即可.
试题解析:方程的两边同乘(x﹣1)(x+1),得
3x+3﹣x﹣3=0,
解得x=0.
检验:把x=0代入(x﹣1)(x+1)=﹣1≠0.
∴原方程的解为:x=0.
考点:解分式方程.
16.(2016广西来宾第24题)某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售,很快销售一空,商家又用24000元第二次购进同款机器人,所购进数量是第一次的2倍,但单价贵了10元.
(1)求该商家第一次购进机器人多少个?
(2)若所有机器人都按相同的标价销售,要求全部销售完毕的利润率不低于20%(不考虑其它因素),那么每个机器人的标价至少是多少元?
【答案】(1)100;(2)1190元.
【解析】
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考点:分式方程的应用;一元一次不等式的应用.
17.(2016湖南岳阳第20题)我市某学校开展“远是君山,磨砺意志,保护江豚,爱鸟护鸟”为主题的远足活动.已知学校与君山岛相距24千米,远足服务人员骑自行车,学生步行,服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍,服务人员与学生同时从学校出发,到达君山岛时,服务人员所花时间比学生少用了3.6小时,求学生步行的平均速度是多少千米/小时.
【答案】3.
【解析】
试题分析:设学生步行的平均速度是每小时x千米,服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米,根据学校与君山岛距离为24千米,服务人员所花时间比学生少用了3.6小时,可列方程求解.
试题解析:设学生步行的平均速度是每小时x千米.
服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米,
根据题意:,
解得:x=3,
经检验,x=3是所列方程的解,且符合题意.
答:学生步行的平均速度是每小时3千米.
考点:分式方程的应用.
18.(2016山东威海第20题)某校进行期末体育达标测试,甲、乙两班的学生数相同,甲班有48人达标,乙班有45人达标,甲班的达标率比乙班高6%,求乙班的达标率.
【答案】乙班的达标率为90%.
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【解析】
考点:分式方程的应用.
19.(2016新疆生产建设兵团第17题)某学校为绿化环境,计划种植600棵树,实际劳动中每小时植树的数量比原计划多20%,结果提前2小时完成任务,求原计划每小时种植多少棵树?
【答案】原计划每小时种植50棵树.
【解析】
试题分析:设原计划每小时种植x棵树,则实际劳动中每小时植树的数量是120%x棵,根据“结果提前2小时完成任务”列出方程并求解.
试题解析:设原计划每小时种植x棵树,
依题意得:,
解得x=50.
经检验x=50是所列方程的根,并符合题意.
答:原计划每小时种植50棵树.
考点:分式方程的应用.
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