专题18 二元一次方程组
聚焦考点☆温习理解
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by+c=0.
2、二元一次方程的解
使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
4二元一次方程组的解
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
（1）代入法
概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解. 这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法
代入法解二元一次方程组的步骤
①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的. ）；
③解这个一元一次方程，求出未知数的值；
④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；
⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；
⑥最后检验（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）
（2）加减法
概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.
加减法解二元一次方程组的步骤
①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；
②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；
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③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；
⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。
6、三元一次方程
把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
7、三元一次方程组
由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、二元一次方程（组）的概念
【例1】在下列方程中，不是二元一次方程的有（ ）
A．x+y=3 B．xy=3 C．x-y=3 D．x=3-y
【答案】B．
【解析】
考点：二元一次方程的定义．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【举一反三】
下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】
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考点：二元一次方程组的定义．
考点典例二、二元一次方程组的解
【例2】已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为( )
A．4 B．2 C． D． ±2
【答案】B
【解析】
试题分析：根据题意知是二元一次方程组的解，可直接代入得到，可解方程组得：，因此2m-n=4，所以可求2m-n的算术平方根为2．
故选B
考点：二元一次方程组，算术平方根
【点睛】本题即考查了二元一次方程的解的意义，又考查了二元一次方程组的解法，具有一箭双雕之功效.求解这类问题的策略可用两个字概括：一、代（即是将方程（组）的解代入原方程（组）；二、解（即是重新解以参数为元的方程（组））.
【举一反三】
（2016四川达州第18题）已知x，y满足方程组，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值．
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【答案】原式=.
【解析】
考点：二元一次方程组的解法；整式的化简求值.
考点典例三、解二元一次方程组
【例3】（2016湖南永州第16题）方程组的解是 ．
【答案】x=2，y=0.
【解析】
试题分析：由①得：x=2﹣2y ③，
将③代入②，得：2（2﹣2y）+y=4，
解得：y=0，
将y=0代入①，得：x=2，
方程组的解为x=2，y=0.
考点：二元一次方程组的解法.
【点睛】(1)解二元一次方程组的方法要根据方程组的特点灵活选择，当方程组中一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用代入法较方便；当两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较方便；当方程组中同一个未知数的系数的绝对值不相等，且不成整数倍时，把一个(或两个)方程的两边同乘适当的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等，仍然选用加减法比较简便；(2)用加减消元法时，选择方程组中同一个未知数的系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元，这样会使运算量较小，提高准确率．
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【举一反三】
1.解方程组
【答案】.
【解析】
考点：二元一次方程组的解法.
2. （2016新疆第17题）解方程组．
【答案】.
【解析】
试题分析：利用加减消元法可接此方程组.
试题解析：①+②得，3x=15，∴x=5，把x=5代入①得，10+3y=7，∴y=﹣1．∴方程组的解为：.
考点：解二元一次方程组的解.
考点典例四、已知方程(组)解的特征，求待定系数
【例3】若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B．
【解析】
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考点：二元一次方程组的解；二元一次方程的解．
【点睛】(1)先将待定系数看成已知数，解这个方程组，再将求得的含待定系数的解代入方程中，便转化成一个关于k的一元一次方程；(2)几个方程(组)同解，可选择两个含已知系数的组成二元一次方程组求得未知数的解，然后将方程组的解代入含待定系数的另外的方程(或方程组)，解方程即可．
【举一反三】
已知方程组的解x，y的和为12，求n的值.
【答案】14．
【解析】
试题分析：
试题解析：由题意可得
，
解得
，
代入x+y=12，
得n=14．
考点：二元一次方程组的解；二元一次方程的解．
考点典例五、解三元一次方程组
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【例5】解方程组：
【答案】 .
【解析】
考点：解二元一次方程组.
【举一反三】
已知三元一次方程组．
（1）求该方程组的解；
（2）若该方程组的解使ax+2y+z＜0成立，求整数a的最大值．
【答案】（1）；（2）-2.
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【解析】
（2）∵该方程组的解使ax+2y+z＜0成立，
∴2a+6-3＜0，
∴a＜-，
∴整数a的最大值为-2．
考点：二元一次方程组的解；解一元一次不等式．
考点典例六、二元一次方程（组）的应用
【例6】（2016江苏苏州第22题）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？
【答案】中型汽车20辆，小型汽车30辆.
【解析】
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考点：二元一次方程组的应用.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
【举一反三】
（2016河南第20题） （9分）学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元.
（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.
【答案】(1)一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元;（2）最省钱的购买方案是购进A型节能灯37只，B型节能灯13只，理由见解析.
【解析】
试题分析：(1)设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，根据题意列方程组，解方程组即可；（2）设购进A型节能灯m只，总费用为w元，根据题意求出w与x的函数关系式，再求得m的取值范围，根据一次函数的性质确定最省钱方案即可.
试题解析：(1)设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元.
依题意得，解得.
所以一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元.
（2） 设购进A型节能灯m只，总费用为w元，
依题意得w=5m+7（50-m）=-2m+350，
因-2＜0，∴当m取最大值时w有最小值.
∵m≤3（50-m），解得m≤37.5.
而m为整数，∴当m=37时，w最小=-2×37+350=276.
此时50-37=13.
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所以最省钱的购买方案是购进A型节能灯37只，B型节能灯13只.
考点:二元一次方程组的应用；一次函数的应用.
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. 若x、y满足方程组，则x﹣y的值等于（ ）
A． ﹣1 B． 1 C． 2 D． 3
【答案】A.
考点：解二元一次方程组．
2.利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A.要消去y，可以将①×5＋②×2
B.要消去x，可以将①×3＋②×(－5)
C.要消去y，可以将①×5＋②×3
D.要消去x，可以将①×(-5)＋②×2
【答案】D
【解析】
试题分析：由已知可得，消元的方法有两种，分别为：
（1）要消去y，可以将①×3＋②×5；
（2）要消去x，可以将①×(-5)＋②×2.
故选：D
考点: 消元思想，二元一次方程组的解法
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3. （2016湖南常德第8题）某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（ ）
A．9天 B．11天 C．13天 D．22天
【答案】B.
【解析】
考点：二元一次方程组的应用.
4. （2016广西来宾第10题）一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：由题意可得，，故选A．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组；探究型．
5. （2016江苏盐城第16题）李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需 分钟．
【答案】40．
【解析】
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考点：二元一次方程组的应用．
二、填空题
6. （2016内蒙古通辽第13题）已知a、b满足方程组，则= ．
【答案】3．
【解析】
试题分析：，①×3+②得：7a=28，即a=4，把a=4代入②得：b=5，则原式=3．故答案为：3．
考点：二元一次方程组的解．
7．某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套.
【答案】120
【解析】
试题分析：根据题意可设x缝制衣袖，y人缝制衣身，z人缝制衣领，则x+y+z=210，，解由它们构成的方程组可求得x=120人.
考点：三元一次方程组的应用
8.某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天，设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，则（x＋y）的值为 ▲ ．
【答案】20.
【解析】
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试题分析：由题意列方程组，两式相加得，12x+12y=240， ∴x+y=20.
考点：1.二元一次方程组的应用；2.整体思想的应用.
9.关于x，y的方程组的解是，则|m+n|的值是
【答案】3.
【解析】
考点：二元一次方程组的解．
10.已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 ．
【答案】﹣1．
【解析】
试题分析：解方程组得：，因为关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，可得：，解得：．故答案为：﹣1．
考点：二元一次方程组的解．
11.设实数x，y满足方程组，则 .
【答案】8.
考点：1.解二元一次方程组；2.代数式求值.
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【分析】，
∵①+②得；②①得，
∴
三．解答题
12.解方程组．
【答案】
【解析】
考点：解二元一次方程组
13.根据要求，解答下列问题.
（1）解下列方程组(直接写出方程组的解即可):
.
.
.
（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 .
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（3）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解.
【答案】（1）① ② ③（2）x=y
【解析】
考点：消元法解二元一次方程组，规律探索
14. （2016湖南株洲第22题）某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该生综合评价为A等．
（1）孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？
（2）某同学测试成绩为70分，他的综合评价得分有可能达到A等吗？为什么？
（3）如果一个同学综合评价要达到A等，他的测试成绩至少要多少分？
【答案】（1）孔明同学测试成绩位90分，平时成绩为95分；（2）不可能；（3）75．
【解析】
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考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用
15. （2016广西河池第24题）某校需购买一批课桌椅供学生使用，已知A型课桌椅230元/套，B型课桌椅200元/套．
（1）该校购买了A，B型课桌椅共250套，付款53000元，求A，B型课桌椅各买了多少套？
（2）因学生人数增加，该校需再购买100套A，B型课桌椅，现只有资金22000元，最多能购买A型课桌椅多少套？
【答案】（1）购买A型桌椅100套，B型桌椅150套；（2）66．
【解析】
试题分析：（1）设购买A型桌椅x套， B型桌椅y套，根据“A，B型课桌椅共250套”、“A型课桌椅230元/套，B型课桌椅200元/套，付款53000元，”列出方程组并解答
（2）设能购买A型课桌椅a套，则根据“最多能购买A型课桌椅多少套”列出不等式并解答即可．
试题解析：（1）设购买A型桌椅x套，B型桌椅y套，依题意得：，解得：．
答：购买A型桌椅100套，B型桌椅150套；
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（2）设能购买A型课桌椅a套，依题意得：230a+200（100﹣a）≤22000，解得a≤．
∵a是正整数，∴a最大=66．
答：最多能购买A型课桌椅66套．
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用；最值问题．
16. （2016山东滨州第20题）某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如表所示：
技术
上场时间（分钟）
出手投篮（次）
投中
（次）
罚球得分
篮板
（个）
助攻（次）
个人总得分
数据
46
66
22
10
11
8
60
注：表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球．
根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中2分球和3分球各几个．
【答案】2分球16个，3分球6个．
【解析】
考点：二元一次方程组的应用．
17. （2016湖南怀化第16题）有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿，问笼中各有几只鸡和兔？
【答案】笼子里鸡有18只，兔有12只．
【解析】
试题分析：设这个笼中的鸡有x只，兔有y只，根据“从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿”列出方程组，解方程组即可．
试题解析：设这个笼中的鸡有x只，兔有y只，
根据题意得：，
18
解得；
答：笼子里鸡有18只，兔有12只．
考点：二元一次方程组的应用．
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