2017年中考数学知识点专题08分式及分式方程
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资料简介
专题08 分式及分式方程 聚焦考点☆温习理解 一、分式 ‎ ‎1、分式的概念 一般地,用A、B表示两个整式,A÷B就可以表示成的形式,如果B中含有字母,式子就叫做分式。其中,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。‎ ‎2、分式的性质 ‎(1)分式的基本性质:‎ 分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。‎ ‎(2)分式的变号法则:‎ 分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。‎ ‎3、分式的运算法则 二、分式方程 ‎1、分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。‎ ‎2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是:‎ ‎(1)去分母,方程两边都乘以最简公分母 ‎(2)解所得的整式方程 ‎(3)验根:将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应该舍去;若不等于零,就是原方程的根。‎ ‎3、分式方程的特殊解法 13‎ 换元法:‎ 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛,当分式方程具有某种特殊形式,一般的去分母不易解决时,可考虑用换元法。‎ 名师点睛☆典例分类 考点典例一、分式的值 ‎【例1】(2016江苏苏州第12题)当x=      时,分式的值为0.‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:∵的值为0,∴x-2=0且2x+5≠0,解得x=2.‎ 考点:分式.‎ ‎【点睛】使分式的值为零必须满足分子等于0分母不等于零这两个条件.‎ ‎【举一反三】‎ ‎1.(2016四川甘孜州第2题)使分式有意义的x的取值范围是(  )‎ A.x≠1      B.x≠﹣1      C.x<1      D.x>1‎ ‎【答案】A.‎ 考点:分式有意义的条件.‎ ‎2.若分式的值为0,则=     ‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据题意可知这是分式方程, =0,然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0,解之得x=1,经检验可知x=1是分式方程的解.‎ 答案为1.‎ 13‎ 考点:分式方程的解法 考点典例二、分式的化简 ‎【例2】(2016黑龙江绥化第9题)化简的结果是(  )‎ A.      B.      C.      D.‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:原式==,故选A.‎ 考点:分式的加减法.‎ ‎【点睛】观察所给式子,能够发现是异分母的分式减法。利用异分母分式的减法法则计算即可得到结果.‎ ‎【举一反三】‎ ‎1.(2016湖南永州第17题)化简:÷=      .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:原式=.‎ 考点:分式的化简.‎ ‎2.(2016新疆生产建设兵团第11题)计算: =      .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:先约分,再根据分式的乘除法运算的计算法则计算即可,即原式=.‎ 考点:分式的运算.‎ ‎3.(2016新疆生产建设兵团第11题)计算: =      .‎ 13‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:先约分,再根据分式的乘除法运算的计算法则计算即可,即原式=.‎ 考点:分式的运算.‎ 考点典例三、分式方程 ‎【例3】(2016贵州铜仁第13题)方程的解为 .‎ ‎【答案】x=﹣3.‎ 考点:解分式方程.‎ ‎【点睛】先去掉分母,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解,然后解一元一次方程,最后检验即可求解。‎ ‎【举一反三】‎ ‎1.(2016广东广州第14题)方程的解是 .‎ ‎【答案】x=-1.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:方程两边同乘以2x(x-3)得,x-3=4x,解得x=-1,经检验x=-1是原方程的解.‎ 考点:解分式方程.‎ ‎2.(2016湖北十堰第7题)用换元法解方程﹣=3时,设=y,则原方程可化为(  )‎ A.y=﹣3=0 B.y﹣﹣3=0 C.y﹣+3=0 D.y﹣+3=0‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 13‎ 试题分析:∵设=y,则=,原方程可转化为:y﹣=3,即y﹣﹣3=0.故答案选B.‎ 考点:换元法解分式方程.‎ 考点典例四、分式方程的应用 ‎【例5】(2016青海第18题)穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活,该铁路沿线甲,乙两城市相距480km,乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达,已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h,设普通列车的平均行驶速度为xkm/h,依题意,下面所列方程正确的是(  )‎ A.B.C.D.‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 考点:由实际问题抽象出分式方程.‎ ‎【点睛】方程的应用解题关键是设出未知数,找出等量关系,列出方程求解.‎ ‎【举一反三】‎ ‎1.(2016辽宁葫芦岛第8题)A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运40千克,A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等.设B型机器人每小时搬运化工原料x千克,根据题意可列方程为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 考点:由实际问题抽象出分式方程.‎ ‎2.(2016河北第12题)在求3x的倒数的值时,嘉淇同学将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小5.依上述情形,所列关系式成立的是( )‎ 13‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据题意,3X的倒数比8X的倒数大5,故答案选B.‎ 考点:倒数.‎ 课时作业☆能力提升 一.选择题 ‎1.(2016河北第4题)下列运算结果为x-1的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:选项A,原式=;选项B,原式=x-1;选项C,原式=;选项D,原式=x+1,故答案选B.‎ 考点:分式的计算.‎ ‎2.(2016山东滨州第4题)下列分式中,最简分式是(  )‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 考点:最简分式.‎ ‎3.(2016广东广州第5题)下列计算正确的是( )‎ A、 B、‎ 13‎ C、 D、‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:选项A错误; 选项B,,错误;选项C, ,由于与不是同类二次根式,不能进行加减法,错误;选项D、根据幂的乘方运算法则就可以得出答案,正确,故答案选D.‎ 考点:代数式的运算.‎ ‎4.(2016山东潍坊第10题)若关于x的方程=3的解为正数,则m的取值范围是(  )‎ A.m<B.m<且m≠C.m>﹣D.m>﹣且m≠﹣‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 考点:分式方程的解.‎ ‎5.(2016四川南充第6题)某次列车平均提速20km/h,用相同的时间,列车提速行驶400km,提速后比提速前多行驶100km,设提速前列车的平均速度为xkm/h,下列方程正确的是(  )A.    B.‎ C.    D.‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:设提速前列车的平均速度为xkm/h,根据题意可得:‎ ‎.故选B.‎ 考点:由实际问题抽象出分式方程.‎ 二.填空题 13‎ ‎6.(2016江苏盐城第10题)当x= 时,分式的值为0.‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:当x﹣1=0时,x=1,此时分式的值为0.故答案为:1.‎ 考点:分式的值为零的条件.‎ ‎7.(2016江苏盐城第15题)方程的正根为 .‎ ‎【答案】x=2.‎ ‎【解析】‎ 考点:分式方程的解.‎ ‎8.分式方程的解是__________.‎ ‎【答案】x= -3‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因为x2-1=(x+1)(x-1),所以可确定最简公分母(x+1)(x-1),然后方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解即可,注意检验.‎ 试题解析:方程两边同乘(x+1)(x-1), 得x+1+2=0, 解得x=-3. 经检验x=-3是分式方程的根.‎ 考点:解分式方程.‎ ‎9.若分式方程﹣=2有增根,则这个增根是  .‎ ‎【答案】x=1.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因为分式方程有增根,所以x﹣1=0,即x=1,故方程的增根为x=1.‎ 故答案是x=1.‎ 考点:分式方程的增根.‎ 13‎ ‎10.分式方程的解为   .‎ ‎【答案】x=4‎ ‎【解析】‎ 考点:分式方程的解法.‎ 三、解答题 ‎11.(2016山东滨州第19题)先化简,再求值:÷(﹣),其中a=.‎ ‎【答案】原式=(a﹣2)2,当a=,原式=(﹣2)2=6﹣4‎ ‎【解析】‎ 试题分析:先把括号内通分化简后把乘除化为乘法,再进行约分,化为最简分式后代入计算即可.‎ 试题解析:原式=÷[﹣]‎ ‎=÷‎ ‎=•‎ ‎=(a﹣2)2,‎ ‎∵a=,‎ ‎∴原式=(﹣2)2=6﹣4‎ 考点:分式的化简求值.‎ ‎12.(2016湖南长沙第20题)先化简,再求值:(﹣)+,其中a=2,b=.‎ ‎【答案】原式=,当a=2,b=时,原式=6.‎ ‎【解析】‎ 13‎ 考点:分式的化简求值.‎ ‎13.(2016山东枣庄第19题)(本题满分8分) ‎ 先化简,再求值:,其中a是方程的解.‎ ‎【答案】原式=, 由,得 , 又 ∴.原式=.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:先把分式化简后,再解方程确定a的值,最后代入求值即可.‎ 试题解析:原式===‎ ‎ 由,得 , ‎ 又 ∴.‎ ‎∴原式=. ‎ 考点:分式的化简求值;一元二次方程的解法.‎ ‎14. (2016湖北黄石第18题)(本小题满分7分)先化简,再求值:,其中 ‎【答案】原式==2016+1=2017‎ ‎【解析】‎ 13‎ 考点:分式的化简求值.‎ ‎15.(2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第19题)解方程:.‎ ‎【答案】x=0.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:观察可得最简公分母是(x﹣1)(x+1),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解即可.‎ 试题解析:方程的两边同乘(x﹣1)(x+1),得 ‎3x+3﹣x﹣3=0,‎ 解得x=0.‎ 检验:把x=0代入(x﹣1)(x+1)=﹣1≠0.‎ ‎∴原方程的解为:x=0.‎ 考点:解分式方程.‎ ‎16.(2016广西来宾第24题)某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售,很快销售一空,商家又用24000元第二次购进同款机器人,所购进数量是第一次的2倍,但单价贵了10元.‎ ‎(1)求该商家第一次购进机器人多少个?‎ ‎(2)若所有机器人都按相同的标价销售,要求全部销售完毕的利润率不低于20%(不考虑其它因素),那么每个机器人的标价至少是多少元?‎ ‎【答案】(1)100;(2)1190元.‎ ‎【解析】‎ 13‎ 考点:分式方程的应用;一元一次不等式的应用.‎ ‎17.(2016湖南岳阳第20题)我市某学校开展“远是君山,磨砺意志,保护江豚,爱鸟护鸟”为主题的远足活动.已知学校与君山岛相距24千米,远足服务人员骑自行车,学生步行,服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍,服务人员与学生同时从学校出发,到达君山岛时,服务人员所花时间比学生少用了3.6小时,求学生步行的平均速度是多少千米/小时.‎ ‎【答案】3.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:设学生步行的平均速度是每小时x千米,服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米,根据学校与君山岛距离为24千米,服务人员所花时间比学生少用了3.6小时,可列方程求解.‎ 试题解析:设学生步行的平均速度是每小时x千米.‎ 服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米,‎ 根据题意:,‎ 解得:x=3,‎ 经检验,x=3是所列方程的解,且符合题意.‎ 答:学生步行的平均速度是每小时3千米.‎ 考点:分式方程的应用.‎ ‎18.(2016山东威海第20题)某校进行期末体育达标测试,甲、乙两班的学生数相同,甲班有48人达标,乙班有45人达标,甲班的达标率比乙班高6%,求乙班的达标率.‎ ‎【答案】乙班的达标率为90%.‎ 13‎ ‎【解析】‎ 考点:分式方程的应用.‎ ‎19.(2016新疆生产建设兵团第17题)某学校为绿化环境,计划种植600棵树,实际劳动中每小时植树的数量比原计划多20%,结果提前2小时完成任务,求原计划每小时种植多少棵树?‎ ‎【答案】原计划每小时种植50棵树.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:设原计划每小时种植x棵树,则实际劳动中每小时植树的数量是120%x棵,根据“结果提前2小时完成任务”列出方程并求解.‎ 试题解析:设原计划每小时种植x棵树,‎ 依题意得:,‎ 解得x=50.‎ 经检验x=50是所列方程的根,并符合题意.‎ 答:原计划每小时种植50棵树.‎ 考点:分式方程的应用.‎ 13‎

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