专题21 反比例函数
聚焦考点☆温习理解
1、反比例函数的概念
一般地,函数(k是常数,k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0,函数y0,所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
当k>0时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内,y随x 的增大而减小。
当k-3,∴x1>x2.故选A.
考点:反比例函数图像与性质.
考点典例三、反比例函数图象上点的坐标与方程的关系
【例3】已知函数的图象在第一象限的一支曲线上有一点A(a,c),点B(b,c+1)在该函数图象的另外一支上,则关于一元二次方程ax2+bx+c = 0的两根x1,x2判断正确的是【 】
A.x1 + x2 >1,x1·x2 > 0 B.x1 + x2 < 0,x1·x2 > 0
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C.0 < x1 + x2 < 1,x1·x2 > 0 D.x1 + x2与x1·x2 的符号都不确定
【答案】C.
【解析】
考点:1.反比例函数的性质;2.曲线上点的坐标与方程的关系;3. 一元二次方程根与系数的关系;4.分类思想的应用.
【点睛】本题考查了根与系数的关系,掌握根与系数的关系和各个象限点的特点是本题的关键;若x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的两个实数根,则x1+x2=-,x1x2=.
【举一反三】
已知A(1,)是反比例函数图象上的一点,直线AC经过点A及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C,求C的坐标及反比例函数的解析式。
【答案】(-1,)
【解析】
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考点:正比例函数与反比例函数
考点典例四、反比例函数与一次函数的交点问题
【例4】(2016湖南株洲第9题)已知,如图一次函数与反比例函数的图象如图示,当时,x的取值范围是( )
A.x<2 B.x>5 C.2<x<5 D.0<x<2或x>5
【答案】D.
【解析】
试题分析:根据题意得:当时,x的取值范围是0<x<2或x>5.故选D.
考点:反比例函数与一次函数的交点问题.
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【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,一次函数图象位于反比例函数图象的下方是解题关键.
【举一反三】
(2016山东潍坊第16题)已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过(3,﹣1),则当1<y<3时,自变量x的取值范围是 .
【答案】﹣3<x<﹣1.
【解析】
考点:反比例函数的性质.
考点典例五、反比例函数的图象和k的几何意义
【例5】(2016河南第5题)如图,过反比例函数的图像上一点A作AB⊥轴于点B,连接AO,若S△AOB=2,则的值为【 】
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
【答案】C.
考点:反比例函数k的几何意义.
【举一反三】
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.(2016山东淄博第12题)反比例函数y=(a>0,a为常数)和y=在第一象限内的图象如图所示,点M在y=的图象上,MC⊥x轴于点C,交y=的图象于点A;MD⊥y轴于点D,交y=的图象于点B,当点M在y=的图象上运动时,以下结论:
①S△ODB=S△OCA;
②四边形OAMB的面积不变;
③当点A是MC的中点时,则点B是MD的中点.
其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D.
【解析】
试题分析:①由于A、B在同一反比例函数y=图象上,由反比例系数的几何意义可得S△ODB=S△OCA=1,正确;②由于矩形OCMD、△ODB、△OCA为定值,则四边形MAOB的面积不会发生变化,正确;③连接OM,点A是MC的中点,则S△ODM=S△OCM=,因S△ODB=S△OCA=1,所以△OBD和△OBM面积相等,点B一定是MD的中点.正确;故答案选D.
考点:反比例系数的几何意义.
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. (2016贵州遵义第7题)已知反比例函数(k>0)的图象经过点A(1,a)、B(3,b),则a与b
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的关系正确的是( )
A.a=b B.a=﹣b C.a<b D.a>b
【答案】D.
考点:反比例函数图象上点的坐标特征.
2. (2016海南省第9题)某村耕地总面积为50公顷,且该村人均耕地面积y(单位:公顷/人)与总人口x(单位:人)的函数图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B.该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
C.若该村人均耕地面积为2公顷,则总人口有100人
D.当该村总人口为50人时,人均耕地面积为1公顷
【答案】D.
【解析】
试题分析: 由图像可知,该村人均耕地面积随总人口的增多而减少,故A错误;此函数为反比例函数,故B错误;设y=,把(50,1)代入,得k=50,∴y=,当x=2时,y=25,故C错误;由图可知当该村总人口为50人时,人均耕地面积为1公顷,故D正确.
考点:反比例函数的应用.
3. (2016黑龙江大庆第9题)已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是反比例函数上的三点,若x1<x2<x3,y2<y1<y3,则下列关系式不正确的是( )
A.x1•x2<0 B.x1•x3<0 C.x2•x3<0 D.x1+x2<0
【答案】A.
【解析】
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考点:反比例函数图像与性质.
4. (2016黑龙江哈尔滨第4题)点(2,﹣4)在反比例函数的图象上,则下列各点在此函数图象上的是( )
A.(2,4) B.(﹣1,﹣8) C.(﹣2,﹣4) D.(4,﹣2)
【答案】D.
【解析】
试题分析:同一反比例函数图像上点的坐标满足:横纵坐标乘积相等.只有D:4×(-2)=2×(-4).故选D.
考点:反比例函数.
5.(2016辽宁沈阳第4题)如图,在平面直角坐标系中,点P是反比例函数y=(x>0)图象上的一点,分别过点P作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.若四边形OAPB的面积为3,则k的值为( )
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
【答案】A.
【解析】
考点:反比例函数系数k的几何意义.
6. (2016内蒙古通辽第6题)如图,点A和点B都在反比例函数的图象上,且线段AB
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过原点,过点A作x轴的垂线段,垂足为C,P是线段OB上的动点,连接CP.设△ACP的面积为S,则下列说法正确的是( )
A.S>2 B.S>4 C.2<S<4 D.2≤S≤4
【答案】D.
【解析】
试题分析:根据题意可得:k=4,故可知S△ACO=2,∵S△OPC<S△ACO=2,∴△ACP的面积2≤S≤4.故选D.
考点:反比例函数系数k的几何意义;反比例函数图象上点的坐标特征.
7. (2016广东广州第6题)一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地。当他按照原路返回时,汽车的速度v 千米/小时与时间t小时的函数关系是( )
A、 v=320t B、 C、v=20t D、
【答案】B.
【解析】
试题分析:根据速度=路程时间可得,故答案选B.
考点:反比例函数.
8.在平面直角坐标系中,直线y =-x+2与反比例函数的图象有唯一公共点. 若直线与反比例函数的图象有2个公共点,则b的取值范围是( )
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(第14题图)
x
y
O
2
2
(A) b﹥2. (B) -2﹤b﹤2. (C) b﹥2或b﹤-2. (D) b﹤-2.
【答案】C
【解析】
考点:一次函数的平移,反比例函数与一次函数的交点
二、填空题
9 (2016湖南张家界第13题)如图,点P是反比例函数y=(x<0)图象的一点,PA垂直于y轴,垂足为点A,PB垂直于x轴,垂足为点B.若矩形PBOA的面积为6,则k的值为 .
【答案】-6.
【解析】
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试题分析:设点P坐标为(x,),则PB=,PA=-x.S矩形PBOA=PA×PB=×(-x)=-k=6,解得k=-6.
考点:反比例函数.
10. (2016湖北鄂州第14题)如图,已知直线 与x轴、y轴相交于P、Q两点,与y=的图像相交于A(-2,m)、B(1,n)两点,连接OA、OB. 给出下列结论: ①k1k2