专题24 二次函数
聚焦考点☆温习理解
一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：
（2）顶点式：
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
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如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。
四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
2、二次函数中，的含义：
表示开口方向：>0时，抛物线开口向上, 0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当0，y随x的增大而增大 B、当x=2时，y有最大值－3
C、图像的顶点坐标为（－2，－7） D、图像与x轴有两个交点
【答案】B.
【解析】
试题分析：二次函数,所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误；当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；顶点坐标为（2，-3），选项C错误；顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，故答案选B.
考点：二次函数的性质.
考点典例二、二次函数的解析式
【例2】如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
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A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+2
【答案】A．
【解析】
故选A．
【点晴】先根据A在反比例函数图象上，求出m的值，再把A、B点坐标代入二次函数y=x2+bx+c中，求出b、c的值即可.
【举一反三】
（2016福建南平第14题）写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上： ．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】
试题分析：由题意可得：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一，只要中a≠0，b=0即可）．
考点：二次函数的性质；开放型．
考点典例三、二次函数的最值
【例3】（2016黑龙江哈尔滨第16题）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为 ．
【答案】-4.
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【解析】
试题分析：二次函数y=2（x﹣3）2﹣4为顶点式，因此最小值为-4.
考点：二次函数极值.
【点睛】根据顶点式得到它的顶点坐标是（3，-4），即可求出函数的最大值．
【举一反三】
当－2≤x≤l时，二次函数有最大值4，则实数m的值为【 】
(A) (B) 或 (c)2或 (D)2或或
【答案】C．
【解析】
考点典例四、二次函数的图象与性质
【例4】（2016四川达州第10题）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
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③4ac﹣b2＜8a
④＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（ ）
A． ①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
【答案】D.
【解析】
考点：二次函数图象与系数的关系.
【点睛】根据二次函数的图象与性质进行逐项分析即可求出答案.
【举一反三】
（2016山东枣庄第12题）已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下四个结论：①；②；③；④.其中，正确的结论有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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第12题图
【答案】C.
【解析】
考点：抛物线的图象与系数的关系.
考点典例五、二次函数图象与平移变换
【例5】（2016黑龙江绥化第15题）将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：向右平移1个单位所得直线解析式为：；
再向下平移3个单位为：．故答案为：．
考点：二次函数图象与几何变换．
【点睛】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【举一反三】
（2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第11题）在平面直角坐标系中，将抛物线y=﹣x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y=﹣x2﹣x﹣ B．y=﹣x2+x﹣ C．y=﹣x2+x﹣ D．y=﹣x2﹣x﹣
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【答案】A．
【解析】
考点：二次函数图象与几何变换．
课时作业☆能力提升
一．选择题
1．（2016山东滨州第10题）抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C.
【解析】
试题分析：已知抛物线y=2x2﹣2x+1，令x=0，得到y=1，即抛物线与y轴交点为（0，1）；令y=0，得到2x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0，解得：x1=x2=，即抛物线与x轴交点为（，0），则抛物线与坐标轴的交点个数是2，故答案选C
考点：抛物线与坐标轴的交点．
2.（2016山东滨州第11题）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（ ）
A．y=﹣（x﹣）2﹣ B．y=﹣（x+）2﹣
C．y=﹣（x﹣）2﹣ D．y=﹣（x+）2+
【答案】A.
【解析】
试题分析：已知抛物线的解析式为y=x2+5x+6，它绕原点旋转180°后变为y=﹣x2+5x﹣6，即y=﹣（x﹣）2+，再向下平移3个单位长度的解析式为y=﹣（x﹣）2+﹣3=﹣（x﹣）2﹣．故答案选A．
考点：二次函数图象与几何变换．
3．（2016湖北黄石第9题）以为自变量的二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是
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A. B.或 C. D.
【答案】A.
【解析】
考点:二次函数的性质.
4.（2016湖北鄂州第9题）如图，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC. 则下列结论：
①abc＞0 ②9a+3b+c＜0 ③c＞－1 ④关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为－
其中正确的结论个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个
【答案】C.
【解析】
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考点：二次函数图象与系数的关系;数形结合思想．
5.（2016广东广州第9题）对于二次函数,下列说法正确的是（ ）
A、当x>0，y随x的增大而增大 B、当x=2时，y有最大值－3
C、图像的顶点坐标为（－2，－7） D、图像与x轴有两个交点
【答案】B.
【解析】
试题分析：二次函数,所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误；当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；顶点坐标为（2，-3），选项C错误；顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，故答案选B.
考点：二次函数的性质.
6.（2016湖南怀化第7题）二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4） B．开口向下，顶点坐标为（1，4）
C．开口向上，顶点坐标为（1，4） D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
【答案】A．
【解析】
试题分析：已知二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，所以函数图象开口向上，又因y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，即可得顶点坐标为（﹣1，﹣4）．故答案选A．
考点：二次函数的性质．
7.（2016山东威海第11题）已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】
考点：函数图像与系数的关系.
8.（2016广西河池第9题）二次函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．a＜0 B．c＞0 C．a+b+c＞0 D．＞0
【答案】C．
【解析】
考点：二次函数图象与系数的关系．
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二．填空题
9. （2016河南第13题）已知A（0,3），B（2,3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_________.
【答案】（1,4）.
【解析】
试题分析：把A（0,3），B（2,3）代入抛物线可得b=2，c=3，所以=，即可得该抛物线的顶点坐标是（1,4）.
考点：抛物线的顶点.
10.（2016广西来宾第19题）已知函数，当 时，函数值y随x的增大而增大．
【答案】x≤﹣1．
【解析】
试题分析：∵=，a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1，∴当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，故答案为：x≤﹣1．
考点：二次函数的性质．
11.（2016内蒙古通辽第17题）如图是二次函数图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出以下结论：
①abc＜0，②＞0，③4b+c＜0，④若B（，）、C（，）为函数图象上的两点，则，⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0．
其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号） ．
【答案】②③⑤．
【解析】
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考点：二次函数图象与系数的关系；综合题．
12.（2016黑龙江绥化第15题）将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：向右平移1个单位所得直线解析式为：；
再向下平移3个单位为：．故答案为：．
考点：二次函数图象与几何变换．
三．解答题
13.（2016浙江宁波第22题）（本题10分）如图，已知抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，点B的坐标为（3，0）。
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。
【答案】(1)m=2,(1,4)；(2)（1,2）.
【解析】
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把（3,0），（0,3）代入得，
，解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=-1+3=2.
答：当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（1,2）.
考点：用待定系数法求函数解析式.
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14.（2016河南第21题）（10分）某班“数学兴趣小组”对函数的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
…
0
1
2
3
4
…
…
3
0
0
3
…
其中，=____________.
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该图像的另一部分.
（3）观察函数图像，写出两条函数的性质：
（4）进一步探究函数图像发现：
①函数图像与轴有__________个交点，所以对应方程有___________个实数根；
②方程有___________个实数根；
③关于的方程有4个实数根，的取值范围是_______________________
【答案】（1）0；（2）图见解析；（3）答案不唯一，合理即可；（4）①3,3；②2；③-1＜a＜0.
【解析】
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（正确补全图象）；
(3) (可从函数的最值，增减性，图象的对称性等方面阐述，答案不唯一，合理即可)；
（4）①3,3；②2；③-1＜a＜0.
考点：数形结合；阅读理解；二次函数综合题.
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