专题25 三角形
聚焦考点☆温习理解
一、三角形
1、三角形中的主要线段
(1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
(2)在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
(3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。
2、三角形的三边关系定理及推论
(1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。
推论:三角形的两边之差小于第三边。
(2)三角形三边关系定理及推论的作用:
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时,可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
3、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°。
推论:
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。
二、全等三角形
1、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理:
(1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)
(2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)
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(3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。
直角三角形全等的判定:
对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
2.全等三角形的性质:
三、等腰三角形
1、等腰三角形的性质定理及推论:
定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)
推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。
2、等腰三角形的判定定理及推论:
定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边)。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、三角形中位线
【例2】(2016广西来宾第9题)如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,DE、DF是△ABC的中位线,则四边形BEDF的周长是( )
A.5 B.7 C.8 D.10
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【答案】D.
【解析】
考点:三角形中位线定理.
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理,中位线是三角形中的一条重要线段,由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连,因此,它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用.
【举一反三】
(2016辽宁葫芦岛第9题)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,AF⊥BC,垂足为点F,∠ADE=30°,DF=4,则BF的长为( )
A.4 B.8 C.2 D.4
【答案】D.
【解析】
试题分析:在RT△ABF中,∠AFB=90°,AD=DB,DF=4,利用直角三角形斜边中线性质可得AB=2DF=8,再由AD=DB,AE=EC,可得DE∥BC,∠ADE=∠ABF=30°,所以AF=AB=4,由勾股定理可得BF=4.故选D.
考点:三角形中位线定理;直角三角形斜边上的中线.
考点典例二、等腰三角形
【例2】已知等腰△ABC的两边长分别为2和3,则等腰△ABC的周长为( )
A. 7 B. 8 C. 6或8 D. 7或8
【答案】D.
【解析】
试题分析:因为等腰三角形的两边分别为2和3,但没有明确哪是底边,哪是腰,所以有两种情况,需要分类讨论.
试题解析:当2为底时,三角形的三边为3,2、3可以构成三角形,周长为8;
当3为底时,三角形的三边为3,2、2可以构成三角形,周长为7.
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故选D.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质;对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.
【举一反三】
(2016湖南湘西州第14题)一个等腰三角形一边长为4cm,另一边长为5cm,那么这个等腰三角形的周长是( )
A.13cm B.14cm C.13cm或14cm D.以上都不对
【答案】C.
【解析】
考点:等腰三角形的性质;三角形三边关系.
考点典例三、全等三角形
【例3】(2016新疆生产建设兵团第4题)如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件是( )
A. ∠A=∠D B.BC=EF C.∠ACB=∠F D.AC=DF
【答案】D.
【解析】
试题分析:由∠B=∠DEF,AB=DE,添加∠A=∠D,利用ASA可得△ABC≌△DEF;添加BC=EF,利用SAS可得△ABC≌△DEF;添加∠ACB=∠F,利用AAS可得△ABC≌△DEF;故答案选D.
考点:全等三角形的判定.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理,证明三角形全等的方法有:SSS,SAS,ASA,AAS,还有直角三角形的HL定理.
【举一反三】
(2016河北第21题)(本小题满分9分)
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如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.
第21题图
【答案】(1)详见解析;(2)∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE,理由见解析.
【解析】
AB∥DE,AC∥DF,理由如下,
∵△ABC≌△DEF,
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE,
∴AB∥DE,AC∥DF.
考点:全等三角形的判定及性质;平行线的判定.
考点典例四、相似三角形
【例4】(2016新疆生产建设兵团第7题)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,下列说法中不正确的是( )
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A.DE=BC B. C.△ADE∽△ABC D.S△ADE:S△ABC=1:2
【答案】D.
【解析】
考点:相似三角形的判定及性质.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,等高的三角形的面积的比等于底边的比,熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方,用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键.
【举一反三】
(2016内蒙古巴彦淖尔第7题)如图,E为▱ABCD的边AB延长线上的一点,且BE:AB=2:3,△BEF的面积为4,则▱ABCD的面积为( )
A.30 B.27 C.14 D.32
【答案】A.
【解析】
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考点:相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
考点典例五、位似三角形
【例5】(2016湖北十堰第5题)如图,以点O为位似中心,将△ABC缩小后得到△A′B′C′,已知OB=3OB′,则△A′B′C′与△ABC的面积比为( )
A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:9
【答案】D.
【解析】
试题分析:由OB=3OB′,可得OB′:OB=1:3,已知以点O为位似中心,将△ABC缩小后得到△A′B′C′,即可得△A′B′C′∽△ABC,,所以,再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得△A′B′C′与△ABC的面积比为1:9,故答案选D.
考点:位似变换.
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质,利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键.
【举一反三】
如图,△ABC与△A1B1C1为位似图形,点O是它们的位似中心,位似比是1:2,已知△ABC的面积为3,那么△A1B1C1的面积是
【答案】12.
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【解析】
∵△ABC与△A1B1C1为位似图形,
∴△ABC∽△A1B1C1,
∵位似比是1:2,
∴相似比是1:2,
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为:1:4,
∵△ABC的面积为3,
∴△A1B1C1的面积是:3×4=12.
考点典例六:直角三角形
【例6】(2016辽宁沈阳第9题)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是( )
A. B.4 C.8 D.4
【答案】D.
【解析】
考点:解直角三角形.
【点睛】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比边.
【举一反三】
(2016浙江宁波第16题)如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°,测角仪高AD为1m,则旗杆高BC为 m(结果保留根号)
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【答案】10+1.
【解析】
考点:解直角三角形的应用.
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. (2016河南第6题)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10. DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为【 】
(A)6 (B)5 (C)4 (D)3
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【答案】D.
【解析】
考点:勾股定理;三角形的中位线定理.
2. (2016河北第15题)如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
第15题图
【答案】C.
【解析】
试题分析:只要三个角相等,或者一角相等,两边成比例即可。选项C项不能判定两个三角形相似,故答案选C.
考点:相似三角形的判定.
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3. (2016山东滨州第6题)如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为( )
A.50° B.51° C.51.5° D.52.5°
【答案】D.
【解析】
考点:等腰三角形的性质;三角形内角和定理;三角形的外角性质.
4. (2016山东枣庄第4题)如图,在△ABC中,AB = AC,∠A = 30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D等于
A.15° B.17.5° C.20° D.22.5°
第4题图
【答案】A.
【解析】
试题分析:在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=75°,所以∠ACE=180°-∠ACB=180°-75°=105°,根据角平分线的性质可得∠DBC=37.5°,∠ACD=52.5°,即可得∠BCD=127.5°,根据三角形的内角和定理可得∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°-37.5°-127.5°=15°,故答案选A.
考点:等腰三角形的性质;三角形的内角和定理.
5. (2016湖南怀化第10题)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,AC=6cm,则BC的长度为( )
A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm
【答案】C.
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【解析】
试题分析:已知sinA==,设BC=4x,AB=5x,又因AC2+BC2=AB2,即62+(4x)2=(5x)2,解得:x=2或x=﹣2(舍),所以BC=4x=8cm,故答案选C.
考点:解直角三角形.
6. (2016湖南永州第9题)如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A. ∠B=∠C B.AD=AE C.BD=CE D.BE=CD
【答案】D.
【解析】
考点:全等三角形的判定.
二、填空题
7. (2016山东枣庄第14题)如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为 米
(结果精确到0.1米,参考数据: =1.41,=1.73).
第14题图
【答案】2.9.
【解析】
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试题分析:在Rt△AMD中,∠MAD=45°,AM=4米,可得MD=4米;在Rt△BMC中,BM=AM+AB=12米,∠MBC=30°,可求得MC=4米,所以警示牌的高CD=4-4=2.9米.
考点:解直角三角形.
8. (2016山东济宁第12题)如图,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件: ,使△AEH≌△CEB.
【答案】AH=CB或EH=EB或AE=CE.(添加其中任意一个即可)
【解析】
试题分析:根据AAS添加AH=CB或EH=EB;根据ASA添加AE=CE.可证△AEH≌△CEB.
考点:全等三角形的判定.
9. (2016湖南娄底第14题)如图,已知∠A=∠D,要使△ABC∽△DEF,还需添加一个条件,你添加的条件是 .(只需写一个条件,不添加辅助线和字母)
【答案】∠B=∠DEF(答案不唯一,符合要求即可)
【解析】
考点:相似三角形的判定.
10.(2016福建泉州第11题)如图,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,BC=8,则DE= .
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【答案】4.
考点:三角形中位线定理.
11.(2016福建泉州第14题)如图,在Rt△ABC中,E是斜边AB的中点,若AB=10,则CE= .
【答案】5.
【解析】
试题分析:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得CE=AB=5.
考点:直角三角形斜边上的中线.
三.解答题
12. (2016山东淄博第22题)(8分)如图,已知△ABC,AD平分∠BAC交BC于点D,BC的中点为M,ME∥AD,交BA的延长线于点E,交AC于点F.
(1)求证:AE=AF;
(2)求证:BE=(AB+AC).
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据角平分线的性质及平行线的性质易∠AEF=∠AFE,即可得AE=AF;(2)作CG∥EM,交BA的延长线于G,已知AC=AG,根据三角形中位线定理的推论证明BE=EG,再利用三角形的中位线定理即可证得结论.
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考点:三角形中位线定理;等腰三角形的判定与性质.
13. (2016湖南怀化第17题)如图,已知AD=BC,AC=BD.
(1)求证:△ADB≌△BCA;
(2)OA与OB相等吗?若相等,请说明理由.
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【答案】(1)详见解析;(2)OA=OB,理由详见解析.
【解析】
考点:全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定.
14. (2016湖南怀化第21题)如图,△ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,顶点E、H分别在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.
(1)求证:△AEH∽△ABC;
(2)求这个正方形的边长与面积.
【答案】(1)详见解析;(2)正方形EFGH的边长为cm,面积为cm2.
【解析】
试题分析:(1)根据EH∥BC即可证明△AEH∽△ABC;(2)如图设AD与EH交于点M,易证四边形EFDM是矩形,设正方形边长为x,由(1)知△AEH∽△ABC,根据相似三角形的性质可得得,代入数据列出方程即可解决问题.
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考点:相似三角形的判定与性质.
15. (2016湖北襄阳第19题)(本小题满分6分)
如图,在△ABC中.AD平分∠BAC,且BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AD=2,∠DAC=30°,求AC的长.
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【答案】(1)详见解析;(2)4.
【解析】
考点:角平分线的性质;全等三角形的判定及性质;直角三角形的性质.
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