专题11 图形的初步认识
聚焦考点☆温习理解
一、直线、射线和线段
1、直线的概念
一根拉得很紧的线,就给我们以直线的形象,直线是直的,并且是向两方无限延伸的。
2、射线的概念
直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。
3、线段的概念
直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。
4、直线的性质
(1)直线公理:经过两个点有一条直线,并且只有一条直线。它可以简单地说成:过两点有且只有一条直线。
(2)过一点的直线有无数条。
(3)直线是是向两方面无限延伸的,无端点,不可度量,不能比较大小。
(4)直线上有无穷多个点。
(5)两条不同的直线至多有一个公共点。
5、线段的性质
(1)线段公理:所有连接两点的线中,线段最短。也可简单说成:两点之间线段最短。
(2)连接两点的线段的长度,叫做这两点的距离。
(3)线段的中点到两端点的距离相等。
(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
6、线段垂直平分线的性质定理及逆定理
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
二、相交线
1、相交线中的角
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两条直线相交,可以得到四个角,我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。
临补角互补,对顶角相等。
直线AB,CD与EF相交(或者说两条直线AB,CD被第三条直线EF所截),构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB,CD的上方,并且在EF的同侧,像这样位置相同的一对角叫做同位角;∠3与∠5这两个角都在AB,CD之间,并且在EF的异侧,像这样位置的两个角叫做内错角;∠3与∠6在直线AB,CD之间,并侧在EF的同侧,像这样位置的两个角叫做同旁内角。
2、垂线
两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
直线AB,CD互相垂直,记作“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”),读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”)。
垂线的性质:
性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。
三、平行线
1、平行线的概念
在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示,如“AB∥CD”,读作“AB平行于CD”。
同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交或平行。
2、平行线公理及其推论
平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的判定
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平行线的判定公理:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行。简称:同位角相等,两直线平行。
平行线的两条判定定理:
(1)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行。简称:内错角相等,两直线平行。
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行。简称:同旁内角互补,两直线平行。
4、平行线的性质
(1)两直线平行,同位角相等。
(2)两直线平行,内错角相等。
(3)两直线平行,同旁内角互补。
四、命题、定理、证明
1、命题的概念
判断一件事情的语句,叫做命题。
2、命题的分类:按正确、错误与否分为:真命题和假命题
所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。
3、公理
人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。
4、定理
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
5、证明
判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、直线、射线、线段
【例1】如图,经过刨平的木析上的两个点,能弹出一条笔直的墨线,而且只能弹出一条墨线. 能解释这一实际问题的数学知识是( )
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A.两点确定一条直线 B.两点之间线段最短
C.垂线段最短 D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A.
【解析】经过刨平的木板上的两个点,能弹出一条笔直的墨线此操作的依据是两点确定一条直线.
故选A.
【点睛】根据公理“两点确定一条直线”,来解答即可.
【举一反三】
如图,C、D是线段AB上的两点,且D是线段AC的中点,若AB=10cm,BC=4cm,则AD的长为( )
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm
【答案】B.
考点典例二、平行线
【例2】(2016新疆第2题)如图,AB∥CD,CE平分∠BCD,∠B=36°,则∠DCE等于( )
A.18° B.36° C.45° D.54°
【答案】A.
【解析】
试题分析:∵AB∥CD,∴∠BCD=∠B=36°,∵CE平分∠BCD,∴∠DCE=∠BCD=18°
考点:1平行线的性质;2角平分线的性质.
【点晴】根据平行线的性质解决问题即可.
【举一反三】
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(2016湖南张家界第4题)如图,将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上.如果∠1=50°,那么∠2的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
【答案】B.
【解析】
考点:1平行线性质;2直角三角形;3对顶角.
课时作业☆能力提升
一.选择题
1.点A、B、C在同一条数轴上,其中点A、B表示的数分别为﹣3、1,若BC=2,则AC等于( )
A.3 B.2 C.3或5 D.2或6
【答案】D.
【解析】
试题分析:此题画图时会出现两种情况,即点C在线段AB内,点C在线段AB外,所以要分两种情况计算.
∵点A、B表示的数分别为﹣3、1,∴AB=4.
第一种情况:在AB外,如答图1,AC=4+2=6;
第二种情况:在AB内,如答图2,AC=4﹣2=2.
故选D.
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考点:1.两点间的距离;2.数轴;3.分类思想和数形结合思想的应用.
2. (2016湖南衡阳第3题)如图,直线AB∥CD,∠B=50°,∠C=40°,则∠E等于( )
A.70° B.80° C.90° D.100°
【答案】C.
【解析】
考点:平行线的性质.
3. (2016湖南常德第3题)如图,已知直线a∥b,∠1=100°,则∠2等于( )
A.80° B.60° C.100° D.70°
【答案】A.
【解析】
考点:平行线的性质.
4. (2016广西桂林第2题)如图,直线a∥b,c是截线,∠1的度数是( )
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A.55° B.75° C.110° D.125°
【答案】A.
【解析】
试题分析:已知直线a∥b,根据平行线的性质可得∠1=55°,故答案选A.
考点:平行线的性质.
5. (2016湖北随州第4题)如图,直线a∥b,直线c分别与a、b相交于A、B两点,AC⊥AB于点A,交直线b于点C.已知∠1=42°,则∠2的度数是( )
A.38° B.42° C.48° D.58°
【答案】平行线的性质.
【解析】
试题分析:已知直线a∥b,根据平行线的性质可得∠1=∠BCA=42°,又因AC⊥AB,可得∠2=90°-∠BCA=48°,故答案选平行线的性质
考点:平行线的性质
6.已知∠α和∠β是对顶角,若∠α=30°,则∠β的度数为( )
A.30° B.60° C.70° D.150°
【答案】A.
【解析】
考点:对顶角的性质.
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7. (2016湖南湘西州第14题)如图,直线CD∥BF,直线AB与CD、EF分别相交于点M、N,若∠1=30°,则∠2= .
【答案】30°.
【解析】
试题分析:根据对顶角的性质可得∠1=∠DMN=30°,再由平行线的性质可得∠2=∠DMN=30°.
考点:平行线的性质.
8. (2016山东东营第3题)如图,直线m∥n,∠1=70°,∠2=30°,则∠A等于( )
A.30° B.35° C.40° D.50°
【答案】C.
【解析】
试题分析:已知m∥n,根据平行线的性质可得∠3=∠1=70°.又因∠3是△ABD的一个外角,可得∠3=∠2+∠A.即∠A=∠3-∠2=70°-30°=40°. 故答案选C.
考点:平行线的性质.
9.如图,平面上直线a,b分别过线段OK两端点(数据如图),则a,b相交所成的锐角是( )
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A、20° B、30 ° C、70° D、80°
【答案】B.
【解析】
考点:三角形外角性质.
10.如果α、β互为余角,则( )
A. α + β=180° B. α-β=180° C. α-β=90° D. α + β=90°
【答案】D.
【解析】
试题分析:根据互为余角的概念,如果α、β互为余角,则α + β=90°. 故选D.
考点:余角的概念.
11. (2016湖南张家界第4题)如图,将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上.如果∠1=50°,那么∠2的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
【答案】B.
【解析】
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考点:1平行线性质;2直角三角形;3对顶角.
二.填空题
12. 1.(2016年福建龙岩第14题)将一矩形纸条按如图所示折叠,若∠1=40°,则∠2= °.
【答案】110°.
【解析】
试题分析:.
【解答】解:∵AB∥CD,∴∠3=∠1=40°,∠2+∠4=180°,∵∠4=∠5,∴∠4=∠5= =70°,
∴∠2=180°-∠4=110°.
考点:平行线的性质.
13.已知点P在线段AB的垂直平分线上,PA=6,则PB=
【答案】6.
【解析】
试题分析:直接根据线段垂直平分线的性质进行解答即可.
试题解析:∵点P在线段AB的垂直平分线上,PA=6,
∴PB=PA=6.
考点:线段垂直平分线的性质.
14.如图,直线a∥b,直线c分别与a,b相交,若∠1=70°,则∠2= .
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【答案】110°.
【解析】
考点:1.平行线的性质;2.对顶角、邻补角.
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