专题09 概率
聚焦考点☆温习理解
一、频率分布
1、频率分布的意义
在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。
2、研究频率分布的一般步骤及有关概念
（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：
①计算极差（最大值与最小值的差）
②决定组距与组数
③决定分点
④列频率分布表
⑤画频率分布直方图
（2）频率分布的有关概念
①极差：最大值与最小值的差
②频数：落在各个小组内的数据的个数
③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。
二、确定事件和随机事件
1、确定事件
必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
2、随机事件：
在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。
3、随机事件发生的可能性
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。
三、概率
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1、概率的意义
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
2、事件和概率的表示方法
一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P
四、确定事件和随机事件的概率之间的关系
1、确定事件概率
（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1
（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0
2、确定事件和随机事件的概率之间的关系
五、古典概型
1、古典概型的定义
某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
2、古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=
（1）、列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
（2）、树状图法
就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
六、利用频率估计概率
1、利用频率估计概率
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
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2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
3、随机数
在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、频率
【例1】下图是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），则捐款人数最多的一个组是（ ）
A. 5~10元 B. 10~15元 C. 15~20元 D. 20~25元
【答案】C．
【分析】∵15﹣20元的有20人，人数最多，∴捐款人数最多的一组是15﹣20元.
故选C．
【点睛】根据图形所给出的数据可以看出15﹣20元的有20人，人数最多可得捐款人数最多的一组是15﹣20元.
【举一反三】
（2016河南第17题）（9分）在一次社会调查活动中，小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数，记录如下：
5640 6430 6520 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 7326 6830 8648 8753 9450 9865 7290 7850
对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：
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请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：=__________，=__________；
（2）补全频数统计图；
（3）这20名“健步走运动”团队成员一天步行步数的中位数落在_________组；
（4）若该团队共有120人，请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数.
【答案】（1）)4,1；（2）图见解析；（3）B；（4）48.
【解析】
（按人数4和正确补全直方图）：
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（2） B；
（3） 120×（人）
所以该团队一天行走步数不少于7500步的人数约为48人.
考点：频数分布直方图；中位数；用样本估计总体.
考点典例二、确定事件和随机事件
【例2】（2016福建南平第4题）下列事件是必然事件的是（ ）
A．某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖
B．一组数据1，2，4，5的平均数是4
C．三角形的内角和等于180°
D．若a是实数，则|a|＞0
【答案】C．
【解析】
考点：随机事件．
【点晴】随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
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【举一反三】
1.（2016辽宁沈阳第5题）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
【答案】D．
【解析】
考点：随机事件．
2.（2016湖北武汉第4题）不透明的袋子中装有性状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是2个白球、1个黑球 D．摸出的是2个黑球、1个白球
【答案】A.
【解析】
试题分析：已知袋子中有4个黑球，2个白球，可知摸出的黑球个数不能大于4个，摸出白球的个数不能大于2个，A选项摸出的白球的个数是3个，超过2个，是不可能事件。故答案选A
考点：不可能事件的概率.
考点典例三、普查与抽样调查
【例3】（2016广西河池第7题）要调查河池市中学生了解禁毒知识的情况，下列调查方式最适合的是（ ）
A．在某中学抽取200名女生 B．在某中学抽取200名男生
C．在某中学抽取200名学生 D．在河池市中学生中随机抽取200名学生
【答案】D．
【解析】
试题分析：要调查河池市中学生了解禁毒知识的情况，就对所有学生进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不尝失的，采取抽样调查即可．考虑到抽样的全面性，所以应在河池市中学生中随机抽取200名学生．故选D．
考点：全面调查与抽样调查．
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【点睛】了解普查与抽样调查适用的条件是解决这类问题的关键.
【举一反三】
1.（2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第3题）下列调查适合做抽样调查的是（ ）
A．对某小区的卫生死角进行调查
B．审核书稿中的错别字
C．对八名同学的身高情况进行调查
D．对中学生目前的睡眠情况进行调查
【答案】D．
【解析】
考点：全面调查与抽样调查．
2.（2016辽宁营口第7题）为了解某市参加中考的25000名学生的身高情况，抽查了其中1200名学生的身高进行统计分析．下面叙述正确的是（ ）
A．25000名学生是总体 B．1200名学生的身高是总体的一个样本
C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是全面调查
【答案】B．
【解析】
试题分析：A．总体是25000名学生的身高情况，故A错误；
B．1200名学生的身高是总体的一个样本，故B正确；
C．每名学生的身高是总体的一个个体，故C错误；
D．该调查是抽样调查，故D错误．
故选B．
考点：总体、个体、样本、样本容量．
考点典例四、概率
【例4】（2016浙江宁波第6题）一个不透明布袋里装
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有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外都相同。从中任意摸出一个球，是红球的概率为
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】
试题分析：根据概率公式可得，摸到红球的概率为，故答案选C.
考点：概率公式.
【点睛】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【举一反三】
1.（2016四川达州第6题）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】
考点：勾股定理的应用；概率.
2.（2016广东广州第4题）某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0-9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A.
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【解析】
试题分析：根据题意可知总共有10种等可能的结果，一次就能打开该密码的结果只有1种，所以P(一次就能打该密码)＝，故答案选A.
考点：概率.
考点典例五、频率估计概率
【例5】（2016湖北宜昌第6题）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是（ ）
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
【答案】D.
【解析】
考点：事件概率的估计值.
【点睛】大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率.
【举一反三】
1.（2016湖北黄石第6题）黄石农科所在相同条件下经试验发现蚕豆种子的发芽率为％，请估计黄石地区1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有
A.971斤 B.129斤 C.97.1斤 D.29斤
【答案】D.
【解析】
试题分析：黄石地区1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有1000×（1-％）=29斤，故答案选D.
考点：用样本估计总体.
2.(2016湖北襄阳第13题)一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．通过大量重复摸球试验后,发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球 个．
【答案】8.
【解析】
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试题分析：设红球有x个，根据概率公式可得，解得：x＝8.
考点：概率.
课时作业☆能力提升
一．选择题
1．（2016山东济宁第9题）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】
考点：轴对称图形的概念；概率.
2.（2016贵州贵阳第4题）2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机地从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵共有200辆车，其中帕萨特60辆，∴随机地从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率==．故选C．
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考点：概率公式．
3. （2016辽宁葫芦岛第7题）在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球4个，其余为白球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为，则袋中白球的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．12
【答案】B．
【解析】
试题分析：设袋中白球的个数为x个，然后根据概率公式，可得=，解得：x=3．经检验：x=3是原分式方程的解．所以袋中白球的个数为3个．故选B．
考点：概率公式．
4.（2016重庆A卷第4题）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查
B．对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查
C．对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查
D．对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查
【答案】B．
【解析】
考点：全面调查与抽样调查．
5.（2016内蒙古巴彦淖尔第6题）某校举行“中国梦•我的梦”演讲比赛，需要在初三年级选取一名主持人，共有12名同学报名参加，其中初三（1）班有2名，初三（2）班有4名，初三（3）班有6名，现从这12名同学中随机选取一名主持人，则选中的这名同学恰好是初三（1）班同学的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
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【解析】
试题分析：∵初三（1）班有2名，初三（2）班有4名，初三（3）班有6名，∴共有12名同学，∵初三（1）班有2名，∴P（初三一班）==；故选D．
考点：概率公式．
6.（2016湖南常德第5题）下列说法正确的是（ ）
A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球
B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨
C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖
D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上
【答案】D．
【解析】
考点：概率的意义
二、填空题
7.（2016辽宁葫芦岛第14题）如图，一只蚂蚁在正方形ABCD区域内爬行，点O是对角线的交点，∠MON=90°，OM，ON分别交线段AB，BC于M，N两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为 ．
【答案】．
【解析】
19
考点：几何概率．
8.（2016河南第12题）在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，则该班小明和小亮被分在同一组的概率是_________.
【答案】.
【解析】
试题分析：小明和小亮所有分组的情况共16种，小明和小亮被分在同一组的情况有4种，所以小明和小亮被分在同一组的概率为.
考点：概率.
9.下列事件：
①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100℃；
③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④度量四边形的内角和，结果是360°．
其中是随机事件的是 ．（填序号）
【答案】①③．
【解析】
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考点：随机事件．
10.（2016新疆生产建设兵团第12题）小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块正方形的地砖上，则它停在白色地砖上的概率是 ．
【答案】.
【解析】
试题分析：由图可知，共有5块瓷砖，白色的有3块，所以它停在白色地砖上的概率=．
考点：概率.
11.(2016湖北襄阳第13题)一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．通过大量重复摸球试验后,发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球 个．
【答案】8.
【解析】
试题分析：设红球有x个，根据概率公式可得，解得：x＝8.
考点：概率.
12.（2016贵州贵阳第12题）现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3．估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为 ．
【答案】15．
【解析】
19
考点：利用频率估计概率．
三、解答题
13.（2016河北第23题）（本小题满分9分）
如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4.
图1 图2
第23题图
如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长.
如：若从图A起跳，第一次掷得３，就顺时针连续跳３个边长，落到圈D；若第二次掷得２，就从D开始顺时针连续跳２个边长，落到圈B；……
设游戏者从圈A起跳.
（1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1；
（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
列表如下，
19
1
2
3
4
1
（1,1）
（2,1）
（3,1）
（4,1）
2
（1,2）
（2,2）
（3,2）
（4,2）
3
（1,3）
（2,3）
（3,3）
（4,3）
4
（1,4）
（2.4）
（3,4）
（4，4）
所有等可能的结果共有16种，当两次掷得的数字和为4的倍数，即（1,3），（2,2），（3,1），（4,4）时，才可落回A圈，共4种，
∴.
∴一样.
考点：列表法与树形图法.
14.（2016四川达州第19题）达州市图书馆今年4月23日开放以来，受到市民的广泛关注.5月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去新图书馆的次数做了调查统计，并制成了如图不完整的统计图表．
八年级（1）班学生去新图书馆的次数统计表
去图书馆的次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
8
12
a
10
4
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ，b= ；
（2）求扇形统计图中“0次”的扇形所占圆心角的度数；
（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．
19
【答案】1）16，20；（2）57.6°；（3）．
【解析】
考点：扇形统计图；概率.
15.（2016山东枣庄第21题）（本题满分8分）
小军同学在学校组织的社会实践活动中，负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位：t）,并绘制了样本的频数分布表：
月 均
用水量
频数
2
12
①
10
②
3
2
百分比
4%
24%
30%
20%
③
6%
4%
⑴请根据题中已有的信息补全频数分布表：① ，② ，③ ；
⑵如果家庭月均用水量“大于或等于5t且小于8t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？
⑶记月均用水量在范围内的两户为、，在范围内3户为、、，从这5户家庭中任意抽取2户，试完成下表，并求出抽取的2户家庭来自不同范围的概率.
19
【答案】⑴①15，②6，③12%；（2）171；（3）表格见解析，.
【解析】
⑵中等用水量家庭大约有450×（20%+12%+6%）=171（户）
⑶表格，
（，）
（，）
（，）
（，）
（,）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
抽取的2户家庭来自不同范围的概率P=．
16.（2016山东淄博第20题）（8分）下面是淄博市2016年4月份的天气情况统计表：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
多云
阴
多云
晴
多云
阴
晴
晴
晴
多云
多云
多云
晴
晴
雨
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
雨
多云
多云
多云
多云
晴
多云
多云
晴
多云
多云
多云
晴
晴
晴
（1）请完成下面的汇总表：
天气
晴
多云
阴
雨
天数
（2）根据汇总表绘制条形图；
19
（3）在该月中任取一天，计算该天多云的概率．
【答案】（1）11、15、2、2；（2）图见解析；（3）.
【解析】
试题解析：
（1）由4月份的天气情况统计表可知，晴天共11天，多云15天，阴2天，雨2天；完成汇总表如下：
天气
晴
多云
阴
雨
天数
11
15
2
2
（2）条形图如图：
（3）在该月中任取一天，共有30种等可能结果，其中多云的结果由15种，
∴该天多云的概率为=．
考点：条形统计图；概率公式．
19
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